高等代数(第三版)19

1、第一章第一章 多项式多项式一、本原多项式一、本原多项式二、整系数多项式有理根的求法二、整系数多项式有理根的求法三、有理系数不可约多项式三、有理系数不可约多项式第一章第一章 多项式多项式定理定理10 (10 (高斯引理高斯引理) ) 两个本原多项式的乘积仍是一个本原多项式两个本原多项式的乘积仍是一个本原多项式.证证 设给了两个本原多项式设给了两个本原多项式,)(10mmiixaxaxaaxf,)(10nnjjxbxbxbbxg并且设并且设.)()(10mnmnjijixcxcxccxgxf)()(xgxf如果如果不是本原多项式不是本原多项式, 那么一定存在一个那么一定存在一个素数素数p , 它能

2、整除所有系数它能整除所有系数.,10nmccc若是一个整系数多项式若是一个整系数多项式f (x)的系数互素的系数互素, 那么那么f (x)叫叫作一个作一个本原多项式本原多项式.一、本原多项式一、本原多项式第一章第一章 多项式多项式由于由于f (x)和和g (x)都是本原多项式都是本原多项式,所以所以p不能整除不能整除f (x)的所有系数的所有系数,也不能整除也不能整除g (x)的所有系数的所有系数.令令 各各是是f (x)和和g (x)的第一个不能被的第一个不能被p 整除的系数整除的系数.考察考察f (x)g (x)的系数的系数 有有jiba 和.jic.011110bababababacji

3、jijijijiji这个等式的左端这个等式的左端p整除整除.根据选择根据选择 的条件的条件,所有所有系数系数 都被都被p整除整除.因此乘积因此乘积 也也须被须被p整除整除.但但p是一个素数是一个素数,所以所以p必须整除必须整除 . 这与假设矛盾这与假设矛盾.jiba 和0110,bbaaji以及jibaijab或或第一章第一章 多项式多项式证证 设设f f( (x x ) )g g( (x x ) )h h( (x x ) ), ,= g g( (x x ) )h h( (x x ) )( (g g( (x x ) ) )( ( f f( (x x ) ) ), , ( (h h( (x x

4、) ) )( ( f f( (x x ) ) )抖和和是是有有理理系系数数多多项项式式，且且如果一个非零整系数多项式能够分解成两个次数较如果一个非零整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定能分解成低的有理系数多项式的乘积，那么它一定能分解成次数较低的整系数多项式的乘积次数较低的整系数多项式的乘积. 1 1f f( ( x x ) )a a f f ( ( x x ) )g g( ( x x ) )r rg g ( ( x x ) ), ,h h( ( x x ) )s sh h ( ( x x ) )=11令令第一章第一章 多项式多项式1 11 11 11 11 1

5、1 1f f ( (x x ) ), ,g g ( (x x ) ), ,h h ( (x x ) )a ar r, ,s sa af f ( (x x ) )r rs sg g ( (x x ) )h h ( (x x ) )=这这里里，都都是是本本原原多多项项式式，是是整整数数，是是有有理理数数. .因因此此 1 11 11 11 11 11 11 10 0 , ,g g ( (x x ) ), ,h h ( (x x ) )r rs sa ar rs sf f x xr rs sg g ( (x x ) ) )h h ( (x x ) )r rs sg g ( (x x ) )h h (

6、 (x x ) )f f( (x x ) ). .由由定定理理是是本本原原多多项项式式，从从而而= =, ,即即是是一一个个整整数数, ,则则( ( ) )= =( (与与都都是是整整系系数数多多项项式式，且且次次数数都都低低于于的的次次数数第一章第一章 多项式多项式设设是是整整系系数数多多项项式式，且且是是本本原原多多项项式式，如如果果其其中中是是有有理理系系数数多多项项式式，那那么么一一定定是是整整系系数数多多项项推推式式论论 f(x),g(x)g(x)f(x)= g(x)h(x),h(x)h(x)第一章第一章 多项式多项式 设设是是一一个个整整系系数数多多项项式式， 而而是是它它的的一一

7、个个有有理理根根，其其中中互互定定理理1 1素素，那那么么必必有有2 2nnnn0n0 f xa xaxarsr ss a r a-=+11( ),| , | .L二、整系数多项式有理根的求法二、整系数多项式有理根的求法( () ), ,( () ). .=特特 别别 ， 如如 果果的的 首首 项项 系系 数数那那 么么的的 有有 理理 根根 都都 是是 整整 根根 ， 而而 且且 是是的的 因因 子子n0f xa1f xa第一章第一章 多项式多项式证证 由于由于 是是f (x)的一个根的一个根, 所以所以r rs sr rf f( (x x) )( (x x) )q q( (x x) ),

8、,s s=-这里这里q (x)的一个有理系数多项式的一个有理系数多项式. 我们有我们有f xr r( ( x x) )( ( s sx xr r ) ), ,s ss s( ( s sx xr r ) ) | | ( () )-=-1所所 以以 ，因为因为s和和r互素，所以互素，所以sx r 是一个本原多项式是一个本原多项式.由上由上推论，推论，第一章第一章 多项式多项式n10bbn nn nf f( (x x) )( (s sx xr r) )( (b bx xb b ) ), , ,-=-+110LL其其中中，都都是是整整数数，比比较较两两边边系系数数，n0sar an nn na as

9、sb b, ,a ar rb b , ,| |, ,. .-=-100因因此此， | |第一章第一章 多项式多项式这个多项式的最高次项系数这个多项式的最高次项系数3的因数的因数 常数项常数项 2的因数的因数 所以可能的有理根是所以可能的有理根是, 3, 1. 2, 1.32,31, 2, 1求多项式求多项式 2553)(234xxxxxf的有理根的有理根.例例1, ,f f( ( x x ) ). . 1 2我我 们们 可可 验验 证证不不 是是的的 根根解解第一章第一章 多项式多项式应用综合除法应用综合除法: | 5 1 5 2 6 23 1 3 0所以所以 2 是是f (x) 的一个根的一

10、个根. 同时我们得到同时我们得到f(x)(x)( xxx).f(x)(x)( xxx).=+-+-322331 1 3 1 323233|31 3 2 ( ( x xx xx x) )f f( (x x ) ). .-+-3223312容容易易看看出出，不不是是的的根根，所所以以不不是是的的重重根根第一章第一章 多项式多项式至此已经看到至此已经看到,商式不是整系数多项式商式不是整系数多项式,因此不必再除因此不必再除下去就知道下去就知道, 的根的根,所以它也不是所以它也不是f (x)的的根根. 再作综合除法再作综合除法:)(31xg不是所以所以 的一个根的一个根,因而它也是因而它也是f (x)的

11、一个根的一个根,容易看出容易看出, 的重根的重根. )(31xg是)(31xf不是-3131110133030第一章第一章 多项式多项式2 23 3x x3 3f f( (x x) )f f( (x x) ). .3 3+-2312同同理理，均均不不是是的的根根，所所以以也也不不是是的的根根，从从而而，的的有有理理根根只只有有，第一章第一章 多项式多项式三、有理系数不可约多项式三、有理系数不可约多项式那么多项式那么多项式f (x)在有理数域上不可约在有理数域上不可约.n nn n1 1n n2 20 02 20 0( ( ) )p p| |a a ; ;( (2 2 ) ) p p a a,

12、,a a, , ,a a ; ;( (3 3 ) ) p p| | a a-/1L- - | | 定理13 (Eisenstein判断法)pn nn nn nn nf f( (x x) )a a x xa ax xa a-=+110L设设是是一一个个整整系系数数多多项项式式，如如果果有有一一个个素素数数 使使得得第一章第一章 多项式多项式证证 如果多项式如果多项式f (x)在有理数域上可约在有理数域上可约,那么那么f (x)可以可以分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积:)()()(xhxgxf这里这里,)(,)(1010llkkxcxccxhxbxbbx

13、g并且并且 k n , l n , k + l = n , 由此得到由此得到.000cba 因为因为 被被p整除整除,而而p是一个素数是一个素数, 所以所以 整除整除.但但 不能被不能被 整除整除, 所以所以 不能同时被不能同时被p整除整除. 0apcb被或000a2p00cb 与第一章第一章 多项式多项式0c不妨假定不妨假定 整除而整除而 不被不被p整除整除. g (x)的系数的系数不能全被不能全被p整除整除,否则否则f (x) = g (x)h (x)的系数的系数 将被将被p整除整除,这与假定矛盾这与假定矛盾. 令令g (x)中第一个不能被中第一个不能被p整除的整除的系数是系数是 . 考察

14、等式考察等式pb 被0nasb.0110sssscbcbcba由于在这个等式中由于在这个等式中 都被都被p整除整除,所以所以 也必须被也必须被p整除整除. 但但p是一个素数是一个素数, 所以所以 中至少中至少有一个被有一个被p整除整除. 这是一个矛盾这是一个矛盾.01,bbass0cbs0cbs与第一章第一章 多项式多项式n nx x2 23 3+ 多多项项式式在在有有理理数数域域上上例例 是是否否不不可可约约？n n3 31 13 3x x3 3+ 存存在在素素数数 满满足足定定理理，所所以以，多多项项式式在在有有理理数数域域上上是是不不可可约约的的. .因因此此，在在有有理理数数域域上上存

15、存在在任任意意次次的的解解不不可可约约多多项项式式. .第一章第一章 多项式多项式小结小结本节解决了两个问题本节解决了两个问题:1.有理系数多项式的因式分解问题，即有理有理系数多项式的因式分解问题，即有理系数多项式的有理根的问题：系数多项式的有理根的问题：n nn nn nn n0 0n n0 0 f f( (x x) )a a x xa ax xa ar rs sr r, ,s ss s1 12 2| |a a , ,r r | |a a . .-=+11L 设设是是一一个个整整系系数数多多项项式式， 而而是是它它的的一一个个有有理理根根，其其中中互互素素，那那么么必必有有定定理理第一章第一章 多项式多项式2. 有理系数多项式环中存在任意次的有理系数多项式环中存在任意次的 不可约多项式不可约多项式那么多项式那么多项式f (x)在有理数域上不可约在有理数域上不可约.n nn n1 1n n2 20 02 20