2025年上海高考数学二轮复习：热点题型6 数列（九大题型）原卷版+解析

热点题型•选填题攻略

专题06数列（九大题型）

o------------题型归纳•定方向-----------♦>

题型012021-2024年高考+春考真题............................................................1

题型02定义法求解数列.......................................................................2

题型03无穷等比数列及其应用.................................................................3

题型04分段数列..............................................................................3

题型05取值范围、最值问题...................................................................4

题型06数列中的个数、项数问题...............................................................4

题型07数列的实际应用，其他应用.............................................................5

题型08列举分析、综合分析...................................................................5

题型09选择压轴题............................................................................6

舱-----------题型探析・明规律-----------*

【解题规律•提分快招】

1、解决数列的单调性问题的方法

用作差比较法，根据诙+1—a.的符号判断数列｛诙｝是递增数列、递减数列还是常数列.

2、解决数列周期性问题的方法

先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值.

3、求数列的最大项与最小项的常用方法

①函数法，利用函数的单调性求最值.

I〃仑斯-1,I»I〃胫斯-1,I

②利用（佗2）确定最大项，利用（龙2）确定最小项.

11。〃二。八+1

aJ_bua・b=0u|a-b|=|a+b|（其中a^O,b#0）.

4、如果数列｛斯｝是等差数列，｛为｝是等比数列，求数列｛斯•小｝的前〃项和时，常采用错位相减法.

5、错位相减法求和时，应注意：

①在写出“SJ与“应”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“S,一西”的表达

式.

②应用等比数列求和公式必须注意公比q是否等于1,如果4=1,应用公式S〃=W1.

题型012021-2024年高考+春考真题

【典例1-1].（2024•上海）无穷等比数列｛斯｝满足首项m>0,q>l,记In=｛x-y\x,yE[ai,a2]U[an,即+1",

若对任意正整数小集合。是闭区间，则q的取值范围是.

【典例1-2].（2024•上海）数列｛而｝,an=n+c,S7<0,c的取值范围为.

【变式1-1].（2023•上海）已知首项为3,公比为2的等比数列，设等比数列的前n项和为Sn,则&

【变式1-21.（2023•上海）已知无穷数列｛丽｝的各项均为实数，％为其前〃项和，若对任意正整数%>2022

都有品|>瞅+1|,则下列各项中可能成立的是（）

A.ai,03,05,…为等差数列，02,。4,06,ain,…为等比数列

B.ai,a3,a5,。2展1,…为等比数列,az,04,°6,…，。2〃，…为等差数列

C.ai,ai,Oi,。2022为等差数列，（22022,。2023,…,an,…为等比数列

D.ai,02,<23,02022为等比数列，02022,（22023.…，an,…为等差数列

【变式1-3】.（2022•上海）已知等比数列｛斯｝的前w项和为S,前〃项积为T”,则下列选项判断正确的是

（）

A.若S2022>S2021,则数列｛斯｝是递增数列

B.若乃022>乃021,则数列｛珈｝是递增数列

C.若数列｛Sn｝是递增数列，则42022^（12021

D.若数列｛〃｝是递增数列，则。2022*2021

【变式1-41.（2022•上海）已知等差数列｛斯｝的公差不为零，S〃为其前“项和，若$5=0,则S6=l,2,…，

100）中不同的数值有个.

【变式1-5].（2021•上海）已知｛斯｝为无穷等比数列,01=3,即的各项和为9,bn=a2n,则数列｛瓦｝的各

项和为•

【变式1-6].（2021•上海）在无穷等比数列｛斯｝中，（死-斯）=4,则的的取值范围是.

题型02定义法求解数列

【典例2-1].（24-25高三上•上海•期中）设等比数列｛”“｝满足%+%=-1，则4=.

【典例2-2].（2024•上海静安•一模）设｛。“｝是等差数列，4=-6,%=。，则该数列的前8项的和的值

为.

【变式2-1].（2024•全国•高考真题）记3为等差数列｛%｝的前〃项和，若生+4=7,3%+%=5,则

【变式2-2】.（24-25高三上•上海・期中）设等差数列｛q,｝的公差不为0,其前〃项和为S..若伺=2%,则

&=

a9.

【变式2-3].（24-25高二上•上海,阶段练习）S“为等差数列｛%｝的前〃项和，59=-36,%=-104,则为与

%的等比中项为.

【变式2-4】.（23-24高三上•上海青浦•期中）己知数列｛logs4｝是等差数列，

log3%+log3%++log3%045=8090,贝（J%023

题型03无穷等比数列及其应用

【典例3-1].（23-24高三上•上海虹口・期末）设等比数列｛%｝的前〃项和为S,，若出=1,S2=4,则

nli—m>ooS“=----------

【典例3-2】•（22-23高一下•上海长宁・期末）已知无穷等比数列»，=3，口=三,则公比

z=i1=12

q=.

【变式3-1】.（20-21高二上•上海宝山•阶段练习）已知无穷等比数列｛4｝,公比4满足0<历1<1,

a,=k（an+1+an+2+an+3+•••）,求实数k的取值范围______

【变式3-2].（22-23高二下,上海宝山・期末）如图，记棱长为1的正方体为4，以C1各个面的中心为顶点

的正八面体为G，以G各面的中心为顶点的正方体为G，以C3各个面的中心为顶点的正八面体为C’，...，

以此类推得到一系列的多面体C“，设C”的棱长为巴，则£生1

«n+log2n,l<n<10

【变式3-3].（2023•上海嘉定一模）数列｛4｝满足。用=»flY-10s,且4=0,凡为｛q｝的前〃

210­—>10

项和，求生

题型04分段数列

【典例4-1】•（23-24高三上•上海普陀•期中）已知数列｛%｝满足q=1,

前10项和Sl0=.

【变式4-1】.（24-25高三上•上海•期中）数列｛为｝满足：。“为正整数，a,.『才"为偶数,若4=1,

3%+1,。〃为奇数

贝Q]+Cl?+/+♦,,+々2024=

a„=3a_+4（M>2）,

【变式4-21.（2023•上海浦东新•三模）已知数列｛《,｝（〃是正整数）的递推公式为n}

存在正整数〃，使得〃（2"+1）"（a“+2）,贝卜的最大值是.

题型05取值范围、最值问题

+00+00

【典例5-1].（2023•上海闵行•一模）已知数列｛%｝为无穷等比数列，若W>=-2,则的取值范围

Z=1Z=1

为.

【典例5-2】•（24-25高三上•上海•开学考试）已知等差数列｛4｝的首项二=TS"表示如｝的前“项和,若

数列｛S“｝是严格增数列，则｛4｝的公差d取值范围是.

【变式5-1].（2024•上海普陀•模拟预测）已知数列｛q｝的通项公式为4="+r,S“为数列｛”,｝的前〃项和,

若邑。25<。，则实数f的取值范围为.

【变式5-2】.（2024•上海嘉定•一模）已知数列｛%｝的通项公式为。“=-〃+c,其中c为常数，设数列｛g｝的

前〃项和为S”,若臬>和且S6>$7,则，的取值范围为____,

【变式5-31.（21-22高三上•上海浦东新•期中）设1=44。2V4%,其中成公比为4的等比数列，

%，4，。6成公差为2的等差数列，则4的最小值是.

【变式5-4].（23-24高三下•上海浦东新•阶段练习）已知数列｛《｝满足：对任意〃cN*,都有|为+1-%|=〃，

设数列｛q｝的前,项和为S“，若4=。，则邑必的最大值为.

题型06数列中的个数、项数问题

【典例6-1].（2024•上海奉贤三模）若数列｛%｝满足对任意整数"有£>=2/成立，则在该数列中小

Z=1

于100的项一共有项.

【典例6-2】•（24-25高三•上海•课堂例题）从｛1,2,3,…,20｝中选3个不同的数，使这三个数成等差数列，这

样的等差数列最多有个.

【变式6-1].（2024•上海虹口•一模）已知项数为10的数列｛。“｝中任一项均为集合｛尤中的

元素，且相邻两项满足4,〈。用+3,〃=1,2,,9.若｛4｝中任意两项都不相等，则满足条件的数列｛%｝有—

个.

【变式6-2】.（2024•上海•模拟预测）已知无穷数列｛4｝的前〃项和为S“，不等式电对任意不等于2

的正整数〃恒成立，且6s“=（4+现/+2）,那么这样的数列有个.

【变式6-3].（2022•上海•模拟预测）若一个整数数列的首项和末项都是1,且任意相邻两项之差的绝对值

不大于1,则我们称这个数列为"好数列"，例如：1,2,2,3,4,3,2,1,1是一个好数列，若一个好数

列的各项之和是2021,则这个数列至少有项.

【变式6-4】.（23-24高三上•上海青浦•开学考试）已知等差数列｛%｝（公差不为零）和等差数列也｝的前"

项和分别为s八Tn,如果关于x的实系数方程2023/-52。23X+加3=0有实数解，那么以下2023个方程

--平+4=03=1,2,3,.,2023）中，有实数解的方程至少有个

【变式6-5】.（2024•上海•三模）已知有穷数列｛%｝的首项为1,末项为12,且任意相邻两项之间满足

a同-%e｛1,2｝,则符合上述要求的不同数列｛。,｝的个数为.

题型07数列的实际应用，其他应用

【典例7-1].（2023•上海闵行•三模）已知AB,C是同一直线上三个不同的点，。为直线外一点，在等差数

列｛%｝中，OA=a2OB+a6OC,则数列｛q｝的前7项和S,=.

【变式7-1].（23-24高三下•上海•开学考试）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，

十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、

酉、戌，亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天

干由"甲"起，地支由"子"起，例如，第一年为"甲子"，第二年为“乙丑"，第三年为"丙寅”…，以此类推，排列

到“癸酉"后，天干回到"甲”重新开始，即"甲戌"，"乙亥"，然后地支回到"子”重新开始，即"丙子”…，以此类

推.2024年是甲辰年，高斯出生于1777年，该年是（）

A.丁酉年B.丁戌年C.戊酉年D.戊戌年

【变式7-2】.（2023•上海黄浦•三模）南宋的数学家杨辉"善于把己知形状、大小的几何图形的求面积、体

积的连续量问题转化为离散量的垛积问题"，在他的专著《详解九章算法•商功》中，杨辉将堆垛与相应立体

图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍童垛等的公式，例如三角垛指的是如图顶层放1个，第二层放3

111

个，第二层放6个，第四层放10个-第”层放个物体堆成的堆垛，则了+丁++~—=-

题型08列举分析、综合分析

s

【典例8-1].（2024•上海杨浦•一模）设无穷数列｛《,｝的前〃项和为且对任意的正整数〃，氏+|=口，则

an

56

-E42T的值可能为（）

Z=1Z=1

A.-6B.0C.6D.12

【典例8-2】•（24-25高三上•上海•阶段练习）设数列｛。,｝的前〃项和为%若%+。用="+1,且存在正整

数%,使得&=Si=90,则6的取值集合为（）

A.{-9,9}B.{-9,10}C.{-10,9}D.{-10,10}

【变式8-1].（24-25高三上•上海•开学考试）已知｛%｝是等差数列，£=sin（a“），存在正整数々W8）,使

得口=£，«eN,“21.若集合5=｛刈％=2，/€]>1,〃21｝中只含有4个元素，则f的可能取值有（）个

A.2B.3C.4D.5

【变式8-2].（2024•上海嘉定一模）已知数列｛4｝满足a“+i=F。—@J5=1,2,3,给出以下

四个结论：

①当厂=2时，存在有限个6,使得对任意正整数〃，都有。5>见

②当r=2时，存在巧和正整数尸，当">P时，

③当r=3时，存在q和正整数P,当〃〉尸时，an+l=an

④当/'=-3时，不存在卬，使得对任意正整数"，且〃23,都有4>。

其中正确结论是（）.

A.①②B.②③C.③④D.②④

题型09选择压轴题

【典例.（2024・上海宝山•一模）设A纥G的三边长分别为应、b“、cn,面积为S,（〃为正整数）.若

+a

4一其中b"+i=c“+：a“,c„+i=bn~^n>则（）

A.｛S.｝为严格减数列

B.⑸｝为严格增数列

c.｛S%/为严格增数列，｛5“｝为严格减数列

D.｛邑“/为严格减数列，四?"｝为严格增数列

【变式9-1】.（2024•上海长宁,一模）数列｛%｝为严格增数列，且对任意的正整数小都有咒2%,则称

n+ln

数列｛。"｝满足"性质C”.

①存在等差数列｛%｝满足"性质Q";

②任意等比数列｛%｝,若首项4>0,则｛q｝满足“性质C"；

下列选项中正确的是（）

A.①是真命题，②是真命题；B.①是真命题，②是假命题；

C.①是假命题，②是真命题；D.①是假命题，②是假命题.

【变式9-2].（24-25高三上•上海黄浦,期末）设函数y=〃x）在区间/上有导函数y=/'（x）,且尸（无）<。在

区间/上恒成立，对任意的xe/,有/（x）e/.对于各项均不相同的数列｛%｝,qe/,。用=/（为），下列

结论正确的是（）

A.数列｛%｝与｛a2„｝均是严格增数列

B.数列｛生a｝与｛%“｝均是严格减数列

C.数列｛%-｝与｛。2,,｝中的一个是严格增数列，另一个是严格减数列

D.数列｛%1｝与｛%,｝均既不是严格增数列也不是严格减数列

o-----------题型通关•冲高考-----------♦>

一、填空题

1.（2023•上海宝山•一模）已知等差数列｛玛｝的前〃项和为S",若%+43=1则&=

2.（2024•上海普陀，二模）设等比数列｛%｝的公比为qS'l/eN）,则“12%,%,2%成等差数列"的一个

充分非必要条件是.

6

3.（2024・上海・模拟预测）数歹lja={n6N*）的最小项的值为

n4-29

4.（2024・上海松江•二模）已知等差数列｛4｝的公差为2,前，项和为S”，若％=邑，则使得成立的〃

的最大值为.

5.（2024•上海杨浦•二模）某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有2024根,每根圆钢的直径为10厘米.现

将它们堆放在一起.若堆成纵断面为等腰梯形（如图每一层的根数比上一层根数多1根），且为考虑安全隐患，

堆放高度不得高于|3•米，若堆放占用场地面积最小，则最下层圆钢根数为.

8…8

・•・•

••

…

6.（2024•上海奉贤•一模）已知集合"=｛〃/,%-上｝,是由函数丁=8昧%目0,2句的图象上两

两不相同的点构成的点集，集合5=｛〃|。=。兄•O4，i=0」,2,,n,n>2,n^],其中4（0,1）、々（兀,-1）.若

集合S中的元素按照从小到大的顺序排列能构成公差为d的等差数列，当de“时，则符合条件的点集

M的个数为.

二、单选题

7.（2024・上海青浦•二模）设S"是首项为q,公比为q的等比数列｛%｝的前〃项和,且S2023Vs2025Vs2024,则

（）.

A.4>。B.q>0C.D.|S„|<|?|

8.（2023•上海杨浦•一模）等比数列｛%｝的首项％=占，公比为4,数列也｝满足2=1*4（”是正整数），

64

若当且仅当〃=4时，物“｝的前〃项和纥取得最大值，则4取值范围是（）

A.（3,26）B.（3,4）C.（2A/2,4）D.（2叵3塔

9.（2024・上海虹口•一模）设数列｛%｝的前四项分别为生、诙、%、痣，对于以下两个命题，说法正确的是（）・

①存在等比数列｛4｝以及锐角a,使｛sina,cosa,tana｝=｛%的的｝成立.

②对任意等差数列｛。,｝以及锐角a,均不能使｛sine,cosa,tana,cota｝=｛%,成立.

A.①是真命题，②是真命题B.①是真命题，②是假命题

C.①是假命题，②是真命题D.①是假命题，②是假命题

热点题型•选填题攻略

专题06数列（九大题型）

♦>-----------题型归纳•定方向-----------*>

题型012021-2024年高考+春考真题............................................................1

题型02定义法求解数列.......................................................................5

题型03无穷等比数列及其应用.................................................................7

题型04分段数列..............................................................................10

题型05取值范围、最值问题..................................................................12

题型06数列中的个数、项数问题..............................................................14

题型07数列的实际应用，其他应用............................................................18

题型08列举分析、综合分析..................................................................20

题型09选择压轴题...........................................................................23

o------------题型探析,明规律-----------♦>

【解题规律•提分快招】

1、解决数列的单调性问题的方法

用作差比较法，根据呢+1—。“的符号判断数列｛小｝是递增数列、递减数列还是常数列.

2、解决数列周期性问题的方法

先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值.

3、求数列的最大项与最小项的常用方法

①函数法，利用函数的单调性求最值.

I。仑斯-1,_胫。〃-1,一

②利用（佗2）确定最大项，利用（论2）确定最小项.

a_Lbua-b=0u|a-b|=|a+b|（其中aRO,bRO）.

4、如果数列｛四｝是等差数列，｛b.｝是等比数列，求数列｛斯0.｝的前”项和时，常采用错位相减法.

5、错位相减法求和时，应注意：

①在写出“SJ与“公〃”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出小“”的表达

式.

②应用等比数列求和公式必须注意公比q是否等于1,如果q=l,应用公式

题型012021-2024年高考+春考真题

【典例1・1】.（2024•上海）无穷等比数列｛斯｝满足首项m>0,q>\,记/产｛%-如,yE[ai,a2]U[an,an+l]｝,

若对任意正整数小集合。是闭区间，则。的取值范围是⑵+8）.

【分析】当〃22时，不妨设则x-yE[0,ai-a\]U[an-ai,an+\-a\\U[0,an+i-an\,结合。为

闭区间可得口-2>-=万对任意的〃22恒成立，故可求q的取值范围.

qn

11n-1

【解析】解：由题设有、二睚。7'因为故""1>即‘故L”，a^1]=[a1q,软遇“卜

当〃=1时，x,yE[ai,ai\,故x-yE[m-a2,ai-ai]f此时/i为闭区间，

当〃22时,不妨设若x,〃2],则x-yE[0,ai-ai],

若〃2],xE[an^an+i],贝！J%-yW[即-22,an+i-ai],

若元,yE[an,砺+1],贝Ux-yE[0,an+l-an\^

综上，x-yG[0,ai-ai]U[an-ai,an+\-ai]U[0,an+i-an\,

又/〃为闭区间等价于[0,ai-ai]U[an-ai,an+i-ai]U[0,劭+1-祠为闭区间,

而an+i-ai>an+i-an>ai-a\,故即+i-斯2斯-〃2对任意几22恒成立，

故软口+1-2a+42）。即q5（q-2）+@2》0，故9〃2（9-2）+120,

故q-2》--三对任意的w22恒成立，因为q>l,

qn

故当〃一+8时，-o,故g-220即q>2.

故答案为：[2,+8）.

【点评】本题考查数列的应用，等比数列的性质的应用，是中档题.

【典例1-2].（2024•上海）数列｛即｝,an^n+c,Si<0,c的取值范围为（-8,-4）.

【分析】由已知结合等差数列的求和公式及性质的应用，属于基础题.

（）

【解析】解：等差数列由斯=〃+c,知数列｛0"｝为等差数列S7=——7a,/+_a1*?_=7°4<0,

即7（4+C）<0,

解得c<-4.

故c的取值范围为（-8,-4）.

故答案为：（-8,-4）.

【点评】本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的应用，属于基础题.

【变式1-1].（2023•上海）已知首项为3,公比为2的等比数列，设等比数列的前〃项和为S",则S6=L^2.

【分析】直接利用等比数列的前〃项和公式求解.

【解析】解：•••等比数列的首项为3,公比为2,

3X6

...S6=（1-2）=]89

1-2

故答案为：189.

【点评】本题主要考查了等比数列的前“项和公式，属于基础题.

【变式1-21.（2023•上海）已知无穷数列｛斯｝的各项均为实数，％为其前〃项和，若对任意正整数上>2022

都有田|>耿+1|,则下列各项中可能成立的是（）

A.ai,。3,as,a2n-b…为等差数列，。2,04,。6,…,。2”，…为等比数列

B.ai,a3,as,■,<?2联1,…为等比数列，a2,a4,a&,…，a2”，…为等差数列

C.ai,。2,03,02022为等差数列，02022,02023,…，an,…为等比数列

D.<71,02,<23,02022为等比数列,02022,02023,…,an,…为等差数列

【分析】由对任意正整数人>2022,都有跳>|Sk+l|,可以知道42022,02033,42024,…，珈不可能为等差

数列，若1=0,an=0,则|5斤|=9+1],矛盾；若d=0,an<0,当w-+8,SL-8,人使得四+1]>网，

矛盾；若d=0,an>0,当"f+8,S.f+8,必有上使得矛盾；若d>0,当“f+8,an-*

+8,SL+8必有%使得&+1|>网，矛盾；若d<0,当"一+8,即--8,SL-8,必有%使得由+1]

>|&|,矛盾；即可判断.

【解析】解：由对任意正整数%>2022,都有|SH>|Sk+l|,可以知道42022,42033,02024,…，ita不可能为

等差数列，

因为若d<0,当“一+8,m--8,SL-8,必有左使得叫+1|>|必，矛盾；若d=0,即=0,则削

=|Si+i|,矛盾;

若d=0,an<0,当“f+8,SL-8,左使得|SA+I|>|SK，矛盾；若d=0,an>0,当w—+8,Sn^+°°,

必有人使得由+1|>国|,矛盾;

若d>0,当"一+8,斯一+8,%一+8必有左使得'+1|>|网，矛盾；

所以选项8中的42,44,。6,为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；

选项。中的02022,02023,42024,…，即为等差数列与上述推理矛盾,故不可能正确；

选项A中的m,如，45,--42”一1为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；

由排除法可得C正确.

故选：C.

【点评】本题考查了等差数列和等比数列的性质，属于中档题.

【变式1-3】.（2022•上海）已知等比数列｛斯｝的前”项和为S,前〃项积为T”，则下列选项判断正确的是

（）

A.若S2022>S2021,则数列｛斯｝是递增数列

B.若乃022>T2021,则数列｛劭｝是递增数列

C.若数列｛%｝是递增数列，则。20222及021

D.若数列｛T"｝是递增数列，则42022》02021

【分析】反例判断A;反例判断8;构造等比数列，结合等比数列的性质判断C；推出数列公比以及数

列项的范围，即可判断。.

【解析】解：如果数列公比为-2,满足S2022>S2021,但是数列｛即｝不是递增数列，所以A不

正确；

如果数列m=l,公比为-春,满足及022>T2021,但是数列｛斯｝不是递增数列，所以8不正确；

,,1卜弓）n1‘…，，口

如果数列〃1=1,公比为,，Sn=---------------=2（1-」」），数列｛SQ是递增数列，但是〃2022<〃2021,

222n

2

所以C不正确；

数列｛6｝是递增数列，可知乙>6一1,可得所>1,所以可得。20222。2021正确，所以。正确；

故选：D.

【点评】本题考查数列的应用，等比数列的性质的应用，是中档题.

【变式1-41.（2022•上海）已知等差数列｛而｝的公差不为零，厮为其前〃项和，若S5=0,则S（i=l,2,­••,

100）中不同的数值有98个.

【分析】由等差数前〃项和公式求出m=-2d,从而曲=旦（层-5"），由此能求出结果.

2

【解析】解：..•等差数列｛外｝的公差不为零，品为其前〃项和，S5=0,

■55=5a产5；4d=。'解得m=-2d,

rio

.'.Sn=nai+=-2nd+=—-5n）,

2

WO,：.Si（i=0,1,2…，100）中So=S5=O,

S2—S3—-3d,Si—SA--2d,

其余各项均不相等，

：.Si（z=l,2…，100）中不同的数值有：101-3=98.

故答案为：98.

【点评】本题考查等差数列的前〃项和公式、通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

【变式1-5].（2021•上海）已知｛劭｝为无穷等比数列,3=3,丽的各项和为9,bn=ain,则数列｛加｝的各

项和为哒.

一5一

【分析】设｛斯｝的公比为4，由无穷递缩等比数列的求和公式，解方程可得q,进而得到即，bn,求得数

列｛a｝的首项和公比，再由无穷递缩等比数列的求和公式，可得所求和.

【解析】解:设｛珈｝的公比为q,

由°1=3,的各项和为9,可得—3_=9,

1-q

解得q=—>

3

所以a”=3X(―)nl,

3

ba=a2n=3X(―)2n~l,

3

可得数列｛阮｝是首项为2,公比为4的等比数列，

9

则数列｛加｝的各项和为一27=电.

1二5

9

故答案为：」四.

5

【点评】本题考查等比数列的通项公式和无穷递缩等比数列的求和公式，考查方程思想和运算能力，属于

基础题.

【变式1-6].(2021•上海)在无穷等比数列｛即｝中，(ai-an)=4,则“2的取值范围是(-4,0)U

(0,4).

【分析】由无穷等比数列的概念可得公比q的取值范围，再由极限的运算知。1=4,从而得解.

【解析】解：：无穷等比数列｛斯｝，；.公比非(-1,0)U(0,1),

・・Cln~~0,

・・(ai-――cii~~4-f

a2=aiq=4qE(-4,0)U(0,4).

故答案为：(-4,0)U(0,4).

【点评】本题考查无穷等比数列的概念与性质，极限的运算，考查学生的运算求解能力，属于基础题.

题型02定义法求解数列

【典例2-1].(24-25高三上•上海,期中)设等比数列｛%｝满足4+4=T,%-生=-3,贝!]4=.

【答案】-8

【分析】根据题设及等比数列通项公式求基本量，即可求处.

[a,+a,q=-l.

【解析】令公比为4,则12々，可得q+3乡+2=(q+2)(q+1)=。，

[q-axq=-3

所以4=一2或"=T(舍)，可得4=1,则〃4=。4二一8.

故答案为：-8

【典例2-2].(2024•上海静安•一模)设｛4｝是等差数列，4=-6,%=0,则该数列的前8项的和的值

为.

【答案】36

【分析】根据给定条件，求出数列｛%｝的公差，进而求出其前8项的和.

【解析】在等差数列｛叫中，%=-6,%=0,则公差d=与?=3,

3—1

8x7

所以S8=8q+-^—d=36.

故答案为：36

【变式2・1】,(2024•全国•高考真题)记S”为等差数列｛4｝的前几项和，若生+4=7,3a2+a5=5,则

几二•

【答案】95

【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出力/,再利用等差数列的求和公式节即可得到答案.

(+2d+a+3d=7[a=—4

【解析】因为数列%为等差数列，则由题意得““＜，解得：…

[3(6+d)+4+4d=5[d=3

ino

贝iJEo=lO%+^x^d=lOx(—4)+45x3=95.

故答案为：95.

【变式2・2].(24-25高三上•上海•期中)设等差数列｛%｝的公差不为0,其前〃项和为S”.若%=2%,则

名二

〃9•

7

【答案】J

【分析】由等差数列的通项公式代入为=2%化简可得4=2d,再结合等差数列的前〃项和公式即可得出答

案.

【解析】设等差数列｛%｝的首项和公差为外，d,

所以的=244，可得q+8d=2(%+3d),则q=2d,

S4_4q+6d_14d_7

a9q+8d1Od5'

7

故答案为：—.

【变式2-3].(24-25高二上•上海•阶段练习)S"为等差数列｛%｝的前〃项和，S9=-36,S13=-104,则应与

%的等比中项为.

【答案】±4A/2

【分析】通过已知条件可求得％=-4,%=-8,再根据等比中项的定义即可求得答案.

【解析】解：因为｛4｝为等差数列，且Sg=-36,%=-104,

所以Sg=9（4；。9）=一36,工3=13（%受）=_104,

所以9a5——36,13a7=—104,

解得出=-4，%=-8,

所以生与为的等比中项为±4后,

故答案为：±4&

【变式2-4】.（23-24高三上•上海青浦•期中）己知数列｛bg3%｝是等差数列,

log3ax+log3a2+-+log3a4045=8090,贝lj02023=.

【答案】9

【分析】根据等差数列的前»项公式结合等差数列的性质即可得解.

【解析】因为数列｛腕3%｝是等差数列，

所以+1。—4°45（啕丁暇*）-9。，

4

所以10g3%+10g3“4045=210g3%023=，

0a

所以1§32023=2,所以<?2023=9.

故答案为：9.

题型03无穷等比数列及其应用

【典例3-1].（23-24高三上•上海虹口・期末）设等比数列｛4｝的前〃项和为S,，若出=1,S2=4,则

n—><»-----------------

【答案】|9

【分析】求出〃2,得到公比心再利用公式法求和，最后求出其极限.

01

【解析】设等比数列的公比为4,[=5-3,所以4二）,

所以S=TI"?所以1加5.=1而。-[[]=。,

°n]2I3J2J2

-3

9

故答案为：—.

+83Q

【典例3・2】.（22-23高一下•上海长宁・期末）已知无穷等比数歹（]｛%｝,=3,Ed=、,则公比

i=l1=1,

q=_________

【答案】I

【分析】依题意得到1同＜1,再利用无穷等比数列和的公式得到言=3与备=|,解方程组即可得解.

+00a

【解析】因为无穷等比数列｛%｝,、＞，=3,则以＜1，广=3,

i=\i—q

所以｛4｝是首项为。；，公比为42＜1的等比数歹

vyfl2_9彳曰a；_9d_9

i=i2\-q2\\—q)(\+q)2

„,a,3

则可万又言=3,

31

贝9（l+q）=3（j）,得4=§.

故答案为：g.

【变式31】.(20-21高二上•上海宝山•阶段练习)已知无穷等比数列｛%｝,公比4满足Ovlqlvl,

an=—册+i+a〃+2+。〃+3+…)，求实数k的取值范围______

【答案】(一°°,—2)(0,+oo)

【分析】根据无穷等比数列性质，可结合极限的概念表示出为=攵(%+1+%+2+为+3+)的代换式，再结合数

列的通项公式%=4广1,代换得A'T,结合。＜际＜1即可求得上的取值范围

【解析】等比数列的前〃项和公式Sj"),

「q

Q|q|〈I,.，・％+々2+生+L+a〃+i+L的值趋向于正无穷时，即limS〃=^,

)=k[^-—Sf]=k[^-—

=%（。“+1+。“+2+。“+3+

)[1-4n)11-^1—qJl-q

1—g_l

又a.=a『\：&=%〃,7二-T，

%qq

QO＜|^|＜1,且1WO,/.-G(-OO,-1)U(1,-KO)

q

故％e(-oo,-27_(0,+oo).

故答案为：(-8,-2)(0,+8).

【点睛】本题考查等比数列通项公式与前〃项和公式的应用，极限思想在处理数列中的应用，推理转化能力，

运算能力，属于中档题型.

【变式3-2].(22-23高二下•上海宝山•期末)如图，记棱长为1的正方体为G，以C1各个面的中心为顶点

的正八面体为C2,以C?各面的中心为顶点的正方体为G，以g各个面的中心为顶点的正八面体为C’,

以此类推得到一系列的多面体C“，设C”的棱长为%,则.