量子力学_71量子态的不同表象和幺正变换

1、*第第 7 章章量子力学中的矩阵形式量子力学中的矩阵形式与表象变换与表象变换 一、直角坐标系中的类比 取平面直角坐标系x1x2的基矢为e1和e2,长度为1，彼此正交 ( ,)( ,1,2)(1)ijiji je e标积 我们将其称之为基矢的正交归一关系.平面上的任一矢量 A可以用它们来展开1 122(2)AeeAAA1、A2代表A在坐标系中的投影.11( ,)A e A ，22(,)A eA称为矢量A在坐标系x1x2中的表示.7.1 7.1 量子态的不同表象，么正变换量子态的不同表象，么正变换 二、坐标系顺时针转动 现在将坐标系x1x2顺时针方向转动，得到 x1x2,其基矢为e1和e2,满足(

2、 ,)( ,1,2)(1)ijiji j e e在此坐标系中,矢量A表示成1 122(2)AeeAA 其中投影分量是 11( ,)A e A，22(,)A eA同一个矢量A在两个坐标系中的表示有什么关系？根据(2)和(2)式1 1221 122(3)AAAA Aeeee上式分别用e1和 e2点乘,得1111212( ,)( ,)AAAe ee e2121222(,)(,)(4)AAAe ee e表成矩阵的形式为111121221222( ,)( ,)(5)(,)(,)AAAAe ee ee ee e或记为1122( )AARAAcossin( )(6)sincosR把A在两坐标中的表示联系起来

3、的变换矩阵 矩阵R的矩阵元是两个坐标系的基矢之间的标积，它表示基矢之间的关系.故当R 给定，则任何一个矢量 在 两 坐 标 系 间 的 关 系 也 随 之 确 定 . 三、变换矩阵的性质变换矩阵R 具有下述性质：(7)RRRRIR是R的转置矩阵cossindet1 (8)sincosR 真正交矩阵RR *（实矩阵） 1*RRRR(9)RRR RI 四、不同表象中基矢的关系量子态和力学量(算符)的不同表示形式,称为表象。 形式上与此类似，在量子力学中，按态叠加原理，任何一个量子态，可以看成抽象的Hilbert空间中的一个“矢量”.体系的任何一组对易力学量完全集F的共同本征态，可以用来构成此空间的

4、一组正交归一完备的基矢（称为F表象）(,)(10)kjkj 对于任意态矢量 ，可以用它们展开 (11)kkka其中),(kka 这一组数 ）（,21aa就是态(矢)在F表象中的表示，它们分别是态矢与各基矢的标积.与平常解析几何不同的是：这里的“矢量”(量子态)一般是复量；空间维数可以是无穷的，甚至不可数的.现在考虑同一个态在另一组力学量完全集 F中的表示.F表象的基矢,即F的本征态 a ,它们满足正交归一性(,)(12)aa对于任意态矢量 ，可以用它们展开 (13)aaaa(,)aaa这一组系数 12,a a （）就是态(矢)在F表象中的表示，(14)kkkaaaaa显然(15)kkkkkka

5、aS aaaa（，）a(14)左乘(取标积),得）（,21aa与12,a a （）有何关系有何关系其中 (16)kkSaa （，）F表象基矢与F表象基矢的标积 (15)式也可以写成矩阵的形式：111112222122(17)kaaSSaaSSaaa 简记为 Saa 式(17)就是同一个量子态在F表象中的表示与它在F表象中表示的关系，它们通过S 矩阵相联系，且 (18)SSS SI变换矩阵S 为么正(unitary)矩阵矩阵，此变换也称为么正变换.量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)7.1 7.1 量子态的不同表象，么正变换量子态的不同表象，么正变换 一、直角坐标系中的类比 仍以平面矢量作类

6、比AB（逆时针转动角）1 12212(,)AAA AAeeA1 12212(,)(1)BBB BBeeB在坐标系x1x2中，它们分别表示成令( )(2)RBA*7.2 力学量（算符）的矩阵表示量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)7.1 7.1 量子态的不同表象，么正变换量子态的不同表象，么正变换写成分量的形式，有1 1221122BBARA Reeee12、ee分别点乘上式得1111212()()BARAR，eeee2121222()()BARAR，eeee即11112122122212()()()()cossin(3)sincosBRRABRRAAA，eeeeeeee（2）式的矩阵表示量

7、子力学教程量子力学教程(第二版第二版)7.1 7.1 量子态的不同表象，么正变换量子态的不同表象，么正变换 把矢量逆时针方向旋转角的操作可用R( )刻画cossin( )(4)sincosR它的矩阵元是描述基矢在旋转下如何变化的.例如第一列元素 与上类比,设量子态经过算符 运算后变成另一个态fL(5)Lf在F表象中,上式表示为kkkkkkLab11112121( ,)cossin(,)RRRReeee量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)7.1 7.1 量子态的不同表象，么正变换量子态的不同表象，么正变换两边左乘j,取标积，得(,)(6)jjkkjkkkkbLaL a其中 (,)(7)jkj

8、kLL式(6)表示成矩阵形式则为111121221222.(8)bLLabLLa量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)7.1 7.1 量子态的不同表象，么正变换量子态的不同表象，么正变换分析：不同体系的Hamilton量不一样，能量表象的基矢也不一样.这里能量表象的基矢为一维谐振子Hamilton量 的本征函数 )(xn解：利用一维谐振子波函数的递推关系1111(9)22nnnnnxa11d1d22nnnnnxa 二、例：求一维谐振子的坐标 x、动量 p以及Hamilton量 H 在能量表象中的表示.量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)7.1 7.1 量子态的不同表象，么正变换量子态的不

9、同表象，么正变换可以计算出1,1,2211),(nmnmnmmnnnxxa,1,1d1(,)d22mnmnm nm nnnpiixa注意：这里的m、n都是由0开始取值.这样量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)7.1 7.1 量子态的不同表象，么正变换量子态的不同表象，么正变换01/2001/202/201()(10)02/203/2003/20mnxa01/2001/202/20()i(11)02/203/2003/20mnpa量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)7.1 7.1 量子态的不同表象，么正变换量子态的不同表象，么正变换而mnmnnnmmnnEHH)21(),(所以1/200

10、003/200()(12)005/200007/2mnH是一个对角矩阵 任何力学量在自身表象中的表示都是对角矩阵.量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)7.1 7.1 量子态的不同表象，么正变换量子态的不同表象，么正变换 三、力学量的表象变换F表象（基矢k）中，力学量L表示为矩阵（Lkj）,矩阵元(,)kjkjLLF表象（基矢a）中，力学量L表示为矩阵（La）,矩阵元(,)LLaa*(,)(,)(,)(13)kkkkkkkkjjjjjjSSSaaaaa 得*(,)()kkjjkkjjkjkjLSLSS L SSLSaaaa 即1(14)LSLSSLS量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)7

11、.1 7.1 量子态的不同表象，么正变换量子态的不同表象，么正变换()(,)kkkSSSaaa在 F 和 F表象中的矩阵表示分别表示力学量L()( )kjLLLLa是从F表象F表象的么正变换量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)7.1 7.1 量子态的不同表象，么正变换量子态的不同表象，么正变换 三、总结与比较量子态力学量LF表象（基矢 ）kF表象（基矢 ）a12,(,)kkaaaa 12,(,)aaaaaa11122122.().(,)kjkjkjLLLLLLLL11122122()(,)LLLLLLLLaaa量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)7.1 7.1 量子态的不同表象，么正变

12、换量子态的不同表象，么正变换7.3.1 Schrdinger方程i(1)Ht在F表象中(设F本征值为离散) ( )( )(2)kkkta t代入（1）式得 i( )kkkkkka ta H两边左乘j，取标积，得7.3 量子力学的矩阵形式量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)7.1 7.1 量子态的不同表象，么正变换量子态的不同表象，么正变换jkkjHH),( )(3)jjkkki a tH a写成矩阵的形式是111121221222(4)aHHaiaHHa此即F表象中的Schrdinger方程.量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)7.1 7.1 量子态的不同表象，么正变换量子态的不同表象

13、，么正变换7.3.2 平均值*11121*1221222( ,)(,)(,)(5)kkjjkkjjkjkjLLaLaa L aLLaa aLLa，力学量(算符) 在量子态L的平均值为特例若FL,即在自身表象中，则(,)kjkjkkjLLL*2|(6)kkjjkkkjkLa L aaL在态下量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)7.1 7.1 量子态的不同表象，么正变换量子态的不同表象，么正变换7.3.3 本征方程的本征方程为 算符L(7)LL用kkka代入kkkkkkaLLa两边左乘j，取标积，得jkkjkaLaL()0(8)jkjkkkLLa即量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)7.1

14、 7.1 量子态的不同表象，么正变换量子态的不同表象，么正变换这是ak的齐次线性方程组. 方程组有非平庸解的条件是系数行列式为零，即det | 0jkjkLL明显写出：1112132122233132330LLLLLLLLLLLL量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)7.1 7.1 量子态的不同表象，么正变换量子态的不同表象，么正变换如表象空间的维数为N，则上式是关于的N次方程，有N个实根.记为,(1,2,)jLjN分别用jL代入式（8），可求出相应的解()0jkjkkkLLa可以得到 ), 2 , 1()(Nkajk表成列矢的形式为NjaaajNjj, 2 , 1)()(2)(1注意：若有

15、重根，则会出现简并（不同的态对应相同的能级），简并态还不能唯一确定.量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)7.1 7.1 量子态的不同表象，么正变换量子态的不同表象，么正变换7.4.1 左矢(bra)和右矢(ket) Dirac符号的优点1. 毋需采用具体表象2. 运算简捷Hilbert空间：由量子体系的一切可能状态构成. 在这个空间中，态用右矢 表示，一般写为 也可以在右矢内填上相应的量子数或本征值来表示相应的态，如7.4 Dirac符号量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)7.1 7.1 量子态的不同表象，么正变换量子态的不同表象，么正变换nxpE、分别表示坐标、动量和能量算符的本征态

16、. lm|表示角动量算符 2(, )zll的共同本征态.左矢如 | |x、等,则是上述右矢的共轭态矢. 7.4.2 标积而*( , )( ,)(1)f f ff ( ,)f f 定义两个态矢 f和 ( ,)f ,f 的标积的形式为量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)7.1 7.1 量子态的不同表象，么正变换量子态的不同表象，么正变换若满足 0f 则称 与 f正交。 若满足 1 则称 为归一化态矢。 若力学量完全集F的本征态(离散)记为 k则其正交归一性可写为(2)kjk j对连续谱，比如坐标算符的本征态的正交归一性可写为()x xxx而动量算符的本征态的正交归一性可写为()p ppp量子力

17、学教程量子力学教程(第二版第二版)7.1 7.1 量子态的不同表象，么正变换量子态的不同表象，么正变换7.4.3 态矢在具体表象中的表示1. 离散谱的情况k展开系数(4)kak在 它是 k上的投影.用列矢表示为(3)kka k可用 展开，即k在F表象中(基矢记为 ),任意态矢量 量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)7.1 7.1 量子态的不同表象，么正变换量子态的不同表象，么正变换121|2|aa (4)式代入(3)式,得(5)kkkkkk(6)kPkk表示，即kk是一个投影算符，用kP(5)式中量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)7.1 7.1 量子态的不同表象，么正变换量子态的不同

18、表象，么正变换(7)kkPkka k式(5)中 是任意的,因此(8)kkkI 我们称算符I 为单位算符，这是基矢完备性的表现，通过以后的学习会发现它有着非常重要的意义.2. 连续谱的情况在这种情况下,上述的求和要用积分代替.比如：运算后，就得到态矢它对任何态矢在基矢k方向上的分量矢量量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)7.1 7.1 量子态的不同表象，么正变换量子态的不同表象，么正变换d x xxId (9)pppI3.两个态矢之间的标积写法 在F表象中，两个态矢 和 f之间的标积可如下计算：|kkkkkkkkkkkkfff1*122(,)(10)kkkkakkb ab baf f量子力学

19、教程量子力学教程(第二版第二版)7.1 7.1 量子态的不同表象，么正变换量子态的不同表象，么正变换7.4.4 算符在具体表象中的表示(11)LfL在F表象中， L的矩阵元是)kjLk L j(11)左乘k得设态矢 经算符 的作用后变成态矢 ,即Lf(12)jkk Lk L jjf量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)7.1 7.1 量子态的不同表象，么正变换量子态的不同表象，么正变换(13)kkjjjbL a即|kjbkajf，在F表象中的表示为,jk Lk L jjL k即()0(15)kjkljjLLa力学量L的本征方程(14)LL基矢 方向的投影. jaj 是 在F表象的j分别是态矢

20、,f在F表象中的表示量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)7.1 7.1 量子态的不同表象，么正变换量子态的不同表象，么正变换式(15)写成矩阵的形式，有212221121121aaLLLLbb7.4.5 Schrdinger方程Schrdinger方程可写为i(16)Ht在F表象中表示如下：量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)7.1 7.1 量子态的不同表象，么正变换量子态的不同表象，么正变换ijkk Hk H jjt即i(17)kkjjjaH a的平均值用Dirac符号表示为在|态下，L*(18)kkjjkjkjLLkk L jja L a量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)7.

21、1 7.1 量子态的不同表象，么正变换量子态的不同表象，么正变换7.4.6 表象变换1.态的表象变换态 在F表象中用 kka描述，在F表象中用 aaa 描述，则此两个表示之间的关系可由下式给出(利用(8)式)(19)kkka a即(20)kkkaS aaa 式中(21)kSkaa是从FF表象的变换，描述两个表象的基矢之间的关系。量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)7.1 7.1 量子态的不同表象，么正变换量子态的不同表象，么正变换写成矩阵的形式，有111121221222(22)aSSaaSSa可以简写成(22)aSa其中S为么正矩阵，即满足(23)S SSSI下面用Dirac符号来证明上

22、式量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)7.1 7.1 量子态的不同表象，么正变换量子态的不同表象，么正变换证明：在F表象中*()kjkjkjS SS SS SaaaaaaISS同理可证 ISS*kjaaakjaaa(24)kjk j量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)7.1 7.1 量子态的不同表象，么正变换量子态的不同表象，么正变换2. 算符的表象变换算符 L在F表象中的矩阵元为jkLj L k在F表象中的矩阵元为LLaa 而kjLLjj L kkaaa *jjkkkjS L SajjkkkjS L Sa)(25)SLSa量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)7.1 7.1 量子态

23、的不同表象，么正变换量子态的不同表象，么正变换写成矩阵的形式是1(25)LSLSSLS ,L L分别为 L在F和F表象中的矩阵以下讨论连续谱表象，特别是坐标表象和动量表象(1)在x表象中x的矩阵元很容易写出本征方程为() (26)x xx xx 实本征态的正交归一关系为()(27)x xxx量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)7.1 7.1 量子态的不同表象，么正变换量子态的不同表象，么正变换任一量子态在x表象中表示为x通常记为( )(28)xx在x表象中，坐标本征态（本征值为x）表示为( )()(29)xxx xxx而动量本征态(本征值为p)表示为i/1e(30)2p xx p 类似可以

24、给出动量的本征方程和本征态的正交归一关系为量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)7.1 7.1 量子态的不同表象，么正变换量子态的不同表象，么正变换()(31)p pp pp 实()(32)p ppp在动量表象中，动量本征态(本征值为p)表示为()(33)p ppp坐标本征态(本征值为x) 表示为i/1( )e(34)2x pxpp x量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)7.1 7.1 量子态的不同表象，么正变换量子态的不同表象，么正变换(2)坐标表象与动量表象的变换( )dxxp x pp( )dppxp xxi/1de()2p xppi/1de( )(35)2pxppi/1de( )

25、2x pxxi/1de( )(36)2xpxx量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)7.1 7.1 量子态的不同表象，么正变换量子态的不同表象，么正变换在坐标表象中，力学量的“矩阵”表示如下，例如，坐标x矩阵表示为()(37)x x xxxx而动量p的“矩阵”表示为量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)7.1 7.1 量子态的不同表象，么正变换量子态的不同表象，么正变换 ( )x xpx p xd dp px pp p pp xii1d de() e2p xp xp pppp i()1d d2p xxp p ei()1id e2p xxpx()(38)ixxx 量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)7.1 7.1 量子态的不同表象，么正变换量子态的不同表象，么正变换与此类似,可计算出,在动量表象中动量的“矩阵”表示()(39)p p pppp而坐标x的“矩阵”表示为i()(40)p x pppp3. 力学量在不同表象中的平均值在量子态下(设已归一化),力学量