分离变量法-B

1、二阶常系数线性方程的标准形式二阶常系数线性方程的标准形式)(xfqyypy 121212( ),( )( , )( )( )( ),( )( ),( ).y xyxa bky xky xy xyxy xyx ：设为定义在内的两个函数，：设为定义在内的两个函数，如果存在非零常数 ,使得,则称如果存在非零常数 ,使得,则称线性相关，否称线性相关，否称定定则线性无关则线性无关义义12)0(,( )yy xpyxqyy 设是方程的两个设是方程的两个线性无线性无定理定理关的解，则关的解，则1122( )( )( )y xC y xC yx12,.CC是方程的通解，其中为任意常数是方程的通解，其中为任意常

2、数02 qprr,2422,1qppr 特征根特征根0 qyypy(1) (1) 有两个不相等的实根有两个不相等的实根1,r2r两个线性无关的特解两个线性无关的特解2(40)pq ,11xrey ,22xrey 得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为;2121xrxreCeCy 齐次方程齐次方程特征方程特征方程(2) 有两个相等的实根2(40)pq 齐次方程的通解为;)(121xrexCCy ,11xrey 特解为12r xyxe(3) 有一对共轭复根1,ri2,ri2(40)pq ,cos1xeyx,sin2xeyx齐次方程的通解为).sincos(21xCxCeyx 特征根为特解为02 qp

3、rr0 qyypy 特征根的情况特征根的情况 通解的表达式通解的表达式实根实根21rr 实根实根21rr 复根复根 ir 2, 1xrxreCeCy2121 xrexCCy2)(21 )sincos(21xCxCeyx )(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程, 0 qyypy通解结构通解结构*( )( )( ),y xY xyx 二阶常系数非齐次线性方程*( )( )( )yxypyqyf xY x如果是方程的一个特解，如果是方程的一个特解，是方程对应的齐次方程的通解，则方程的通解是方程对应的齐次方程的通解，则方程的通解为为 研究两端固定均匀的自由振动.定解问题为： lxxt

4、uxutuulxxuatuttlxx0),(),(0, 0, 00, 000022222 特点: 方程齐次, 边界齐次. (1) 没有波形的传播，即各点振动相位与位置无关，按同一方式随时间振动，可统一表示为 ; )(tT (2) 各点振幅 随点 而异，而与时间无关，用 X(x) 表示,所以驻波可用 表示。 Xx)()(tTxX驻波的特点：驻波的特点： 端点会引起波的反射，弦有限长，波在两端点之间往返反射。两列反向行进的同频率的波形成驻波。 设 且 不恒为零，代入方程和边界条件中得)()(),(tTxXtxu ),(txu 0 2 TXaXT 由 不恒为零，有： ),(txu)()()()(2

5、tTatTxXxX XXTaT 2 取参数这个式子的左端是这个式子的左端是x的函数的函数,右端是右端是t的函数，何时恒等？的函数，何时恒等？ 0)(0,(0) lXX成成立立 0)()( xXxX . . . 20( )( )Tta T t 0)()(0)()0(tTlXtTX利用边界条件则 0)(, 0)0(0 lXXXX 特征值问题 参数称为特征值.分三种情形讨论特征值问题的求解函数X(x)称为特征函数 002121lleCeCCC 由边值条件 00212ClCC(i) 方程通解为 xxeCeCxX 21)(0 (ii) 时，通解 21)(CxCxX 0 由边值条件得0)( xXC1 1

6、= =C 2 2=0=0 从而 ， 无意义无意义. 0 , 0)(021 xXCC 无意义无意义0 由边值条件 0sin021lCC 从而 0 l sin即 , 3 , 21,222，nln (iii） 时，通解 xCxCxX sincos)(21 0 nl 故, 2 , 1,sin)(2 nxlnCxX而, 02 C得再求解T： 0)()(2222 tTlnatTnn 其解为 lt annlt annnBAtT sincos)( 所以 ,sin)sincos(),(321nBAtxulxnlt annlt annn 两端两端固定固定弦本弦本的征的征振动振动叠加 lxnlatnnlatnnnB

7、Atxu sin)sincos(),( 1. . 11)(sin)(sinnlxnlannnlxnnxBxA 将 展开为Fourier级数，比较系数得 )(),(xx llnnannalnllnlnndBdA0202sin)(sin)( 代入初始条件得： 定解问题的解是Fourier正弦级数，这是在 x0 0 和 x= =l 处的第一类齐次边界条件决定的。 lxnlatnnlatnnnBAtxu sin)sincos(),( 1再求解T： 0)()(2222 tTlnatTnn 其解为 lt annlt annnBAtT sincos)( 所以 ,sin)sincos(),(321nBAtxu

8、lxnlt annlt annn 两端两端固定固定弦本弦本的征的征振动振动叠加 lxnlatnnlatnnnBAtxu sin)sincos(),( 1. . 11)(sin)(sinnlxnlannnlxnnxBxA 将 展开为Fourier级数，比较系数得 )(),(xx llnnannalnllnlnndBdA0202sin)(sin)( 代入初始条件得： 定解问题的解是Fourier正弦级数，这是在 x0 0 和 x= =l 处的第一类齐次边界条件决定的。 lxnlatnnlatnnnBAtxu sin)sincos(),( 1程程方方偏微分偏微分 变量变量分离分离）解解特征解（解特征

9、解（解12 变量变量分离分离（特征值问题）（特征值问题）12程程方方常微分常微分程程方方常微分常微分 齐次边齐次边界条件界条件件件条条2解解1解解（特征函数）（特征函数） 特特征征值值特特征征解解所所求求解解 分离变量法图解分离变量法图解 系数代入初始条件确定未知得到解0)()0(, 0)()0()()0( lll 则无穷级数解lxnlatnnlatnnnBAtxu sin)sincos(),(1 为如下混合问题的解 lxxulxxuuulxuautttlxxxxtt0)(0)(00000002 上， ，且 23)(,)(CxCx ,l0定理定理：若在区间lxnnnnStN sin)sin(

10、弦上各点的频率 和初位相 都相同，因而没有波形的传播现象。 n nS弦上各点振幅 因点而异 |sin|lxnnN 在 处，振幅永远为0 lxnlnnlnl,.,0)1(2 lxnltnanltnannBAtxu sin)sincos(),( 二、解的物理意义二、解的物理意义 节点腹点特点特点1222() ,nnAnannnnnBlNABSarctg 其中其中最大振幅最大振幅频率频率初位相初位相在 处，振幅最大,为 nlnnlnlx2)12(232,., nNu( (x, ,t ) )是由无穷多个振幅、频率、初位相各不相同的驻波叠加而成。 1nntxutxu),(),(n1 1的驻波称为基波,

11、n11的驻波叫做n次谐波. 例例1 1 设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初位移为 ，求弦做微小横向振动时的位移，其中 与弦的材料和张力有关 . 100010 xxx100002a解解 设位移函数为 ，则需要求解下列定解问题txu,. 0|,100010|; 0|; 0,100,1000001002222totxxtuxxuuutxxutu100330,110sin4500010,5nnnCxxxdxnn当为偶数，当为奇数。因此，所求的解为： = txu,tnxnnn1210cos1012sin12154033代入公式计算代入公式计算,1000,102 al 1001050001

12、0sin)( dDnnn解：令 , 得 )()(),(tTxXtxu 0)()( 0)(0)0 2 tTlXtTXTXaXT化简: 002 )()( lXXXXTaT例2：研究两端自由棒的自由纵振动问题. )()(xuxuuuuautttlxxxxxxtt 0002000第二类边界条件第二类边界条件引入参数 得 XXTaT 2得C1 =C 2=0 从而 ，无意义 0)( xX分离变量： 0)()0(0 lXXXX (i) 时， 0 xxeCeCxX 21)( 0)(0)(2121lleCeCCC 由边值条件02 TaT (ii) 时, , 0 xDCxX00 )(000CxXlXX )()()

13、(iii) 时, 0 xCxCxX sincos)(21 0sin012lCC 则 而 , 01 C.), 2 , 1(0sin nnll 2122,( )cosnn xX xCll 由边值条件由边值条件从而本征值 ,222102 nln 本征函数 ,cos)(101 nlxnCxX T 的方程00 T002222 nTlanTnn 其解为 ,sincos)(21 nlatnBlatnAtTnnn tBAtT000 )(所以 tBAtxu000 ),(,cos)sincos(),(21 nlxnlatnBlatnAtxunnn 100nnnlxnlatnBlatnAtBAtxu cos)sin

14、cos(),(故代入初始条件: )(sin)(cos1010 xlxnBlanBxlxnAAnnnn 将 展开为傅立叶余弦级数，比较系数得 )(),(xx lldlBdlA000000)(1)(1 lnlnndlnanBdlnlA00cos)(2cos)(2 解为傅立叶余弦级数，由端点处的二类齐次边界条件000 lxxxxuu决定. 100nnnlxnlatnBlatnAtBAtxu cos)sincos(),(例例1 1细杆的热传导问题 长为 l 的细杆，设与细杆线垂直截面上各点的温度相等，侧面绝热, x=0 端温度为0，x=l 端热量散发到周围介质中，介质温度恒为0 ，初始温度为 求此杆的

15、温度分布。 ),(x 解：定解问题为 xuhuuutlxuautlxxxxxt002|0| )(, 0|)0,0(0, 0 XX 02 TaT (0)0,X . 0)()( lhXlX得本征问题 0(0)0,( )( )0XXXX lhX l 由 及齐次边界条件，有 0 ),(txu设 且 ),()(),(tTxXtxu ,),(0 txu并引入参数分离变量代入方程当 或 时, 0 0 0)( xX当 时, 0 xBxAxX sincos 由 得 0)()( lhXlXcossin0lhl 由 得 故 (0)0X 0,A ( )sinX xBx 即 tg,hl 令,rl 1hl tgrr 有函

16、数方程由图1看出，函数方程有成 对 的 无 穷 多 个 实 根,321rrr 2212122,nnrrllrl 故本征值为： ryry2rytg 12r 1r 1r2r图图 1 1对应的本征函数 , 2 , 1,sinnxBxXnnn的方程： tT02 TaT tannneCtT2解为故 1sin),(2nntanxeatxun由初始条件得 1( ,0)sin(*)nnnu xxax 可以证明函数系 在上正交，), 2 , 1(sinnxn, 0lsinnx在（*）式两端乘以 并在 0, l 上积分, 得na 且模值 022sinlnnnadhlh 201sind2lnnnhLx xlh（二）

17、利用边界条件,得到特征值问题并求解 （三）将特征值代入另一常微分方程， 得到 ( ),nnT tx tu、（四）将 叠加，利用初始条件确定系数,nx tu（一）将偏微分方程化为常微分方程（方程齐次）分离变量法解题步骤分离变量法解题步骤（边界条件齐次）分离变量法适用范围：偏微分方程是线性齐次的，并且边界条件也是齐次的。其求解的关键步骤：确定特征函数和运用叠加原理。注注222lnsinnnBxl, 2, 1n222412ln xlnBn212sin, 2, 1, 0n222lncosnnBxl, 2, 1, 0n左端点左端点右端点右端点特征值特征值特征函数特征函数 取值范围取值范围 一一 一一一一

18、 二二 二二 二二二二一一总结总结：端点边界条件与特征值，特征函数的关系1. 矩形域上拉普拉斯方程的边值问题矩形域上拉普拉斯方程的边值问题例例1 1矩形薄板稳恒状态下温度分布.设薄板上下底面绝热，一组对边绝热，另一组对边的温度分别为零摄氏度和 ，求稳恒状态下薄板的温度分布。 )(xf定解问题为： 000)0 ,0(000axxxxbyyyyxxuuuxfubyaxuu解0,0XXYY再利用 x = = 0 和 x = = a 处的齐次边界条件得 设 且 ),()(),(yYxXyxu 代入方程, 0),(yxu 0, 000 aXXXX 故 0, 00 aXX本征问题本征问题当 时， ， 0

19、0)( xX当 时， 0 222/ )(ann , 2 , 1 , 0,cos nxanCxXnn 将 代入 有解： n 0 YY DyCyY0 )0(, neBeAyYyanyann 1cos,nyannyannxaneBeADCyyxu 考虑边界条件（y方向上），有 1cos)(0 ,nnnxanBADxfxu 1,0cosnnbbaannnnu x bCbDA eB exa ,2100 afdfaD 0 DCb 0cos20yannyannannneBeAfdanfaBA ,2shn banneAfn banabnnfabneB sh2 ,20fD ,20bfC 解得比较系数所以解为 1

20、0cosshsh2,nnxanfabnaybnfbybyxu 作为例子取 ， ，可求得 ba xxxf0,0 f,2 , 1,1)1(22 nnfnn 于是 12cosshsh11221,nnnxnynnyyxu 考察一个半径为r0的圆形薄板稳恒状态下的温度分布问题, 设板的上下两面绝热, 圆周边界上的温度已知为 , 02,02fff 求稳恒状态下的温度分布规律。2. 圆域上的拉普拉斯方程的边值问题222022200 ()|( )xxyyxyruuxyruf采用平面极坐标。cossinxryr令 furrurrurrurr0|0011022222 分离变量 代入方程得齐次偏微分方程化为两个常微

21、分方程:（一）将偏微分方程化为常微分方程( , )( ) ( )urRr 0 11 2RrRrR 2RrRRr0 2RrRRr0 (2 )( ) ( ,2 )( , )urur 由 可知，又圆内各点的温度有界，因而 (0, )u 所以( )R r(0)R 应满足条件 （二）利用条件,确定特征值问题并求解 0(2 )( ) 20,(0).r RrRRR 得到两个常微分方程的定解问题 (1)(2)01) 时，无非零解；特征值特征函数2) 时，0 有非零解 00a cossin,ab 3) 时 ，0通解 nbnannnsincos2nn以 为周期, 必须是整数 , 2 1, 2,n （三）将特征值代

22、入另一常微分方程，得 ( ),nnR rur、得到方程通解 满足有界性条件的通解 n将代入方程 .0, 0 2RRrRRrnrdcRln000nnnnnrdrcR1, 2 ,n nnnrcR ,2, 1, 0n,sincos,2,00nbnarruarunnnn,2, 1nn 满足周期性条件 2和有界性条件 0R的特解为 （四）将 叠加, 利用边界条件确定系数,nur满足周期性和有界性条件的通解为: 利用边界条件，得由此可以确定系数 10sincos2,nnnnnbnararu 100sincos2nnnnnbnaraf 2001dfa 200cos1dnfrann 200sin1dnfrbn

23、n注: 经过化简, 方程的解可以表示为 dttrrrrrrtfru200220220cos221,称为圆域内的泊松公式. 100sincos2nnnnnbnaraf 2001dfa 200cos1dnfrann 200sin1dnfrbnn一常用的重要公式一常用的重要公式 1牛顿莱布尼兹公式牛顿莱布尼兹公式 2分部积分公式分部积分公式 或 bafx dxF bF abbbaaaudvuvvdubbbaaauvdxuvvudx 3格林公式格林定理格林公式格林定理 设 既是 型又是 型的平面区域，如果 与 都在 及其边界 上有连续的一阶偏导数，则其中 的方向是逆时针的。CGQPPdx Qdydxd

24、yxyGX Y ,p x y,Q x yCCG或者其中 是曲线 的单位法向量或者：coscosCGPQPQdsdxdyxycos ,cosnCGPQPdyQdxdxdyxyC4二重积分的分部积分公式二重积分的分部积分公式 设 是 型又为 型的平面区域如果 是在 及其边界上有连续的一阶偏导数的函数，则有：,GHCDGHdxdyGdyHdxxyDGHdxdyxyDDX Y 证明：因为 又由格林公式有：DGHdxdyxyDDGHGHdxdydxdyxyxyCDGHdxdyG dy H dxxy 5奥高公式奥高公式 设三维区域 是由按块光滑的闭曲面 所围成的 是由有限片组成的，每一片可表成 ，而 以及

25、它的一阶微商在平面 的对应区域上直到界限是连续的）另有 及 和 是在 上连续的，在 内有连续偏导数的任意函数 则有如下的奥-高公式,zx y, x yxy, ,P x y z, ,Q x y z, ,R x y z _,P Q RCC（ 即（） ）G其中 是 在 点 处的外法向量PQRdPdydz Qdxdz Rdxdyxyzcos,cos,cos,Pn xQn yRn z dscos,cos,cos,nn xn yn z, ,x y z 6格林第一公式三重积分的分部积分公式格林第一公式三重积分的分部积分公式在上述的奥-高公式中令 ， ，其中 和 以及它们的所有一阶偏导数在闭区域 上是连续的，

26、它们所有的二阶偏导数在 内是连续的。即 只要注意到显然的恒等式：vPuxvQuyvRuz, ,u u x y z, ,vv x y z21,u vCC22vuvvuuxxxxx 我们就有如下的格林第一公式 或者：vu vu vu vu vdudsdnx xy yz z u vdxdydzcoscoscosvvvudsxyzgradu gradvdxdydz 其中用到方向导数的公式即：cos ,cos,cosecoscoscosxyzDeffffcoscoscosvvvvnxyz,uuugraduxyz 7格林第二公式格林第二公式 在上述格林第一公式中，交换 的位置，然后两式消减，我们就得到格林

27、第二公式： 它在位势方程和调和函数的研究中非常重要 uvu vv u d vuuvds 二常用的重要不等式二常用的重要不等式 1 不等式不等式 设 是 上连续且严格递增的实值函数，若 则： 其中 是 的反函数，等式当且仅当 成立 0,0CC f 00,0,0,faCbf C 100abf x dxx dxabff1f bf aYoung在上述不等式中取得到：若取 ，则有： ，其中特例：取 ，则有： 对 ，有： 11pf xpx111p q 11,0,1,1a bppq2pq0 222abab2212abababaqapqp111ppqabbppapppp111 2 不等式不等式 若 ，且 则：

28、.H older0,0,1,2,3,kkabkn111,1ppq11111nnnpqpqkkkkkkkaba b 3 不等式及其推广不等式及其推广 若 是正整数，则： 这个不等式称为 不等式 推广：若 并且 ，则： 等式当且仅当 时成立。Bernoulli1,xn 11nxnx Bernoulli2,3,n 111xn 1111nnxxn x 0 x 基本概念与记号一、基本记号与符号。一、基本记号与符号。 1 2 称为 算子12,nnxRxx xx 1212,nxxxnuuuuDu uu uu 22212nxxxLaplace 称为哈密顿算符（ 算符） 读作12,nuuuugraduxxx H

29、amiltomNabla222212nuuuuxxx 3 ， 表示 的边界 4设 则： 表示在 内关于 连续的函数的集合 表示在 内关于 连续可微的函数的集合 表示在 上连同边界关于 连续的函数的集合 类似nR uu xnxR C xx 1CCx 122,CCC 又设 ，则： 表示在 内对 次连续可微，而对 次连续可微的函数的集合。 例： 其中 表示关于 连续可微，关于 连续的函数的集合。,uu x t ,m nCxtmn2,1C 2,1C 1,0C1,0Cxt 5 6 7 8重指标 ，则可记: 1100CuCu 1,Cv v Cv 在 上具有分块连续偏微商 210,CLH12,n 1nii1

30、21212nnnuuxxx 二基本概念二基本概念 1偏微分方程：偏微分方程：含有未知函数的偏导数（偏微分）的关系式（或方程）。 一般形式： 例： , ,0F x u Duu ,0 xya x y ub x y uc x y u 22xyuuu222222120nuuuuxxx 2tuau2ttuau221210yxxxyxyxyyuuu u uuu 00txtxuvvu u121121212, ,0nnnnxxnF x xx u uuuxxx 2偏微分方程的阶偏微分方程的阶最高阶微商的阶数 3偏微分方程的解偏微分方程的解 一个函数（在方程组是一组函数）在其自变量 的某变化范围内连续，且具有方程

31、（方程组）中出现的一切连续偏微商，将它代入方程（方程组）后使其成为恒等式，则称该函数（函数组）是方程（方程组）的解或古典解。 广义解弱解的概念12,nxx xx 4线性与非线性线性与非线性 在偏微分方程中，如果它关于未知函数及其所有微商是线性的，则称此偏微分方程是线性方程，否则称为非线性的。 在非线性方程（组）中，如果它关于未知函数的最高阶微商（例如是 阶）是线性的，其系数仅依赖于自变量 及未知函数的阶数低于 阶的微商，则称12,nx xxmm 它是 阶拟线性方程（组）。进而，若 阶微商的系数仅依赖于自变量，则称这种拟线性方程是 阶半线性方程（组）。 不是拟线性的非线性方程（组），叫做完全非线

32、性方程（组）。 在线性方程（组）中，像常微分方程一样，又分为常系数变系数齐次和非齐次方程（组）等。mmm 5举例举例 例1： 维波动方程： 其中 是常数， 为 算子，可以说，它是偏微分方程中的重要算子，这个算子在刚性运动下保持不变，即在坐标的平移和旋转变换下保持不变。例2： 维热传导方程： 其中 是常数。在研究粒子的扩散过程时，例如气体的扩散液体的渗透以及半导体材料中杂质的扩散等，也会遇到类似的方程。2ttuau0a 22212nxxx Laplacenntuk u 0k 例3： 维 方程： 它的解 称为调和函数调和函数或势函数势函数。这也许是理论上最重要，同时在应用中最为广泛的方程。当方程是

33、非齐次时，叫做 方程。它们通称为位势方程位势方程。在研究静电场的电位函数平稳状态下的波动现象和扩散过程时都会遇到这类方程。0u LaplaceuPoissonn例4：二阶线性方程（一般形式） 其中， 且至少有一个 ，此方程是我们学习的重点对象例5：我们称通过给定周线而具有最小面积的曲面为极小曲面。设此曲面方程为 则它满足以下二阶拟线性方程 ： ,11ijinnijix xxi jiLuax ubx uc x uf x,1,2,ijjiaai jn0ija 221210yxxxyxyxyyuuu u uuu,zu x y 例6： 方程： 这是一个三阶拟线性方程，它是在水波的研究中被首先遇到的，其

34、中 是二元光滑函数。 例7： 方程： 其中 是 元空间自变量， 是其自变量 的非线性函数。此方程是一个一阶完全非线性方程。KdV0txxxxucuuu,uu x tHamiltionJacobi,0tuH Du xxn12,nxxxDuuuu,Hx 例8：一个复解析函数的实部 和虚 部 满足 一阶线性方程组： 我们可以把 视为无旋不可压缩流的速度场。,u x y,v x yCauchyRiemannxyyxuvuv ,u x yv x y 例9：向量方程形式的非线性方程组 设 是自变量 的向量函数 ，则有 二阶半线性反应扩散方程组 和一阶拟线性能量守恒律方程组： 其中 ， u12,nt x x

35、x1212,mmuu uuuuuu tuuf u 0tudivF u:mmfRR:mmnF RR 6定解条件和定解问题定解条件和定解问题 定解条件：定解条件：我们把方程的解必须要满足的事先 给定的条件叫做定解条件。常见的定解条件有初始条件（ 条件）和边界条件两类。 定解问题：定解问题：一个方程配上一个定解条件就构成一个定解问题。通常分为初值问题（ 问题）边值问题混合问题等几类。CauchyCauchy 初边值问题的解：初边值问题的解：在区域 的内部具有方程中出现的一切连续偏微商，而本身在区域的闭包上连续（有时根据具体问题的性质或边界条件的类型，也要求有关的偏微商连续到边界），且满足方程，同时当

36、时间变量趋于初始时刻或空间变量趋于区域的边界时它（有时及其有关的偏微商）连续地取到给定的初始值或边界值。 边界条件分为三类边界条件分为三类： 第一边界条件：给出未知函数在边界上的值。相应的问题称为第一边值问题，或称 问题。 第二边界条件：给出未知函数在边界上的法向微商的值。相应的问题称为第二边值问题，或称为 问题。 第三边界条件：给出未知函数在边界上的法向微商和本身的线性组合的值。相应的问题称为第三边值问题，或称为 问题。DirichletNeumannRobin 7定解问题的适定性定解问题的适定性 解的稳定性：解的稳定性：当初始数据或边界数据发生微小变化时，解的变化也微小。 定解问题的适定性

37、：定解问题的适定性：如果定解问题的解在给定的函数空间存在，唯一并且稳定，则称该定解问题是适定的，否则称不适定的。 定解问题不适定的一个著名例子例子例： 阿达玛考察 问题 不难验证函数 是问题的解，并且是唯一的。. J Hadamard0 0,01,00,sin0,0 xxyyykuuxyu xux onx nNnuyuy11,sinsnkux ynx hnyn 但此解不稳定，因为把此解与齐次初边值条件下的解 相比较可知，两者的初边值之差的绝对值当 时可以变得任意小，但相应的两个解的差的绝对值在任意固定的点 ，可以变得充分大，因而解在连续函数空间范数下是不稳定的，类似可以说明解在 范数下也是不稳

38、定的，从而定解问题是不适定的。0u n ,0 x yy 2L 由于偏微分方程自身的不断发展，以及生产实际的推动，不适定问题的研究已成为近代偏微分方程研究的一个重要方向。定义定义: 主要是指从物理学及其他各门自然科学、技术 科学中所产生的偏微分方程(有时也包括积分 方程、微分积分方程等), 例如特点特点: 反映了有关的未知变量关于时间的导数和关于 空间变量的导数之间的制约关系。范畴范畴: 连续介质力学连续介质力学、电磁学电磁学、量子力学量子力学等方面的基 本方程都属于数学物理方程的范围。数学物理方程数学物理方程0),(),(22222xtxuattxu“一切科学的理论，总是从实践中来从实践中来，

39、又回到实践中去到实践中去，接受检验，指导实践，同时在实践中丰富和发展自己。” 力学问题弦线振动问题流体运动、弹性体振动、热传导、电磁作用、原子核原子核- -电子作用、化学反应电子作用、化学反应偏微分方程偏微分方程（基本规律）偏微分方程偏微分方程（基本规律）求解数学物理方程数学物理方程定解问题预测自然现象变化（气象预报等）各种工程设计（机械强度计算等）物理问题物理问题数学问题（方程）数学问题（方程）求解的方法求解的方法分离变量法分离变量法特殊函数特殊函数边界与初始边界与初始泛定方程与定解条件泛定方程与定解条件数学数学物理方程偏微分方程理论理论偏微分方程理论新课题、新方法自然现象实际问题历史悠久对

40、象、内容、方法纯粹数学纯粹数学泛函分析复变函数微分几何计算数学多样复杂解决问题的工具纯粹数学、分支自然科学、技术科学数学物理方程数学物理方程分支课 程 概 览二、二、热传导方程热传导方程（抛物型抛物型）三、三、调和方程调和方程 （椭圆型椭圆型）四、二阶方程的分类总结五、一阶偏微分方程组七、偏微分方程的数值解一、一、波动方程波动方程 （双曲型双曲型）1. 方程导出、定解条件方程导出、定解条件2. 初值问题求解3. 初边值问题求解第一章第一章 波动方程波动方程物理背景物理背景：波的传播和弹性体振动。 1-1 1-1 一维波动方程的导出、定解条件一维波动方程的导出、定解条件 首先，考察下面的物理问题

41、： 给定一根两端固定的拉紧的均匀柔软的弦线，设其给定一根两端固定的拉紧的均匀柔软的弦线，设其长度为长度为 l ，它在外力作用下在平衡位置附近作微小的横它在外力作用下在平衡位置附近作微小的横振动，求弦上各点的运动规律。振动，求弦上各点的运动规律。基本假设基本假设：1. 弦是均匀的均匀的，弦的截面直径与长度相比可以忽略。 弦可以视为一条曲线，线密度为常数。2. 弦在某平面内作微小横振动微小横振动。弦的位置始终在一直线段附近，弦上各点在同一平面内垂直于该直线的方向上作微小振动。基本规律基本规律： 牛顿第二定律 F=m*a冲量定理 Ft=m*(v1-v2)3. 弦是柔软的柔软的，它在形变时不抵抗弯曲。

42、 弦上各质点的张力方向与弦的切线方向一致，而弦的伸长变形 与张力的关系服从虎克定律。,tansin1cosFt=m*a* t用用u(x, t)表示弦点在时刻表示弦点在时刻t沿垂直于沿垂直于x轴的位移。轴的位移。dxxusxxx2)(1 由基本假设由基本假设2可知，可知， 2)(xu与与1相比可以忽略不计，所以相比可以忽略不计，所以 xs因此，可以认为弦在振动过程中并未伸长，即可认为因此，可以认为弦在振动过程中并未伸长，即可认为张力大小与时间无关张力大小与时间无关 T(x,t)T(x)（2 2）由于弦只在由于弦只在x轴的垂直方向作横振动，所以水平方向的合力为零，即轴的垂直方向作横振动，所以水平方

43、向的合力为零，即0cos)(cos)(12xTxxT 由基本假设由基本假设2可知，可知， 1coscos12，所以，所以 )()(xTxxT因此，弦的因此，弦的张力大小与空间变量张力大小与空间变量x无关无关 ，可以把弦线的张力可以把弦线的张力T(x)在在x轴方轴方向的分量看成向的分量看成常数常数。（1 1）任取一弦段任取一弦段(x, x+x)，它的弧长为它的弧长为 （3 3）对于图中选取的弦段而言，张力在x轴垂直 方向上的合力为：),(),()(12xtxuxtxxuTsinsinT在时间段(t, t+t)内该合力产生的冲量合力产生的冲量为：dtxtxuxtxxuTttt),(),(（4 4）

44、另一方面，在时间段(t, t+t)内弦段(x, x+x)的动量变化动量变化为：dxttxutttxuxxx),(),(（5 5）因此，根据冲量定理冲量定理，得到：dxttxutttxudtxtxuxtxxuTxxxttt),(),(),(),(从而有从而有0),(),(2222dtdxxtxuTttxutttxxx进一步由t， x 的任意性，有/, 0),(),(222222Taxtxuattxu 假定有垂直于x轴方向的外力存在，并设其线密度为F(x,t)，则弦段(x, x+x)上的外力为：dxtxFxxx),(它在时间段(t, t+t)内的冲量为：dtdxtxFtttxxx),(0),(),

45、(),(2222dtdxtxFxtxuTttxutttxxx于是有：进一步由t， x 的任意性，有下面的弦振动方程弦振动方程（一维波动方程一维波动方程）：/ ),(),(,/),(),(),(222222txFtxfTatxfxtxuattxu),()(2222222tyxfyuxuatu二维波动方程（如薄膜振动）二维波动方程（如薄膜振动）),()(222222222tzyxfzuyuxuatu三维波动方程（如电磁波三维波动方程（如电磁波、声波的传播）声波的传播） 弦振动方程描述的是弦作微小横振动时的位移函数弦振动方程描述的是弦作微小横振动时的位移函数u(x, t)所应满足的所应满足的一般性规

46、律。仅仅利用它并不能完全确定一条弦的具体运动状况。这是因一般性规律。仅仅利用它并不能完全确定一条弦的具体运动状况。这是因为弦的运动还与其初始状态以及边界所处的状况有关系。为弦的运动还与其初始状态以及边界所处的状况有关系。 在前面的推导中，弦的两端被固定在在前面的推导中，弦的两端被固定在x=0和和x=l两点，即两点，即 u(0, t)=0 ， u(l, t)=0，这两个等式称为这两个等式称为边界条件边界条件。此外，设弦在初始时刻。此外，设弦在初始时刻t=0时的位置和速度为时的位置和速度为)0()()0 ,(),()0 ,(lxxtxuxxu这两个等式称为这两个等式称为初始条件初始条件。边界条件和

47、初始条件总称为。边界条件和初始条件总称为定解条件定解条件。把微分方。把微分方程和定解条件结合起来，就得到了与实际问题相对应的定解问题。程和定解条件结合起来，就得到了与实际问题相对应的定解问题。2. 定解条件定解条件对于弦振动方程而言，与上述定解条件结合后，其定解问题可以描述为：对于弦振动方程而言，与上述定解条件结合后，其定解问题可以描述为：22. 1. 0:21. 1, 0:020. 1),(),(:019. 1),(),(),(22222ulxuxxtuxuttxfxtxuattxu要在区域要在区域)0,0(tlx上（见右上图）求上述定解问题的解，就是上（见右上图）求上述定解问题的解，就是要

48、求这样的连续函数要求这样的连续函数u(x, t) ，它在区域，它在区域0 x0中满足波动方程中满足波动方程(1.19)；在；在x轴上的区间轴上的区间 0,l 上满足初始条件上满足初始条件(1.20)；并在边界；并在边界x=0和和x=l上满足边界条上满足边界条件件(1.21)和和 (1.22)。 一般称形如一般称形如(1.21)和和(1.22)的边界条件为的边界条件为第一类边界条件第一类边界条件，也叫，也叫狄利克雷狄利克雷（DirichletDirichlet）边界条件。）边界条件。弦振动方程的边界条件通常还可以有以下两种：弦振动方程的边界条件通常还可以有以下两种： （a）设弦的一端（）设弦的一

49、端（x=0）处于自由状态，即可以在垂直于）处于自由状态，即可以在垂直于x轴的直线上自轴的直线上自由滑动，且未受到垂直方向的外力。由于在边界右端的张力的垂直方向分由滑动，且未受到垂直方向的外力。由于在边界右端的张力的垂直方向分量是量是xuT于是边界处应有于是边界处应有00 xxu考虑更一般的情况，上述边界条件可以写为考虑更一般的情况，上述边界条件可以写为）（txux0 （b）弦的一端（）弦的一端（x=l）处于固定在伸缩符合胡克定律的弹性支承上，如果）处于固定在伸缩符合胡克定律的弹性支承上，如果支承的初始位置为（支承的初始位置为（u=0），那么在端点的），那么在端点的u值表示支承的伸长量，于是值表

50、示支承的伸长量，于是,lxlxkuxuTTkuxulx/,0)(这种边界条件称为这种边界条件称为第二类边界条件第二类边界条件，又称，又称诺依曼诺依曼（Neumann）边界条件）边界条件数学上，可以考虑更一般的情况，上述边界条件写为数学上，可以考虑更一般的情况，上述边界条件写为)()(tuxulx（第三类边界条件第三类边界条件） 偏微分方程的分类 )6()()()()()5()()4() 3(),()()2(),()() 1 (),()(222212222222222222222222222ufxuxuxuufuuubuuutzyxfzuyuxutzyxfzuyuxuatutzyxfzuyuxu

51、atunxxtxxxxt 分类依据分类依据：阶数阶数、线性性质线性性质、齐次性齐次性。 阶阶：偏微分方程所含有的未知函数最高阶导数的阶数：偏微分方程所含有的未知函数最高阶导数的阶数 线性方程线性方程：方程对于未知函数及其各阶导数总体来说是线性的。：方程对于未知函数及其各阶导数总体来说是线性的。 方程（方程（1）,（2）,（3） 拟线性方程拟线性方程：方程对未知函数的最高阶导数总体来说是线性的。：方程对未知函数的最高阶导数总体来说是线性的。 方程（方程（4）,（5） 完全非线性方程完全非线性方程：方程对未知函数的最高阶导数不是线性的。：方程对未知函数的最高阶导数不是线性的。 方程（方程（6） 齐

52、次性齐次性：以方程（：以方程（1）为例，函数）为例，函数 f (x,y,z,t)与未知函与未知函 数无关（自由项），若该项恒为零，则该数无关（自由项），若该项恒为零，则该 方程为齐次方程。反之，为非齐次方程。方程为齐次方程。反之，为非齐次方程。 边界条件和初始条件也有齐次和非齐次之分边界条件和初始条件也有齐次和非齐次之分。3. 定解问题适定性概念定解问题适定性概念解的解的存在性存在性：定解问题的解是否一定存在？：定解问题的解是否一定存在？解的解的唯一性唯一性：定解问题的解是否只有一个？：定解问题的解是否只有一个？解的解的稳定性稳定性：当定解条件或自由项作很小的变化时，问题的解是否也作很：当定解

53、条件或自由项作很小的变化时，问题的解是否也作很小的变化？小的变化？定解问题的存在性、唯一性和稳定性统称为定解问题的定解问题的存在性、唯一性和稳定性统称为定解问题的适定性适定性。如果一个。如果一个定解问题的解是存在的，唯一的，而且是稳定的，我们就称这个问题是适定解问题的解是存在的，唯一的，而且是稳定的，我们就称这个问题是适定的，即认为这样的定解问题的提法是合适的。定的，即认为这样的定解问题的提法是合适的。除了研究定解问题的适定性外，数理方程中还经常研究的问题包括：解的除了研究定解问题的适定性外，数理方程中还经常研究的问题包括：解的正则性（光滑性）、解的渐近性（包括衰减性）和定解问题的求解方法正则

54、性（光滑性）、解的渐近性（包括衰减性）和定解问题的求解方法（精确解、渐近解、数值解）等。（精确解、渐近解、数值解）等。定解问题的提法是否合适？定解问题的提法是否合适？达朗贝尔（达朗贝尔（dAlembertdAlembert）公式、波的传播）公式、波的传播1. 1. 叠加原理叠加原理 从本节开始我们讨论弦振动方程的各类定解问题。先介绍叠加原理。从本节开始我们讨论弦振动方程的各类定解问题。先介绍叠加原理。在物理学研究中经常出现这样的现象：几种不同原因的综合所产生的效在物理学研究中经常出现这样的现象：几种不同原因的综合所产生的效果等于这些不同原因单独（假设其他原因不存在）产生的效果的累加。果等于这些

55、不同原因单独（假设其他原因不存在）产生的效果的累加。这就是叠加原理。它对于用这就是叠加原理。它对于用线性方程线性方程和和线性定解条件线性定解条件描述的物理现象来描述的物理现象来说，都是成立的。说，都是成立的。例如：若例如：若u1 1(x, t)是方程是方程),(122222txfxuatu的解，而的解，而u2 2(x, t)是方程是方程),(222222txfxuatu的解，则对于任意的常数的解，则对于任意的常数C1、C2，函数，函数),(),(),(2211txuCtxuCtxu是方程是方程),(),(221122222txfCtxfCxuatu的解。的解。典型例子：声学中把弦线振动时所发出

56、的复杂的声音分解成各种单音典型例子：声学中把弦线振动时所发出的复杂的声音分解成各种单音的叠加。的叠加。2. 2. 弦振动方程的达朗贝尔解法弦振动方程的达朗贝尔解法 为了考察波动方程的定解问题，先从最简单的情形入手，即首先考察边为了考察波动方程的定解问题，先从最简单的情形入手，即首先考察边界的影响可以忽略不计的情况。如果所考察的物体（弦线）长度很长，而界的影响可以忽略不计的情况。如果所考察的物体（弦线）长度很长，而我们所关注的又只是在我们所关注的又只是在较短时间内较短时间内且且距离边界较远距离边界较远的一段范围中的运动情的一段范围中的运动情况，那么边界条件的影响就可以忽略，并不妨把所考察的物体的

57、长度视为况，那么边界条件的影响就可以忽略，并不妨把所考察的物体的长度视为无限长。这样的情况下，定解问题归结为如下形式：无限长。这样的情况下，定解问题归结为如下形式：6 . 2)(),(),(:05 . 2), 0(),(),(),(22222xxtuxutxttxfxtxuattxu 在这个定解问题中，定解条件只有初始条件，故通常称为在这个定解问题中，定解条件只有初始条件，故通常称为初值问题初值问题(也称也称柯西（柯西（Cauchy）问题）问题）。相应地，前一节中的定解问题）。相应地，前一节中的定解问题(1.19) (1.22)由于既由于既有初始条件，又有边界条件，故称为有初始条件，又有边界条

58、件，故称为初边值问题初边值问题或或混合问题混合问题。 方程方程(2.5)中的自由项中的自由项f(x,t)是由于外力作用产生的，因此方程是由于外力作用产生的，因此方程(2.5)中中f(x,t)恒为零恒为零的情况对应于自由振动；的情况对应于自由振动；f(x,t)不为零不为零的情况对应于强迫振动。的情况对应于强迫振动。10.2,0,0:09 .2),(),(),()II(22222tuuttxfxtxuattxu 下面，我们求解上述初值问题。首先注意到微分方程及定解条件都下面，我们求解上述初值问题。首先注意到微分方程及定解条件都是线性的。对于这种定解问题，同样存在叠加原理，即是线性的。对于这种定解问

59、题，同样存在叠加原理，即若若u1 1(x, t)和和u2 2(x, t)分别是下述初值问题分别是下述初值问题8.2),(),(:07.2,0),(),() (22222xtuxutxtxuattxu和和的解，那么的解，那么u=u1 1(x, t)+u2 2(x, t)就一定是原初值问题就一定是原初值问题(2.5)、(2.6)的解。这样求解的解。这样求解初值问题初值问题(2.5)、(2.6)就转化为分别求解齐次方程带非齐次边界条件的初值问就转化为分别求解齐次方程带非齐次边界条件的初值问题题(I I)和非齐次方程带齐次初始条件的初值问题和非齐次方程带齐次初始条件的初值问题(IIII)单独初始振动状

60、态对单独初始振动状态对振动过程的影响。振动过程的影响。单独考虑外力因素对单独考虑外力因素对振动过程的影响。振动过程的影响。 首先，考察初值问题首先，考察初值问题(I I)，它可以通过，它可以通过自变量变换自变量变换的方法求解。的方法求解。引入新自变量：引入新自变量：=x-at， =x+at，有，有uuxuxuxu22222222)()(uuuxxuxxuxu类似地，类似地，)2();(22222222uuuatuuuatu代回原来的自变量，得通解为代回原来的自变量，得通解为 u(x,t)=F(x-at)+G(x+at) （2.14）02 u从而，得到从而，得到其通解为其通解为 u(,)=F()