第四章 弹性力学求解方法.ppt

1、第四章 弹性力学问题的求解方法7-1 弹性力学基本方程弹性力学基本方程1. 平衡微分方程方程平衡微分方程方程000yxxzxxyyzyyzxzzXxyzYxyzZxyz2. 几何方程几何方程xyzxyyxyzzyzxxzuxvywzvuxywvyzwuxz)(21,ijjiijuu 3. 物理方程物理方程223222322232xxyyzzxyxyyzyzzxzxGGGGGGGGGGGG 各种弹性常数之间的关系各种弹性常数之间的关系,2 111 23 1 2EEEGKzyxkk zyx ijijijG 2zxzxyzyzxyxyzzyyxxGGGGGG 2224. 相容方程相容方程222222

2、222222222222222yxyxyyzzxzxzyzxyxzxyyzxyzxyzxyzxzyxx yzyy zxzx zy zxxyzz xyxyzx yzxyz 求解物理量：求解物理量：6个应力分量个应力分量 6个应变分量个应变分量 3个位移分量个位移分量共15个未知量用于求解的方程：平衡微分方程用于求解的方程：平衡微分方程 3个个 几何方程几何方程 6个个 本构方程本构方程 6个个共15个方程15个基本方程求解个基本方程求解15个未知量，数学上有解。个未知量，数学上有解。协调方程是应变解的条件，保证变形前后物体连续。协调方程是应变解的条件，保证变形前后物体连续。微分方程求解过程需要积

3、分，积分常数由边界条件确微分方程求解过程需要积分，积分常数由边界条件确定。定。5. 边界条件：边界条件：位移边界条件：对于给定的表面位移边界条件：对于给定的表面Su，其上沿，其上沿x，y，z方向给定位移为方向给定位移为 ，则，则wwvvuu,wvu,应力边界条件：给定表面上的面力为应力边界条件：给定表面上的面力为zyxTTT,zzyzxzyyzyxyxxzxyxTnmlTnmlTnml 弹性力学问题求解也称为弹性力学边值问题求解弹性力学问题求解也称为弹性力学边值问题求解 求解弹性力学问题有位移法、应力法和应力函求解弹性力学问题有位移法、应力法和应力函数法三种方法。数法三种方法。1. 位移法：位

4、移法：以位移作为基本未知量用，位移表述平以位移作为基本未知量用，位移表述平衡方程衡方程位移法控制方程位移法控制方程2. 应力法：应力法：以应力作为基本未知量。将以应力作为基本未知量。将相容方程相容方程用用应力表示应力表示应力控制方程应力控制方程3. 应力函数法：应力函数法：先引入应力函数，先引入应力函数，相容方程用相容方程用应力应力函数表示函数表示应力函数表示的控制方程。应力函数表示的控制方程。7-2 7-2 弹性力学求解方法弹性力学求解方法1. 位移法：位移法：将几何方程代入物理方程，得到用位移将几何方程代入物理方程，得到用位移表示的应力分量，再将应力分量代入平衡方程和应力边表示的应力分量，

5、再将应力分量代入平衡方程和应力边界条件，即界条件，即得到空间问题的位移法控制方程。得到空间问题的位移法控制方程。不需要用不需要用相容方程。相容方程。222()0()0()0 xyzGuGXxGuGYyGuGZzxyzyxzuuuxyz2222222xyz 力边界条件也可用位移表述。力边界条件也可用位移表述。位移控制方程指标表示：位移控制方程指标表示：2,()0ij jiiGuG uF 3个位移表述的平衡微分方程，包含个位移表述的平衡微分方程，包含3个位个位移未知数。移未知数。 结合边界条件，解上述方程，可求出位移分结合边界条件，解上述方程，可求出位移分量，由几何方程求应变，再由本构方程求应力。

6、量，由几何方程求应变，再由本构方程求应力。2. 应力解法：将由应力表示的应变本构方程式代应力解法：将由应力表示的应变本构方程式代入协调方程式，得应力表示的协调方程入协调方程式，得应力表示的协调方程（应力控（应力控制方程）。制方程）。222211222221122222112110011110011110011xxyyyzzzxIIxx yIIxy zIIxz x 2,101ijkk ij3. 应力函数法：应力函数法：先引入应力函数，满足微分平衡方先引入应力函数，满足微分平衡方程。由微分平衡方程得应力函数与应力分量的关系，程。由微分平衡方程得应力函数与应力分量的关系，再将用应力函数表示的应力分量

7、代入再将用应力函数表示的应力分量代入相容方程相容方程，得到，得到一组用应力函数表示的相容方程，即应力函数表示的一组用应力函数表示的相容方程，即应力函数表示的控制方程。控制方程。一、解的叠加原理一、解的叠加原理7-1 7-1 弹性力学解的性质弹性力学解的性质 实际结构件往往同时受到几组载荷作用，如果实际结构件往往同时受到几组载荷作用，如果直接求所有载荷作用下的弹性力学问题的解，可直接求所有载荷作用下的弹性力学问题的解，可能很复杂。而求单一载荷作用下的弹性力学问题能很复杂。而求单一载荷作用下的弹性力学问题的解，一般更简单。的解，一般更简单。 通过求不同单一载荷作用下的弹性力学问题的通过求不同单一载

8、荷作用下的弹性力学问题的解，再用叠加方法获得复杂载荷的解的过程称为解，再用叠加方法获得复杂载荷的解的过程称为解的叠加原理。解的叠加原理。 叠加原理：弹性体受几组外力同时作用时的解叠加原理：弹性体受几组外力同时作用时的解等于每一组外力单独作用时对应解的和。等于每一组外力单独作用时对应解的和。说明：1、数学上可证明, 当为线弹性小变形情况，求解的基本方程和边界条件为线性，叠加原理成立。2、对大变形情况，几何方程出现二次非线性项，平衡微分方程将受到变形的影响，叠加原理不再适用。3、对非线弹性或弹塑形材料，应力应变关系是非线性的，叠加原理不成立。4、对载荷随变形而变的非保守力系或边界为用非线性弹簧支承

9、的情况，边界条件是非线性的，叠加原理也将失效。二. 解的唯一性定理： 在给定载荷作用下，处于平衡状态的弹性体，其内部各点的应力、应变解是唯一的，如物体刚体位移受到约束，则位移解也是唯一的。 无论何方法求得的解，只要能满足全部基本方程和边界条件，就一定是问题的真解。证明：（略）自学：教材【弹性力学】P：25 教材【弹塑性力学】P：175三三.圣维南原理圣维南原理: 提法一：若在物体的一小部分区域上作用一自平衡力系，则提法一：若在物体的一小部分区域上作用一自平衡力系，则 此力系对物体内距该力系作用区域较远的部分不产生此力系对物体内距该力系作用区域较远的部分不产生影响只在该力系作用的区域附近才引起应力和变形。影响只在该力系作用的区域附近才引起应力和变形。提法二：若在物体的一小部分区域上作用一自平衡力系，该提法二：若在物体的一小部分区域上作用一自平衡力系，该力系在物体中引起的应力将随离力系作用部分的距离力系在物体中引起的应力将随离力系作用部分的距离的增大而迅速衰减，在距离相当远处，其值很小，可的增大而迅速衰减，在距离相当远处，其值很小，可忽略不计。忽略不计。提法三：若作用