第四节函数展开成幂级数PPT学习教案

1、会计学1第四节函数展开成幂级数第四节函数展开成幂级数 0 00 0设设幂幂级级数数的的收收敛敛半半径径为为和和函函数数为为(),nnnaxxRs x 0000000 0即即 ( )() ,.nnns xaxxxxR xR 上节例题上节例题()ln()()nnnxxxn 1 10 011111111( )()nnns xaxx 0 00 0 上上式式表表明明为为该该幂幂级级数数的的和和函函数数，此此外外还还表表明明：s x第1页/共45页 (1)(1)函函数数具具有有幂幂级级数数这这样样一一种种表表达达式式，从从而而可可以以利利用用这这一一表表达达式式来来研研究究函函数数；s xs x2 20

2、01 10 02 20 00 02 2次次多多项项式式是是该该幂幂级级数数的的前前1 1项项部部分分和和，( )( )()()()nnnnP xaaxxaxxaxxn 0 00 0则则lim( )( ),nnP xs xxxR xR 0 0即即时时，。( )( )nxxRs xP x这就是用这就是用多项式近似表达函数多项式近似表达函数 0 0称称为为函函数数在在点点 的的邻邻次次近近似似多多项项式式域域内内的的。( )( )nP xf xxn第2页/共45页是否存在幂级数在其收敛域内以是否存在幂级数在其收敛域内以f(x)为和函数为和函数？问题问题:2.如果能展开如果能展开, 是什么是什么?na

3、3.展开式是否唯一展开式是否唯一?1.在什么条件下才能展开成幂级数在什么条件下才能展开成幂级数?给给定定函函数数，( )f x把把函函数数这这一一问问题题称称为为。展展开开成成幂幂级级数数( )f x第3页/共45页给给定定函函数数，( )f x 00000 00000如如果果幂幂级级数数在在 的的某某个个邻邻域域内内的的和和函函数数为为(),nnnaxxxxr xrfx 0 00 00 01 1即即1 1( ),nnnf xaxxxxr xr 0 0则则称称函函数数在在点点处处可可展展开开成成幂幂级级数数。( )f xx 0 0且且 1 1 式式称称函函数数在在点点处处的的幂幂级级数数展展开

4、开。( )f xx第4页/共45页根据幂级数的和函数的性质，当（根据幂级数的和函数的性质，当（1 1）式成立时，）式成立时， 0 00 0在在内内，,xr xr 有有任任意意阶阶导导数数，( )f x 0 0且且1 11 1，( )()()n kknn kfxn nnkaxx 0 00 00 01 10 0于于是是 (),(),()!,kkf xafxafxk a 0 01 1即即1 1 2 2(), ,!kkafxkk 第5页/共45页结论结论0 0如如果果函函数数在在点点处处可可展展开开成成幂幂级级数数，( )f xx0 0那那么么在在 的的邻邻域域内内必必有有任任意意阶阶导导数数，( )

5、xf x 2 20 00 00 00 00 00 00 01 12 2且且其其展展开开式式必必是是幂幂级级数数1 12 2( )()()()()()!()()!nnf xfxxxfxxxfxxxk 幂幂级级数数 2 2 称称为为函函数数。勒勒级级数数的的泰泰( )f x0 0记记0101，( )( )( ), !fxf x 0 00 00 02 2 式式可可简简记记为为。1 1( )()!nnnfxxxn 第6页/共45页 0 00 0设设函函数数在在内内有有任任意意阶阶导导数数，( ),f xxl xl 那那么么总总可可作作出出的的泰泰勒勒级级数数 2 2( ).f x 假假设设级级数数 2

6、 2 的的和和函函数数为为，( )s x那那么么与与是是否否恒恒等等？( )( )s xf x回回答答：与与不不一一定定恒恒等等( )( )s xf x0 0即即与与可可能能恒恒等等，也也可可能能仅仅在在一一点点处处相相等等。( )( )s xf xxx 则则必必有有。( )( )s xf x 第7页/共45页21,0( )0,0 xexf xx 例例如如( )(0)0(0,1,2,)nfn且且( )nnf xxx 0 0在在 =0=0处处的的展展开开级级数数为为0 0(,) 可见可见,( )( ).xf xf x 除除0 0 外外的的展展开开级级数数处处处处不不收收敛敛于于在在x=0点任意可

7、导点任意可导,该级数在该级数在 内和函数内和函数 。( ) 0.s x 第8页/共45页初等函数展开定理初等函数展开定理0 0则则函函数数在在点点处处可可展展开开成成幂幂级级数数，( )f xx 0 00 00 00 00 01 1且且有有展展开开式式3 3( )( )()!,nnnf xfxxxnxxr xr 其其中中，min ,rl R 为为 3 3 式式右右端端的的幂幂级级数数的的收收敛敛半半径径。R 0000在在端端点点及及处处，如如果果级级数数收收敛敛且且也也有有定定义义，则则展展开开式式 3 3 在在该该端端点点处处也也成成立立。( )xxlxxlf x第9页/共45页定理表明，对

8、于初等函数来说，它的泰勒级数就是定理表明，对于初等函数来说，它的泰勒级数就是它的幂级数展开式。它的幂级数展开式。 0 0把把初初等等函函数数展展开开成成的的幂幂级级数数的的步步骤骤：( )f xxx 0 0（1 1）在在 的的邻邻域域内内求求出出的的各各阶阶导导数数，( )xf x0 0进进而而求求出出0 0 1 1 2 2，( )()(, , ,)kfxk 并写出展开式（3）； 00002 2 求求出出（3 3）式式右右端端泰泰勒勒级级数数的的收收敛敛半半径径 及及的的任任意意阶阶导导数数的的存存在在区区间间，( )( ),Rf xxl xl令令，min ,rl R 0 00 0则则展展开开

9、式式（3 3）在在内内成成立立。,xr xr 0000在在端端点点及及处处，如如果果级级数数收收敛敛且且也也有有定定义义，则则展展开开式式 3 3 在在该该端端点点处处也也成成立立。( )xxlxxlf x第10页/共45页0 0下下面面只只讨讨论论0 0的的情情形形。x 0 00 00 0当当0 0时时，令令，求求得得在在0 0处处的的幂幂级级数数展展开开式式，也也就就求求得得在在处处的的展展开开式式。( )()( )( )xF tf xtF ttf xxx 0 00 01 1当当0 0时时，（3 3）式式化化为为0 0（4 4）( )( )( )!,nnnxf xfxnxr r 麦麦克克劳

10、劳林林展展开开式式4 4 式式称称为为的的，( )( )f x（4 4）式右端的级数称为）式右端的级数称为麦克劳林级数麦克劳林级数。 第11页/共45页第12页/共45页例例1解解( ).xf xe 求求的的麦麦克克劳劳林林展展开开式式( )( ),nxfxe ( )(0)1.(0,1,2,)nfn (0,1,2,)n 21112!xnexxxn再求级数的收敛半径再求级数的收敛半径。2 211111 12 2(,)!xnexxxxn 为为初初等等函函数数，( )xf xe 1 11 10 01 1limlim,nnnnaan .R 又又在在有有任任意意阶阶导导数数，( ),xf xe 第13页

11、/共45页例例2.sin)(的幂级数的幂级数展开成展开成将将xxxf 解解( )( )sin(),2nnfxx( )(0)sin,2nnf (2 )(0)0,nf(21)(0)( 1) ,nnf (0,1,2,)n 213511sin( 1)3!5!(21)!nnxxxxxn (,)x 2121353511111 135213521sin()!()!nnxxxxxn 显显然然级级数数的的收收敛敛半半径径为为.R 又又在在有有任任意意阶阶导导数数，( )sin,f xx 第14页/共45页例例3将将1 1展展开开成成 的的幂幂级级数数( )() ().f xxRx 解解( )( )()()(),

12、nnfxnx 11 111 1 ( )( )()(),nfn011011 (0,1,2,)n ()()()!nnxxxn2 21111111 12 2 1limnnnaa limnnn 1 1 1, 1,R 第15页/共45页若若内内在在,)1 , 1( ()()( )!nns xxxn 11111 1 ()()( )()()!nns xxxn 1 111111 11 1 ()()( )()()!nnxs xxxxn 2 211111 11 1 (1)(1)(1)()(1)(1)(1)!mmnmmnm mmnnnn 利利用用第16页/共45页(1) ( )x s x ()()()!nnxxxn

13、 2 22212211111112 2 ( )s x ( ),( )s xs xx 1 1 (0)1.s 且且两边积分两边积分( ),( )xxs xdxdxs xx 00001 1 ( 1,1)x 得得ln ( )ln ( )ln(),s xsx0101 第17页/共45页即即ln ( )ln() ,s xx 1 1( )() ,s xx 1 11 11 1(, )x 2 21 11111111 12 2()()()()!nxnxxxn ( 1,1)x 二项展开式二项展开式注意注意: :.x 在在1 1处处收收敛敛性性与与 的的取取值值有有关关(, ); 1 1收收敛敛区区间间为为1 11

14、1(, ; 1111收收敛敛区区间间为为1 11 1, . 1 1收收敛敛区区间间为为1 11 1第18页/共45页有有时时当当,21, 1 2311( 1)( 1,1)1nnxxxxx 23111 3(23)!11( 1)22 42 4 6(2 )! 1,1nnnxxxxxn 23111 31 3 5(21)!1( 1)22 42 4 6(2 )!1( 1,1nnnxxxxnx 双阶乘双阶乘第19页/共45页1.1.直接法直接法( (泰勒级数法泰勒级数法) )0 0直直接接按按公公式式计计算算幂幂级级数数的的系系数数，求求得得初初等等函函数数的的幂幂级级数数展展开开式式。( )()!nnfx

15、an 第20页/共45页2.2.间接法间接法根据唯一性根据唯一性, 利用常见展开式利用常见展开式, 通过通过变量代换变量代换, 四则运算四则运算, 恒等变形恒等变形, 逐项求导逐项求导, 逐项积分逐项积分等方等方法法,求展开式求展开式.例如例如cos(sin )xx 22411cos1( 1)2!4!(2 )!nnxxxxn (,)x 213511sin( 1)3!5!(21)!nnxxxxxn 第21页/共45页20arctan1xdxxx 213511( 1)3521nnxxxxn 1,1x 0ln(1)1xdxxx 23111( 1)23nnxxxxn ( 1,1x 第22页/共45页例

16、例42 21 1将将展展开开成成 的的幂幂级级数数6 6( ).f xxxx 解解111111111111111111325325323253253211113232( ),()()f xxxxxxx0 011113 33 33 31 13 3,(, )nnnxxx 0 011112 22 22 21 12 2,(, )nnnxxx 000011110 0111111111153322533221 111112 22 2532532( ),(, )nnnnnnnnnnnf xxxxx 第23页/共45页例例5 ( )ln.f xxxx将将1111展展开开成成 的的幂幂级级数数解解 方法一 1

17、11 11 11 1( )()nnnf xxxn 利用展开式， 容容易易求求得得右右端端级级数数的的收收敛敛域域为为1 1 1 1 ，, 但但在在1 1处处没没有有意意义义，( )f xx 故故展展开开式式的的成成立立区区间间为为1 1 1 1。(, 111111111111nnnnnnxxxnn 11111 111111111nnnnnnxxnn 1111121211111 1nnnnnnxxnn 2 211111 11 1nnnxxnn 2 21 11 1()nnnxxn n 第24页/共45页方法二 1 11 1( )ln()fxx 利用展开式， 1 11 11 11 11 1 1 1(

18、 ),(, nnnfxxxn 从从0 0到到 积积分分，得得x 1 11 11 10 01 1 1 11 1( )( ),(, ()nnnf xfxxxn n 2 21 1即即1 1 1 11 1( ),(, ()nnnf xxxxn n 第25页/共45页例例6把把展展开开成成的的幂幂级级数数。4 4( )sinf xxx 解解令令，4444,xt xt1 1则则，44442 2( )()sin()(sincos )f xftttt 21221200002323111111421242122 21111111 123232 2()()in()()!()!,!s!kkkkkktttkktttt

19、 sin( ),!,xxxxx 23231111111 142434424342 2 利用展开式， 第26页/共45页 00000 0( ),nnnf xaxxxxR 则则在在区区间间 上上有有I求求得得多多项项式式的的函函数数值值，( )nP x即即为为函函数数值值的的近近似似值值。( )f x三、幂级数展开式在近似计算上的应用三、幂级数展开式在近似计算上的应用如如果果函函数数有有展展开开式式( )f x2 20 01 10 02 20 00 0( )( )()()()nnnf xP xaa xxaxxaxx 第27页/共45页计计算算某某数数 的的近近似似值值的的步步骤骤：A选选函函数数1

20、 1取取一一个个，( )( )f x0 02 2取取某某选选，点点( )x0 01010 使使易易求求0 1 20 1 2，并并使使尽尽可可能能的的小小；( )()(, , ,)kfxkxx 1 1使使；()Af x 00003 3 令令( ),txxxxt0 0把把展展开开成成 的的幂幂级级数数，()f xtt 0 00 0设设为为，()nnnf xta t 110110当当时时，ttxx0 01 11 10 0得得；()nnnAf xta t 4 4 根根据据精精确确度度的的要要求求, ,适适当当取取 ，选选( )n2 20 01 11 10 01 1 1 12 2 1 11 1按按，()

21、( )nnnAf xtP taa ta ta t 计计算算 的的近近似似值值。A第28页/共45页1 11 11 11 11 1这这里里 与与的的相相差差为为余余项项( )( ),knnkk nAP trta t 1 11 11 1称称为为用用表表断断差差示示。截截的的误误( )( )nnrtP tA 1 1在在计计算算的的值值时时，还还有有因因四四舍舍五五入入而而产产生生的的计计算算。误误差差( )nP t因此求得的近似值应使这两种误差之和满足精确度的因此求得的近似值应使这两种误差之和满足精确度的要求。要求。第29页/共45页例例74 45 5求求2 24 45 5的的近近似似值值，误误差差

22、不不超超过过1 10 0 。A 解解1 15 5令令 ( ),f xx 则则2 24 45 5().Af 5 532433243, 0 0取取243243.x110110令令24322432,txtxx 1 15 51 15 52433 12433 1243243( ),tf xt利用二项展开式，有0 0232311 141 14911 141 1493 13 15 2432 552433 5552435 2432 552433 555243(),!f xtttt 第30页/共45页1 1当当2 2时时，得得tt 232323231 2424 921 2424 923 13 15 2432 5

23、2433 52435 2432 52433 5243,!A 取取1 1，n 由于这是一个交错级数，故截断误差2 22 24 42 23 32 24 42 22 24 41 13 30 0 2 2 1 10 02 2 5 52 24 43 32 25 52 24 43 3.!ru 1 1 2 22 23 31 13 35 5 2 24 43 35 5 8 81 1A 计算取5位小数，再四舍五入， 4 4保保证证计计算算误误差差小小于于0 0 5 5 1 10 0 ，. 得得3 3 0 00 04 49 93 33 3 0 00 04 49 9。.A 第31页/共45页例例84 4求求1 18 8

24、 的的近近似似值值，误误差差不不超超过过1 10 0 。sin 解解3 35 52 21 11 11 11 13 35 52 21 1()sin!()!nnxxxxxn 令令得得1010,x 352135211111111010310510211010103105102110()sin,!()!nnn 3 31 110103101010310sin,!这是一个交错级数，若取前两项，得第32页/共45页截断误差 5 55 54 43 31 11 10 0 3 32 20 0 3 3 1 10 05 51 10 01 12 20 0.,!r 计算取5位小数，再四舍五入，得 3 31 1得得1 18

25、 80 0 3 30 09 90 0。1 10 03 31 10 0sin.! 3 31 10 314160 005170 314160 005171031010310.,.,!第33页/共45页例例9 计算计算e的近似值，精确到小数点后四位。的近似值，精确到小数点后四位。解解 在在e e的展开式中令的展开式中令 ，就得到。，就得到。若取前n项的和作为e的近似值，其误差为只要取n=7，则 ，于是。x 1 1 ()( ),!nnnfernn 1 11 1110 1110 11111( )!ner 4 43113111 1881344010881344010.!e 1111111 12 71821

26、 12 7182237237第34页/共45页例例10 计算定积分计算定积分 的近似的近似值，精确到小数点后第四位。值，精确到小数点后第四位。解解 因为被积函数因为被积函数 不能用初等函数表示，所不能用初等函数表示，所以我们采用它的幂级数展开式来求定积分的近似以我们采用它的幂级数展开式来求定积分的近似值。值。.xedx 2 21 12 20 021210 564190 56419xe 2 2!xxxedxxdx 2 2111146462 22222000022221 12323!xxdxx dxdxdxdx 111111111146462 222222222220000000000246246

27、2 21 1232321111211111 122325 227 322325 227 3 第35页/共45页括号内的式子是满足莱布尼兹准则收敛条件的交括号内的式子是满足莱布尼兹准则收敛条件的交错级数，由于错级数，由于所以取前所以取前4 4项作为近似值即可，项作为近似值即可，!r 4 44 48 81111101029 429 4 !xedx 2 21 12 22462460 02211112211111 122325 227 322325 227 3 . 0 56419 10 083330 006250 000370 56419 10 083330 006250 000370 52050 5

28、205第36页/共45页例例11 计算定积分计算定积分 的近似值，精确到的近似值，精确到小数小数点后第四位。点后第四位。解解 因为因为 ，如果补充被积函数在，如果补充被积函数在 处的函数值为处的函数值为1 1，则被积函数就是，则被积函数就是 上的连续上的连续函函数。但由于数。但由于 的原函数是无法用初等函数来表的原函数是无法用初等函数来表示的，所以采用它的幂级数展开式来求积分。示的，所以采用它的幂级数展开式来求积分。将被积函数展开为将被积函数展开为对幂级数展开式逐项积分对幂级数展开式逐项积分sin xdxx 1 10 0sinlimxxx 0 01 1x 0 0 , 0 10 1sin xxs

29、in!xxxxx 2462461 1357357sin!xdxx 1 10 01111111 13 35 57 73 35 57 7第37页/共45页根据交错级数的误差估计根据交错级数的误差估计 因此，因此，只只要取前三项作为积分的近似值便可，即要取前三项作为积分的近似值便可，即 !r 4 43 31 110107 77 7sin.!xdxx 1 10 01111110 05550 001670 9461110 05550 001670 94613 35 53 35 5第38页/共45页1.如何求函数的泰勒级数如何求函数的泰勒级数;2.泰勒级数收敛于函数的条件泰勒级数收敛于函数的条件;6.幂级数展开式在近似计算上的应用幂级数展