2017年中考数学专题复习九中考压轴题

1、专题九：二次函数压轴题【问题解析】中考压轴题是中考必不可少的试题，这类题一般是融代数、几何为一体的综合题，或 者是解决实际问题的综合题.此类题注重对数学思想方法、探究性思维能力和创新思维能 力的考查，涉及的知识比较多，信息量大，题目灵活，要求学生有较高的分析问题、解决 问题的能力.它符合新课标对学生能力提高的要求.从近几年各省市中考数学压轴题来看，作为试卷的最后一题，一般都是循序渐进地设 置几个问题，对学生的要求一步步的抬高.压轴题涉及知识多，覆盖面广，综合性强，难 度系数大，关系比较复杂，解法灵活，既考查了学生的基础知识和基本技能，又考查了学 生的数学思想方法和探索创新能力、解决问题能力，是

2、必不可少的.近几年来主要以函数 和几何综合题、二次函数与代数知识综合应用、一次函数与二次函数综合题、开放探究题 等类型出现，【热点探究】类型一：抛物线与三角形的综合问题【例题1】(2016 云南省昆明市) 如图1,对称轴为直线x=L的抛物线经过 B (2, 0)、C (0, 4)两点，抛物线与 x轴的另一交点为 A(1)求抛物线的解析式；(2)若点P为第一象限内抛物线上的一点， 设四边形COBP勺面积为S,求S的最大值；(3)如图2,若M是线段BC上一动点，在x轴是否存在这样的点 Q使MQE等腰 三角形且 MQB为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.【考点】二次函数综合题

3、.【分析】(1)由对称轴的对称性得出点 A的坐标，由待定系数法求出抛物线的解析式;(2)作辅助线把四边形 COB分成梯形和直角三角形，表示出面积S,化简后是一个关于S的二次函数，求最值即可；(3)画出符合条件的 Q点，只有一种，利用平行相似得对应高的比和对应边的比相 等列比例式；在直角 OCQ和直角4CQM利用勾股定理列方程；两方程式组成方程组求解 并取舍.【解答】解：(1)由对称性得：A(- 1, 0),设抛物线的解析式为：y=a (x+1) (x-2),把 C (0, 4)代入：4=-2a, a= 2, -y=- 2 (x+1) (x 2),，抛物线的解析式为：y=-2x2+2x+4;1,

4、 c 2 c .B= -m ( - 2m+2m+4+42(2m+2m+4) ( 2 - mi),(2)如图1,设点P (n - 2m2+2m+4 ,过P作PDLx轴，垂足为 D,S = S 梯形+Sa PD.S=- 2m+4m+4= 2 ( m 1) 2+6,- 2V 0,S有最大值,则S大二6;(3)如图2,存在这样的点 Q,使MQE等腰三角形且 MQB为直角三角形, 理由是：设直线BC的解析式为：y=kx+b ,r 2k+t=o把 B (2, 0)、C (0, 4)代入得：，.，I. b 二 4解得：I,， 直线BC的解析式为：y= - 2x+4,设 M (a, - 2a+4),过A作AH

5、 BG垂足为 E,则AE的解析式为：y=x+,则直线BC与直线AE的交点E (,),设 Q ( - x, 0) (x 0), AE/ QM .AB回 AQBMI ,-2己内 2r由勾股定理得：x2+42=2Xa，（- 2a+4-4） 2,4由得：ai=4 （舍）,a2=,9 4叶4当a=时，x=, qa-CJ（-y, 0）.麻【同步练】(2016 浙江省湖州市)如图，已知二次函数y= - x2+bx+c (b, c为常数)的图象经过点A (3, 1),点C (0, 4),顶点为点 M,过点A作AB/x轴，交y轴于点D,交该二次函数图象于点B,连结BC(1)求该二次函数的解析式及点 M的坐标;(

6、2)若将该二次函数图象向下平移m (m0)个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在 ABC的内部(不包括 ABC的边界)，求m的取值范围;(3)点P是直线AC上的动点，若点 P,点C,点M所构成的三角形与 BCD相似，请直接写出所有点 P的坐标(直接写出结果，不必写解答过程)类型二：抛物线与四边形的综合问题【例题2】2016 青海西宁 12分)如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABC皿以AB 为直径的。M的内接四边形，点 A, B在x轴上，4MBC是边长为2的等边三角形，过点 M 作直线l与x轴垂直，交。M于点E,垂足为点 M且点D平分菽H(1)求过A, B, E三点的抛物线的解析式；(2

7、)求证：四边形 AMCDI菱形；(3)请问在抛物线上是否存在一点巳使彳#ABP的面积等于定值5?若存在，请求出所有的点P的坐标；若不存在，请说明理由.【考点】二次函数综合题.【分析】(1)根据题意首先求出抛物线顶点E的坐标，再利用顶点式求出函数解析式;(2)利用等边三角形的性质结合圆的有关性质得出/ AMD =CMD= L/AMC=60 ,进而2得出DC=CM=MA=ADP可得出答案；(3)首先表示出 ABP的面积进而求出n的值，再代入函数关系式求出P点坐标.【解答】(1)解：由题意可知， MBC为等边三角形，点 A, B, C, E均在。M上，则 MA=MB=MC=ME=2又 COL MB.

8、MO=BO=1 .A (- 3, 0), B (1, 0), E (- 1, - 2),抛物线顶点E的坐标为(-1 , -2),设函数解析式为y=a (x+1) 2- 2 (aw。)把点 B (1, 0)代入 y=a (x+1) 2- 2,解得：a=,故二次函数解析式为：y=1 (x+1) 2 - 2;(2)证明：连接DM MBE等边三角形，/ CMB=60 , ./AMC=120 , 点D平分弧AG/ AMD = CMD=yZAMC=6i0 ,-1 ，MD=MC=MA MCD MDA是等边三角形，DC=CM=MADA四边形AMC为菱形(四条边都相等的四边形是菱形)；(3)解：存在.理由如下：

9、设点P的坐标为(成n)|n| , AB=4ABx 4X |n|=5 ,即 21n|=5 ,5解得：n=51当1J时，(m+1)2-2一-解此方程得：m=2, m2=- 4即点P的坐标为(2,二)，(-4,5), 22耳1R当 n二一不时，(m+1) 2- 2=-, jlZZ此方程无解，E5故所求点P坐标为(2, ), (-4,). 【同步练】(2016 四川眉山)已知如图，在平面直角坐标系xOy中，点A B、C分别为坐标轴上上的三个点，且 OA=1, OB=3 OC=4(1)求经过 A B C三点的抛物线的解析式；(2)在平面直角坐标系 xOy中是否存在一点 P,使得以以点 A B C、P为顶

10、点的四边 形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若点M为该抛物线上一动点，在(2)的条件下，请求出当|PM-AM|的最大值时点M的坐标，并直接写出|PM-AM|的最大值.类型三：抛物线与图形变换的综合问题【例题31(2016 陕西)如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+5 经过点M (1, 3)和N (3, 5)(1)试判断该抛物线与 x轴交点的情况；(2)平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点A (-2, 0),且与y轴交于点B,同时满足以A、Q B为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由.【考点】二次函数综合题.【分

11、析】(1)把M N两点的坐标代入抛物线解析式可求得a、b的值，可求得抛物线解析式，再根据一元二次方程根的判别式，可判断抛物线与x轴的交点情况；(2)利用A点坐标和等腰三角形的性质可求得B点坐标，设出平移后的抛物线的解析式，把A、B的坐标代入可求得平移后的抛物线的解析式，比较平移前后抛物线的顶点的变 化即可得到平移的过程.【解答】解：(1)由抛物线过M N两点,把M N坐标代入抛物线解析式可得岂4b45二3在刀/曰,解得9a+3b+5-5b二一 3，抛物线解析式为 y=x2- 3x+5,令 y=0 可得 x2 - 3x+5=0,该方程的判别式为 = (- 3) 2-4X1 X 5=9- 20=-

12、 1K0,抛物线与x轴没有交点;（2） AOB是等腰直角三角形， A （ - 2, 0）,点B在y轴上,.B 点坐标为（0, 2）或（0, - 2）,可设平移后的抛物线解析式为y=x2+mx+n,7二 2当抛物线过点 A（ - 2, 0）, B （0, 2）时，代入可得- 八4 一 2nrfn=0平移后的抛物线为 y=x2+3x+2,解得.该抛物线的顶点坐标为（-413 11京 -），而原抛物线顶点坐标为（节），将原抛物线先向左平移3个单位，再向下平移 3个单位即可获得符合条件的抛物线;当抛物线过A( 2,0),B (0,-2）时，代入可得24 - 2nH门二 0nrl解得 门2，平移后的抛物

13、线为 y=x2+x- 2,Y| qg |ii.该抛物线的顶点坐标为（-而原抛物线顶点坐标为（ y,将原抛物线先向左平移 2个单位，再向下平移 5个单位即可获得符合条件的抛物线.y=一二:x2+ ： x+3【同步练】（2016 重庆市A卷 12分）如图1,在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A, B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C,抛物线的顶点为点 E.（1）判断 ABC的形状，并说明理由;（2）经过B, C两点的直线交抛物线的对称轴于点D,点P为直线BC上方抛物线上的一动点，当 PCD的面积最大时，Q从点P出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点M处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动

14、到y轴上的点N处，最后沿适当的路径运动到点A处停止.当点 Q的运动路径最短时，求点 N的坐标及点Q经过的最短路径的长；（3）如图2,平移抛物线，使抛物线的顶点 E在射线AE上移动，点E平移后的对应点为点E,点A的对应点为点 A,将4AOC绕点。顺时针旋车专至八41OC的位置，点A, C的对应点分别为点 A, C,且点Ai恰好落在AC上，连接GA , CE , CE 是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点E的坐标；若不能，请说明理由.图L图2每用图类型四：抛物线下的动态最值问题【例题4】(2016 贵州安顺 14分)如图，抛物线经过 A (- 1, 0), B (5, 0) , C(0

15、, I)三点.(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点 P,使PA+PC勺值最小，求点 P的坐标；(3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N,使以A, C, M, N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由.【分析】(1)设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c (aw0),再把A ( - 1, 0), B (5, 0), _5C (0,2)三点代入求出 a、b、c的值即可；(2)因为点A关于对称轴对称的点 B的坐标为(5, 0),连接BC交对称轴直线于点 巳 求出P点坐标即可；(3)分点N在x轴下方或上方两种情况进行讨论.【解答】解：(1

16、)设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c (aw0),.A (-1, 0) , B (5, 0), C (0,2 )三点在抛物线上，抛物线的解析式为：y=2x2-2x- 2 ；(2)二.抛物线的解析式为：y=2x2-2x-2-2连接BG如图1所示，旦. B (5, 0), C (0, -2),，设直线BC的解析式为y=kx+b (kw0),解得12 ,1_ 5_ ,直线BC的解析式为y=2x - 2 ,至 3_当 x=2 时，y=1 - 2 = - 23 P (2, - 2);(3)存在.如图2所示,当点N在x轴下方时,立 抛物线的对称轴为直线 x=2, C (0, -2),1$Ni (4,

17、 -2)；当点N在x轴上方时，如图，过点 N2作NkD)1x轴于点D,在AANaD与4M 2CO中，zm?ad=zcw2o/AN/: NM2co. .AN2g AM 2CO (ASA ,旦旦.N2D=OC=,即N2点的纵坐标为2 .2 x2 - 2x -2=工，解得 x=2+d1N 或 x=2 - VTi,1 支N2(2+x/14, 2), Nb(2-J14, 2).m 旦 ”综上所述，符合条件的点N的坐标为(4,-幺)，(2+工，？)或(2-J逋，2 ).国1,【点评】本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、平行四边的判定与性质、全等三角形等知识，在解答(

18、3)时要注意进行分类讨论.【同步练】(烟台市2015中考-24 )如图，在平面直角坐标系中， 抛物线y=ax2+bx+c与。M相交 于A、B、C D四点，其中 A B两点的坐标分别为(-1, 0), (0, -2),点D在x轴上且 AD为。M的直径.点E是。M与y轴的另一个交点，过劣弧 筋上的点F作FHUAD于点H, 且FH=(1)求点D的坐标及该抛物线的表达式；(2)若点P是x轴上的一个动点，试求出 PEF的周长最小时点 P的坐标；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q使4QC等腰三角形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由.类型五：抛物线下的动态存在问题【例题5】(枣庄市2

19、015中考-25 )如图，直线y=x+2与抛物线y ax2 bx 6 (aw。)相交于A (1, 5)和B (4, mD,点P是线段AB上异于A B的动点，过点 P作PCLx轴于点D,交抛物线于点 C.(1)求抛物线的解析式；(2)是否存在这样的 P点，使线段PC的长有最大值？若存在， 求出这个最大值；若不存在，请说明理由；(3)求 PAC为直角三角形时点 P的坐标.思路分析：此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识解题时注意联系，对于题(1)已知B (4, mD在直线y=x+2上，很容易求得 m的值，又因为已知抛物线图象上的A、

20、B两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值.(2)要弄清PC的长，实际是直线 AB与抛物线函数值的差. 可设出P点横坐标，根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，进而得到关于PC与P点横坐标的函数关系式， 根据函数的性质即可求出 PC的最大值.对于题(3)当APAC为直角三角形时，根据直角顶点的不同，需要结合图形从三种情 况进行分类讨论，分别求解.解题过程:解：(1) . B (4, mm 在直线 y=x+2 上,m=4+2=6B (4, 6),A(工，5)、B (4, 6)在抛物线 y ax2 bx 6上,22 16a 4b 6，抛物线的解析式为 y

21、 2x2 8x 6 .（2）设动点P的坐标为（n, n+2）,则C点的坐标为（n2,2n 8n 6), .PC=( n+2) ( 2n5 kb- r 则：2 b 2 ,解得 3k b 0 8n 6),22n 9n9=2(n -)44983 ,. PO 0,9当n=9时,4线段PC最大且为丝.8（3） .PAC为直角三角形,i）若点P为直角顶点，则/ APC=90 .由题意易知，PC/y轴，/APC=45 ,因此这种情形不存在;ii ）若点A为直角顶点，则/ PAC=90 .如答图3- 1,过点A ( 1 ,25 )作ANLx轴于点N,则ON=1 ,AN=5 .2过点A作AML直线AB,交x轴于

22、点M则由题意易知， AMN为等腰直角三角形,5 .-，MN=AN5 ,2OM=ON+mN=+5 =32 2.M (3, 0).设直线AM的解析式为:y=kx+b,，直线AM的解析式为:y= - x+3 又抛物线的解析式为：y=2x2-8x+6 联立式，解得：x=3或x=1 （与点A重合，舍去）2 .C （3, 0）,即点C、M点重合.当 x=3 时，y=x+2=5,-Pi (3, 5);iii ）若点C为直角顶点，则/ ACP=90 .,y=2x2-8x+6=2 (x-2) 2-2,抛物线的对称轴为直线如答图3-2,作点A （关于对称轴x=2的对称点C,则点C在抛物线上，且当x= 7时,2y=

23、x+2=. 2P2 (7 , 2点 Pi (35)、P2均在线段AB上,U)，综上所述， PAC为直角三角形时，点 P的坐标为（3, 5）或（规律总结：熟练把握关于二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识是解此类综合性强的问题的关键.【同步练】(2016 内蒙古包头)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx-2 (aw0)与x轴交于A (1, 0)、B (3, 0)两点，与y轴交于点C,其顶点为点 D,点E的坐标为(0, -1),该抛物线与 BE交于另一点F,连接BC.(1)求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为y=a (x-h

24、) 2+k的形式；(2)若点H (1, y)在BC上，连接FH,求4FHB的面积；(3) 一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平沿行与 y轴方向向上运动，连接OM BM设运动时间为t秒(t0),在点M的运动过程中，当t为何值时，/ OMB=900?(4)在x轴上方的抛物线上，是否存在点P,使得/ PBF被BA平分？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.类型六：抛物线与相似的综合问题【例题6】(烟台市2014中考-26 )如图，在平面直角坐标系中，RtAABC的顶点A,C分别在y轴，x轴上，/ ACB=90 , OA=/3,抛物线y=ax2-ax - a经过点B (2, y轴交

25、于点D.(1)求抛物线的表达式；(2)点B关于直线AC的对称点是否在抛物线上？请说明理由；(3)延长BA交抛物线于点E,连接ED,试说明ED/ AC的理由.【解析】(1)把点B的坐标代入抛物线的表达式即可求得.(2)通过AO。ACFB 求得 OC 的值，通过 OC牵 FCB 得出 DC=CB / OCD = FCB 然后得出结论.(3)设直线AB的表达式为y=kx+b,求得与抛物线的交点E的坐标，然后通过解三角函数求得结果.【解答】解：(1)把点B的坐标代入抛物线的表达式，得 Ya=ax22-2a-a,3解得a区,.抛物线的表达式为 y书x2 g g(2)连接C口过点B作BFx轴于点F,则/B

26、CF吆CBF=90. /ACB=90 , . / ACO+BCF=90 ,/ ACOg CBF. .AO。ACFBCF BF设 OC=m 贝U CF=2 m,贝U有解得 m=n3=1,.OC=CF=1当 x=0 时，y=.OD=,.BF=OP / DOC = BFC=90 ,.OC牵 AFCB . DC=CB / OCD g FCB，点B C D在同一直线上,，点B与点D关于直线AC对称,，点B关于直线AC的对称点在抛物线上.(3)过点E作EGLy轴于点G,设直线 AB的表达式为y=kx+b ,则解得. .y= ，一x+.代入抛物线的表达式-3x解得x=2或x=- 2,当 x= - 2 时 y

27、= -(2) +. 尸上3.点E的坐标为（-2,且3）,3. tan /EDG=jDG/ EDG=30. tan / OAC耍=-=工?0A/ OACg EDGED/ AC【点评】本题考查了待定系数法求解析式，三角形相似的判定及性质，以及对称轴的性 质和解三角函数等知识的理解和掌握.【同步练】(2016 湖北荆门 14分)如图，直线y=-Jx+2/与x轴,y轴分别交于点 A点B,两动点D, E分别从点A,点B同时出发向点。运动(运动到点 。停止)，运动速度分别 是1个单位长度/秒和仃个单位长度/秒，设运动时间为t秒，以点A为顶点的抛物线经过 点E,过点E作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点

28、 G,与AB相交于点F.(1)求点A,点B的坐标；(2)用含t的代数式分别表示 EF和AF的长；(3)当四边形ADEF为菱形时，试判断 AFG与4AGB是否相似，并说明理由.(4)是否存在t的值，使4AGF为直角三角形？若存在，求出这时抛物线的解析式； 若不存在，请说明理由.【达标检测】1. (2016 湖北黄石 8分)科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园.如图所示，图中点的横坐标 x表示科技馆从8: 30开门后经过的时间(分钟)，纵坐标 y表示到达科技馆的总人数.图中曲线对应的函数解析式为y= a*, 10： 00之后来的游客较少可忽略不计. 90产+口，30x0)个单位，使平移后得到的二次函数

29、图象的顶点落在 ABC的内部(不包括 ABC的边界)，求m的取值范围；(3)点P是直线AC上的动点，若点 P,点C,点M所构成的三角形与 BCD相似，请 直接写出所有点 P的坐标(直接写出结果，不必写解答过程)【考点】二次函数综合题.【分析】(1)将点A、点C的坐标代入函数解析式，即可求出b、c的值，通过配方法得到点M的坐标；(2)点M是沿着对称轴直线 x=1向下平移的，可先求出直线 AC的解析式，将x=1代入求出点M在向下平移时与 AG AB相交时y的值，即可得到 m的取值范围；(3)由题意分析可得/ MCP=90,则若 PCM与 BCD相似，则要进行分类讨论，分成 PCMh BDC或 PC

30、Mh CDB两种，然后利用边的对应比值求出点坐标.【解答】解：(1)把点A (3, 1),点C (0, 4)代入二次函数y=-x2+bx+c得,解得b=2:匕二4( ，3 -bSb+c1a，二次函数解析式为 y= - x2+2x+4,配方得 y=- （ x- 1） 2+5,点M的坐标为（1,5）;fk=- 1（b-4(2)设直线AC解析式为y=kx+b ,把点A (3, 1), C (0, 4)代入得,3k+b=l在刀/曰解得b二 4E、,直线AC的解析式为y=-x+4,如图所示，对称轴直线x=1与4ABC两边分别交于点把x=1代入直线AC解析式y=-x+4解得y=3,则点E坐标为(1, 3)

31、,点F坐标为(1,1).1 5- m 3,解得 2Vm 4;(3)连接MC彳MG_y轴并延长交 AC于点N,则点G坐标为(0, 5) . MG=1 GC=5- 4=1 - mc=/1g2+CG 用 lW =近,把y=5代入y= - x+4解得x= - 1,贝U点N坐标为（1, 5）, NG=GC GM=GC/ NCG = GCM=45 , / NCM=90 ,由此可知，若点 P在AC上，则/ MCP=90 ,则点 D与点C必为相似三角形对应点若有PCMh ABD(C则有CF ED ,BD=1 CD=3,. CP二L二 Cr= =CD 33 .CD=DA=3 .Z DCA=45 ,PhLy 轴,

32、若点P在y轴右侧，作 ./PCH=45, CP=3把x代入y= x+4,解得 y=- kJJp J 11Pi(3与同理可得，若点 P在y轴左侧，则把x=代入 y= x+4,13解得y4 J.P2)；若有 PCMh ACDB则有HC _即CF CD.CP= .=3,-：，PH=3/+ 扬3,若点P在y轴右侧，把x=3 代入 y= x+4 ,解得 y=1;若点P在y轴左侧，把x=- 3 代入 y= x+4,解得 y=7.P3(3, 1); P4 ( 37).所有符合题意得点 P坐标有4个，分别为PiL J3亏),P3 (3,1), P4 ( 3, 7).类型二：抛物线与四边形的综合问题【同步练】(

33、2016 四川眉山)已知如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上上的三个点，且 OA=1, OB=3 OC=4(1)求经过A、B C三点的抛物线的解析式;(2)在平面直角坐标系 xOy中是否存在一点 P,使得以以点 A B C、P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若点M为该抛物线上一动点，在(2)的条件下，请求出当|PM-AM|的最大值时点M的坐标，并直接写出|PM-AM|的最大值.a, b, c【分析】(1)设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c,把A, B, C三点坐标代入求出的值，即可确定出所求抛物线解析式;(2)在平面直角坐

34、标系 xOy中存在一点P,使得以点A、B、C P为顶点的四边形为菱形，理由为：根据 OA OR OC的长，利用勾月定理求出 BC与AC的长相等，只有当 BP与AC平行且相等时，四边形 ACB阴菱形，可得出 BP的长，由OB的长确定出P的纵坐标，确定出P坐标，当点P在第二、三象PM时，以点 A、B、C、P为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形；(3)利用待定系数法确定出直线PA解析式，当点 M与点P、A不在同一直线上时，根据三角形的三边关系|PM- AM| PA,当点M与点P、A在同一直线上时，|PM-AM|=PA当点M与点P、A在同一直线上时，|PM-AM|的值最大，即点M为直线PA与抛物线

35、的交 点，联立直线 AP与抛物线解析式，求出当|PM-AM|的最大值时M坐标，确定出|PM-AM|的 最大值即可.【解答】解：(1)设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c,. A (1, 0)、B (0, 3)、C (- 4, 0), c:3,16a_ 4b+c=0解得：a=一卷，b=一卷，c=3,经过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=-x2-5-x+3;44（2）在平面直角坐标系 xOy中存在一点P,使得以点A、B、C P为顶点的四边形为菱 形，理由为：. OB=3 OC=4 OA=1,BC=AC=5当BP平行且等于 AC时，四边形 ACB皿菱形，BP=AC=5且点P到x轴的距离等于 O

36、B，.点P的坐标为（5, 3）,当点P在第二、三象PM时，以点 A、B C、P为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形,则当点P的坐标为（5, 3）时，以点A、B、C P为顶点的四边形为菱形;（3）设直线PA的解析式为y=kx+b （kw0）,. A (1, 0), P (5, 3),* ，|kfb=0解得：k=-, b= -,44直线PA的解析式为当点M与点P、A不在同一直线上时，根据三角形的三边关系|PM- AM|PA,当点M与点P、A在同一直线上时，|PM-AM|=PA，当点M与点P、A在同一直线上时,|PM-AM|的值最大，即点M为直线PA与抛物线的点M的坐标为（1, 0）或（-5,争

37、时,|PM AM|的值最大，此时|PM- AM|的最大值为5.【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：二次函数的性质， 待定系数法确定熟练掌握待定系数法抛物线解析式、一次函数解析式，菱形的判定，以及坐标与图形性质, 是解本题的关键.类型三：抛物线与图形变换的综合问题【同步练】(2016 重庆市A卷 12分)如图1,在平面直角坐标系中，抛物线 y=与x轴交于A, B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C,抛物线的顶点为点 E.(1)判断 ABC的形状，并说明理由；(2)经过B, C两点的直线交抛物线的对称轴于点D,点P为直线BC上方抛物线上的一动点，当 PCD的面积最大时，Q从点P出发，先

38、沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上 点M处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到y轴上的点N处，最后沿适当的路径运动到点A处停止.当点 Q的运动路径最短时，求点 N的坐标及点Q经过的最短路径的长；(3)如图2,平移抛物线，使抛物线的顶点E在射线AE上移动，点E平移后的对应点为点E,点A的对应点为点 A,将4AOC绕点。顺时针旋车专至2 1OC的位置，点A, C的 对应点分别为点 A, C,且点A1恰好落在AC上，连接GA , CE , AA C1E是否能为等 腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点E的坐标；若不能，请说明理由.图2卷用国【分析】(1)先求出抛物线与 x轴和y轴的交点坐标，再用勾股定理的逆定理判断出 ABC是直角三角形;(2)先求出Sapcd最大时，点 P日)，然后判断出所走的路径最短，即最短路径的长为PM+MN+NA长，计算即可;(3)C1E是等腰三角形，分三种情况分别建立方程计算即可.【解答】解：（1） 4ABC为直角三角形，当 y=0 时，即x2+-x+3=0, 33x 1=-x2=33 .A （-毋，0） , B （3四 0）, oaVs, ob=3/3,当 x=0 时，y=3,C （0, 3）,.OC=3根据勾股定理得，AC2=O百+OC=12, BC2=OB+OC=36,. .AC2+BC=48,. AB2=3-73-（一收）2=48,.