第1讲第一章,方程的导出定解条件

1、数学物理方程Equations of mathematical physics 姚志远南京航空航天大学航空宇航学院Z数学物理方程 波动方程； （14学时）热传导方程； （12学时）调和方程； （12学时）二阶线性偏微分方程的分类与总结； （10学时）机动。 （4学时）参考文献姜礼尚、陈亚浙编： 数学物理方程讲义。北京：高等教育出版社，1987。 季孝达, 薛兴恒编： 数学物理方程。北京：科学出版社 2005.7。仇淑芬编：数学物理方程。北京：首都师范大学出版社，1997。方瑛, 徐忠昌编：数学物理方程与特殊函数。北京： 科学出版社 2007.8。 课程简介 解决自然科学研究中提出的实际问题有实

2、际的应用背景 弦、板和结构的振动板壳和结构的固有振动 声波和电磁波固体中的热传导流场的势可渗透介质中流动与扩散在空间和时间中课程简介 数学方法建立严格的数学体系 定义性质定理证明对所讨论的自然现象从数学上进行讨论、分类，从而理解所研究的自然现象。 课程简介特点从自然现象提炼出数学问题数学方程的建立 方程的解的推导、唯一性和稳定的分析注意数学方程的建立问题的起源 物理概念 数学方程的分析数学概念 数学手段数学分析、复变函数、场论的几个定理 第一章波动方程本章的主要内容方程的导出，定解条件。达朗贝尔公式，波的传播。混合问题的分离变量方法。高维波动方程的柯西问题。能量不等式，波动方程解的唯一性和稳定

3、性。 1方程的导出，定解条件1方程的导出图1（1）均匀的，弦长比截面直径大的多；（2) 柔软的；（3）小振幅。1ux基本假设（1）取微元（2）作受力分析在x方向，有21()cos( )cos0T xxT x(1.3)在y方向，有2212( , )()sin( )sinu x tT xxT xxt (1.2)注：122111cos11 tan( , )1u x tx222211cos11 tan(, )1u xx tx11( , )sintanu x tx11( , )sintanu x tx于是，式(1.3)为()( )0T xxT x即()( )T xxT xT为常数。式(1.2)为22(,

4、 )( , )( , )()u xx tu x tu x tTxxxt 2222(, )( , )u xx tu x tTxt 弦的振动方程22222(, )( , )0u tu x tatx其中2aT(1.10)考虑外力22222( , )( , )( , )u x tu x taf x ttx(1.13)上式称为一维波动方程。二维波动方程2222222( , , )( , , )( , , )()( , , )u x y tu x y tu x y taf x y ttxy(1.14)三维波动方程222222222( , , , )( , , , )( , , , )( , , , )()

5、( , , , )u x y z tu x y z tu x y z tu x y z taf x y z ttxyz(1.15)2定解条件两端固支(0, )( , )0utu l t称为边界条件( ,0)( ,0)( ),( )u xu xxxt称为初始条件(1.16)(1.17)定解问题22222( , )( , )( , )(0, )( , )0( ,0)( ,0)( ),( )u x tu x taf x ttxutu l tu xu xxxt(1.18)对于一个微分方程来讲，如果存在一个函数具有方程中所需的各阶连续导数，且将它代入方程时成为恒等式，就称该函数为该方程的解( , )u x t求解区域Oxtl(0, )( )utt第一类边界条件（狄利克来(Dirichlet)）(0, )( )uttx第二类边界条件（诺伊曼（Neumann)(0, )(0, )( )ututtx第三类边界条件方程阶一个偏微分方程所含的未知函数最高导数的阶数称为这个偏微分方程的阶。拟线性方程( , )( , )0u x tu x tutx非线性