第二节 行列式的性质

1、音乐音乐第二节第二节21 1、行列式的性质、行列式的性质 行列式与它的转置行列式相等，即行列式与它的转置行列式相等，即行列式行列式 称为行列式称为行列式 的转置行列式的转置行列式. TDDnnaaa2211nnaaa21122121nnaaa TDnnaaa2211 D记记2121nnaaannaaa2112DT=D证略证略说明说明 行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位, ,因此行列式因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立的性质凡是对行成立的对列也同样成立. .，3 交换行列式的两行交换行列式的两行( (列列),),行列式的值变号行列式的值变号. .例如例如,5715

2、71 266853.825825 361567567361266853证略证略推论推论 如果行列式有两行如果行列式有两行( (列列) )完全相同，则此行列完全相同，则此行列式为零式为零. .证明证明互换相同的两行，有互换相同的两行，有 . 0 D,DD 4 行列式的某一行行列式的某一行( (列列) )中所有的元素都乘以中所有的元素都乘以同一数同一数k，等于用数等于用数k乘此行列式乘此行列式, , 即即证略证略nnnniniinaaakakakaaaa212111211nnnniniinaaaaaaaaak212111211 行列式的某一行行列式的某一行(列列)中所有元素若有公因子中所有元素若有

3、公因子, 可以提到行列式符号的外面可以提到行列式符号的外面如果行列式有两行如果行列式有两行(列列)的对应元素成比例的对应元素成比例, 则则行列式的值等于零行列式的值等于零.5性质性质4 4若行列式的某一列若行列式的某一列( (行行) )的元素都是两数之和的元素都是两数之和. .nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaaD)()()(2122222211111211 则则D等于下列两个行列式之和：等于下列两个行列式之和：nnninnininnninniniaaaaaaaaaaaaaaaaaaD 122211111122211111例如例如注意注意: 只能拆一行或一列只能拆一行或一

4、列.证证略略6性质性质5把行列式的某一列把行列式的某一列(行行)的各元素乘以同一数的各元素乘以同一数k后加到另一列后加到另一列(行行)对应的元素上去，行列式不变对应的元素上去，行列式不变njnjninjjinjiaaaaaaaaaaaa12222111111njnjnjninjjjinjjijiaakaaaaakaaaaakaaakcc)()()(1222221111111 k例如例如列列 column行行 row证证略略72 2、利用行列式性质计算行列式、利用行列式性质计算行列式例例1 1证明证明3332221113333332222221111112cbacbacbaaccbbaaccbb

5、aaccbba 由性质由性质4 4， 证证上式左边上式左边 333332222211111333332222211111accbbaccbbaccbbaccbaaccbaaccba 333322221111333322221111333322221111333322221111accbaccbaccbacbbacbbacbbacbaacbaacbaccbaccbaccba 8由性质由性质2 2推论，第二、第三个行列式的值为推论，第二、第三个行列式的值为0 0； 再由性质再由性质4 4，把第一、第四个行列式分别拆成两个行列，把第一、第四个行列式分别拆成两个行列式之和并化简后，式之和并化简后， 上

6、式上式333222111333222111acbacbacbcbacbacba .2333222111cbacbacba 333322221111333322221111333322221111333322221111accbaccbaccbacbbacbbacbbacbaacbaacbaccbaccbaccba 9例例2 计算计算n阶行列式阶行列式.abbbbabbbbabbbbaD 解解abbbnababbnabbabnabbbbna)1()1()1()1( D将第将第 列都加到第一列得列都加到第一列得n, 3 , 210abbbabbbabbbbna1111) 1( babababbbbna 1) 1(00.)()1(1 nbabna每行减去第一行每行减去第一行11例例3 计算计算n阶行列式阶行列式解解naaa 11111111121), 2 , 1,0(niai nnnnaaaaaaaaaaa1111111111112121211 原原式式12ninininaaaaaaaaaaa111111111111112221 每每列列加加到到第第一一列列nnnnaaaaaaaaaaa1111111111112121211 原原式