走进数学思维(周炳炎)

1、绍兴县实验小学周炳炎走进数学思维走进数学思维做一名大气而充满数学味的教师共读一本书：数学思维与小学数学教学什么是思维？什么是思维？ 思维是人类大脑能动地反映客观现实的过程，是人类开开动脑筋动脑筋认识世界的过程中进行比较、分析、综合的能力，是人类大脑的一种机能。思维是复杂的，多形态的，一个人同时并存着几种不同形态的高度发达的思维。一般把思维分为三种类型：1直观动作思维2形象思维3抽象思维： 这三种类型的思维活动，语言在其中的作用是不相同的。前两种思维很少语言的活动，一般称为非语言思维，第三种思维主要依靠语言进行，所以是语言思维。什么是数学思维 思维是人脑对客观事物的本质属性和事物之间内在联系的规

2、律性所作的概括与间接的反映。数学思维是以数量关系和空间形式为思维对象，.以数学的语言和符号为思维的载体，并以认识和发展数学规律为目的的一种思维。数学思维有一般思维的分类特点和智力品质，但也有其特殊性。 数学思维的分类。根据数学思维反映的对象(数量关系和空间形式)不同，数学思维可以分为函数思维和空间思维。 数学思维具有抽象性、严谨性、统一性。*据邵瑞珍的研究(教育心理学，上海教育出版社)走进数学思维 数学思维：一个持续的热点与难点。 现状与问题（“数学思想方法：想说爱你不容易。”湖南教育，2008，第十一期）：（“感受小学数学思想的力量”人民教育07年第年第18期期张景中院士）第一，普遍的思想障

3、碍：由于小学数学的内容较为简单，因此就不可能很好体现数学思维。一些相关的看法 小学数学不必提什么数学思想吧？那有什么意思呀？真的搞不懂，你们的学生个个是天才吗？对学生没有必要说这个事吧？ 数学思想是很抽象的。 小学生没有一定的数学知识怎么能体验和理解那个东西（数学思想方法）呀？ 对小学生谈数学思想是有点虚的感觉呀。 和小学生谈什么所谓的数学思想有一点拔苗助长的味道。第二，实践中的问题：教学内容贫乏；我们还可经常看到“简单移植”、“随意拔高”等不恰当的作法。相应的分析 “一谈到具体的教学案例，老师们往往首先想到的是圆（包括平行四边形、梯形等平面图形）的面积公式的推导课程改革以来，不同版本的“解决

4、问题的策略”、“数学广角”等内容因为显性地体现数学思想方法，又成为各种公开课、赛课的热点题材，除此以外，似乎其它内容再无思想方法可言。”应有的认识 数学思维并非高不可攀，而是普遍地渗透于小学数学的具体知识内容之中，这也就是说，即使是一些十分初等的数学内容也同样体现了一些十分重要的数学思维形式及其特征性质。 我们应用思维方法的分析带动具体数学知识内容的教学。当务之急 应当针对小学数学的实际情况、包括具体的教学内容与学生的认知水平更为深入去开展工作，特别是，第一，更为清楚地去界定与小学数学教学直接相关的各个数学思维形式与特殊性质；第二，很好去处理具体数学知识内容（包括知识与技能）的教学与数学思维的

5、教学之间的关系。一、从数学抽象谈起一、从数学抽象谈起 父：“如果你有一个橘子，我再给你两个，你数数看一共有几个橘子？” 子：“不知道！在学校里，我们都是用苹果数数的，从而不用橘子。（译林文摘版）数学最基本的属性：抽象性 “甚至对数学只有肤浅的知识就能容易地察觉到数学的这些特征：第一是它的抽象性，。抽象性在简单的计算中就已经表现出来。我们运用抽象的数字，却并不打算每次都把它们同具体的对象联系起来。我们在学校中学的是抽象的乘法表总是数字的乘法表，而不是男孩的数目乘上苹果的数目，或是苹果的数目乘上苹果的价钱等等。”（亚历山大洛夫）数学与现实第一，数学抽象源于现实生活，包括具体的事物与现象，以及人们的

6、运作；第二，数学抽象又高于现实，并是一种建构的活动，即包含了与现实世界在一定程度上的分离。分析与思考 “数学，对学生来说，就是利用自己的生活经验对数学现象的一种解读。”（转引自衡锋，“错题演绎的精彩”，小学数学教学，2007年第十期） 对照：学习主要是一个“顺应”的过程，也即如何对主体已有的认知框架作出必要的调整或重建。例一这个学生缺的究竟是什么？（楼文胜，“问题到底出在哪儿？”） 任课教师要求学生求解这样一个问题：“52型拖拉机，一天耕地150亩，问12天耕地多少亩？” 一位学生是这样解题的：5215012=接下来的对话 “告诉我，你为什么这么列式？” “老师，我错了。” “好的，告诉我，你

7、认为正确的该怎么列式？” “除。” “怎么除？” “大的除以小的。” “为什么是除呢？” “老师，我又错了。” “你说，对的该是怎样呢？” “应该把它们加起来。”启而不发？（俞正强） “我们换一个题目，比如你每天吃两个大饼，5天吃几个大饼？” “老师，我早上不吃大饼的。” “那你吃什么？” “我经常吃粽子。” “好，那你每天吃两个粽子，5天吃几个粽子？” “老师，我一天根本吃不了两个粽子。” “那你能吃几个粽子？” “吃半个就可以了。” “好，那你每天吃半个（小数乘法没学）粽子，5天吃几个粽子？” “两个半。” “怎么算出来的？” “两天一个，5天两个半。”结论之一 学会数学思维的首要涵义：学

8、会数学抽象（模式化）。 数学：模式的科学。这就是指，数学所反映的不只是某一特定事物或现象的量性特征，而是一类事物或现象在量的方面的共同性质。一个例子 这张纸的面积有多大？5cm3cmS=abS=53第一次路程=速度时间 3件衣服和2条裤子一共有几种搭配第二次例二数学游戏与数学问题 问题：以下的数学游戏是什么时候变为一个数学问题的？老师：各位同学把桌子和椅子推开，空出中间的地方来，我们来玩握手游戏，每一组先找四个同学。（全班学生一起动作，很快就把桌椅推向两旁，然后很有默契地四个人形成一组，人数不够的，就找笔者来充数。）老师：每两个人只能握手一次，不能重复。然后看看四个人握手能够握几次，把它记录下

9、来。（每个学生都参与这个工作。）老师：现在每一组换成五个人握手，看看能握几次？（学生很快地换成五个人一组的形态，进行握手的活动。）老师：现在每一组六个人。（学生马上转变成六个人一组的形态。）活动结束，老师让学生回到各组，把刚才的记录画成表格，然后老师自己也在黑板上画出如下的表格，让学生发现其中的规律：经过师生的一番问答，完成了如下的表格：人数34567握手数3610152进而，经过小组讨论，学生用试误的方法发现了（N-1）N/2这一规律可以满足这五种不同的情况。他们的解释是自己没有办法和自己握手，所以要减一，再乘以总人数会重复算两次，所以要除以二。后来有位学生发现这样的规律和几何图形中有几个顶

10、点可连成几条线的现象是一样的，所以，她画了图示来表示：三角形长方形三角形叠长方形（P8）结论之二 帮助学生学会数学抽象的关键：应当超越问题的现实情境过渡到抽象的数学模式。（“去情境化”走向模式化的过程） 相关的论述：数学教学必定包括“去情境化、去个人化和去时间化”-理想化的结果。 问题：如何才能帮助学生学会“去情境化”？例三“找规律”（黄爱华、胡爱民） “师：在中国少年先锋队鼓号队的鼓号曲里，我们把第一个音唱做咚，第二个音唱做哒，第三个音唱做啦，所以这个乐句就变成咚哒啦咚哒啦咚哒啦 “请想一想：第16个音符是什么？为了能让别人看得一清二白，请你在草稿本上用一种合适的方式表示出来，可以写一写、画

11、一画、算一算。” 方法一：用图形表示 方法二：用数字表示1231231231231231结论之三 模式化的重要手段之一：引入适当的图形或符号，从而实现与具体情境在一定程度上的分离。 数学：模式的科学.具有思辨性的形式化材料。二、数学中的分类二、数学中的分类 课改以来的一个新增内容。 相应的思考：究竟什么是数学中的分类？这与一般的分类又有什么不同（显然，这也直接关系到了究竟什么是数学课所应当具有的“数学味”）？例四几何模块的分类分析与思考 问题：我们是否应当同样地去肯定学生所提出的各种分类方法，包括按形状、颜色和材料等进行分类？ 进一步的问题：数学中究竟又为什么要进行分类？例四例四“100以内加

12、减法练习” 34+42=76， 37+17=54， 69-15=54， 59+17=76， 91-15=76， 83-29=54。 “师：刚才全体小朋友认认真真地做好了六道100以内的加减计算题，并且做得很对。现在我们再来仔细观察这六道题，如果我们把它们分成两类，你有什么好办法？为什么可以这样分？” 方法一：按照得数相同来分； 方法二：按加法和减法来分； 方法三：按不进位加法和不退位减法、以及进位加法和退位减法来分； 方法四：把37+17、59+17分成一组，把34+42、69-15、91-15、83-29分成一组。（因为前两者中都包括了17。） 方法五：把34+42=76分成一组，剩下的为一

13、组。（因为前者所涉及的都是偶数。）教师的总结 “教学中教师有意识地引导学生从不同的角度来分析问题进行合理的分类，让学生通过相互的交流，从中感受到分类结果在不同标准下的多样性，感受到不同标准的分类有着不同的意义和作用，就能使学生的思维得到发散，使学生的不同思想方法得到充分有效的交流。” 但是，我们究竟为什么要进行分类？结论之四 分类应当具有明确的目的性。第一，归类：数学抽象的直接基础；第二，不同类别的区分：由简到繁、由特殊到一般地去开展研究。 分类问题也需要优化。（用数学家的眼光去看待世界、分析问题、解决问题。）例五“三角形的分类” 究竟什么应是这一堂课的教学重点：是角的度量？还是分类的必要性与

14、合理性？ 一个重要的思想：分类活动的科学性。一个相关的研究：数学家与初学者（学生）的比较 问题的不同分类：按问题的“表层结构”（事实性内容与表述方式）与“深层结构”（内在的数学结构、解题方法）。 学会数学地思维的又一重要内涵：由“表层结构”逐步深入到“深层结构”。例六例六 水池问题（祝中录） “学生在解决水池问题时，往往会认为水池一边开进水管，一边开出水管，不论经过多长时间都不会注满水池。在教学时教师可以不急于讲解，而是引导学生寻找生活中类似的实例。（1）追及问题。客车每小时行40千米，小汽车每小时行50千米。现在客车在小汽车前25千米的地方，同时沿笔直的公路行驶，多长时间小汽车能追上客车？（

15、2）储蓄问题。爸爸每月工资420元，妈妈每月工资300元，每月平均支出450元，余下的钱存在银行，几个月后能买一台价格1350元的电视机？通过这些实例学生就容易弄明白只要进水量大于出水量，经过一段时间水池就一定能注满水。”结论之五 学会数学思维的又一重要内涵：思维的必要优化。三、数学中的类比 数学思维的合理发展：由归类、到分类、到类比（联想）。 问题：究竟什么是类比（联想）？在小学数学中我们又应如何去进行类比（联想）的教学？ 会打比方的人是富有天赋的。一个常见的说法（词典） “我们观察到两个或两类事物在许多属性上都相等，便推出它们在其它属性上也相同。这就是类比法。”例七必要的思考：一些实例 一

16、元一次方程、一元二次方程与一元三次方程的比较。 等腰三角形与等腰梯形的比较。结论之六：什么是真正的类比？ 类比在数学中重要作用：就是通过两个不同对象的比较由已经获得的知识去引出新的猜测。 成功应用类比联想的关键：求同求同存异 为了应用类比，我们不需要相关对象在所有方面都完全一样，而只要求在这两者在某一方面或在某一抽象层次上是相似的，这就是“求同”，也即如何能在抽象分析的基础上找出两个对象的“类似之处”。 “存异”则是指新的猜测的产生并不是简单的重复、模仿，而是一种创造性的工作，特别是，在由已知事实去引出新的猜测时，我们必须注意分析两者之间所存在的差异，也即必须依据对象的具体情况作出适当的“调正

17、”。结论之七（50） 相对于归类与分类而言，类比联想是一种更为高级的思维形式。 教学中的关键：如何能够针对学生的认知发展水平去有针对性地去进行教学？例八角的度量 教学中的常态：没有问题的“轻松课”。 新的思考：如何渗透一定的数学思维？我们又如何能够以思维方法来带动这一具体内容的教学？ 从类比的角度看“角的度量”：类比的对象：线段的度量；关键：求同存异。 一些共同点：由大小的比较到度量问题；度量单位的确定；度量工具的制造与使用； 不同点：不同的度量对象；不同的度量单位；不同的度量方法；四、问题解决与数学思维从“植树问题”谈开去 教学研究的一个持续热点：“众所周知，植树问题是一个经典的问题，长期备

18、受众多专家、特级老师的青睐，曾经无数次被搬上舞台演绎出许多经典课例。”（郦丹）“植树问题”与培养学生的数学思维 “在本课的教学设计中，解题不是主要的教学目的，主要的任务是向学生渗透一种思想，”（吴荔丹，“植树问题教学设计与评析”，小学数学教师2008年No.1) “设计上的一个重要思考是向学生渗透一种思想，一种在数学上和研究问题方面都很重要的思想”（张锡忠，“植树问题课堂实录”，小学数学2008年No.2）另外一些共同点 任课教师通常特别重视关于“植树问题”的三种不同类型的区分，也即所谓的“两端都种”、“只种一端”与“两端都不种”。 就上述三个类型的区分而言，设计者又往往归结为“规律的发现”，

19、并普遍地采取了“学生独立探究（或分组探究）、反馈交流、教师总结”这样的教学方法。 第三，就相关的数学思想而言，有不少教师突出地强调了所谓的“化归思想化归思想”。 （非起始知识点适用化归化归、在练习、在揭示概念本质是适用变式变式。）分析与思考（1）：“归类”与“分类” “植树问题”事实上涉及到了两种不同的数学活动：（1）以“植树问题”为原型引出普遍性的数学模式，然后再利用这一模式去解决各种新的问题，如路灯问题、锯树问题、爬楼问题等。（2）对于所提到的每一个问题我们又都可以区分出三种不同的情况，这也就是所谓的“两端都种”、“只种一端”与“两端都不种”。 关键：究竟何者应当被看成这一教学活动的重点？

20、什么又是这一教学活动的真正难点？分析与结论 如果学生未能清楚地认识到路灯问题、锯树问题、爬楼问题等都与植树问题有着相同的数学结构，也即可以被归结为同一个数学模式，对他们来说“这究竟属于植树问题中的哪个类型啊”这样的问题就是完全没有意义的。 从而，“模式的建构”就比“三种情况的区分”有着更大的重要性，在教学上我们也应对此予以更大的关注。教学中的相关现象 “有些学生虽然会解决这一问题，但这些学生尚不能把植树问题的解决方法与生活中相似的现象进行知识链接，这就导致了能找到规律但不会熟练运用规律”（张锡忠，“植树问题课堂实录”）进一步的思考：如何能够超出“植树问题”并引出相应的普遍性模式？ 由“植树问题

21、”过渡到“分隔问题”； 图形与符号符号的适当应用。一些实例： 叶婉红，“植树问题教学实录与评析”，小学数学教育，2008No.7； 张锡忠,，“植树问题课堂实录”，小学数学2008No.2分析与思考（2）：规律的“机械应用”与思维的灵活性 问题：我们在教学中是否应当对于“两端都种”、“只种一端”与“两端都不种”这样三种情况的区分予以特别的重视，并要求学生牢牢地记住相应的计算法则（“加一”、“不加不减”、“减一”）以致在面对新的类似问题时就能不假思索地直接加以应用？相关的思考 就“植树问题”而言，在现实中是否真的就只有“两端都种”、“只种一端”、“两端都不种”这样三种情况？ 进而，对于其它一些可

22、能的情况我们又是否也应要求学生总结出相关类型，并牢牢地去记住相应的“规律”（“加二”、“减二”、“乘二”、“除二”）？分析与结论 将“三种情况”的区分以及相应的计算法则看成是一种“规律”、并要求学生牢固掌握从而就能直接加以运用恐怕不很恰当；毋宁说，在此真正重要的应是“一一对应”这样一个数学思想就“植树问题”进行分析，这也就是指，在此真正重要的是在“间隔”与“树”之间所存在的一一对应关系 进而，所谓的“加一”、“减一”等法则又只是针对具体情况作出的适当变化从而，在此真正需要的就不是“规律的应用”；而是思维的灵活性，也即如何能够依据基本模式并通过适当变化以适应变化了的情况。总结 对于“植树问题”的

23、教学应当区分出这样两个不同的教学要求或教学环节：（1）突出“分隔问题”，即是如何能以“植树问题”为背景帮助学生建构相应的数学模式；（2）明确引出“间隔数”与“所种树的棵数”这两者的关系，突出“一一对应”的思想，并以此为基础求解各种变化了的情况。 对于“两端都种”等三种情况的区分不应过于强调，更不应将相应的计算法则看成重要的规律乃至要求学生牢牢记住从而就能不假思索地加以应用。五、数学中的特殊化与一般化(归纳)两个十分自然的问题： 究竟什么是数学中的特殊化与一般化？ 小学数学中是否也有特殊化与一般化？一个新的尝试 由“随意的介绍”走向“系统的论述”。 介绍一门新的学科：“数学方法论”。这是研究数学

24、的思维方法以及数学发明创造的启发性法则的一门专门学科。基本的分析思路 突出数学活动的基本形式。（1）概念的生成、分析与组织（概念的学习凝聚（从过程到对象的凝聚，如分数的意义）；（2）问题解决。（1）从概念学习的角度看 数学抽象就是一个一般化的过程； 如何为抽象的数学概念给出具体的例子则就是特殊化的过程。举例与“变式理论” “变式理论”：中国数学教育传统的一个重要成分。 具体问题：如何能以“变式理论”为指导来改进教学中的举例？ 两个普遍的意义：（1）传统的继承与发扬；（2）由“经验型教学”转向“理论指导下的自觉实践”。变式理论的核心思想之一 “标准变式”与“非标准变式”。 背景：一些常见的错误观

25、念。角必定有一条水平射线；直角必定是指向右边的角；三角形和四边形的底边都应处于水平位置；三角形的高必须处于垂直的位置，并必定于三角形的底边相交；分析与思考 学生之所以会形成这些错误观念往往就与我们在教学中所使用的往往只是“标准变式”有着直接的关系。 从而我们在教学中不应唯一地局限于平时所经常用到的一些实例（这就是所谓的“标准变式），而也应当有意识地引入一些“非标准变式”。变式理论的核心思想之二 “概念变式”与“非概念变式” 就概念的理解而言，“非概念变式”事实上起到了“反例”的作用，这样，通过与“正例”（“概念变式”）的对照，就可以帮助学生更好地去掌握概念的本质。从张齐华的认识分数教学中看变式

26、的应用 张老师从分蛋糕这样一个情境引出.然后我们来分析他如何求变帮助学生理解分数的本质。 第一，引入时，分割对象的多样性变化，帮助学生理解，分割必须是平均的平均的。这是数学化的过程。 第二，分割方法的变化，反例。帮助学生理解不是如何分而是平均分，这正是分数本质所在。 第三，作为进一步的抽象，有一半，发展到三分之一，四分之一， 第四，蛋糕变成二个、三个、四个对分数本质更为深入的认识。（2）从“问题解决”的角度看 相关的论述：“特殊化与一般化构成了整个解题过程的基础。”（梅森）关于特殊化 由随意的特殊化，去了解问题； 由系统的特殊化，为一般化提供基础； 由巧妙的特殊化，去对一般性结论进行检验。（梅

27、森）例十例十“小数乘整数”与找规律（张勇成） “师：有些小数和整数相乘很简单，同学们口算就可以解决了，请看0.14=0.4；（师：“这样的8份呢？”）0.014=0.04；（师：“这样的23份呢？”）0.0019=0.009。（“师：这样的129个呢？） “师：刚才口算的这些乘法，都是哪些小数与整数相乘？“生：都是0.1，0.01，0.001与整数相乘。“师：当0.1，0.01，0.001与一个整数相乘时，你们为什么这么快就得出了结果？有什么规律吗？ “生1：乘得的结果越来越小。“生2：都和几个零点几有关系。“生3：乘得的结果都是小数。 “师：同学们观察得很仔细，当0.1，0.01，0.001

28、乘一个整数时，它们的计算结果是几位小数和谁有关系呢？ “师：也就是说，因数中有几位小数，积 “生：就有几位小数。”（下略）关于一般化：规律的发现与推广 什么看上去像是真的？ 为什么它是真的？ 它在怎样的范围内看上去也是真的？六、数学思维的学习与教学 努力加强数学思维（数学方法论）的学习。 两条主要的线索：（1）“问题解决”与“问题提出”；（2）概念的生成、分析与组织。数学思维学习的关键 不应求全，而应求用，也即应当密切联系自己的教学实践去进行学习，学以致用。 长期的努力方向：理论指导下的自觉实践。相关的思想 基础知识：不应求全，而应求联； 基本技能：不应求全，而应求变； 数学思维：不应求全，而

29、应求用。一个练习 “红花映绿叶春=叶绿映花红，要求想出红、花、映、绿、叶分别代表什么数字？” 请尝试着以数学启发法为指导去求解这一问题当前应当特别注意的一个问题 防止简单的移植： 集合与分类； 函数与变化； 极限与无限； （上页解答为219784=87912）。结论结论 应当更为清楚地去界定，就小学数学的各个学习阶段而言什么是相关的数学思维？ 应当积极从事数学思维的教学，这主要地又并非是指于专门性的思维教学，而应更加强调数学思想的渗透，也即用数学思想的分析指导、带动具体知识内容的教学。结论之八 用思维分析带动具体知识内容的教学的关键：方法论的重建，从而实现化神奇为平凡、化难为易。 意义之一：使

30、数学教学真正“讲活”、“讲懂”、“讲深”； 意义之二：使数学思维真正成为可以理解的、可以学到手的、和可以加以推广应用的。 “讲活”：教师应当通过自己的教学活动向学生展现“活生生的”数学研究工作，而不是死的数学知识； “讲懂”：教师应当帮助学生真正理解有关的教学内容，而不是囫囵吞枣，死记硬背； “讲深”：教师不仅应帮助学生掌握具体的数学知识，而且也应帮助学生深入领会并逐渐掌握内在的思维方法。一些有益的实践与体会 “显”与“隐”。 强调数学思想的渗透，并非是指在教学中我们只需重视具体的知识内容而完全不用去顾及数学思维，从而使后者始终处于“深藏不露”的局面，而是指我们不应用数学思维的分析去完全取代知

31、识内容的教学，或是使两者处于完全割裂的状态。 “数学思想方法该露脸时就露脸，根据需要，对数学思想方法进行提炼、归纳和概括。”（蒋巧君，“小学数学思想方法教学新探”，小学数学教育，2007No.9） “内隐学习对小学数学教学的启示”（周炳炎小学数学教育，No.） 所谓不应“求全”，也并非是指在“帮助学生学会数学地思维”这一方面根本不用设定任何具体的目标，而可“自由行事，便宜处置”；恰恰相反，我们在这一方面也应有明确的目标与切实的落实措施，特别是，考虑到数学思维的学习必然是一个长期的过程，小学数学教学又存在低段、中段、高段的划分，“这就需要全体教师都能意识到数学思想方法的重要性，保证数学骨干教师在课务安排上相对稳定，使小学思想方法教学具有系统性和持久性。”（同前）平国强，“解决问题教学的关注点”（人民教育，2008No.12）阶段解决问题的内容和知识基础思维梳理的重点一下年级到二下年级用四则计算解决问题，包括各类用一步计算解决的问题和简单的用两步计算解决的问题。本阶段问题体