时间最优控制

1、目录u一.Bang-Bang控制原理u二.线性定常系统的时间最优控制u三.燃料最优控制u四.时间-燃料最优控制u五.习题u六.总结 时间最优控制 时间最优控制问题，是可以运用极小值求解的一个常见的工程实际问题。如果把系统由初始状态转移到目标集的时间作为性能指标，则使转移时间为最短的控制称为最短时间控制，亦称最速控制。一、Bang-Bang控制原理1.移动目标集的时间最优控制问题 已知受控系统的状态方程为： 寻找满足不等式约束的 r 维容许控制向量 u(t), 使系统从初始状态 出发， 在末态时刻 ，首次达到目标集 其中g是p维向量函数, 且使 最小值的最优控制u(t). )(),(),()(t

2、uttxBttxftxrjtuj,.2 ,1,1)(00)(xtx)0(jt0),(ffttxg00ttdtJfttf上述问题用极小值原理求解，构造哈密顿函数为： 规范方程、边界及横截条件分别为:极值条件为：)(),(),()(1),(),(),(tuttxBttxAttttutxHT)()(0),(,)()()()(),()()(),()()(),(),()(00.TxgTTTxgxtxttxtuttxBttxttxfxHttuttxBttxfHtxTT)(),()(),()(1min)(),()(),()(1*1*tuttxBtttxfttuttxBtttxftTTuTTj可得式中 sgn

3、(*) 为符号函数，令则最优控制分量应取在最优轨线末端，哈密顿函数应满足)(),(sgn)(*ttxBtuTmjttxTjbtjgmjtxmbtxbtxbtxB,.2 ,1),(),()(.2.1),().,(2),(1),(0)(,10)(.1)(sgn)(*tgtgtgjtujjjfTftggtH)(*由以上条件知：若 , 则可以运用极小值原理确定 ，此时称为正常情况。若 不确定，可取满足约束条件的 任意值，此时称为奇异情况。2.正常和奇异控制问题设在区间 内，存在时间可数集合，使有在时间最优控制是正常的,0)(tgj)(*tuj,0)(tgj)(*tuj1)(tuj,0fttmjtttt

4、tfjjj,.2 ,1,.021,.,2 ,1,t非零，t,0)(),()(g*jttttxbtjjTjj在区间 ，至少存在一个子区间，使得对所有 ，至少有一个函数则时间最优控制是奇异的，称 为奇异区间。3.Bang-Bang控制原理设u*(t) 是上述问题的时间最优控制，x*(t)和 是相应的状态向量和协态向量。若问题正常，则最优控制为：0)(),()(*ttxbtgTjj,021ftttt,0ftt,21ttt,21tt)(*),(*sgn)(*tttxTBtu)(t定理表明，每个控制分量 恰好在自己的两个边界值之间来回切换，满足 的各个点正好是切换点。这是一种继电型控制或开关控制，故有邦

5、-邦控制之称。)(*tuj,0)( tgj线性定常系统的时间最优控制设线性定常系统是完全可控的，求满足下列约束的容许控制向量 u(t)：使系统从已知状态x(0)=x0转移到状态空间原点x(tf)=0的时间最短，性能指标为 在解决上述问题之前，应该先判断它是否正常。定理1令 式中 ，当且仅当m个矩阵)()()(tButAxtx),2 ,1( 1)(mjtuj ftdtJ0,.,21mbbbB.,.2 ,1,miRbni中，至少有一个是奇异矩阵时，它则是奇异的。定理2当且仅当式中 ，上述问题是正常的。定理3若上述系统是正常的，且时间最优控制存在，则最优控制必定唯一。mjbAbAAbbGjnjjjj

6、,2 ,1,12mjnbAbAAbbrankGjnjjjj,2 ,1,rank12,niRb定理4 有限切换（开关次数）定理设线性定常系统是正常的，nxn系统矩阵A的全部特征值均为实数，时间最优控制 存在，其分量为 。令 表示 的切换时刻，则 在两个边界值之间的切换次数Nn-1.(n为系统的维数）)(*tu)(*tuj)(*tuj)(*tujjt定理5当系统正常是，存在最优解的必要条件为：正则方程 式中哈密顿函数为边界条件 极小值条件)()()(tButAxtx)()(*tAxHtT)()()(1),(tButAxtuxHT0)(,)0(0ftxxx),.2 ,1( ,0)(,1),.2 ,1

7、( ,0)(,1)(sgn)(*mitTibmitTibtTibtiu若A有全部实特征值，则 的切换次数为Nn-1.H函数变化率0)(*ftH)(*tuj燃料最优控制 在工程实际中，常常需要考虑是控制过程中所消耗的能量最小。此时控制作用表现为推力或力矩的大小和方向。若以非负量 表示燃料的瞬时消耗率，则控制过程中所消耗的的燃料总量为 ,仅考虑如下形式的关系：式中 是 m 维控制向量u(t)的第j个分量，CJ为比例系数，称为比耗。为了保证控制过程中最省燃料，选择燃料消耗总量作为性能指标ftdttF0)( ftmjjdttucJ0)()(t0,)()(1jmjjjctuct)(*tuj二次积分模型的

8、状态方程：求满足约束条件的最优控制 ，是系统有任意初态 ，转移到状态空间原点（0.0）且使性能指标为最小。设末端时刻 tf 自由。)()()()(221tutxtxtx,0,1)(fjtttu)(2,1)(*tuftdttuJ0)(正则方程，哈密顿函数则有边界条件,0,1221222111HHuHxxHx,0)(0)(,)0()0(212211fftxtxxx)()()()()(221tuttxttuH极小值条件函数变化律H函数的最优控制 取极小值时，等价于函数对最优控制 取极小值。)()()()()()(2*2*tuttututtu)()()()(*2*tuttuuR0)()()()()(*

9、2*21*ffffftuttxttu)(*tu)()()()(*2*tuttuuR)(*tu 引入死区函数记号dez,其意义为a=dezb, 表示为 以及:如下死区函数关系的大小及符号有关，呈)(与)(2*ttu1)(当,0)(11)(当,1)(01)(当),(sgn)(1)(当,0)(2*2*22*2*ttuttutttuttu1当,sgn1当,0bbba1当,011当,10baba由以上关系能否完全确定 ，取决于函数 的性质。与时间最优控制问题类似，也可以分为正常与奇异两种情况：若在时间区间0,tf内， 值在有限点成立，则属正常情况，最优控制 可取 -1、0、+1 三个值，随时间的增长，

10、在这三个值上转换，称为三位控制或开关控制。若至少存在一段时间间隔 ，在其上有 则问题属于奇异情况。)(*tu)(2t1)(2t)(*tu)(*tu1)(2t,0,21fttt对协态方程积分可得：式中 为协态初始条件。根据 的数值情况， 为奇异控制或为正常控制.ttconstt)0()0()()0()(12211)0(和)0(21)(*tu)0(和)0(21（1）奇异情况若 为满足 ,应有 。此时，只能决定 的符号，而无法确定其数值。（2）正常情况若 ，则 是时间t的线性函数。这是， 至多在两个孤立的时刻成立，因而燃料最优控制函数 是正常的，为三位控制，且最多有两次切换。10)0(10)(*tH

11、1)()0(22t)(*tu0)0(1tt)0()0()(1221)(2t)(*tu对系统进行相平面分析，当 u=+1和u=-1时，系统由初态转移到坐标原点的两条轨线为,如下图所示，点集表达式为： 1R2R3R4R2x1x0,21),(0,21),(221210221210 xxxxxxxxxxxxA.初始点 在 上,为唯一最优控制。B.初始点 在 上,为唯一最优控制。C.初始点在R4区,u(t)有无穷多组解,但u=0 1所用时间最短.初始点在R2区,u(t)有无穷多组解,但u=0 -1所用时间最短.D.初始点在R1，R3区,u(t)无解,但存在一个 燃料最优问题.,),(211)(*tu,)

12、,(211)(*tu综上所述，燃料最优控制律：31214221021021*),(x无解，),(x,0),(x,1),(x,1)(RRxRRxxxtu时间-燃料最优问题 单纯以节省燃料为目标的燃料最优控制问题，往往使得系统的响应太慢，不满足实际的使用要求。若将缩短时间与节省燃料加以综合考虑，设计的控制系统既能节约燃料又不至于响应缓慢，因而产生了时间-燃料最优控制问题。一种好的处理方法是在燃料最优控制性能指标中增加时间的加权项，得到式中 ，为时间加权系数，表示设计者对响应时间的重视程度。若取 ，表示不计时间长短，只考虑节省燃料。若取 ，表示不计燃料消耗，只求时间最短。 fftmjftmjffdt

13、udtutJ0101)(00已知系统的状态方程求满足下列约束条件：的最优控制u*(t) ，使系统由任意初态 转移到空间原点（0,0），且使性能指标为最小。设末端时刻tf 自由。ftdttuJ0)()()()()(221tutxtxtx,0,1)(ftttu),(21令哈密顿函数与上节类似，由极小值条件可得根据协态方程假定初始协态为 ，解得 最优轨线应满足)()()()(221tuttxtH)()(0)(12211txHtxHt)0(和)0(21ttconstt)0()0()()0()(122110*2*21*uxuH)()(2*tdeztu通过分析，如下六种控制序列为候选最优控制序列+1，-1

14、，+1，0，+1，0，-1，+1,0,-1，-1,0,+1，通过相平面法讨论得相轨迹图如下：1x2xABC1H2H3H4H除 为开关曲线外, 也为开关曲线. 是u由-1切到0的开关曲线,且有整个相平面分成4个区域,且起于各区初始状态的相应控制为：,0,24:),(0,24:),(222121222121xxxxxxxxxx1 ,0,24,21:),(1,0 ,1,24,21:),(1,0,24,21:),(1 ,0 ,1,24,21:),(*221221214*221221213*221221212*221221211uxxxxxxxxHuxxxxxxxxHuxxxxxxxxHuxxxxxxx

15、xH可得时间-燃料最优控制律为：1214221321*),(x,1),(x,0),(x,1)(RxRRxRxtu例题设人造卫星姿态控制系统方程为：控制约束要求确定 ，使性能指标极小，并求出切换时间ts 和最短时间 0)(,1)0(),()(0)(,1)0(),()(2221121fftxxtutxtxxtxtx1)(tu)(*tuftdtJ0*ft构造哈密顿函数：最优控制由协态方程解得)()()()(1221tuttxtH,0)(2,1,0)(2,1)(2sgn)(*ttttu)()(0)(12211txHtxHt21211)()(ctctct因为协态向量 为非零向量，故 不能同时为零。根据

16、的不同组合， 的可能形状如下图所示。)(t21c和c)(2t21c和c因而候选控制序列为：+1， -1， +1，-1， -1，+1，令 ，由状态方程有消去t得 轨迹方程为：1u)0()0(21)()0()(122122xtxttxxttx)0(21)0(21221221xxxx满足末态相轨迹为：曲线 和 组合成曲线 ，表达式为曲线 将相平面分割为 两个区域。 作为状态集合，可表示为：0,21),1)(u当0,21),1)(u当222121*222121*xxxxxtxxxxxt21),(22121xxxxxRR和RR和21),(21),(2212122121xxxxxRxxxxxR相轨迹图为：

17、相平面上的开关曲线对于一般的二次积分模型的时间最优控制问题，其最优控制律为：本例 ，故最优控制律为了具体求出切换时间ts,需要求解最优轨线方程。 ,)1 ,1()0(),0(21RxxRxxRxxtu),(,1),(,1)(2121*总结p最短时间控制系统，是依据所谓砰-砰原理构成的，它只有+1和-1两种工作状态。p最少燃料控制问题，其哈密尔顿函数对控制u(t)及其 是一次的。它包含+1,0，-1三种工作状态。和最短时间控制系统相比，最少燃料控制系统的最大特点，是多了一个u=0的控制方式，这意味着在工作过程的某些阶段，可以借助于系统中积存的能量来维持工作，不用消耗燃料。p时间-燃料综合最优控制是比单纯的最短时间控制)(1tu最少燃料更为广泛的一类控制。当时间-燃料综合最优控制的性能指标中