第2章 平面问题的基本理论

1、罗建辉 xxyyxyxyx,y ,x,y ,x,y 选择坐标系如图。选择坐标系如图。因该表面无任何面力，因该表面无任何面力，fx、fy、fz = 0,故表面上故表面上(z , zx , zy)=0在近表面很薄一层在近表面很薄一层(z , zx , zy)0 接近平面应力问题接近平面应力问题。00zxzy, 000zzxzy,0z例如：挡土墙，隧道例如：挡土墙，隧道 xxyyxyxyx,y ,x,y ,x,yxxyyxyxyx,y ,x,y ,x,yuu x,y ,vv x,y例例2（习题（习题2-4） 按平面应变问题特征来分析，按平面应变问题特征来分析，本题中本题中oxyzoxyz 只有xxy

2、yxyxyx,y ,x,y ,x,y思考题思考题 设有厚度很大设有厚度很大(即即 z 向很长向很长)的基础梁放置在地基上的基础梁放置在地基上,如果如果想把它近似地简化为平面问题处理想把它近似地简化为平面问题处理,问应如何考虑问应如何考虑? )(.0afyxxyxxFy=0，同理可得：，同理可得：)(.0bfxyyxyyMC=0 , 得剪应力互等定理得剪应力互等定理xyyx)(.0afyxxyxx)(.0bfxyyxyyxyyx (1) 求（求（px,py） (2) 求（求（ ）将（将（px,py）向法向、切向投影，得）向法向、切向投影，得 xxyyxyxyx,y ,x,y ,x,yuu x,y

3、 ,vv x,y PA 线应变 .)(xudxudxxuux PA 线应变 .)(xudxudxxuux PA 转角 PB 线应变 PB 转角 yvyvxxyuvyxxyxyuvuv,xyyx 适用于区域内任何点；适用于区域内任何点； 应用小变形假定，略去了高阶小量应用小变形假定，略去了高阶小量 线性的几何方程；线性的几何方程； 适用条件：适用条件：a.连续性；连续性；b.小变形。小变形。 几何方程是变形后物体连续性条件的反映和必然结果。几何方程是变形后物体连续性条件的反映和必然结果。 120dd0ddxyuvyxfyfxyx1、基本概念、基本概念位移确定位移确定 形变完全确定：形变完全确定：

4、 从物理概念看，各点的位置确定，则微分线段上的形变确定从物理概念看，各点的位置确定，则微分线段上的形变确定 。 从数学推导看，位移函数确定，则其导数（形变）确定从数学推导看，位移函数确定，则其导数（形变）确定 。形变确定，位移不完全确定形变确定，位移不完全确定 ： 从物理概念看，从物理概念看，、确定，物体还可作刚体位移。确定，物体还可作刚体位移。 从数学推导看，从数学推导看，、确定，求位移是积分运算，出现待定函数。确定，求位移是积分运算，出现待定函数。2、刚体位移、刚体位移000 xyxy, 120;0 xyu,ufyxv,vfxy 1212dd0ddddddfyfxyxfyfxconst.y

5、x2、刚体位移、刚体位移 1020=fyuyfxvx 1020=ufyuyvfxvx物理意义：物理意义： 表示表示x，y向的刚体平移，向的刚体平移， 表示物体绕原点的刚体转动。表示物体绕原点的刚体转动。00u ,v结论：结论： 形变确定，位移不完全确定形变确定，位移不完全确定 ： 从物理概念看，从物理概念看，、确定，物体还可作刚体位移。确定，物体还可作刚体位移。 思考题思考题 ).(21yuxv1.试证明微分体绕试证明微分体绕 z 轴的平均转动分量是轴的平均转动分量是 2.当应变为常量时，当应变为常量时，x=a , y=b , xy=c ，试求出对应的位移分量。试求出对应的位移分量。选择习题选

6、择习题 27、219。xxyyxyxyx,y ,x,y ,x,yuu x,y ,vv x,y111111xxyzyzyzyyzxzxzxzzxyxyxy,EG,EG,EG物理方程的说明：物理方程的说明：(1) 理想线性弹性体；理想线性弹性体；(2) 本构关系：总结实本构关系：总结实 验规律得出的；验规律得出的；(3) 各项同性；各项同性；2 1EG111111xxyzyzyzyyzxzxzxzzxyxyxy,EG,EG,EG1、平面应力问题的物理方程：、平面应力问题的物理方程： 111xxyyyxxyxyEEG2、平面应变问题的物理方程、平面应变问题的物理方程 0zzxy 22211112 1

7、xxyyyxxyxyEEEE.1 ,12EE.1 ,)1 ()21 (2EE 变换关系：变换关系： 平面应力物理方程平面应力物理方程平面应变物理方程：平面应变物理方程： 平面应变物理方程平面应变物理方程平面应力物理方程：平面应力物理方程：1、平面应力问题的物理方程：、平面应力问题的物理方程： 111xxyyyxxyxyEEG2、平面应变问题的物理方程、平面应变问题的物理方程 22211112 1xxyyyxxyxyEEEE 思考题思考题 1.试证：由主应力可以求出主应变，且两者方向一致。试证：由主应力可以求出主应变，且两者方向一致。2.试证：三个主应力均为压应力，有时可以产生拉裂现象。试证：三

8、个主应力均为压应力，有时可以产生拉裂现象。 试根据空间问题的物理方程进行解释。试根据空间问题的物理方程进行解释。3.试证：在自重作用下，圆环（平面应力问题）试证：在自重作用下，圆环（平面应力问题） 比圆筒（平面应变问题）的变形大。比圆筒（平面应变问题）的变形大。 试根据它们的物理方程来解释这种现象。试根据它们的物理方程来解释这种现象。一、边界条件一、边界条件 表示在边界上位移与约束、或应力与面力之间的关系。表示在边界上位移与约束、或应力与面力之间的关系。 二、二、3类边界条件类边界条件 1、位移边界条件位移边界条件 在在 Su 部分边界上给定位移分量部分边界上给定位移分量 u(s) 和和 v(

9、s ) ),()( ),()(svvsuuss（在Su上)。 位移边界条件的说明：位移边界条件的说明： (1) 它是函数方程，要求在它是函数方程，要求在 上每一点，上每一点， 位移与对应的约束位移相等。位移与对应的约束位移相等。 (2) 若为简单的固定边若为简单的固定边u=v=0，则有则有, 0)( , 0)(ssvu (3) 它是在边界上物体保持连续性的条件，或位移保持连续性的条件。 （在Su上)。, ,xyyyyxxxlmpmlp)( . ),()(),()(dssflmsfmlysxyyxsyxx上）（在2、应力边界条件、应力边界条件 在在 S 上给定了上给定了面力分量面力分量 fx(s

10、)，(s) 。 坐标面应力与斜面应力的关系式：坐标面应力与斜面应力的关系式： 将斜面与边界面重合，则得应力边界条件将斜面与边界面重合，则得应力边界条件 应力边界条件的说明：应力边界条件的说明： (1) 它是边界上微分体的静力平衡条件；它是边界上微分体的静力平衡条件； (2) 它是函数方程，要求在边界上每一点它是函数方程，要求在边界上每一点s上均满足，这是精确的条件；上均满足，这是精确的条件； (3) 特例：自由边界特例：自由边界-面力为零。面力为零。当边界面为坐标面时，当边界面为坐标面时，若若x=a为正为正x 面，面，l = 1, m = 0, 则成为则成为)( .)( ,)(effyxyxa

11、xxaxyxbaxfyfxxfyfxyxxyyxbaxfyfxxfyfxyxxy 若若x=-b为负为负x 面，面，l = -1, m = 0 , 则成为则成为 )( )( ,)(fffyxyxbxxbx。yxbaxfyfxxfyfxyxxyyxbaxfyfxxfyfxyxxy.)( 0,)(0.)( )(0.)( 0,)(0.)( 0)(01q,2hy,lxq,2hy,lxv,u,x2hyyx2hyy2hyyx2hyylxxylxx0 x0 x边界边界边界边界lh/2h/2qyxoyyxxyyyxx1qlh/2h/2qyxoyyxxyyyxx1q 例例1 列出边界条件：列出边界条件： 例例2

12、列出边界条件：列出边界条件：0.)( ,)()(0.)( 0,)(2baxxyaxxbyyxyybyqaxby边界：边界：yxoqqqqbbaaxyyyxxyxoqqqqbbaaxyyyxx 3、混合边界条件：、混合边界条件： (1) 部分边界上为位移边界条件，另一部分边界上为应力边界条件；部分边界上为位移边界条件，另一部分边界上为应力边界条件； (2) 同一边界上，一个为位移边界条件，另一个为应力边界条件。同一边界上，一个为位移边界条件，另一个为应力边界条件。例例3 列出列出x=a的边界条件的边界条件 yxoa思考题思考题 oxy(c)(a)(d)(b)qxnyABAxyoAMygoxy(c

13、)(a)(d)(b)qxnyABAxyoAMyg1、若在斜边界面上，受有常量的法向分布压力、若在斜边界面上，受有常量的法向分布压力q作用，试列出应力边界条件，作用，试列出应力边界条件，(图图(a)。2、证明在无面力作用的、证明在无面力作用的0A边上，边上，y不等于零（图不等于零（图 (b)）。）。3、证明在凸角、证明在凸角A点附近，当无面力作用时，其应力为零（图点附近，当无面力作用时，其应力为零（图(c)）。）。4、试导出在无面力作用时，、试导出在无面力作用时，AB边界上的边界上的 x , y , xy 之间的关系。之间的关系。(图图(d)。5、试比较平面应力问题和平面应变问题的基本方程和边界

14、条件的异同，并、试比较平面应力问题和平面应变问题的基本方程和边界条件的异同，并进一步说明它们的解答的异同。进一步说明它们的解答的异同。选择习题选择习题 213一、概述一、概述 弹力问题是微分方程的边值问题。应力、位移等未知函数弹力问题是微分方程的边值问题。应力、位移等未知函数 必须满足必须满足A内的方程和内的方程和S上的边界条件。上的边界条件。 1、主要的困难在于难以满足边界条件。、主要的困难在于难以满足边界条件。 2、圣维南原理可用于简化小边界上的边界条件。、圣维南原理可用于简化小边界上的边界条件。二、圣维南原理：二、圣维南原理： 如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但如果把物体

15、的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对同一点的主矩也相同），那静力等效的面力（主矢量相同，对同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分量将有显著的改变，但远处所受的影响可以么，近处的应力分量将有显著的改变，但远处所受的影响可以不计。不计。 二、圣维南原理：二、圣维南原理： 如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对同一点的主矩也相同），那静力等效的面力（主矢量相同，对同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分量将有显著的改变，但远处所受的影响可以么，近处的应力分量将有显著的改变，

16、但远处所受的影响可以不计。不计。 圣维南原理的说明：圣维南原理的说明： 1、圣维南原理只能应用于一小部分边界（小边界，次要边界或局部边界）；、圣维南原理只能应用于一小部分边界（小边界，次要边界或局部边界）； 2、静力等效、静力等效 指两者主矢量相同，对同一点主矩也相同；指两者主矢量相同，对同一点主矩也相同； 3、近处、近处 指面力变换范围的一、二倍的局部区域；指面力变换范围的一、二倍的局部区域； 4、远处、远处 指指“近处近处”之外。之外。 圣维南原理表明，在小边界上进行面力的静力等效变换后，只影响近处（局部圣维南原理表明，在小边界上进行面力的静力等效变换后，只影响近处（局部区域）的应力，对绝

17、大部分弹性体区域的应力没有明显影响。区域）的应力，对绝大部分弹性体区域的应力没有明显影响。 3465421321 )(bhhFF/2 F/2F/2F/2FF/b 6543214321 bhFF/2 F/2F/2F/2FF/b 6543214321 b 例例1 比较下列问题的应力解答比较下列问题的应力解答 三、圣维南原理的第二叙述：三、圣维南原理的第二叙述：如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主矢量及主矩如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主矢量及主矩都等于零），那么，这个面力就只会使近处产生显著的应力，而远处的都等于零），那么，这个面力就只会使近处产生显著的应力，而远处的应力可

18、以不计。应力可以不计。例例2 比较下列问题的应力解答。比较下列问题的应力解答。0 0 0 034112 0 02 010 0 0 034112 0 02 01 四、圣维南原理的应用：简化小边界上的边界条件。四、圣维南原理的应用：简化小边界上的边界条件。 ayfyxyfyxylxxyxlxx)(),()(),(例例1 如图，写出如图，写出x=l小边界的应力边界条件。小边界的应力边界条件。(1) 精确的应力边界条件精确的应力边界条件 在边界在边界x=l上，(2) 圣维南原理意义下的应力边界条件圣维南原理意义下的应力边界条件 (合力边界条件合力边界条件)。在小边界。在小边界x=l上，上，讨论讨论：1

19、.如果只给出面力的主矢量、主矩如图，则直接代入面力如果只给出面力的主矢量、主矩如图，则直接代入面力的主矢量、主矩；的主矢量、主矩；2.合力边界条件是近似的，但只影响于小边界局部。合力边界条件是近似的，但只影响于小边界局部。合力边界条件对应于几种精确应力边界条件？合力边界条件对应于几种精确应力边界条件？比较：比较： 精确的应力边界条件精确的应力边界条件(无限无限)和积分的应力边界条件和积分的应力边界条件(有限有限)方程个数方程个数23方程性质方程性质函数方程（难满足）函数方程（难满足）代数方程（易满足）代数方程（易满足）精精 确确 性性精确精确近似近似适用边界适用边界大、小边界大、小边界小边界小

20、边界思考题思考题 为什么在大边界（主要边界）上，不能应用圣维南原理？为什么在大边界（主要边界）上，不能应用圣维南原理？ 选择习题选择习题 28、29。例例1 试列出图中的边界条件。试列出图中的边界条件。 . , 0 , 2/; 0 ,)( , 2/12qhylxqhyxyyxyy。sxhhxyxhhxxhhxFyMyyFyd)(,d)(,d)(02/2/02/2/02/2/解：解：(a)在主要边界在主要边界y = h/2应精确满足下列边应精确满足下列边界条件：界条件： 在小边界在小边界x = l，当平衡微分方程和其它各，当平衡微分方程和其它各边界条件都已满足的条件下，三个积分的边边界条件都已满

21、足的条件下，三个积分的边界条件必然满足，可以不必校核。界条件必然满足，可以不必校核。 在小边界在小边界x = 0应用圣维应用圣维南原理，列出三个积分南原理，列出三个积分的近似边界条件，当板的近似边界条件，当板厚厚 =1时，时，例例2 试列出图中的边界条件。试列出图中的边界条件。 解：解：(a)在主要边界在主要边界x= 0, b，应精确满足下列边界，应精确满足下列边界条件：条件： 在小边界在小边界y = 0应用圣维应用圣维南原理，列出三个积分南原理，列出三个积分的近似边界条件，当板的近似边界条件，当板厚厚 =1时，时，。qlxgyxxyxxyx , 0 ; 0 , 0030FOxyqh(b)gy

22、b/2 b/2) 1,(bh030FOxyqh(b)gyb/2 b/2) 1,(bh。2d)(,43d)(,23d)(000000FxbFxxFxybyxybyyby注意：注意：在列力矩的条件时两边均是在列力矩的条件时两边均是对原点对原点O的力矩的力矩来计算的。来计算的。对于对于y = h的小边界可以的小边界可以不必校核。不必校核。00yxyyxyxxfxyfyx. , ,xvyuyvxuxyyxxyxyxyyyxxEEE)1 (2)(1),(1 一、弹性力学平面问题求解的基本方程一、弹性力学平面问题求解的基本方程（平面应力问题）（平面应力问题） 1、基本方程：、基本方程： 平面问题中共有八个

23、未知函数，即平面问题中共有八个未知函数，即 x , y , xy , x , y , xy , u , v 。 它们必须满足区域内的基本方程：它们必须满足区域内的基本方程： （1）平衡微分方程）平衡微分方程（2）几何方程几何方程（3）物理方程物理方程 如果将平面应力问题的物理方程如果将平面应力问题的物理方程作作 的变换，便的变换，便可得到平面应变问题的物理方程。可得到平面应变问题的物理方程。1 ,12EE上在SSflmfmlysxyyxsyxx)()()( .)( ,)(上在usssvvuu 1）应力边界条件）应力边界条件 2）位移边界条件）位移边界条件2、边界条件：、边界条件：二、基本解法二

24、、基本解法-消元法消元法1、按位移求解（、按位移求解（位移法位移法）取取u,v为基本未知函数为基本未知函数,从方程和边界条件中消从方程和边界条件中消去形变和应力，导出只含去形变和应力，导出只含u , v的方程和边界条件，从而求出的方程和边界条件，从而求出u , v；再求形；再求形变和应力。变和应力。2、按应力求解（、按应力求解（应力法应力法）取取 x , y , xy 为基本未知函数，从方程和边界为基本未知函数，从方程和边界条件中消去位移和形变，导出只含应力的方程和边界条件，从而求出应条件中消去位移和形变，导出只含应力的方程和边界条件，从而求出应力；再求形变和位移。力；再求形变和位移。3、混合

25、法混合法。三、位移法三、位移法 (1)取取u,v为基本未知函数；为基本未知函数； (2)将其他未知函数用将其他未知函数用u,v表示：表示： 应变用应变用u,v表示表示(几何方程几何方程); 应力先用应变来表示（物理方程），应力先用应变来表示（物理方程）， 再代入几何方程，得用再代入几何方程，得用u , v表示的表示的 弹性方程：弹性方程： )().()1 (2)1 (2),(1)(1),(1)(12222ayuxvEExuyvEEyvxuEExyxyxyyyxx (3) 将弹性方程平衡微分方程得位移法的基本方程：将弹性方程平衡微分方程得位移法的基本方程： )( )(. 0)2121(1, 0)

26、2121(1222222222222bAfyxuxvyvEfyxvyuxuEyx 三、位移法三、位移法)().()1 (2)1 (2),(1)(1),(1)(12222ayuxvEExuyvEEyvxuEExyxyxyyyxx (3) 位移法的基本方程：位移法的基本方程： )( )(. 0)2121(1, 0)2121(1222222222222bAfyxuxvyvEfyxvyuxuEyx.)(,)(vvuuss.)(21)(1,)(21)(122ysxsfyuxvlxuyvmEfxvyumyvxulE(4) 边界条件边界条件 位移边界条件位移边界条件 应力边界条件应力边界条件 将式将式(a)

27、代入应力边界条件代入应力边界条件（在（在S上）上）(d) （在（在Su上）上）(c)四、按位移求解（位移法）的优缺点：四、按位移求解（位移法）的优缺点：适用性广适用性广 可适用于任何边界条件。可适用于任何边界条件。求函数式解答困难，但在近似解法求函数式解答困难，但在近似解法（变分法、差分法、有限单元法）（变分法、差分法、有限单元法）中有着广泛的应用。中有着广泛的应用。例例1 考虑两端固定的一维杆件。考虑两端固定的一维杆件。 图图(a)，只受重力作用，只受重力作用，fx=0 , fy=g。试用位移法求解。试用位移法求解。xoyloyxggxoyloyxgg解：为了简化，设解：为了简化，设 = 0

28、 位移位移u = 0,v = v ( y ) 按位移求解，位移应满足式按位移求解，位移应满足式(b),(c),(d)。代入式代入式(b),第一式自然满足，第一式自然满足， 第二式成为第二式成为.22Egyv.22BAyyEgv y = 0 , l ，位移边界条件，位移边界条件(v)y=0=0 B=0 (v)y=l=0 .2lEgA).2(2),2(2),(22ylgylEgylyEgvyy思考题思考题 1、 试用位移法求解图试用位移法求解图(b)的位移和的位移和应力。应力。 2、试将弹性力学中平面问题的位移、试将弹性力学中平面问题的位移法与结构力学的位移法相比，有那法与结构力学的位移法相比，有

29、那些相同些相同 和不同之处？和不同之处？选择习题选择习题 210。xoyloyxggxoyloyxgg图图(b)图图(a) 例例2 厚度厚度 =1的悬臂梁，受一端的集中力的悬臂梁，受一端的集中力 F 的作用。已求得其位移的解答是的作用。已求得其位移的解答是。EIFlEIFxlEIFxEIFxyvyIGFhEIFlIGFyEIFyEIyFxu3262,)82(662323222332 试检查此组位移是否是图示问题的解答。试检查此组位移是否是图示问题的解答。h/2h/2AxylFO) 1,(hlh/2h/2AxylFO) 1,(hl解：此组位移解答若为图示问题的解答，则应解：此组位移解答若为图示问

30、题的解答，则应满足下列条件满足下列条件 1、 区域内用位移表示的平衡微分方程区域内用位移表示的平衡微分方程 2、应力边界条件：在所有受面力的边界上满、应力边界条件：在所有受面力的边界上满足。其中在小边界足。其中在小边界S上可以应用圣维南原理，用上可以应用圣维南原理，用三个积分的边界条件来代替。三个积分的边界条件来代替。 3、位移边界条件：本题在、位移边界条件：本题在x = l 的小边界上，的小边界上，已考虑利用圣维南原理，使三个积分的应力边已考虑利用圣维南原理，使三个积分的应力边界条件已经满足。界条件已经满足。 因此，只需校核下列三个刚体的约束条件因此，只需校核下列三个刚体的约束条件： A点（

31、 x = l及y = 0），. 0),(xuvu 读者可校核这组读者可校核这组位移是否满足上述条位移是否满足上述条件，如满足，则是该件，如满足，则是该问题之解。问题之解。一、一、应力法：应力法：按应力求解按应力求解 取取 x , y , xy 为基本未知函数。为基本未知函数。 从方程和边界条件中消去位移和形变，导出只含应力的方程和边界从方程和边界条件中消去位移和形变，导出只含应力的方程和边界条件，从而求出应力；再求形变和位移。条件，从而求出应力；再求形变和位移。二、基本方程分析二、基本方程分析 1、平衡方程：不变、平衡方程：不变(少一个方程少一个方程)。2、物理方程：应变用应力表示。、物理方程

32、：应变用应力表示。3、几何方程：消除位移分量、几何方程：消除位移分量u,v (补充一个方程补充一个方程) 。例例1 三杆桁架系统，由于物体是连续的，变形三杆桁架系统，由于物体是连续的，变形前三连杆在前三连杆在D点共点（连续），变形后三连杆点共点（连续），变形后三连杆在在D点共点，则三连杆的应变必须满足一定的点共点，则三连杆的应变必须满足一定的协调条件。协调条件。? ? ?FDD? ? ?FDD三、相容方程三、相容方程 1、以应变表示的相容方程。、以应变表示的相容方程。xyxyuvuv,xyyx22222yxyxyxx y 22332222223322222yxyxuv,yx yxyxuvyxx

33、 yyxuvx yyx 形变协调条件（相容方程）的物理意义形变协调条件（相容方程）的物理意义 (1) 形变协调条件是位移连续性的必然结果。形变协调条件是位移连续性的必然结果。连续体连续体位移连续位移连续几何方程几何方程形变协调条件。形变协调条件。 (2) 形变协调条件是与形变对应的位移存在且连续的必要条件。形变协调条件是与形变对应的位移存在且连续的必要条件。 形变协调形变协调对应的位移存在对应的位移存在位移必然连续；位移必然连续；形变不协调形变不协调对应的位移不存在对应的位移不存在不是物体实际存在的形变不是物体实际存在的形变微分体变形后不保持连续。微分体变形后不保持连续。三、相容方程三、相容方

34、程 2、以应力表示的相容方程。、以应力表示的相容方程。22222yxyxyxx y 平面应力的相容方程平面应力的相容方程222222 11xyxyyxEyxEx y 222200yxyxyxxxxxxxxyyxyyxyyyyyfffxyyxx yxxfffxyxyx yyy 2222yxyyxxffx yxyxy 221yxxyffxyxy 平面应力的相容方程平面应力的相容方程221111111yxxyffxyxy 四、四、按应力求解平面应力问题按应力求解平面应力问题 ： 1、A内的平衡微分方程；内的平衡微分方程； 2、A内的相容方程；内的相容方程； 3、边界、边界S = S上的应力边界条件；

35、上的应力边界条件； 4、对于多连体，还须满足位移的单值条件。、对于多连体，还须满足位移的单值条件。00yxxxxyyyfxyfxy2222221yxxyffxyxy 上在SSflmfmlysxyyxsyxx)()()( .)( ,)(上在usssvvuu 1）应力边界条件）应力边界条件 2）位移边界条件）位移边界条件2、边界条件：、边界条件：1、基本方程：、基本方程：。CxycCxyyBxAybDyCByAxyaxyyxxyyxxyyx , 0 )(; , , )(; , , )(2223.22222yxxyxyyx例例1 试考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在试考虑下列平面问题的应变分量是

36、否可能存在 解：应变分量存在的必要条件是满足形变解：应变分量存在的必要条件是满足形变相容条件，即相容条件，即（a）相容；（）相容；（b）须满足）须满足B = 0, 2A=C ；（；（c）不相容。除非）不相容。除非C = 0。 例例2 在无体力情况下，试考虑下列应力分量是否可能在弹性体中存在在无体力情况下，试考虑下列应力分量是否可能在弹性体中存在(相容性相容性)：; ),( ),( )(; , , )(2222CxyyxByxAbFyExDyCxByAxaxyyxxyyx解：弹性体中的应力，在单连体中必须满足相容方程。解：弹性体中的应力，在单连体中必须满足相容方程。（a）此组应力满足相容方程。）

37、此组应力满足相容方程。 （b）为了满足相容方程，其系数必须满足）为了满足相容方程，其系数必须满足A + B = 0思考题思考题 1.试比较按位移求解的方法和按应力求解的方法，并与结构力学中的位移法和力法试比较按位移求解的方法和按应力求解的方法，并与结构力学中的位移法和力法作比较。作比较。2.若若 x = ay2 , y = bx2 , xy = (a + b)xy 是否可能成为弹性体中的形变？是否可能成为弹性体中的形变？3.若若fx = fy = 0, x = ax2,y = bxy2,xy = 0是否可能为弹是否可能为弹 性体中的应力？性体中的应力？选择习题选择习题 216、217。 axC

38、hqxyCyCyhqyyxhqxyyx132213332362)46(202qh)202(22qhqlxy) 1,(hlloqqlh/2h/2202qh)202(22qhqlxy) 1,(hlloqqlh/2h/2例例3 图中的梁，受到如图所示的荷载的作用，图中的梁，受到如图所示的荷载的作用，试用下列应力表达式求解其应力，试用下列应力表达式求解其应力， 解：本题是按应力求解的，在应力法中，应力分量在单连体中必须满足解：本题是按应力求解的，在应力法中，应力分量在单连体中必须满足（1）平衡微分方程；（）平衡微分方程；（2）相容）相容方程方程 将应力分量（将应力分量（a）代入平衡微分）代入平衡微分方

39、程和相容方程，两者都能满足。方程和相容方程，两者都能满足。（3）应力边界条件（在）应力边界条件（在S = S上）。上）。在主要边界上，在主要边界上，20 xy足。将得即代入后满C，C , 0 ,2.2 得,2)8(2即 , ,2 ; 23 , 0)46( , 0 ,221221331123yyxyhyqCqChChhqqhyhqCChhqxhy axChqxyCyCyhqyyxhqxyyx132213332362)46(202qh)202(22qhqlxy) 1,(hlloqqlh/2h/2202qh)202(22qhqlxy) 1,(hlloqqlh/2h/2例例3 图中的梁，受到如图所示的

40、荷载的作用，图中的梁，受到如图所示的荷载的作用，试用下列应力表达式求解其应力，试用下列应力表达式求解其应力， 解：解： 将将C1,C2代入代入(a),得到应力公式得到应力公式,)() 14(23),22321(),23(22233223bhyhqxhyhyqyxhqyxyyx。202qh)202(22qhqlxy) 1,(hlloqqlh/2h/2202qh)202(22qhqlxy) 1,(hlloqqlh/2h/2例例3 解解)() 14(23),22321(),23(22233223bhyhqxhyhyqyxhqyxyyx。 . 20d , 0d ,4 , 0 , 0202/2/-02/

41、2/-33qhyyyhyqxxxhhxxhhxxy）（而主矩为）（其主矢量为).202(d , 0 ),46( .d ),14(23 , 222/2/-32302/2/-22qhqlyyyylhqqlyhyhqllxlxxhhxxxyhhxy）（而主矩为其主矢量为）（其主矢量为 将式（将式（b）表达式代入次要边界条件，）表达式代入次要边界条件，由此可见，在次要边界上的积分边界条件均能满足。因此，式（由此可见，在次要边界上的积分边界条件均能满足。因此，式（b）是图示问题之解。）是图示问题之解。 例例4 在材料力学中，当矩形截面梁（厚在材料力学中，当矩形截面梁（厚 =1）受任意的横向荷载）受任意的

42、横向荷载q(x)作用而弯曲时，作用而弯曲时，弯曲应力公式为弯曲应力公式为.)(yIxMx q(x)xy) 1,(hlloh/2h/2q(x)xy) 1,(hlloh/2h/2 qxFFxMssdd dd（a）试由平衡微分方程（不计体力）导出切）试由平衡微分方程（不计体力）导出切应力应力xy和挤压应力和挤压应力y的公式。的公式。（提示：注意关系式（提示：注意关系式 积分后得出的任意函数，可由梁的上下积分后得出的任意函数，可由梁的上下边界条件来确定。）边界条件来确定。） （b）当）当q为常数时，试检验应力分量是否满为常数时，试检验应力分量是否满足相容方程，试在足相容方程，试在x中加上一项对平衡中加

43、上一项对平衡没有影响的函数没有影响的函数f (y)，再由相容方程确定，再由相容方程确定f (y),并校核梁的左右边界条件。并校核梁的左右边界条件。.)(yIxMx q(x)xy) 1,(hlloh/2h/2q(x)xy) 1,(hlloh/2h/2 qxFFxMssdd dd例例4 解：本题引用材料力学的弯应力解：本题引用材料力学的弯应力x的解，的解，作为初步的应力的假设，再按应力法求解。作为初步的应力的假设，再按应力法求解。应力分量必须满足应力分量必须满足（1）平衡微分方程；）平衡微分方程；（2）相容方程；）相容方程；（3）应力边界条件（在）应力边界条件（在S = S上）上）。 , 0yxy

44、xx.ddIyFIyxMysyx),(212xfIyFsyx （a）不计体力，将）不计体力，将 代入平衡微分方程第代入平衡微分方程第一式，得一式，得 两边对两边对 y 积分，得积分，得 再由上下的边界条件再由上下的边界条件)( ).28 , , ,8 )( 2221cyhSISFIhFxfsyxyxs（其中得代入得将将yx代入平衡微分方程的第二式代入平衡微分方程的第二式, 一、一、常体力情况下按应力求解常体力情况下按应力求解 00yxxxxyyyfxyfxy20 xy上在SSflmfmlysxyyxsyxx)()()( .)( ,)(上在usssvvuu 1）应力边界条件）应力边界条件 2）位

45、移边界条件）位移边界条件2、边界条件：、边界条件：1、基本方程：、基本方程：对于多连体，还须满足位移的单值条件。对于多连体，还须满足位移的单值条件。1、条件：、条件： (1) 常体力常体力, (2) 单连体单连体, (3) 全部为应力边界条件（全部为应力边界条件（S = S） 二、与弹性二、与弹性常数无关的应力解常数无关的应力解 2、结论：应力解与弹性常数无关。、结论：应力解与弹性常数无关。00yxxxxyyyfxyfxy20 xy应力边界条件：应力边界条件：基本方程：基本方程：在在S 上上flmfmlysxyyxsyxx)()( 3、推论：、推论： 不同材料的应力解相同，用试验方法求应力时，

46、也可以用不同的不同材料的应力解相同，用试验方法求应力时，也可以用不同的材料来代替。材料来代替。 两类平面问题的应力解相同，试验时可用平面应力的模型代替平两类平面问题的应力解相同，试验时可用平面应力的模型代替平面应变的模型。面应变的模型。？ 问题：应变、位移与弹性常数无关？问题：应变、位移与弹性常数无关？ 三、三、应力函数解法应力函数解法 (常体力常体力) 2、特解、特解00yxxxxyyyfxyfxy20 xy1、基本方程：、基本方程：000*xxyyxy*yxxx*xyyyf x,f y,fxyfxy 3、应力函数、应力函数(齐次方程齐次方程)00yxxxyyxyxy22222xyx,yxx y 2000yxxxyyxyxyxy4、应力函数的推导、应力函数的推导2222240 xyx,yxx y 22222222244442222224224xyxyxyxxyy xyxxyxyxyyxyyxxyAA,xyyxBB,yxxyABA,B