第2章随机变量及其分布2

1、中山大学中山大学 工学院工学院.402xxXP解解 l 若若x0, 则则X x是不可能事件是不可能事件, 于是于是 F(x)=PX x=0.l 若若0 x 2, 由题意由题意, P0 X x=kx2, k是某一常数是某一常数, 为了确定为了确定k的值的值, 取取x=2, 有有P0 X 2=22k. 但已知但已知P0 X 2=1, 故得故得k=1/4, 即即 . 2, 1, 20, 4/, 0, 0)(2xxxxxF.400)(2xxXPXPxXPxF . 2, 1, 20, 4/, 0, 0)(2xxxxxFx1231/21OF(x),d)()( xttfxF ., 0, 20,2)(其它其它

2、tttf其中其中 . 2, 1, 20, 4/, 0, 0)(2xxxxxFx1231/21Of(x)x1 2 31/21OF(x)1.4(d)()( xttfxF).()(,)(. 4.d)()()()(),( ,. 3. 1d)(. 2. 0)(. 12112212121xfxFxxfxxfxFxFxXxPxxxxxxfxfxx 则有则有连续连续在点在点若若对于任意实数对于任意实数Oxf(x)1Oxf(x)x1x21)2 . 4(.)(lim)()(lim)(00 xxxXxPxxFxxFxfxxPx1 X x2 = F(x2) - F(x1).271)3();()2( ;) 1 (.,

3、0, 43,22, 30,)(XPxFXkxxxkxxf求的分布函数求确定常数其它Ox341/2f(x)kx22x .,)(,d)(d,d)()(其它其它的概率密度为的概率密度为于是于是解得解得得得由由x xx xx xx xx xf fX Xk kx xx xx xkxkxx xx xf fOx341/2f(x)kx22x .,)(.,dd,d,)(x xx xx xx xx xx xx xx xF Fx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xF Fx xx x即即4xOx341/2f(x)kx x xOx341/2f(x)O34F(x)1x4841)1(27271)

4、3( FFXP以后当提到一个以后当提到一个 随机变量随机变量X的的 概率分布概率分布“ 时时, 指的是它指的是它的的分布函数分布函数; 或者或者: l 当当X是是连续型连续型时时, 指的是它的指的是它的概率密度概率密度. l 当当X是是离散型离散型时时, 指的是它的指的是它的分布律分布律.)5 . 4(, 0,1)( 其它其它bxaabxf.d1d)(ablxabxxflcXcPlcclcc )6 . 4(., 1, 0)( bxbxaabaxaxxFOab1F(x)x5 . 0d20011050950, 01100900,90011001)(1050950 rRPrrf故有故有其它其它)7

5、. 4(, 0, 0,e1)(/ 其它其它xxfx )8 . 4(., 0, 0,e1)(/ 其它其它xxFx Oxf(x)123123=1/3=1=2.eee)(1)(1)()(|/)(tXPsFtsFsXPtsXPsXPsXtsXPsXtsXPtsts )10. 4(,e21)(222)( xxfx 1d)( xxf 证明证明: 令令(x )/ = t, 得到得到 texetxd21d2122)(222 2/ 2edtIt 记222()/2d d ,tuIetu 则有 222200,ed d2(4.11)rIrr 转换为极坐标 得222()2211dd1.22xtexet于是2d22tet

6、Oxf(x) =5 =5.21)( f0.2660.3990.798xOf(x) 1.5 1 0.5).(,de)()( x xt tt tx xF F 1F(x)0.5xO)14.4(.de21)()13.4(,21)(2/2/22 xtxtxex fai 20 1,( , )XXNZN 引引理理若若则则得得令令,de21222)(uttxXPxXPxZPxt )(de212/2xuxZPxu 证的分布函数为的分布函数为 XZ由此知由此知ZN(0,1).F(x) =)16. 4(.)( xxXPxXPxFZ)17. 4(.122121 xxxXxPxXxP.3094.06915.016179

7、.0)5 .0(1 6179.0)5 .0()3 .0(210216 .16 .10XP)17. 4(.xxxXxP1221)17. 4(.xxxXxP1221322368.26%95.44%99.74%90899089( 2)0.50.51(2)10.97720.0228.XP XP P X 80 0.99.),.().(. d dd dd dd dd dd dX XP Pd dd dX XP PX XP P故需故需亦即亦即 P X 80 0.99XN (d, 0.52)zaa ., 0, 40,8)(其它其它xxxfX.282882)( yFyXPyXPyYPyFXY ., 0,168,3

8、28, 0, 4280,2128812828)(其它其它其它其它yyyyyyfyfXY.28)( yFyFXY 其它其它x xx xx xf fX X)().()()(2yFyFyXyPyXPyYPyFXXY . 0, 0, 0),()(21)(yyyfyfyyfXXY).()()(yFyFyFXXY (5.1) xxx,e21)(2/2 . 0, 0, 0,e21)(2/2/1yyyyfyY此时称此时称 Y 服从自由度为服从自由度为1的的 c c2 分布分布. fai chi)2 . 5(, 0,|,)(|)()( 其它其它 a ayyhyhfyfXY)3 . 5(., 0,),()()(

9、其它其它 a ayyhyhfyfXY)4 . 5(., 0,),()()( 其它其它 a ayyhyhfyfXY合并合并(5.3),(5.4)式得证式得证.)2 . 5(, 0,|,)(|)()( 其它其它 a ayyhyhfyfXY定理：定理：fX (x), - x 定理：定理：a, b .,e21)(222)( xxfxX .1)(,)(ayhabyyhx 且有且有由由(5.2)式式得得Y=aX+b的概率密度为的概率密度为.,|1)(yabyfayfXY.,e2|1e21|1)(2222)(2)(2yaayfabayabyY即即).1 , 0(,/,/1,NXYba 得得在上例中取在上例中取特别特别222)(e21)(xXxf 2,2,U是一随机变量是一随机变量相角相角常数