同济第三版-高数-(19) 第九节 闭区间上连续函数的性质同济第三版-高数-

1、 连续函数不仅在一点及其邻域内具有良好连续函数不仅在一点及其邻域内具有良好的局部性质，且在其连续区间上具有良好的总的局部性质，且在其连续区间上具有良好的总体性质，这些性质不仅在理论上有重要意义，体性质，这些性质不仅在理论上有重要意义，它们在实际应用中也是广泛的。它们在实际应用中也是广泛的。 设函数设函数 y = f( x )在区间在区间 I 上有定义，如果有上有定义，如果有 x 0 I,使得对于一切使得对于一切 x I，都有都有 f( x ) f( x 0 )或或 f( x ) f( x 0 )就称就称 f( x0 )是函数是函数 f( x )在区间在区间 I 上的上的最大值最大值( (或最小

2、值或最小值) )。 函数的最大值和最小值统称为函函数的最大值和最小值统称为函数的最值，函数取得最值的点数的最值，函数取得最值的点 x 0 称为称为函数的最值点。函数的最值点。 最值问题的实际意义通常是讨论和解决最值问题的实际意义通常是讨论和解决最优化，效最优化，效益等问题。益等问题。讨论函数最值的目的和任务是研究函数最值讨论函数最值的目的和任务是研究函数最值的存在性及求函数最值的方法。的存在性及求函数最值的方法。 从理论上讲，从理论上讲，有限数集的最大者和最小者总可通过有限数集的最大者和最小者总可通过比较法求得，但对无穷数集则不能用比较法确定其间最比较法求得，但对无穷数集则不能用比较法确定其间

3、最值，甚至无法确定是否存在最值。值，甚至无法确定是否存在最值。 函数最值是对区间而言的，最值函数最值是对区间而言的，最值问题对应于无穷多个函数值中确定问题对应于无穷多个函数值中确定其间最大和最小者。因而必需研究其间最大和最小者。因而必需研究最值存在性及确定最值的方法。最值存在性及确定最值的方法。 闭区间上的连续函数在该区间上一定可取到其在该闭区间上的连续函数在该区间上一定可取到其在该区间上的最大值和最小值至少各一次，即区间上的最大值和最小值至少各一次，即 设设 f( x ) C a , ,b ，则则 1 , , 2 a , ,b ，使得，使得即有即有 m f( x ) M，x a , ,b .

4、 .yO a byfCx, , Mm1 2 1fM 2fm ab“闭区间闭区间”和和“连续性连续性”两个条件不可两个条件不可或缺，否则结论将不成立。或缺，否则结论将不成立。 xOy yfxba ?m M , , xOy yfx ?m M , , ba 定理定理 1 1 仅指出了最值的存在性，并没有指出最值点仅指出了最值的存在性，并没有指出最值点 1、 2 的具体位置，也没有给出的具体位置，也没有给出求最值的一般方法，但求最值的一般方法，但其在理论上却是重要的。因为只有确定了最值存在性才其在理论上却是重要的。因为只有确定了最值存在性才有可能建立求最值的方法。有可能建立求最值的方法。 关于最值的计

5、算方法将在第关于最值的计算方法将在第三章的微分学应用中讨论。三章的微分学应用中讨论。 由最值定理容易导出如下有界性定理：由最值定理容易导出如下有界性定理： 闭区间上的连续函数在该区间上有界，即闭区间上的连续函数在该区间上有界，即设设 f( x ) C a , ,b ，则存在则存在 m 、M， 使得使得 m f( x ) M，x a , ,b . . 设函数设函数 f( x )在闭区间在闭区间 a , ,b 上连续，由最值定理上连续，由最值定理, , f( x )在在 a , ,b 上存在最大值上存在最大值 M 及最大值及最大值 m，从而对任，从而对任意意 x a , ,b 有有 m f( x

6、) M， 因此函数因此函数 f( x )在闭区间在闭区间 a , ,b 上上有界。有界。函数有界性定义并不能导出判别函数有界的函数有界性定义并不能导出判别函数有界的方法，方法，而而有界性定理有界性定理指指出出只要函数在闭区间上连续，它必定在只要函数在闭区间上连续，它必定在该闭区间上有界。因此该闭区间上有界。因此有界性定理给出了一种判别函数有界性定理给出了一种判别函数有界的一般方法，即有界的一般方法，即只需通过函数连续只需通过函数连续性判别就可确定函数的有界性性判别就可确定函数的有界性 。 由有界性定理的证明还可看出，由有界性定理的证明还可看出，给定函数的给定函数的“界界”还可由函数最值还可由函

7、数最值求出，即通过最值的计算还可确定求出，即通过最值的计算还可确定其确界的大小。其确界的大小。 设有函数设有函数 y = f( x ),x D，若存在，若存在 x 0 D，使得，使得 f( x 0 )= 0 ，则称，则称 x = x 0 为函数为函数 f( x )的一个零点。的一个零点。 方程求根通常是较困难的问题，由于函数方程求根通常是较困难的问题，由于函数 y = f( x )的零点就是方程的零点就是方程 f( x )= 0 的根，因此方程求根问题可的根，因此方程求根问题可归结为函数零点的讨论，从而可通过函数性质的研究来归结为函数零点的讨论，从而可通过函数性质的研究来讨论方程求根问题。讨论

8、方程求根问题。 方程求根问题在理论和实际中有着重要意义。方程求根问题在理论和实际中有着重要意义。 方程的讨论包含两个方面，一是根的存在性问题，方程的讨论包含两个方面，一是根的存在性问题，二是根的求解问题。二是根的求解问题。 这两个问题在代数学中讨论起来是相当困难的，除这两个问题在代数学中讨论起来是相当困难的，除多项式方程外，对这两个问题在代数学中并没有一般结多项式方程外，对这两个问题在代数学中并没有一般结果，而对方程的实根问题，讨论起来则更为困难。果，而对方程的实根问题，讨论起来则更为困难。 代数学中已有的结果是：代数学中已有的结果是： n 次方程有且只有次方程有且只有 n 个根；个根； 5

9、次和次和 5 次以上的方程没有公式解；次以上的方程没有公式解； 超越方程的解的存在性判别及求解没有一般方法超越方程的解的存在性判别及求解没有一般方法。 设函数设函数 y = f( x )在闭区间在闭区间 a , ,b 上连续，且上连续，且 f( a )与与 f( b )异号异号( 即即 f( a )f( b ) 0 , ,b 0 )至少有一个至少有一个不超过不超过 a + b 的正根。的正根。这是个有限区间上实根存在性判别问题，宜通这是个有限区间上实根存在性判别问题，宜通过相应的函数零点存在性问题进行考察。过相应的函数零点存在性问题进行考察。 构造辅助函数构造辅助函数 f( x )= asin

10、 x + b - - x ，x 0 , ,a + b . .要证存在要证存在 ( 0 , ,a + b ，使得，使得 f( )= 0 . . 显然函数显然函数 f( x )在区间在区间 0 , ,a + b 上连续，且在区间上连续，且在区间端点处满足：端点处满足： f( 0 )= asin 0 + b - - 0 = b 0， f( a + b )= asin( a + b )+ b - -( a + b )= asin( a + b )- - 1 0 . . 若若 f( a + b )= 0 ，则则 = a + b 即为方程即为方程 f( x )= 0 不超过不超过 a + b 的正根。的正

11、根。 若若 f( a + b ) 0 ，则则 f( a + b )与与 f( 0 )异号，由零点定理，存在异号，由零点定理，存在 ( 0 , ,a + b )，使得，使得 f( )= asin + b = 0 . . 综上讨论：方程综上讨论：方程 x = asin x + b 至少有一个不超过至少有一个不超过 a + b 的正根。的正根。例例: : 试证三次方程试证三次方程 x 3 + a1 x 2 + a 2 x + a 3 = 0 至少有一个实至少有一个实根根. .这是个方程实根存在性判别问题，宜转化为有这是个方程实根存在性判别问题，宜转化为有限区间上相应的函数零点存在性问题进行考察。限区

12、间上相应的函数零点存在性问题进行考察。 设设 f( x )= x 3 + a 1 x 2 + a 2 x + a 3，x ( - - , ,+ ). . 由于由于 故必存在故必存在 a 0 使得使得 f( a ) 0 使得使得 f( b ) 0 . . 因为因为 f( x )在闭区间在闭区间 a , ,b 上连续，故由零点定理上连续，故由零点定理可知，存在可知，存在 ( a , ,b )，使得，使得 f( )= 0 .同理可一般性地证明：同理可一般性地证明：奇数次方程必有实根。奇数次方程必有实根。 limxfx , , limxfx , , 零点定理更具一般性的结果是如下的介值定理：零点定理更

13、具一般性的结果是如下的介值定理： 设函数设函数 f( x )在闭区间在闭区间 a , ,b 上连续，且在该区间上连续，且在该区间的端点取不同函数值，即的端点取不同函数值，即 f( a )= A，f( b )= B，A B，那么，对于介于那么，对于介于 A、B 之间的任意一个实数之间的任意一个实数 C，在开，在开区间区间( a , ,b )内至少存在一点内至少存在一点 ，使得，使得 f( )= C，a b . . 从几何角度看，从几何角度看，f( )= C 指出了，对于指出了，对于介于实数介于实数 A= f( a )，B = f( b )之间的任一实数之间的任一实数 C ，水平，水平直线直线 y

14、 = C 与连续曲线与连续曲线 y = f( x )必有一个交点。必有一个交点。 当当 A、B 异号异号，而而 C = 0 时，时，介值定理就是零点定理，即零点介值定理就是零点定理，即零点定理是定理是值定理的特例值定理的特例。 yO a byfCx, , abA faB fbC fC 从分析角度看，介值定理指出了，闭区间上连续函从分析角度看，介值定理指出了，闭区间上连续函数的图形在数的图形在 y 轴上的投影一定是连续分布的点集，即闭轴上的投影一定是连续分布的点集，即闭区间上连续函数的值域一定是一个区间。区间上连续函数的值域一定是一个区间。介值定理亦可理解为当连续函数介值定理亦可理解为当连续函数

15、 y = f( x )从某个值从某个值y 1 变化到另一值变化到另一值 y 2时，时，f( x )必经过必经过 y 1 和和 y 2 之间的任何一个值至少各一次。之间的任何一个值至少各一次。 介值定理揭示了闭区间介值定理揭示了闭区间上连续函数的本质属性，为上连续函数的本质属性，为连续函连续函数性质的讨论提供了理论依据。数性质的讨论提供了理论依据。 闭区间上的连续函数必取得介于其最大值闭区间上的连续函数必取得介于其最大值 M 和最和最小值小值 m 之间的任何一个值至少各一次。之间的任何一个值至少各一次。 设设函数函数 f( x )在闭区间在闭区间 a , ,b 上连续上连续，由最值定理由最值定理, ,存在存在 x 1, ,x 2 a , ,b ，使得，使得 m = f( x 1 )、M = f( x 2 ). . 若若 m = M，则结论是显然的。，则结论是显然的。 若若 m M，则，则在闭区间在闭