《Excel 统计分析与决策（于洪彦）》 参数估计

1、第六章 参数估计本章内容6.1 参数估计的根本内容 6.2 总体均值区间估计6.3 利用Excel理解区间估计6.4 总体比例区间估计6.5 总体标准差及方差的估计下一页返回目录16.1 参数估计的根本内容 参数估计主要内容是通过统计量估计总体参数。参数估计的方法有两种，即点估计与区间估计。点估计就是以单个数值对总体参数做出估计。 区间估计即在结论中指出未知总体参数所在区间 的上下限，并给出估计结论的可靠性 。上一页下一页返回本章首页2 6.2 总体均值区间估计 6.2.1 总体均值区间估计的根本内容 6.2.2 利用Excel计算总体均值置信区间 6.2.3 必要样本容量的计算公式 6.2.

2、4 利用Excel计算必要样本单位数上一页下一页返回本章首页3 当总体方差2时总体均值的区间估计 对于给定的显著性水平，可以构造均值的置信区间为：6.2.1 总体均值区间估计的根本内容 总体方差未知时总体均值的区间估计 对于给定的显著性水平，总体均值的置信区间为： 上一页下一页返回本节首页4 6.2.2 利用Excel计算总体均值置信区间例 某工厂想检验一批灯泡的质量，抽取10个样本对其耐用小时进行 检测，结果如下： 1326 1336 1351 1365 1209 1343 1259 1365 1308 1349 试以95%的置信度估计这批灯泡的平均耐用小时。翻开“第6章 参数估计.xls“

3、工作薄，选择“均值工作表，如下图。上一页下一页返回本节首页5选择单元格D1，在“插入菜单中选择“函数选 项，翻开“粘贴函数对话框如下图。上一页下一页返回本节首页6在“函数分类列表中选择“统计，在“函数名列表中选 择计数函数COUNT。单击“确定按钮，翻开计数函数 对话框如下图。上一页下一页返回本节首页7在value1中输入数据范围。单击A列列头，或输入“A:A，这相当于选择整个列，包括标题和所有的空单元格。单击“确定按钮。单元格D1中会显示结果为10，即A列中数据的个数 在单元格D2中输入公式“=AVERAGE(A:A)，计算A列的均值，显示值为1321.1。 在单元格D3中输入公式“=STD

4、EV(A:A)，计算A列的标准差，显示值为50.38397。上一页下一页返回本节首页8在单元格D4中输入公式 “=D3/SQRT(D1)，计算标准误差，即标准差除以样本容量的平方根，D4中显示15.932.81。在单元格D5中输入置信度95%，注意加上百分号。 在单元格D6中使用TINV函数计算在95%置信度和自由度下的t值。选择单元格D6，在“插入菜单中选择“函数选项，翻开“粘贴函数对话框。上一页下一页返回本节首页9在“函数分类列表中选择“统计，在“函数名列表中选 择TINV函数。单击“确定按钮，翻开TINV函数对话框 如下图。在“Probability中输入“1D5，所显示的值是0.05。

5、；在“Deg_freedom中输入自由度的表达式，即“D11，所显示值是9，单击“确定按钮，单元格D6中显示值为2.262159。 上一页下一页返回本节首页10在单元格D7中输入计算抽样极限误差t的公式，它是t值和标准误差的乘积，公式为“=D6*D4，显示值为36.04255。在单元格D8和D9中输入计算置信区间上限和下限的公式，下限为样本均值减抽样极限误差，上限为样本均值加抽样极限误差。其公式分别为“=D2-D7和“=D2+D7，显示值为1285.057和1357.143。这样，总体均值的95%的置信区间为：上一页下一页返回本节首页11总体均值区间估计结果如下图： 置信度越高，下限值越低，上

6、限值越高，置信区间越宽；反之，置信度越低，置信区间越小。上一页下一页返回本节首页12 必要样本容量的计算公式样本量n的大小为：从上式可以看出，必要样本容量 n与总体方差、抽样极限误差，置信水平之间具有下述关系：在其他条件不变的情况下，总体方差越大，必要样本容量n便越大，必要样本容量与总体方差成正比；置信水平越大，必要样本容量便越大，二者成正方向关系；抽样极限误差越大，样本容量就越小，二者成反方向关系。 上一页下一页返回本节首页13 6.2.4 利用Excel计算必要样本单位数例 某快餐店想在置信度为96%的条件下估计午餐时 间每位顾客的平均支出，根据过去经验，每个顾 客平均支出的标准差不超过5

7、元，要抽取多少样 本才能使其抽样极限误差不超过2元呢?翻开“第6章 参数估计.xls工作簿，选择 “样本容量工作表，如下图：上一页下一页返回本节首页14 在单元格B1中输入极限误差2，在单元格B2中输入置信度0.96(或96%)。 在单元格B4中输入标准差5。单元格B3中需要输入与B2中置信度相对应的Z值。使用NORNSINV函数，可以把左侧概率转换成Z值。上一页下一页返回本节首页15 在单元格B3中输入公式“=NORMSINV(B2)， 计算与B2的置信度相应的左侧Z值。显示对 应于96%的置信度的Z值为1.750686。 在B5单元格中根据上面样本容量的计算公式， 输入公式“=(B32*B

8、42)/B12 计算样本容 量，显示值为19.15564。 在B6单元格输入“=CEILING(B5,2)，显示 值为20。上一页下一页返回本节首页16 计算结果如下图：上一页下一页返回本节首页17上一页下一页返回本章首页 6.3.1 利用Excel模拟区间估计 6.3.2 利用随机数发生器生成样本 6.3.3 区间估计的含义 6.3.4 案例研究：市场研究中使用区间估计6.3 利用Excel理解区间估计的含义18 6.3.1 利用Excel模拟区间估计翻开“第6章 参数估计.xls工作簿，选择“模拟区间工作表。在单元格A1中输入“样本，在P1:V1各单元格中分别输入“均值、“标准差、“标准误

9、差、“t 值、“估计下限、“估计上限、“逻辑函数，在单元格Y1中输入“置信度。在单元格Y2中输入置信度95%，它表示有95%样本所构造的置信区间包含总体均值。在单元格A2中输入65。选择A2，在“编辑菜单中选择“填充选项，在填充选项中选择“序列，翻开序列对话框如下图。上一页下一页返回本节首页19 在“序列产生在框中选择“行，在步长值中输入5，在终止值中输入135，单击“确定按钮。数据出现在A2：O2区域中。上一页下一页返回本节首页20在单元格P2中输入公式为“=AVERAGE(A2:O2)，计算样本的均值，显示的值是100。在单元格Q2中输入公式“=STDEV(A2:O2)，计算样本的标准差。

10、显示的值是22.36068。 在单元格R2中输入公式“=Q2/SQRT(15)，计算标准误差，即样本标准差除以15的平方根，显示值为5.773503。上一页下一页返回本节首页21 选定单元格S2，在“插入菜单中选择“函数选项， 翻开“粘贴函数对话框。在“函数分类列表中选择 “统计，在“函数名列表中选择函数TINV。单击 “确定按钮，翻开TINV函数对话框如下页图所示。上一页下一页返回本节首页22在Probability中输入1$Y$2，Y2要绝对引用，在Deg_freedom中输入151。单击“确定按钮后，在单元格S2中显示的值是2.144789。在单元格T2中输入公式“=P2-S2*R2，以

11、计算估计下限，其值为87.61706。在单元格U2中输入公式“=P2+S2*R2，以计算估计下限，其值为112.3829。在V列输入函数用来确认置信区间是否包括总体均值100。显然如果满足两个条件，即单元格T2的值下限一定小于或等于100，单元格U2的值上限一定大于或等于100。那么置信区间便包括100。利用逻辑函数可以完成这个任务。操作如下：上一页下一页返回本节首页23选择单元格V2，在“插入菜单中选择“函数选项，翻开“粘贴函数对话框。在“函数分类列表中选择“逻辑选项，在“函数名列表中选择“AND函数，单击“确定，翻开AND函数对话框如下页图所示。上一页下一页返回本节首页24 在“Logic

12、al1中输入表达式“t2=100。表中估计下限T2的值是87.61706，小于100，估计上限U2的值是112.3829，大于100，所以计算结果为真，显示为“TRUE，单击“确定按钮，计算结果如下图。上一页下一页返回本节首页25 6.3.2 利用随机数发生器生成样本随机数发生器可以采用不同的分布抽取样本，这里采用正态分布，并假定总体的均值为100，标准差为15。 操作如下：翻开“第6章 参数估计.xls工作簿，选择“模拟区间工作表。上一页下一页返回本节首页26 单击“工具菜单的“数据分析选项，翻开“数据分析对话框。从“分析工具栏中选择“随机数发生器，单击“确定按钮，翻开“随机数发生器对话框如

13、下图。上一页下一页返回本节首页27在“变量个数中输入15，在“随机变量个数中输入1000，这将生成1000个样本量为15的随机样本。在“分布对话框中选择“正态选项。在“参数对话框中的“平均值中输入100，“标准偏差中输入15。在“输出选项中选择“输出区域，输入地址A2，这样第一组数据将取代先前建立的样本数据，并以A2作为初始地址。单击“确定按钮，由于第一个样本取代了已存在的数据，Excel将翻开一个警告窗口。在警告窗中单击“确定按钮。上一页下一页返回本节首页28 将单元格P2：V2的公式复制到P2：V1001区域中 的各个单元格中。 复制完成，V列中大局部单元格中都显示为TRUE，如下图。上一

14、页下一页返回本节首页296.3.3 区间估计的含义 下面利用V列的逻辑函数确认是否大局部样本所构造的置信区间包含总体均值100。在W4到W6的单元格中分别键入:“正确估计、 “错误估计和“总计。在X3和Y3单元格中分别键入“次数和“百分比。上一页下一页返回本节首页30 选择单元格X4，输入条件计数函数公式 “=COUNTIF(V2:V1001,TRUE)。该公式计算V2： V1001范围内出现“TRUE的个数。在X4单元格中 的数值近似于950。 选取单元格X5，输入条件计数函数公式 “=COUNTIF(V2:V1001,FALSE)。该公式计算在 V2:V1001范围内的出现“FALSE的次

15、数，在X5单元 格中的数值近似于50。 选择单元格X6，单击自动求和按钮，按回车键，出 现TRUE的单元格中的次数与出现FALSE的单元格的 次数加总应为1000。上一页下一页返回本节首页31选择Y4单元格，键入公式“=X4/$X$6，把X4中的次数转化为一个比值。在Y5单元格中输入“=X5/$X$6以对X5作相同的转换.。选择Y6单元格，单击自动求和按钮，按回车键。显示Y4和Y5中的合计数，它们的和应该等于1。全部计算结果如下图。上一页下一页返回本节首页32上图说明，在1000个样本中，有近950个样本所构造的置信区间包含总体均值，即95%的样本所构造的置信区间包含总体均值。这便是区间估计的

16、真实含义。上一页下一页返回本节首页336.3.4 案例研究：市场研究中使用区间估计 例 张先生是台湾某集团的企划部经理，在今年的规划中，集团准备在某地新建一家新的零售商店。张先生目前正在做这方面的准备工作。其中有一项便是进行市场调查。在众多信息中，经过该地行人数量是要考虑的一个很重要的方面。张先生委托他人进行了两个星期的观察，得到每天经过该地人数如下：544，468，399，759，526，212，256，456，553，259，469，366，197，178将此数据作为样本，商店开张后经过该地的人数作为总体。样本均值为403人，在95%的置信度下，能否知道每天经过此地的人数吗？上一页下一页返

17、回本节首页34操作步骤如下：翻开“第6章 参数估计.xls“工作薄，选择“均值工作表。 选择单元格A1：A11，即“灯泡平均耐用小时数据，拖动鼠标将其移到将G列。在单元格A1中输入“行人数，从单元格A2起输入例题的调查数据。当数据输入完毕后，结果如下页图所示。 上一页下一页返回本节首页35 从图中可以看出，在95%的置信度下，行人数位于306人500人之间。这个结论意味着如要观察100天，那么有95天的行人数位于这一区间内。那么如果设立商店要求行人数最低为520的话，显然在这一地点设立商店是不明智的。上一页下一页返回本节首页366.4 总体比例区间估计6.4.1 样本比例的抽样分布 6.4.2

18、 案例研究：品牌认知度置信区间6.4.3 估计总体比例的必要样本容量上一页下一页返回本章首页376.4.1 样本比例的抽样分布 样本比例分布直接来自于二项分布。根据中心极限定理，随着样本容量的增加，二项分布渐近于正态分布。所以当样本容量较大时，一般来说，当n不小于30，np和nq都不小于5时，可以用正态分布代替二项分布。上一页下一页返回本节首页38比例抽样分布的均值为： 式中：p 为总体比例。比例抽样分布的标准差或标准误差为：上一页下一页返回本节首页39置信区间与抽样分布密切相关。如果总体比例值，根据近似标准正态分布，确定围绕值的置信区间将是：上一页下一页返回本节首页40 6.4.2 案例研究

19、：品牌认知度置信区间例 某食品厂准备上市一种新产品，并配合以相应的广告宣传，企业想通过调查孩子们对其品牌的认知情况来评估广告的效用，以制定下一步的市场推广方案。他们在该地区随机抽取350个小孩作访问对象，进行儿童消费者行为与消费习惯调查，其中有一个问句是“你听说过这个牌子吗？，在350个孩子中，有112个小孩的答复是“听说过。根据这个问句，可以分析这一消费群体对该品牌的认知情况。所以，食品厂市场部经理要求，根据这些样本，给定95的置信度，估计该地区孩子认知该品牌的比例。上一页下一页返回本节首页41 翻开“第6章 参数估计.xls工作簿，选择“比例估计工 作表如下图 ：上一页下一页返回本节首页4

20、2在单元格B2中输入n值为350。在单元格B3中键入公式“=112350，用Excel来计算抽样比例Pi值为0.32。在单元格B4中键入公式 “=SQRT(B3*(1-B3)/B2) 计算比例标准误差。其显示值为0.024934。在单元格E2中键入置信度0.95。单元格E3中的Z值是与单元格E2中的置信度所对应的标准正态分布的区间点，它是位于中间局部的临界值。正如下页图所示，中间阴影局部相当于置信水平，两边临界值用Z和-Z来表示。上一页下一页返回本节首页43 使用函数NORMSINV可以确定Z值。确定与中心区域概率对应的Z值时有两种方法：一种是输入Z值左侧的“概率，即0.25，函数将计算E2单

21、元格中左侧局部的Z值，即返回的是-Z。这意味着在E2单元格中须用绝对值的方法将标准正态分布函数NORMSINV返回的Z值改为正数。另一种方法是把中间区域的概率与Z值左侧的概率相加，即0.95+0.25，所计算的是从左侧起一直到Z值区域的概率，通过这局部概率的计算，也可确定出Z值。上一页下一页返回本节首页44选定E3单元格，输入公式“=ABS(NORMSINV(0.025)或“=NORMSINV(E2+(1-E2)/2)，便可确定Z值，单元格E3中将显示1.959961。在E4单元格中输入公式“=E3*B4，计算极限误差，其结果显示为0.04887。在单元格E5中输入“=B3-E4计算估计下限，

22、在E6单元格中输入“=B3+E4计算估计上限。结果分别显示为0.27113和0.36887。 问题的答案是孩子们认知新品牌的比例在0.27113到0.36887之间的置信度是95%。也就是说，品牌认知度位于27%37%之间，这对于食品消费来讲，并不是一个满意的数值，因而企业应当考虑市场推广方面的问题，研究是否广告诉求对象不对，还是目标市场有偏差。上一页下一页返回本节首页45 6.4.3 估计总体比例的必要样本容量对于比例估计来讲，其必要样本容量的计算公式如下： 上一页下一页返回本节首页46例 联想集团希望了解购置“天禧品牌计算机的消费者满意比例，集团确信“天禧品牌计算机满意比例不会小于70%。

23、如果集团想使抽样极限误差在2%，置信度为99%，那么需要多大的样本？上一页下一页返回本节首页47翻开“第6章 参数估计.xls工作簿，选择“比例样本容量工作表。在单元格B2中输入P值70%，在单元格B3中输入置信度99%，在单元格B4中输入抽样误差2%。在单元格B5中输入计算Z值的公式“=NORMSINV(B3+(1-B3)/2)或“=ABS(NORMSINV(0.005)，B5单元格中的计算结果显示为2.575835。在单元格B6中输入公式“=(B2*(1-B2)*B52)/B42B6，计算必要样本容量，结果为3483.335。上一页下一页返回本节首页48在单元格B7中输入公式“=CEILI

24、NG(B6,4) 用CELLING函数求比n大的最小整数，单元格B6为所要求的整数，4为整数的位数，显示的结果为3484。如下图。上一页下一页返回本节首页49抽样极限误差对样本容量有何影响呢?抽样误差越小估计就越精确，所以联想集团希望它越小越好。把抽样极限误差由2%改为1%，样本容量跃增为13934。可见，抽样误差减小一半，样本容量增大为原来的四倍。把P值由70%改为30%。注意到这对n值没影响把置信度由99%改为90%，这样样本容量减少为5682。 上一页下一页返回本节首页506.5 总体标准差及方差的估计 6.5.1 方差估计的内容和 工作表函数 6.5.2 总体方差的置信区间c2 上一页

25、下一页返回本章首页516.5.1 方差估计的内容和工作表函数1. 大样本情况下总体标准差的区间估计 在置信度为1 时，其置信区间可以写成：a上一页下一页返回本节首页522小样本情况下正态总体方差的置信区间 设 x1,x2,xn 来自均值为 m ，方差为s2的正态总体， m、s2均未知，那么的点估计量为S2 ，且：从而可以把置信度为1- 时方差的置信区间写为：s2(n-1)s2 x2(n-1)a上一页下一页返回本节首页53Excel有两个工作表函数用于方差估计：即卡方分布函数CHIDIST和卡方分布反函数CHIINV。卡方分布函数CHIDIST返回卡方分布c2单侧的概率。其语法结构为：CHIDIST(x,degrees_freedom)。其中：X 用来计算c2 分布单侧概率的数值。Degrees_freedom 是自由度。卡方分布反函数CHIINV用于返回c2分布单侧概率的函数值。其语法结构为：CHIINV(probability,degrees_freedom)。其中：Probability 为c2分布的单侧概率。Degrees_freedom为自由度。上一页下一页返回本节首页546.5.2 总体方差的置信区间 例 某食品企业生产一种名牌蛋糕。经验说明温度会影响蛋糕的口味。所以生产蛋糕时需要将温度控制在一定范围内，以保证产品的稳定性与一致性。现从一批产品中随机抽取25批蛋糕进行检