稳定裕度补充

1、5.7.1相位裕度和增益裕度ReIm01平面G大时K小时K图5-46) 1() 1)(1()() 1() 1)(1()(2121jTjTjTjjjjKjGnmmn 的极坐标图对于大的K值，系统是不稳定的。当增益减小到一定值时，)(jG的轨迹通过-1+j0点。对于小的K值，系统是稳定的。 )(jG的轨迹对-1+j0点点的靠近程度，可以用来度量稳定裕量(对条件稳定系统不适用)。在实际系统中常用相位裕量和增益裕量表示。 )(jG5.7相对稳定性相位裕度、相角裕度(Phase Margin)设系统的截止频率(Gain cross-over frequency)为c1)()()(cccjHjGjA定义相

2、角裕度为)()(180ccjHjG相角裕度的含义是度，则系统将变为临界稳定。对于闭环稳定系统，如果开环相频特性再滞后当0 时，相位裕量为正值；0为了使最小相位系统稳定，相位裕度必须为正。在极坐标图上的临界点为0分贝和180时，相位裕度为负值。当LogLogLogLog90270180Positive Gain MarginPositive Phase MarginNegative Gain MarginNegative Phase MarginStable SystemUnstable System0dB902701800dBcgcg增益裕度、幅值裕度(Gain Margin)h设系统的相位穿

3、越频率(Phase cross-over frequency)()()()(21)gggG jH jk , 1, 0 k定义幅值裕度为1()()gghG jH j幅值裕度h对于闭环稳定系统，如果系统开环幅频特性再增大h倍，则系统将变为临界稳定状态。20log()()gghG jH j 的含义是，若以分贝表示，则有当增益裕度以分贝表示时，如果1h0)(dBh增益裕度为正值；1h，则0)(dBh正增益裕度(以分贝表示)表示系统是稳定的；负增益裕度(以分贝表示)表示系统是不稳定的。 如果增益裕度为负值。xLogLogLogLog90270180Positive Gain MarginPositive

4、 Phase MarginNegative Gain MarginNegative Phase MarginStable SystemUnstable System0dB902701800dBcgcgReImh1PlaneGPositive Gain MarginPositive Phase Margin-11ReImh1PlaneGNegative Gain MarginNegative Phase Margin-11Stable SystemUnstable System)(jG)(jG0)(dBh0判断系统稳定的又一方法)()(180ccjHjG20log()()gghG jH j 一阶

5、或二阶系统的增益裕度为无穷大，因为这类系统的极坐标图与负实轴不相交。因此，理论上一阶或二阶系统不可能是不稳定的。当然，一阶或二阶系统在一定意义上说只能是近似的，因为在推导系统方程时，忽略了一些小的时间滞后，因此它们不是真正的一阶或二阶系统。如果计及这些小的滞后，则所谓的一阶或二阶系统可能是不稳定的。对于稳定的最小相位系统，增益裕度指出了系统在不稳定之前，增益能够增大多少。对于不稳定系统，增益裕度指出了为使系统稳定，增益应当减少多少。一阶或二阶系统的增益裕度为多少？只用增益裕度和相位裕度，都不足以说明系统的相对稳定性。为了确定系统的相对稳定性，必须同时给出这两个量。 6030 与增益裕度应当大于

6、6分贝。 5.7.2关于相位裕度和增益裕度的几点说明控制系统的相位裕度和增益裕度是系统的极坐标图对-1+j0点 靠近程度的度量。这两个裕度可以作为设计准则。对于最小相位系统，只有当相位裕度和增益裕度都是正值时，系统才是稳定的。负的裕度表示系统不稳定。适当的相位裕度和增益裕度可以防止系统中元件变化造成的影响，并且指明了频率值。为了得到满意的性能，相位裕度应当在之间，1)()()(cccjHjGjA定义定义相位裕度相位裕度为为)()(180ccjHjG()()()gggG jH j 1()()gghG jH j20log()()gghG jH j 1:2:定义增益定义增益(幅值幅值)裕度裕度用分贝

7、表示用分贝表示:给定开环传函：给定开环传函：1）由）由K求求h和和 2）由）由h和和求求K都根据上述都根据上述1 和和2 的定义来求；求法各有两种的定义来求；求法各有两种例5-9 一单位反馈系统的开环传递函数为)05. 01)(2 . 01 ()(sssKsGK=1时系统的相位裕度和增益裕度。要求通过增益K的调整，使系统的增益裕度20logh=20dB，相位裕度 40解：()()()180gggG jH j ()900.20.05180gggarctgarctg 即0.20.0590ggarctgarctg2121211)(tgtgtgtgtg0.20.0510.20.05gggg 10.20

8、.050gg 10g相位穿越频率g增益裕度()()20log()()gggKdBh dBG jH j 120log(10.2)(10.05)gggjjj 22)1005. 0(1log20)102 . 0(1log2010log20dB281720 在g处的开环对数幅值为根据K=1时的开环传递函数c1)()(ccjHjG)05. 01)(2 . 01 (1)(ccccjjjjG1)0025. 01)(04. 01 (122ccc 1c10405. 02 . 090)(cccarctgarctg 76104180)(180c相位裕度增益穿越频率截止频率 取近似值，真正计算麻烦取近似值，真正计算麻

9、烦Bode DiagramFrequency (rad/sec)Phase (deg)Magnitude (dB)-40-30-20-1001020100101-225-180-135-90)(dBhc1K5 . 2K2 . 5KcK)(dBh)(dBh 由题意知10h()0.1gG j220.1(10.04)(10.0025)gggK 5 . 225. 0141101 . 0K验证是否满足相位裕度的要求。根据 40的要求，则得：1404018005. 02 . 090)(cccarctgarctg5005. 02 . 0ccarctgarctg2 . 105. 02 . 0105. 02 .

10、 0cccc 4c1)0025. 01)(04. 01 (22cccK 2 . 502. 128. 14K不难看出，5 . 2K就能同时满足相位裕度和增益裕度的要求。 10gccK大，则小，小， 也要小例5-11 设一单位反馈系统对数幅频特性如图所示(最小相位系统)。写出系统的开环传递函数判别系统的稳定性如果系统是稳定的，则求ttr)(时的稳态误差。解：由图得)51)(01. 01 ()1 . 01 ()(jjjjKjG看对数幅频特性10-310-210-1100101102-40-20020406080-20dB/dec-20dB/dec-40dB/dec-40dB/dec0.010.115

11、rad/sdB)(L)51)(01. 01 ()1 . 01 ()(jjjjKjG1lg20)51(1lg20)01. 01(1lg20)1 . 01(1lg20lg20222K1110010K10K)2 . 01)(1001 ()101 (10)(sssssG由于是最小相位系统，因而可通过计算相位裕度是否大于零来判断系统的稳定性。由图可知1c在c处4 .1065101. 011 . 0190)(arctgarctgarctgc则得6 .73)(180c单位斜坡输入时，系统的稳态误差为1 . 01011vssKe 0 系统稳定5.7.3 标准二阶系统中阶跃瞬态响应与频率响应之间的关系S(S+2

12、n)n2R(s)C(s)图3-8 标准形式的二阶系统方块图_在图3-8所示的标准二阶系统中，单位阶跃响应中的最大超调量可以精确地与频率响应中的谐振峰值联系在一起。因此，从本质上看，在频率响应中包含的系统动态特性信息与在瞬态响应中包含的系统的动态特性信息是相同的。)2()(2nnsssG)2()(2nnjjjG书上例5-13p203设截止频率14)(2222nccncjGc则有22224nncc 422244ncnc24)4(44222222nnnc )214(2422nc24214(ncnarctg290)(根据相位裕度的定义 nccarctg290180)rctg

13、242142 arctg上式说明相位裕度仅仅与阻尼比有关。14)(2222nccncjG 00.20.40.60.811.21.41.61.820102030405060708090图5-51标准二阶系统的相位裕度与阻尼比之间的关系相位裕度与阻尼比直接相关。图5-51表示了相位裕度与阻尼比的函数关系。对于标准二阶系统，当时，相位裕度与阻尼比之间的关系近似地用直线表示如下：100因此，相位裕度相当于阻尼比。对于具有一对主导极点的高阶系统，当根据频率响应估计瞬态响应中的相对稳定性（即阻尼比）时，根据经验，可以应用这个公式。 0.10.20.30.40.50.60.70.800.511.522.53

14、3.5221nr21nd对于小的阻尼比，谐振频率与阻尼自然频率的值几乎是相同的。因此，对于小的阻尼比，谐振频率的值表征了系统瞬态响应的速度。的值越小rM和pM的值越大。rrM和pM与之间的函数关系如图5-52所示。可以看出，当4 . 0时，rM和pM之间存在相近的关系。对于很小的值rM将变得很大，而pM却不会超过1。 0.10.20.30.40.50.60.70.800.511.522.533.55.7.4截止频率与带宽(Cutoff frequency and bandwidth)dB)(L0带宽b33图5-53 截止频率与系统带宽参看图5-53，当闭环频率响应的幅值下降到零频率值以下3分贝

15、时，对应的频率称为截止频率。dBjRjCjRjC3)0()0(lg20)()(lg20b对于的dBjRjC0)0()0(lg20系统dBjRjC3)()(lg20b闭环系统滤掉频率大于截止频率的信号分量，但是可以使频率低于截止频率的信号分量通过。闭环系统的幅值不低于-3分贝时，对应的频率范围称为系统的带宽。带宽表示了这样一个频率，从此频率开始，增益将从其低频时的幅值开始下降。因此，带宽表示了系统跟踪正弦输入信号的能力。对于给定的n，上升时间随着阻尼比的增加而增大。另一方面，带宽随着的增加而减小。因此，上升时间与带宽之间成反比关系。带宽指标取决于下列因素：1、对输入信号的再现能力。大的带宽相应于小的上升时间，即相应于快速特性。粗略地说，带宽与响应速度成反比。2、对高频噪