高等数学(同济第六版)D3_1[1]

1、分析分析 因为含有乘积与幂指函数，故应用对数求导法因为含有乘积与幂指函数，故应用对数求导法. 解：解：应用对数求导法应用对数求导法. .函数两边取对数得函数两边取对数得 xxxysinlncoslnln xxxxxxyysincoscossinlnsin1 所以所以 )cotcossinlnsin1()(sincosxxxxxxxyx 方程两边对方程两边对 求导得求导得x练练. 设设 ，求求 .xxxycos)(sin y 1. 证明：在证明：在(a, a)内可导的奇内可导的奇( (偶偶) )函数的导数是函数的导数是偶偶( (奇奇) )函数函数. .证证：设设f (x)为为( a, a)内的偶

2、函数内的偶函数，则则 f ( x)=f (x).)()()() )(xfxxfxf )()(xfxf 即即 偶函数的导数是奇函数偶函数的导数是奇函数. .同理可证，奇函数的导数是偶函数同理可证，奇函数的导数是偶函数. .)(xf , 1)0(),()()(),(,)()( fyfxfyxfyxxf且且有有上上的的非非零零函函数数，对对任任意意，是是已已知知,)(可可导导证证明明xfxxfxfxfxxfxxfxfxx)()()(lim=)()+(lim=)( 00-证：证：).(=)0( )(=)0()(lim)(=0 xffxfxfxfxfx-2. 1=)0(f).(=)( xfxf且且0 y

3、3. 设曲线方程设曲线方程 , 求此曲线上纵坐标求此曲线上纵坐标32 yxexy处的切线方程处的切线方程. 02 yyxyexy 01， 所以切点坐标为所以切点坐标为 1 xy则所求切线方程为则所求切线方程为 1 x解：先求切点坐标解：先求切点坐标. 将将 代入曲线方程得代入曲线方程得0 y 11 y将将 代入上式代入上式, 得得0,1 yx再求曲线在切点处的切线斜率再求曲线在切点处的切线斜率. .方程两端对方程两端对 求导，得求导，得x 解： 例例1.设函数设函数 0102)(2xbxxxaexfx, , ,)1(欲使欲使)(xf处处连续连续,在在0 xba, ,为何为何值值;)2(欲使欲使

4、)(xf处处可导可导,在在0 xba, ,为何为何值值.解解: :)1(若若)(xf处处连续连续,在在0 x则有则有)(lim=)(lim+00 xfxfxx-, , 1)0( f即即, , 12 a于是于是, , 1 ab为任何为任何实数实数,)(xf在在连续连续;0 x)2(若若)(xf在在0 x处处可导可导,)0( fxfxfx )0()0(lim0 , , 212lim0 xaexx . . )1( a)0( fxfxfx )0()0(lim0 xxbxx 11lim20 . . bbxx )(lim0 由由. . )0()0( ff于是于是, , 2 b. .1 a此时此时)(xf可

5、导可导. .在在0 x第三章第三章中值定理中值定理应用应用研究函数性质及曲线性态研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题利用导数解决实际问题罗尔中值定理罗尔中值定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理柯西中值定理微分中值定理 与导数的应用 第三章第三章中值定理中值定理应用应用研究函数性质及曲线性态研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题利用导数解决实际问题罗尔中值定理罗尔中值定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理柯西中值定理泰勒公式泰勒公式 (第三节第三节)推广推广微分中值定理 与导数的应用 一、罗尔一、罗尔( Rolle )定理定理第一节第一节二、拉格朗日中值定理二、拉

6、格朗日中值定理 三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理 中值定理 第三三章 费马费马(fermat)引理引理一、罗尔一、罗尔( Rolle )定理定理,)(0有定义在x且且 )(0 xf 存在存在, )()(0 xfxf)(或0)(0 xf证证: 设设, )()(, )(0000 xfxxfxxx则则)(0 xf xxfxxfx)()(lim000)0(x)(0 xf)0(x)(0 xf000)(0 xfxyo0 x)(xfy 证毕证毕费马费马(1601 1665)费马大定理n方程方程 n当当n是一个大于是一个大于2 2的整数时，则这个不定方程的整数时，则这个不定方程没有正整数解（方

7、程中没有正整数解（方程中x、y、z均表示为正整均表示为正整数）数）. .nnnzyx费马在阅读丢番图算术拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现了一种美妙的证法 ，可惜这里空白的地方太小，写不下。” 沃尔夫奖，菲尔兹奖沃尔夫奖，菲尔兹奖 n这个命题自这个命题自16731673年问世以来，历经三百多年，年问世以来，历经三百多年，终于在终于在19941994年由英国数学家怀尔斯所解决年由英国数学家怀尔斯所解决. .1998年的菲尔兹奖大会中安德鲁怀尔

8、斯由菲尔兹奖委员会主席尤里马宁颁发第一个国际数学联盟特别奖，以表彰他证明费马大定理的成就。获颁特别奖而非菲尔兹奖的原因是他当年已经超过40岁。 1997年最终获得1908年沃尔夫斯科尔（Wolfskehl）为解决费马猜想而设置的10万马克奖金。由于他在费马最后定理方面的成就又获1996年度沃尔夫奖，以及1998年国际数学家大会颁发的特别贡献奖。于9月3日赴我国香港领取2005年度邵逸夫奖，该奖项表彰他为最终解决费马大定理而做出的巨大贡献。1996年，他获得沃尔夫奖，并当选为美国科学院外籍院士。 6、费尔玛（Fermat）n费尔玛（16011665），生于法国南部的土鲁斯附近的波蒙，土鲁斯大学法

9、律系毕业，土鲁斯议会议员，有丰富的法律知识，是博览群书、见多识广的学者，是精通各种文字的语言学家，是业余的数学家，他性情谦和、好静，对著述无意发表，所以生前除了少数断外，没有完整的著作问世。去世后，他的很多结论遗留在旧纸堆中或书的边缘和空白处，还有的保存在给友人的书信里，后人把它们汇集成书，共两卷，在土鲁斯出版。费尔玛对数论、解析几何、概率论三方面都有重要贡献，是解析几何、概率论的奠基人之一，17世纪的大数学家。与他有关最著名的问题就是“费尔玛大定理”（后面讲）。被誉为“业余数学之王”。提出过求极限大（小）和拐点的步骤。n 他生前结交了笛卡儿、惠更斯、帕斯卡等很多数学家，经常书信往来讨论数学问

10、题，和笛卡儿一起奠定了解析几何解析几何的基础；从几何角度，第一次给出了求函求函数极值数极值的法则；和帕斯卡一起奠定了概率论概率论的基础。费马引理费马引理若若点可导点可导在在0)()1(xxf则则,)()(00内有定义内有定义的某邻域的某邻域在在设函数设函数xUxxf点取得极大值或极小值点取得极大值或极小值在在0)()2(xxf( (山峰、山谷若有切线必有水平切线山峰、山谷若有切线必有水平切线) ). 0)(0 xf费马引理指出：费马引理指出：可导函数的极值点必定是该函数的驻点可导函数的极值点必定是该函数的驻点. .通常称导数为零的点通常称导数为零的点 为函数的为函数的 驻点或稳定驻点或稳定点点

11、罗尔（罗尔（ Rolle ）定理）定理)(xfy 满足满足:(1) 在区间在区间 a , b 上连续上连续;(2) 在区间在区间 (a , b) 内可导内可导;(3) f ( a ) = f ( b ),使使. 0)(fxyoab)(xfy 证证:，上连续上连续在在因因,)(baxf故在故在 a , b 上取得最大值上取得最大值 M 和最小值和最小值 m .若若 M = m , 则则, ,)(baxMxf因此因此.0)(, ),(fba在在( a , b ) 内至少存在一点内至少存在一点若若 M m , 则则 M 和和 m 中至少有一个与端点值不等中至少有一个与端点值不等,不妨设不妨设 , )

12、(afM 则至少存在一点则至少存在一点, ),(ba使使,)(Mf. 0)(f1) 定理条件条件不全具备定理条件条件不全具备, 结论不一定成立结论不一定成立. 例如例如,1,010,)(xxxxfx1yo则由费马引理得则由费马引理得 1 , 1)(xxxf 1 ,0)(xxxfx1yo1x1yo(2),(3)(2),(3)满足满足(1)不满足不满足结论不成立结论不成立. . (2)不满足不满足(3)不满足不满足注意注意2) 定理条件只是充分的，不必要，即有定理结定理条件只是充分的，不必要，即有定理结论不一定成立定理条件论不一定成立定理条件.罗尔（罗尔（ Rolle 1652-1719 ）定理）

13、定理)(xfy 满足满足:(1) 在区间在区间 a , b 上连续上连续;(2) 在区间在区间 (a , b) 内可导内可导;(3) f ( a ) = f ( b )使使. 0)(f在在( a , b ) 内至少存在一点内至少存在一点,例例1. .3, 132)( 2 在区间在区间验证函数验证函数xxxf解解: :32)( 2 xxxf又因为又因为),)(13 xx, 0)3()1( ff所以所以,3, 1)(上连续上连续在在因为因为-xf ,)3, 1(上可导上可导在在 -所以满足罗尔定理条件所以满足罗尔定理条件. .0)( xf方程方程, 11 x. 0)( f即即., 并并求求出出一一

14、个个上上满满足足罗罗尔尔定定理理条条件件(1) 验证定理的条件满足验证定理的条件满足(2)结论正确结论正确, 0)1(2)( xxf即即有实根有实根1 取取)3, 1( .符符合合要要求求xy0aby=f (x)xyoab)(xfy 若连续曲线若连续曲线y=f (x)在在AB内内处处有不垂直于处处有不垂直于x轴轴的切线，且的切线，且f (x)在在A、B两两点的纵坐标值相等，则在点的纵坐标值相等，则在AB上至少可找到一点，上至少可找到一点，使曲线在该点的切线平行使曲线在该点的切线平行于于x轴轴( (或平行于或平行于AB).)_)ABAB二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理 )( (1) 在区

15、间在区间 a , b 上连续上连续;)(xfy 满足满足:(2) 在区间在区间 ( a , b ) 内可导内可导,至少存在一点至少存在一点, ),(ba使使xyoab)(xfy 思路思路: 利用逆向思维逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数作辅助函数作辅助函数显然显然 ,)(x在在 a , b 上连续上连续 , 在在 ( a , b ) 内可导内可导, 且且证证: 问题转化为证问题转化为证)(x)(xfxabafbf)()()(a由罗尔定理知至少存在一点由罗尔定理知至少存在一点, ),(ba,0)(使即定理结论成立即定理结论成立 ., )(babbfaafb)()(证毕证毕拉格朗日拉格朗日 (

16、1736 1813)()()(abfafbf .)()()(abafbff0)()()(abafbff( (2).).注注意意推推广广了了罗罗尔尔定定理理；值值定定理理条条件件中中去去掉掉了了与与罗罗尔尔定定理理相相比比拉拉氏氏中中),()().1(bfaf )()()(abfafbf ,),(,)(内可导内可导在在上连续，上连续，在在设设babaxf).10()()()( xxxfxfxxf则有则有, 0, xbaxxx).10()( xxxfy也也可可写写成成的的精精确确表表达达式式增增量量 y xx 拉格朗日中值公式又称拉格朗日中值公式又称有限增量公式有限增量公式. .拉氏公式精确地表达

17、了函数在一个区间上的增量与函拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系数在这区间内某点处的导数之间的关系. .推论推论1.若函数若函数在区间在区间 I 上满足上满足,0)( xf则则)(xf在在 I 上必为常数上必为常数.)(xf证证: 在在 I 上任取两点上任取两点, )(,2121xxxx上用拉在,21xx格朗日中值公式格朗日中值公式 , 得得0)()(12xfxf)(12xxf)(21xx)()(12xfxf由由 的任意性知的任意性知, 21,xx)(xf在在 I 上为常数上为常数 .例例2. 证明等式证明等式. 1, 1,2arccosarcsin

18、xxx证证: 设设,arccosarcsin)(xxxf上则在) 1, 1()(xf由推论可知由推论可知Cxxxfarccosarcsin)( (常数常数) 令令 x = 0 , 得得.2C又又,2) 1(f故所证等式在定义域故所证等式在定义域 上成立上成立. 1, 1211x211x0经验经验: 欲证欲证Ix时时,)(0Cxf只需证在只需证在 I 上上, 0)( xf,0Ix 且.)(00Cxf使例例3. 证明不等式证明不等式证证: 设设, )1ln()(ttf上上满满足足拉拉格格朗朗日日在在则则,0)(xtf中值定理条件中值定理条件,即因为因为故故. )0()1ln(1xxxxx)0()(

19、fxf)1ln(xxx0,11x xx1x)0()1ln(1xxxxxxxf0, )0)(因此应有因此应有练练.证明不等式证明不等式证：证：).(21xx ,arctan)(xxf 记记,arctanarctan1212xxxx 上上在在,)(21xxxf 12xxarctanarctan),(21xx , 1112 12arctanarctanxx ,12xx 满足拉氏定理的条件满足拉氏定理的条件, ,21xxx )( f 211xxf )()(12xx 通常就想到微分中值定理通常就想到微分中值定理. .)()()(abfafbf ),(ba )(12211xx 如果如果 在某区间上可导在某

20、区间上可导, ,要分析函数在该区间上任要分析函数在该区间上任意两点的函数值有何关系意两点的函数值有何关系, ,)(xf三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理0)()()()()()(fFaFbFafbf)(分析分析:)(xf及及(1) 在闭区间在闭区间 a , b 上连续上连续(2) 在开区间在开区间 ( a , b ) 内可导内可导(3)在开区间在开区间 ( a , b ) 内内至少存在一点至少存在一点, ),(ba使使.)()()()()()(FfaFbFafbf满足满足 :)(xF0)( xF)()(aFbF)(abFba0要证要证)()()()()()()(xfxFaFbFa

21、fbfx;,柯西柯西(1789 1857)证证: 作辅助函数作辅助函数)()()()()()()(xfxFaFbFafbfx)()()()()()()()(baFbFbFafaFbfa,),(,)(内可导在上连续在则babax且且, ),(ba使使, 0)(即即由罗尔定理知由罗尔定理知, 至少存在一点至少存在一点.)()()()()()(FfaFbFafbf思考思考: 柯西定理的下述证法对吗柯西定理的下述证法对吗 ?),(, )()()(baabfafbf),(, )()()(baabFaFbF两个两个 不不一定相同一定相同错错! !上面两式相比即得结论上面两式相比即得结论. 柯西定理的几何意

22、义柯西定理的几何意义:)()()()()()(FfaFbFafbf)(F)(aF)()(tfytFx)(af)(bF)(bf)()(ddtFtfxy注意注意:xyo弦的斜率弦的斜率切线斜率切线斜率注注意意;)()1(）（取取氏氏中中值值定定理理柯柯西西中中值值定定理理推推广广了了拉拉xxF .)()()()()()(FfaFbFafbf (2) 三个中值定理条件都是充分的，不必要，三个中值定理条件都是充分的，不必要，即有定理结论不一定成立定理条件即有定理结论不一定成立定理条件.)0() 1 (ff)0() 1 (FF例例4. 设设).0() 1 (2)(fff2)(01)0() 1 (fffx

23、xxf)()(2,)(2xxF,) 1 ,0(, 1 ,0)(内可导在上连续在xf至少存在一点至少存在一点),1,0(使使证一证一: 结论可变形为结论可变形为设设则则)(, )(xFxf在在 0, 1 上满足柯西中值上满足柯西中值定理条件定理条件, 因此在因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点内至少存在一点 , 使使)(f )(F012即即)0() 1 (2)(fff证明证明例例4. 设设,) 1 ,0(, 1 ,0)(内可导在上连续在xf证二证二: 作辅助函数作辅助函数),0()1()()(2ffxxfx )(x在在 0 , 1 上连续上连续 ,在在 ( 0 , 1 ) 内可导内可导,

24、且且)0( , )1( )0(f 由罗尔定理知至少存在一点由罗尔定理知至少存在一点, )1, 0( ,0)(使).0()1(2)(fff 即即).0() 1 (2)(fff1. 证明：当证明：当0 a b 时时，aababbab ln证证: :即要即要证证)(1lnln)(1abaababb ,ln)(baxxxf 令令则则f (x)在在a, b上满足拉格朗日中值定理条件，上满足拉格朗日中值定理条件，故故).).( ( ba,abab-),(1=lnln,111ab .lnaababbab-).).( ( ba,abfafbf-),)( =)()(即内容小结内容小结1. 中值定理的条件和结论中

25、值定理的条件和结论名称名称条件条件结论结论罗尔罗尔定理定理拉格拉格朗日朗日定理定理柯西柯西定理定理)(xf在在,ba上连续上连续(1)(xf在在),(ba(2)内可导内可导(3)()(bfaf )(xf在在,ba上连续上连续(1)(xf在在),(ba(2)内可导内可导)()(xFxf、在在,ba上连续上连续(1)()(xFxf、在在),(ba(2)内可导内可导0)()3( xF),(ba 使得使得0)( f),(ba 使得使得abafbff )()()( ),(ba 使得使得)()()()()()( FfbFaFbfaf 内容小结内容小结3. 罗尔定理及中值定理之间的关系罗尔定理及中值定理之间

26、的关系Rolle定理定理Cauchy中值定理中值定理Lagrange中值定理中值定理2. 中值定理的推论中值定理的推论(1) 若若0)( xfCxf )(常数常数)，; Ix (2) 若若)()(xgxf ,)()(Cxgxf . Ix 4. 中值定理的应用中值定理的应用内容小结内容小结(1) 常用于其他定理的证明常用于其他定理的证明；应逐步熟悉应逐步熟悉构造辅助函数证题的方法构造辅助函数证题的方法 . .(2) 证明等式证明等式(3) 证明方程根的存在性和唯一性证明方程根的存在性和唯一性;(4) 证明函数为常函数和有关中值问题的结论证明函数为常函数和有关中值问题的结论.和不等式和不等式;44

27、12 3412思考与练习思考与练习1. 填空题填空题1) 函数函数4)(xxf在区间在区间 1, 2 上满足拉格朗日定理上满足拉格朗日定理条件条件, 则中值则中值._2) 设设有有个根个根 , 它们分别在区间它们分别在区间341530)( xf)4, 3(, )2, 1 (, )3,2(上上., )4)(3)(2)(1()(xxxxxf方程方程2. 设设f (x) C (a, b), 在在(a, b)内可导内可导. .证明方程证明方程)( )()()(222xfabafbfx在在(a, b)内至少有一根内至少有一根. .证证：令：令F(x)=x2(f (b)f (a)(b2a2)f (x),由

28、由 f (x)的连续性和可导性，得的连续性和可导性，得F(x)C (a, b)，F(x)在 (a, b)内可导内可导, ,又又 F(a)=a2(f (b)f (a)(b2a2) f (a)=a2f (b)b2f (a)F(b)=b2(f (b)f (a)(b2a2) f (b)=a2f (b)b2f (a)即即 F(b) = F(a)由由Rolle定理，至少存在一点定理，至少存在一点 (a, b)，使得，使得F()=2 (f (b)f (a)(b2a2)f ()=0即即 在在(a, b)内方程内方程 2x(f (b)f (a)=(b2a2)f (x)至少有一根至少有一根.3. 设设a0, a1

29、, , an 满足满足, 011121110nnananaa证明证明 方程方程a0+a1x+an 1xn 1+anxn =0 在在(0, 1)内至少有一实根内至少有一实根证证: : 令1121012)(nnnnxnaxnaxaxaxf则，则，f (x) C(0, 1)，在，在(0, 1)内可导内可导。又又 f (0)=0,012) 1 (110nanaaafnn即即 f (0)=f (1)故故f (x)满足满足Rolle定理条件定理条件. .由由Rolle定理，命题获证定理，命题获证. .4. 证明：若证明：若f (x)在在(, + )内满足关系式内满足关系式 f (x)=f(x)，f (0)

30、=1，则则 f (x)=ex.证证：要证：要证 f (x)=ex, x(, +)，即要证即要证),(, 1)(xexfx令令).,(,)()(xexfxx(问题转化为证明 (x)=0),( )( xCx又又 f (0)=1, 故故11)0()0(0Cef从而从而),( ,)(xexfxxxxxeexfexfexfx2)()( )()( ),( , 0)()( xexfxfx5.对函数对函数2( )sinf xx 在区间在区间0, 上上罗尔定理的正确性罗尔定理的正确性. .验证验证解：解：显然显然( )f x在在0, 上连续上连续, ,且且(0)( )0,ff 而在而在 0, 内确存在一点内确存

31、在一点2 使使 22sincos0.2xfxx 在在 0, 内可内可导导, ,分析：分析： 令令这是一对称式，作辅助函数这是一对称式，作辅助函数成立成立. .6.6. 设设 在在 上连续，在上连续，在 内可导，内可导，)(xf,ba),(ba证明：在证明：在 内至少存在一个内至少存在一个 ，使得，使得),(ba )()()()( ffabaafbbf ,)()(,)()(KaaafKbbbfabaafbbfK 即即. .KxxxfxF )()(证证： 即即 亦即亦即 成立成立. . 故至少存在一点故至少存在一点上满足上满足Rolle定理条件，定理条件，令令 ,KxxxfxF )()(易验证易验证 在在)(xF,ba点，使点，使 . . ),(ba 0)( F，, ,0)()( Kff )()()()( ffabaafbbf .Roll., ),()()( )(中值定理中值定理使用使用baxaafbbfabxfxxF )( )()()(abffaafbbf费马费马(1601 1665)法国数学家法国数学家, 他是一位律师他是一位律师, 数学数学只是他的业余爱好只是他的业余爱好. 他兴趣广泛他兴趣广泛, 博博览群书并善于思考览