周期函数的傅里叶级数

1、目录 上页 下页 返回 结束 第五节周期的函数的傅里叶级数 二、周期为二、周期为2 l 的周期函数的傅里叶级数的周期函数的傅里叶级数 第六章 一、正弦级数和余弦级数一、正弦级数和余弦级数目录 上页 下页 返回 结束 一、正弦级数和余弦级数一、正弦级数和余弦级数1. 周期为周期为2 的的奇、偶函数的傅里叶级数奇、偶函数的傅里叶级数定理定理1 . 对周期为 2 的奇函数 f (x) , 其傅里叶级数为周期为2的偶函数 f (x) , 其傅里叶级数为余弦级数 ,02( )cosd(0,1, 2,) naf xnxxn),3,2,1( 0nbn),2,1,0( 0nan02( )sind(1, 2,3

2、,)nbf xnxxn它的傅里叶系数为正弦级数,它的傅里叶系数为目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 设的表达式为 f (x) x , 将 f (x) 展成傅里里叶级数. f (x) 是周期为2 的周期函数,它在上),解解: 若不计),2, 1,0() 12(kkx是则)(xf周期为 2 的奇函数, 0dsin)(2xnxxfbn),2,1,0(0nan),3,2,1(n0dsin2xnxx因此02sincos2nnxnnxxnncos21) 1(2nnyxO目录 上页 下页 返回 结束 n1根据收敛定理可得 f (x) 的正弦级数:)(xf,(x)3sin312sin21(sin2xxx1

3、2nnxnnsin) 1(1(21) ,0,1 ,)xkk级数的部分和 , ) 在上逼近 f (x) 的情况见右图. yxOn2n3n4n5Oxy目录 上页 下页 返回 结束 2. 定义在定义在0, 上的函数展成正弦级数与余弦级数上的函数展成正弦级数与余弦级数( ),0,f xx)(xF周期延拓 F (x)(xF f (x) 在 0, 上展成周期延拓 F (x)余弦级数奇延拓偶延拓xOy正弦级数 f (x) 在 0, 上展成Oxy( ),(0, f xx0, 0 x(),(, 0)fxx ( ),0, f xx(),(, 0)fxx 目录 上页 下页 返回 结束 xyO1例例2. 将函数)0(

4、1)(xxxf分别展成正弦级数与余弦级数 . 解解: 先求正弦级数. 去掉端点, 将 f (x) 作奇周期延拓,0dsin)(xnxxf2nb 0dsin) 1(2xnxx202cossincosxnxnxnxnnn21coscosnnn12 knkn2),2, 1(k22,21k,1k目录 上页 下页 返回 结束 nb12,1222knkknk2,1),2, 1(k21xxsin)2( x2sin2x3sin32x4sin4)0( x注意注意: 在端点 x = 0, , 级数的和为0 ,与给定函数因此得 f (x) = x + 1 的值不同 . xyO1目录 上页 下页 返回 结束 再求余弦

5、级数.xy将)(xf则有O0a02(1)dxxna02(1)cosdxnxx2022xx2202sincossinxnxnxnxnnn22cos1nn24,21(21) nkkkn2,0),2, 1(k作偶周期延拓 ,1目录 上页 下页 返回 结束 na12,) 12(42knkkn2,0),2, 1(k112x xcosx3cos312(0)xx5cos512说明说明: 令 x = 0 可得2221113582211(21)8nk即412 2141(21)kkxk) 12cos(xyO1目录 上页 下页 返回 结束 二、周期为二、周期为2 l 的周期函数的傅里叶级数的周期函数的傅里叶级数周期

6、为 2l 的函数 f (x)周期为 2 的函数 F(z)变量代换lxz将F(z) 作傅氏展开 f (x) 的傅氏展开式目录 上页 下页 返回 结束 狄利克雷狄利克雷( Dirichlet )条件条件:1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点2) 在一个周期内只有有限个极值点naxlxnxflbllndsin)(1l1xlxnxflldcos)(),2, 1,0(n),2, 1(n设周期为2l 的周期函数 f (x)满足收敛定理条件,则它的傅里里叶级数展开式为10sincos2)(nnnlxnblxnaaxf(在 f (x) 的连续点处)其中定理定理2.目录 上页 下页 返回 结束 证明证

7、明: 令lxz, 则,llx,z令)(zF, )(z lf则)2()2(zlfzF)2(lzlf)(zlf)(zF所以)(zF且它满足收敛定理条件,将它展成傅里里叶级数:10sincos2)(nnnznbznaazF( 在 F(z) 的连续点处 )(xf变成是以2 为周期的周期函数, 目录 上页 下页 返回 结束 zznzFandcos)(1其中zznzFbndsin)(1令lxzlan1xlxnxflbllndsin)(1lxnblxnaaxfnnnsincos2)(10),2, 1,0(n),3,2, 1(n),2, 1,0(n),3,2, 1(n( 在 f (x) 的 连续点处 )xlx

8、nxflldcos)(证毕 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:1)(nnbxf),2, 1(dsin)(nxlxnxfbn其中(在 f (x) 的连续点处)lxnsinl20l如果 f (x) 为偶函数, 则有(在 f (x) 的连续点处)2)(0axf),2, 1,0(dcos)(nxlxnxfan其中1nnalxncos注注: 无论哪种情况 ,).()(21xfxf在 f (x) 的间断点 x 处, 傅里里叶级数都收敛于l20l如果 f (x) 为奇函数, 则有 目录 上页 下页 返回 结束 )(tftO0d) 1sin() 1sin(ttntn例例3. 交流电压tEtEsin)(经

9、半波整流后负压消失,试求半波整流函数的解解: 这个半波整流函数2,它在)(tfna0dcossinttntE,sintE,0傅里里叶级数.,上的表达式为0t0 t2E的周期是22目录 上页 下页 返回 结束 000d2sintt21Ea tE2cos212时1n0d) 1sin() 1sin(ttntn2Eantnn) 1cos() 1(12E0tnn) 1cos() 1(1111) 1(111) 1(21nnnnEnn) 1(1) 1(21nEn32 ,0 kn,)41 (22kE), 1,0(kkn2目录 上页 下页 返回 结束 tttEbdsinsin01ttntnEd) 1cos()

10、1cos(20) 1() 1sin(2ntnEbn0) 1() 1sin(0ntnttntEbndsinsin0ttEd)2cos1 (20022sin2ttE2En 1 时目录 上页 下页 返回 结束 由于半波整流函数 f ( t ),),(上连续在)(EtftEsin2tkkEk2cos411212)(t直流部分说明说明:交流部分由收收敛定理可得2 k 次谐波的振幅为,14122kEAk k 越大振幅越小,因此在实际应用中展开式取前几项就足以逼近 f (x)了.上述级数可分解为直流部分与交流部分的和. )(tftO22目录 上页 下页 返回 结束 Oyx2例例2. 把展开成)20()(xx

11、xf(1) 正弦级数; (2) 余弦级数.解解: (1) 将 f (x) 作奇周期延拓, 则有),2, 1,0(0nan2022xbnxxnd2sin0222sin22cos2xnnxnxnnncos4),2, 1() 1(41nnn14)(nxf2sin) 1(1xnnn)20( x在 x = 2 k 处级数收敛于何值?目录 上页 下页 返回 结束 O 2yx(2) 将 作偶周期延拓,)(xf),2, 1(0nbn2022xancosd2n xx22022sincos22nxnxxnn224( 1)1nn xxf)(200d22xxa2kn2,0228,(21) k),2, 1(k则有221

12、81(21)1cos(21)2kkxk )20( x12 kn目录 上页 下页 返回 结束 O 2yx说明说明: 此式对0 x也成立,2211(21)8kk由此还可导出121nn2812141nn22116nn12)2(1kk22181(21)( )1cos(21)2kkxf xxk )20( x12) 12(1kk据此有目录 上页 下页 返回 结束 当函数定义在任意有限区间上时,方法方法1, , )(baxxf令,2abzx即2abxzzabzfxfzF, )2()()(2,2abab在2,2abab上展成傅里叶级数)(zF周期延拓将2abxz)(xf在,ba代入展开式上的傅里叶级数 其展开

13、方法为:xab2ba目录 上页 下页 返回 结束 方法方法2, , )(baxxf令,azxzazfxfzF, )()()(ab,0在ab,0上展成正弦或余弦级数)(zF奇或偶式周期延拓将 代入展开式axz)(xf在,ba即axz上的正弦或余弦级数 xab目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 将函数)155(10)(xxxf展成傅里里叶级数.解解: 令,10 xz设)55( )10()()(zzzfxfzF将F(z) 延拓成周期为 10 的周期函数, 理条件.由于F(z) 是奇函数, 故),2, 1,0(0nan5052zbnsind5n zznn10) 1(),2,1(n则它满足收敛定11

14、0( 1)( )sin5nnn zF zn)55(z110( 1)10sin5nnn xxn)155( x)(zFz55O目录 上页 下页 返回 结束 1. 周期为 2 的奇、偶函数的傅里叶级数 奇函数正弦级数 偶函数余弦级数2. 在 0, 上函数的傅里叶展开法 作奇周期延拓 , 展开为正弦级数 作偶周期延拓 , 展开为余弦级数内容小结内容小结目录 上页 下页 返回 结束 3. 周期为2l 的函数的傅里叶级数展开公式)(xf20alxnblxnannnsincos1(x 间断点)其中naxlxnxfllldcos)(1nbxlxnxfllldsin)(1), 1 ,0(n),2, 1(n为正弦

15、 级数. 当f (x)为奇 函数时,(偶)(余弦)4. 在任意有限区间上函数的傅里叶展开法变换延拓目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 在 0 , 上的函数的傅里里叶展开法唯一吗 ?答答: 不唯一 , 延拓方式不同级数就不同 .2. 将函数展开为傅里叶级数时为什么最好先画出其图形?答答: 易看出奇偶性及间断点, 3. 计算傅里叶系数时哪些系数要单独算 ?答答: 用系数公式计算如分母中出现因子 nk从而便于计算系数和写出收敛域 .,时nnbakkba 或则必须单独计算.习题课 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题) 11(2)(xxxf将期的傅立叶级数, 并由此求级数121nn