向量组的线性相关性

1、C CH H4 4 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性n n维向量的概念维向量的概念向量组的线性相关性向量组的线性相关性线性相关性的判别定理线性相关性的判别定理向量组的秩向量组的秩向量空间向量空间 1 1 N N维向量的概念维向量的概念个数组成的有序数组个数组成的有序数组12,na aa称为一个称为一个维向量维向量，其中称为第个，其中称为第个分量分量（坐标坐标）. .iai维向量写成一行，称为维向量写成一行，称为行矩阵行矩阵，也就是，也就是行向量行向量，12naaa 如：如：记作记作, , ,. .维向量写成一列，称为维向量写成一列，称为列矩阵列矩阵，也就

2、是，也就是列向量列向量，（VectorVector）（naaa,.,21 2 2、元素全为零的向量称为元素全为零的向量称为零向量零向量（Null VectorNull Vector）. .3 3、维数相同的列（行）、维数相同的列（行）向量同型向量同型. .元素是复数的向量称为元素是复数的向量称为复向量复向量（Complex VectorComplex Vector）.1 1、元素是实数的向量称为元素是实数的向量称为实向量实向量（Real VectorReal Vector）. .4 4、对应分量相等的、对应分量相等的向量相等向量相等. 1122(),nnababab 12,nkkkakaka

3、1122,nnababab1212(),(),nnaaab bb,.,.,向量的加法与数乘合称为向量的向量的加法与数乘合称为向量的线性运算线性运算. .Rkaaan ），），（,.,21 （1 1） （交换律）（交换律）（2 2） （结合律）（结合律）()()（3 3）O（4 4）()O ( (设设, , ,均是维向量均是维向量, ,，为实数为实数) )（5 5）1 （6 6）()()() （7 7）() （8 8）() .,),(21T21维维向量空间向量空间叫做叫做集合集合维向量的全体所组成的维向量的全体所组成的nRxxxxxxXRnnnn .,),(3叫做叫做三维向量空间三维向量空间的集

4、合的集合三维向量的全体所组成三维向量的全体所组成RzyxzyxrRT 11,1,0T ，设设3(3,4,0)T 20,1,1T ，12331,(,)21 .11 其中( , )求求解解 12312332，(4,4, 1) .T123321033 12 11 4010 (0,1,2) .T 123012 1031 11 11 4010 441 1122nnxxxb线性方程组的向量表示线性方程组的向量表示方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应11112211211222221122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xbaxaxaxb 12

5、12(,.,)nnxxbx 即即Axb 或或12mA 其第其第个个列列向量向量记作记作12jjjmjaaa 12(,.,)nA 个维个维行向量行向量. .按行分块按行分块111212122211nnmmmnaaaaaaAaaa 按列分块按列分块个维个维列向量列向量. .其第其第个个行行向量向量记作记作 12,iiiinaaa 矩阵与向量的关系中矩阵与向量的关系中注意什么是向量的注意什么是向量的个个数数、什么是向量的、什么是向量的维维数数，二者必须分清，二者必须分清. .2 2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性一、向量组的线性相关性定义一、向量组的线性相关性定义1212,0k kkk 向向量

6、量共共线线不不全全为为零零的的数数使使得得123123,0k kkkkk 向向量量共共面面不不全全为为零零的的数数, , 使使得得1212,0,0kkkk 向向量量不不共共线线若若则则123123,0,0kkkkkk 向向量量不不共共面面若若则则线性相关线性无关的一个的一个线性组合线性组合则称则称 为向量为向量 定义定义 2 2mmakakak 2211 使得使得一组实数一组实数若存在若存在设设n n维向量维向量,2121mmkkkaaa， ,maa12a线性表示线性表示或称或称 能由向量能由向量 ,maa12a)(组成的集合叫做组成的集合叫做向量组向量组. .所所或同维数的行向量或同维数的行

7、向量若干个同维数的列向量若干个同维数的列向量1612,.,(s1),s 向向量量组组称称为为线线性性相相关关 如如果果定义312,., ,sk kk存存在在不不全全为为零零的的数数使使得得0.2211 sSkkk 112212.0,.0Ssskkkkkk若若则则否否则则称称线线性性无无关关, , 如果向量组中有零向量,则向量组一定线性相关. 一个向量a=0线性相关,而 时线性无关0 两个向量线性相关 它们对应分量成比例即即1712,., s 向向量量组组线线性性相相关关方方程程1122.0 .ssxxx 有有非非零零解解i.e.1211121211212222n11n22(,.,) ,.0.0

8、 .0Tiiiinssssnssaaaa xa xa xa xa xa xa xa xa x 设设方方程程组组 有有非非零零解解二、判别方法1.向量个数 未知数的个数 向量维数 方程的个数 (无)(没)(没)18121(1,2,3,4,3) ,(1,2,0,5,1) ,TT 例例 . .设设34(2,4, 3, 19,6) ,(3,6, 3, 24,7)TT1234,. 试试判判断断的的线线性性相相关关性性11223344:0kkkk解解 设设123412341341234123423 02246 03 33 04519240367 0kkkkkkkkkkkkkkkkkkk 即即19对对系系数

9、数矩矩阵阵进进行行初初等等行行变变换换1123224630334519243167A 10110134.000000000000同同解解方方程程组组1342340340kkkkkk 341,0,kk有有无无穷穷多多解解. .取取得得到到方方程程组组的的一一组组解解12341, 3,1,0kkkk (,)=()(,)=()1234300,即即有有: :1234,. 故故线线性性相相关关12126 ,(,)( ).mmaaaAaaamR Am 定定理理向向量量组组线线性性相相关关它它所所构构成成的的矩矩阵阵的的秩秩小小于于向向量量个个数数；向向量量组组线线性性无无关关0|,| 121 naaan

10、n线性无关线性无关维向量维向量个个推论推论线性相关线性相关维向量维向量个个时时当当推论推论nm nm, 2 线性相关线性相关维向量维向量个个特别地特别地n n1: 2.2112s,.,(2)s 定定理理1:1:向向量量组组线线性性相相关关存存在在一一个个向向量量是是其其余余向向量量的的线线性性组组合合或或可可被被其其他他向向量量线线性性表表出出( (示示).).维维单单位位向向量量为为），（例例n,.,2 , 1.,0 1 . 0 2n ii 12,.,n 故故线线性性相相关关第i个分量12,.,),nn ( (为为任任意意 维维向向量量1122 .nn 则则12,.,.n 而而线线性性无无关

11、关3.2212s,.,(2)s 定定理理: :向向量量组组线线性性相相关关存存在在一一个个向向量量是是它它前前面面向向量量的的线线性性组组合合12s,.,(2)s 推推论论: :设设是是由由非非零零向向量量组组成成的的,(2)iis 向向量量组组 若若每每个个向向量量都都不不是是它它12s,., 前前面面向向量量的的线线性性组组合合, ,则则线线性性无无关关. .从向量组中找尽量多的线性无关向量例例 2 2,742,520,111321 aaa已知已知.,21321相关性相关性的线性的线性及向量组及向量组试讨论向量组试讨论向量组aaaaa解解，矩阵矩阵梯形梯形施行初等行变换成行阶施行初等行变换

12、成行阶对矩阵对矩阵),(321aaa 321,aaa，可见可见2),(321 aaaR 751421201 550220201 00022020112rr 13rr 2325rr ；线性相关线性相关故向量组故向量组321,aaa,2),(21 aaR同时同时.,21线性无关线性无关故向量组故向量组aa例例 3 3. ., , , ,., , , )2(. , , 21132221121线线性性相相关关性性讨讨论论设设线线性性无无关关已已知知向向量量组组ssssbbbaabaabaabsaaa 证一证一1122.0,ssx bx bx b设设, 0)(.)()(1322211 aaxaaxaax

13、ss即即, 0)(.)()(122111 ssssaxxaxxaxx亦即亦即，故有，故有线性无关线性无关因因saaa.,21.,21线性无关线性无关为奇数时向量组为奇数时向量组所以当所以当sbbbs 为偶数为偶数为奇数为奇数列式列式由于此方程组的系数行由于此方程组的系数行ss; 0; 21)(111.000.00.11000.01110.001s1 0 .0 0 0 132211sssxxxxxxxx.,21线性相关线性相关为偶数时向量组为偶数时向量组当当sbbbs121. 2 ,.m 定定理理如如果果向向量量，线线性性无无关关，.,21线线性性表表示示且且表表达达式式唯唯一一，能能由由则则m

14、 三、性质12,.,m 而而向向量量组组，线线性性相相关关2812s: ,., 定定理理3 3 若若线线性性无无关关123: ,., r 2 2. .定定理理若若线线性性相相关关整体无关部分无关部分相关整体相关12r+1,.,.,.rm 则则也也线线性性相相关关.则则它它的的任任一一部部分分组组也也线线性性无无关关 3. 4 定定理理设设1212,(1,2,),rp jjp jjjjrjp jaaaajmaa 有相同的线性相关性有相同的线性相关性与与则则mm ,., ,.,2121的一个排列的一个排列为为其中其中npppn,.,2 , 1,.,21301212112s12s12s12(,.,)

15、,1,2,.,(,.,),.,.,.,.,.,iiiiniiiininsaaaisaaaa 设设则则称称为为的的延延长长向向量量组组也也称称为为的的截截短短向向量量组组定义 12s5: ,.,. 4 4 定定理理若若线线性性无无关关 则则其其延延长长组组也也线线性性无无关关1: r, n.nr 推推论论维维向向量量组组线线性性无无关关 在在每每个个向向量量相相同同的的位位置置添添加加个个分分量量后后得得到到的的 维维向向量量组组仍仍线线性性无无关关12s5 : ,.,. 定定理理 若若线线性性相相关关 则则其其截截短短组组也也线线性性相相关关练习练习 设向量组设向量组 130,Tk ， 212

16、,Tk ， ， 3021 ，线性相关，则线性相关，则 . .3 .1kor k4 4 向量组的秩向量组的秩4 4 向量组的秩向量组的秩向量组等价向量组等价极大线性无关组与向量组的秩极大线性无关组与向量组的秩向量组的秩与矩阵秩的关系向量组的秩与矩阵秩的关系矩阵的秩与矩阵的运算矩阵的秩与矩阵的运算1212,:,.mlRSSR设有两个向量组：及若组中的每个向量都能由向 量组线性表示1.1.定义定义4 4SR组组能能由由组组线线性性表表示示，,), 2 , 1(ljj 即对每个向量即对每个向量使使存在数存在数,21mjjjkkk一、向量组等价一、向量组等价.RS若向量组与向量组能相互线性表示，则称这两

17、个向量组等价SR称组能由组线性表示1122jjjmjmkkk 1112121222121212,lllmmmmlkkkkkkkkk 从而从而 1212,jjmmjkkk .)(数矩阵数矩阵称为这一线性表示的系称为这一线性表示的系矩阵矩阵ijlmkK ，由此可知由此可知 ； ln2122221112112121,bbbbbbbbbaaacccllnnln，若若nllmnmBAC :一表示的系数矩阵一表示的系数矩阵为这为这B，线性表示线性表示的列向量组的列向量组组能由矩阵组能由矩阵量量列向列向的的则矩阵则矩阵AC12m 11121121222212llmmmllaaaaaaaaa ：为这一表示的系

18、数矩阵为这一表示的系数矩阵的行向量组线性表示，的行向量组线性表示，的行向量能由的行向量能由同时同时ABC,2.2.性质性质 1 1）自反性）自反性 2 2）对称性）对称性3 3）传递性）传递性具有以上性质的关系称为等价关系具有以上性质的关系称为等价关系1 1 定义定义7 712,rRaaa设设向向量量组组的的一一个个部部分分组组，满满足足;,)(21线性无关线性无关raaai()R则则称称此此部部分分组组 是是向向量量组组的的一一个个极极大大线线性性无无关关组组简简称称极极大大无无关关组组( ).iiR向向量量组组中中任任意意向向量量可可由由此此部部分分组组线线性性表表示示二、极大线性无关组与

19、向量组的秩二、极大线性无关组与向量组的秩极大线性无关组所含向量的个数称为向量组的秩.0组组的的秩秩为为规规定定只只含含零零向向量量的的向向量量组等价组等价向量组与它的极大无关向量组与它的极大无关.般不是惟一的般不是惟一的向量组的极大无关组一向量组的极大无关组一.含向量的个数相等含向量的个数相等但每一个极大无关组中但每一个极大无关组中7 定定 理理向向 量量 组组 与与 它它 的的 任任 意意 一一 个个 极极 大大 线线 性性 无无 关关 组组 等等 价价 R,S,rs定定理理8 8 设设向向量量组组的的秩秩为为向向量量组组 的的秩秩为为 RS.rs 若若 向向量量组组能能由由向向量量组组 线

20、线性性表表示示，则则0101: : , :, .rsARaaBSbbrs 证证明明 设设 向向量量组组 的的一一个个极极大大无无关关组组为为向向量量组组 的的一一个个极极大大无无关关组组为为，要要证证0, RRRS因因为为组组能能由由组组 线线性性表表示示组组能能由由 组组线线性性表表示示，使使得得即即存存在在系系数数矩矩阵阵),(ijsrkK 000, SSRS组组能能由由组组线线性性表表示示 所所以以组组能能由由组组线线性性表表示示， srsrsrkkkk111111),(),( )0( 0 1 KXxxKsrrsr简记为简记为，则方程组，则方程组如果如果有有非非零零解解，0),( 1 K

21、xs 有非零解，有非零解，即即0),(1 Xr 0 .Srs 与与线线性性无无关关矛矛盾盾，所所以以），从而方程组），从而方程组有非零解（因有非零解（因rsKR )( 7 R,S,rs定定理理设设向向量量组组的的秩秩为为向向量量组组 的的秩秩为为 RS.rs 若若 向向量量组组能能由由向向量量组组 线线性性表表示示，则则等等价价的的向向量量组组的的秩秩相相等等推推论论 12 推推论论任任意意连连个个线线性性无无关关的的等等价价的的向向量量组组 所所含含向向量量个个数数相相等等( (反反之之不不对对) )三、向量组的秩与矩阵秩的关系三、向量组的秩与矩阵秩的关系12mA 其第其第个个列列向量向量记

22、作记作12jjjmjaaa 12(,.,)nA 个维个维行向量行向量. .按行分块按行分块111212122211nnmmmnaaaaaaAaaa 按列分块按列分块个维个维列向量列向量. .其第其第个个行行向量向量记作记作 12,iiiinaaa 矩阵与向量的关系中矩阵与向量的关系中注意什么是向量的注意什么是向量的个个数数、什么是向量的、什么是向量的维维数数，二者必须分清，二者必须分清. .，：向向量量组组对对于于只只含含有有限限个个向向量量的的maaaA,21. ),(21maaaA 它可以构成矩阵它可以构成矩阵. 8行秩行秩列秩列秩矩阵的秩矩阵的秩定理定理 .)0()(),(21时显然成立

23、时显然成立当当，设设 rrARaaaAm证证，关关组组无无的的列列向向量量组组的的一一个个极极大大列列是是所所在在的的因因此此ArDrrDr得得知知所所在在的的列列线线性性无无关关；+1Ar又又由由中中所所有有阶阶子子式式均均为为零零，1Ar 知知中中任任意意个个列列向向量量都都线线性性相相关关. .0 rDr 阶子式阶子式并设并设, r所所以以列列向向量量组组的的秩秩等等于于().AR A类类似似可可证证矩矩阵阵的的行行向向量量组组的的秩秩也也等等于于.为为系系数数矩矩阵阵的的齐齐次次线线性性方方程程组组只只有有零零解解r否否则则以以这这 列列1r 从从而而原原矩矩阵阵存存在在非非零零的的阶

24、阶子子式式，矛矛盾盾. .1212,(,).mmaaaR aaa向向量量组组的的秩秩也也记记作作：从上述证明中可见从上述证明中可见rDA若若是是矩矩阵阵的的一一个个最最高高阶阶非非零零子子式式，关组关组向量组的一个极大无向量组的一个极大无的列的列列即是列即是所在的所在的则则ArDr. r列向量组的秩等于列向量组的秩等于的的线线性性组组合合关关系系对对应应的的列列向向量量组组有有相相同同与与B10 ABA 初初等等行行变变换换定定理理矩矩阵阵，则则 的的列列向向量量.,ERTif ABP is I MPAB 证明证明 1212,ssn sn sAB， ， ， ， ， 12， ， ，sPAP ii

25、P 即即 12， ，sPPP 12s 设设的某些列的某些列12,piii有关系有关系12120piipilll则相应的则相应的1212piipilll1212piipil Pl Pl P 1212piipiP lll0 具有相同的具有相同的线性关系线性关系. .12,piii即即中列向量组中列向量组12,piii与与中列向量组中列向量组 :例例.,(2,4,4,9),2,7)(1,1,9)2,2,1,(,6,6)1,1,(,(2,1,4,3)54321并并将将其其余余向向量量线线性性表表出出的的一一个个极极大大线线性性无无关关组组，求求向向量量组组TTTTT 解：解：1234521112112

26、14(,)4622436979A 设设矩矩阵阵A对对施施行行初初等等行行变变换换变变为为行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵1 12 140 11 10.0 00130 0000A 行行10104011030001300000 ，3,故故列列向向量量组组的的极极大大无无关关组组含含 个个向向量量1 2 4而而三三个个非非零零行行的的非非零零首首元元在在 、 、 三三列列，124,.aaa所所以以为为列列向向量量组组的的一一个个极极大大无无关关组组( )3R A 所所以以，1234512345,.a a a a ab b b b b因因为为向向量量之之间间与与向向量量之之间间有有相相同同的的线线性性关关系系

27、现在现在,3344215bbbb 因此因此3b,21bb ,213aaa .3344215aaaa 总结：求极大线性无关组及向量的线性表示的总结：求极大线性无关组及向量的线性表示的方法方法方法方法1：矩阵的初等行变换法矩阵的初等行变换法（1 1）以向量组中的向量为列向量作矩阵）以向量组中的向量为列向量作矩阵（2 2）对矩阵作初等行变换，化为行阶梯形（行最简形）对矩阵作初等行变换，化为行阶梯形（行最简形）（3 3）取每行第一个非零元所在的列，即为所求）取每行第一个非零元所在的列，即为所求方法方法2：录选法录选法（1 1）在向量组中选一个非零向量）在向量组中选一个非零向量（2 2）再选一个与）再选

28、一个与1 1 的对应分量不成比例的向量的对应分量不成比例的向量2 （3 3）再选一个不能由）再选一个不能由1 2 线性表出的向量线性表出的向量3 线性表出的向量线性表出的向量()(,)()()R AR PAR AQR PAQP Q 为为可可逆逆矩矩阵阵四、矩阵的秩与矩阵的运算四、矩阵的秩与矩阵的运算例例14.14.).,(),(11nkaaAC 设设，而而)(ijbB ).(),(min)(BRARABR )()( ARABR 先先证证明明kmknnmCBA 设设证证明明 : nknknkbbbbaa111111),(),( 则则).()(ARCR 因因此此),()(, TTTTTBRCRAB

29、C 由上面证明知由上面证明知因因的的列列向向量量组组线线性性表表示示，的的列列向向量量组组能能由由即即矩矩阵阵AC).()(BRCR 即即练习练习. .()()().R ABR AB .线性表示线性表示能由向量组能由向量组只需证明向量组只需证明向量组AB组组组组和和，并并设设设设两两个个向向量量组组的的秩秩都都为为BAr .00组组线线性性表表示示组组能能由由组组线线性性表表示示，故故组组能能由由因因BABA证明证明: :rrrKbbaa),(),(11 15 . ,.AB例例向向量量组组 能能由由向向量量组组 线线性性表表示示 且且它它们们的的秩秩相相等等.等等价价与与向向量量组组则则向向量

30、量组组BA,:,:1010rrbbBaaA和和的极大无关组依次为的极大无关组依次为使使阶方阵阶方阵即有即有rKrraaRKRrr ),()( 1故故.),(10raaRAr 组线性无关，故组线性无关，故因因.)()(rKRrKRrr ，因此，因此但但,),(),( 111 rrrrKaabbK可逆，并有可逆，并有于是矩阵于是矩阵.00组组线线性性表表示示组组能能由由即即AB. 组线性表示组线性表示组能由组能由从而从而AB5 5 向量空间向量空间向量空间概念基与维数向量的坐标说明说明.,VRV 则则若若;,VVV 则则若若一、向量空间的概念一、向量空间的概念.VV所所谓谓封封闭闭，是是指指在在集

31、集合合中中可可以以进进行行加加法法及及乘乘数数两两种种运运算算，结结果果还还在在集集合合中中定义定义1 1设设V V 为为 n n 维向量的集合，如果集合维向量的集合，如果集合V V非空，非空，且集合且集合V V 对于对于加法加法及及数乘数乘两种运算两种运算封闭封闭，那么就称，那么就称集合集合V V 为为向量空间向量空间例例2 2是向量空间,),0(2T2RxxxxxVnn因为若因为若,),0(,),0(T2T2VbbbVaaann,), , 0(T22Vbababann则.),0(T2Vaaan例例1 1 .，就是一个向量空间，就是一个向量空间维向量的全体维向量的全体nRn例例3 3.,),

32、1 (2T2不是向量空间RxxxxxVnn因为若因为若.)2,2,2(2T2Vaaan 则则，Vaaan T2),1(例例4 4.)0 , 0 ,0(T，称为零空间，称为零空间是一个向量空间是一个向量空间 xV练习练习1 1., 0),(321T321是否是向量空间？RxxxxxxxxVi., 1),(321T321是否是向量空间？RxxxxxxxxVi练习练习2 2.是向量空间.不是向量空间例例5 5n设设， 为为两两个个已已知知的的维维向向量量，集集合合,Lx R.是一个向量空间是一个向量空间.这这个个向向量量空空间间称称为为由由向向量量， 生生成成的的向向量量空空间间12maaa一一般般

33、地地，由由向向量量组组， ，生生成成的的向向量量空空间间为为,212211RaaaxLmmm 12(1),;r 线线性性无无关关12(2),.,.rV 中中任任一一向向量量都都可可由由线线性性表表示示那么，向量组那么，向量组 就称为向量就称为向量的一个的一个r, 21V基基， 称为向量空间称为向量空间 的的维数，维数，并称并称 为为 维向量维向量空间空间VrVr二、向量空间的基与维数二、向量空间的基与维数定义定义2 2 设设 是向量空间，如果是向量空间，如果 个向量个向量 ，且满足，且满足r,21 VVr ,若若V V 的维数为的维数为r r，记做，记做dimdimV V= =r r只含有零向量的向量空间只含有零向量的向量空间