高数第十二章 全微分方程

1、1第五节第五节 全微分方程全微分方程0 全微分方程及其解法全微分方程及其解法0 积分因子积分因子2一、全微分方程及其求法一、全微分方程及其求法( , )( , )( , )du x yP x y dx Q x y dy 如如果果一一阶阶微微分分方方程程 ( , )( , )0(1)P x y dxQ x y dy():u = u x, y的的左左端端恰恰好好是是某某一一个个函函数数的的全全微微分分(1)则则称称方方程程为为全全微微分分方方程程. .3例如对于方程例如对于方程, 0 ydyxdx221(),2xdxydydxy 所以方程是全微分方程所以方程是全微分方程. .全微分方程的判别全微分

2、方程的判别( , )( , )0P x y dxQ x y dy 是是全全微微分分方方程程PQyx 4全全微微分分方方程程的的解解法法 ( )yx 如如果果是是全全微微分分方方程程 1 1 ( , )( , )0(1)P x y dxQ x y dy ,的的解解 则则有有( , ( )0du xx ,( , ( )u xxC 因因此此( )( , )yxu x yC 即即是是由由所所确确定定的的隐隐函函数数. .( , )( , )( , )P x y dxQ x y dydu x y其其中中50uu dyxxy dx两两端端对对 求求导导, ,得得 ( , ( )u xxC 0uudxdyx

3、y即即有有 ( , )( , )0P x y dxQ x y dy亦亦即即 ( , )(1).u x yC 这这表表明明由由所所确确定定的的隐隐函函数数是是方方程程的的解解 ,( , )( ),u x yCyx 反反之之 如如果果确确定定一一个个可可微微的的隐隐函函数数则则6:结结论论 如如果果方方程程 ( , )( , )0(1)P x y dxQ x y dy( , )u x yC ( , ),u x y的的左左端端是是函函数数的的全全微微分分 则则C就就是是该该微微分分方方程程的的隐隐式式通通解解. .其其中中 为为任任意意常常数数. . yyxxdyyxQxdyxPyxu00),(),

4、(),(0000( , )( , )( ,)yxyxu x yQ x y dyP x y dx或或 ( , )u x y 的的求求法法7 423222(53)(33)01xxyydxx yxyydy解解例例求求Qx 423222( )53,( )33P x =xxyyQ xx yxyy解解 263Pxyyy .所所以以方方程程是是全全微微分分方方程程423200( , )(53)xyu x yxxyydxy dy522333123xx yxyy8所所以以原原方方程程的的通通解解为为522333123xx yxyyC( , )u x y另另解解 设设满满足足 42322253,33uuxxyyx

5、 yxyyxy,x第第一一式式对对 积积分分 得得52233( )2uxx yxyy 9,y上上式式对对 求求导导 得得2233( )ux yxyyy 22233x yxyy31( )3yy 2( )yy 所所以以 5223331( , )23u x yxx yxyy于于是是522333123xx yxyyC故故原原方方程程的的通通解解为为10.0324223的通解的通解求方程求方程 dyyxydxyx解解,64xQyxyP 方程是全微分方程方程是全微分方程,将左端重新组合将左端重新组合)32(14232dyyxdxyxdyy )()1(32yxdyd .132Cyxy 原方程的通解为原方程的

6、通解为),1(32yxyd 例例2凑全微凑全微分法分法11 有有些些方方程程被被判判定定是是全全微微分分方方程程后后，不不必必按按上上述述一一般般方方法法求求解解，可可以以采采取取“分分项项组组合合”的的方方法法, ,先先将将那那些些本本身身已已构构成成全全微微分分的的项项分分出出, ,再再把把剩剩余余的的项项凑凑成成全全微微分分。一一些些简简单单的的二二元元函函数数全全微微分分有有： 222222()()()(ln)1(arctan)(ln)2ydxxdyxydxxdyd xydyyydxxdyyydxxdyxddxxxyyydxxdyxydxxdyxyddxyyxyxy 12二、积分因子法

7、二、积分因子法问题问题: : 如何求方程的积分因子如何求方程的积分因子?( , ) ( , )( , ) ( , )0 x y P x y dxx y Q x y dy x, y 如如果果有有一一个个适适当当的的函函数数 = (= (定定义义) )使使,( , )x y 是是全全微微分分方方程程 则则称称函函数数是是方方程程( , )( , )0P x y dxQ x y dy .的的积积分分因因子子13在在简简单单的的情情形形, ,可可用用观观察察法法求求积积分分因因子子. .0.ydxxdy 求求解解方方程程例例 3 32()xydxxdydyy 解解 因因 21,y用用乘乘以以原原方方程

8、程的的两两端端 得得20ydxxdyy 就就化化为为一一个个全全微微分分方方程程. .()0又又xdy .xCy 所所以以原原方方程程的的通通解解为为 14 1.,:0ydxxdy同同一一方方程程可可以以有有不不同同的的积积分分因因子子 例例如如 注注22221111,.xyxyxy 的的积积分分因因子子有有,因因此此 在在具具体体解解题题过过程程中中由由于于所所用用的的积积分分因因子子不不同同，从从而而通通解解可可能能具具有有不不同同的的形形式式. . 2.,在在实实际际解解方方程程时时 可可以以采采取取“分分项项组组合合” 的的方方法法, ,先先将将那那些些本本身身已已构构成成全全微微分分

9、的的 项项分分出出, ,再再把把剩剩余余的的项项组组合合, ,再再考考虑虑积积 分分因因子子. .15(1)(1)0.xy ydxxy xdy 求求微微分分方方 例例程程的的通通解解4 4解解 分分项项组组合合()()0ydxxdyxy ydxxdy22()()0dxdyd xyx yxy即即 22()()0d xydxdyxyx y 11ln |ln |xyCxy积积分分得得1xyxCey 或或 16),(yxfy 可降阶高阶微分方程 第六节一、一、 型的微分方程型的微分方程 二、二、 型的微分方程型的微分方程 )()(xfyn),(yyfy 三、三、 型的微分方程型的微分方程 第十二章 1

10、7一、一、)()(xfyn解法：连续积分n 次, 可得含 n 个任意常数的通解 .型的微分方程型的微分方程 .cos2xeyx 求解例例1. 解解: 12cosCxdxeyx 12sin21Cxexxey241xey2811121CC此处xsin21xC32CxCxcos21CxC18,00tx例例2. 质量为 m 的质点受力F 的作用沿 ox 轴作直线运动,在开始时刻,)0(0FF随着时间的增大 , 此力 F 均匀地减直到 t = T 时 F(T) = 0 . 如果开始时质点在原点, 解解: 据题意有)(dd22tFtxmtFoT0FF0(1)tFT0dd0ttx)1(0TtFt = 0 时

11、设力 F 仅是时间 t 的函数: F = F (t) . 小,求质点的运动规律. 初速度为0, 且对方程两边积分, 得 19120)2(ddCTttmFtx利用初始条件, 01C得于是)2(dd20TttmFtx两边再积分得2320)62(CTttmFx再利用00tx, 02C得故所求质点运动规律为)3(2320TttmFx0dd0ttx20),(yxfy 型的微分方程型的微分方程 设, )(xpy ,py 则原方程化为一阶方程),(pxfp 设其通解为),(1Cxp则得),(1Cxy再一次积分, 得原方程的通解21d),(CxCxy二、二、21例例3. 求解yxyx 2)1(2,10 xy3

12、 0 xy解解: ),(xpy 设,py 则代入方程得pxpx2)1(2分离变量)1(d2d2xxxpp积分得,ln)1(lnln12Cxp)1(21xCp即,3 0 xy利用, 31C得于是有)1(32xy两端再积分得233Cxxy利用,10 xy, 12C得133xxy因此所求特解为22例例4. 绳索仅受重力作用而下垂,解解: 取坐标系如图. 考察最低点 A 到sg( : 密度, s :弧长)弧段重力大小按静力平衡条件, 有,cosHT1tansa M Mgsgsoyx)(gHa其中sgTsinyxyxd102a1故有211yay 设有一均匀, 柔软的绳索, 两端固定, 问该绳索的平衡状态

13、是怎样的曲线 ? 任意点M ( x, y ) 弧段的受力情况: T T A 点受水平张力 HM 点受切向张力T两式相除得H H A A23MsgoyxHA211yya , aOA 设则得定解问题: , 0ayx0 0 xy),(xpy 令,ddxpy 则原方程化为pdxad1两端积分得2 2A Ar rs sh hl ln n( (1 1) )p pp pp p ,shAr1Cpax0 0 xy由, 01C得则有axysh两端积分得,ch2Cayax, 0ayx由02C得故所求绳索的形状为axaych)(2axaxeeaa21p24三、三、),(yyfy 型的微分方程型的微分方程 令,yp x

14、pydd 则xyypddddyppdd故方程化为),(ddpyfypp设其通解为),(1Cyp即得),(1Cyy分离变量后积分, 得原方程的通解21),(dCxCyy25例例5. 求解.02 yyy代入方程得,0dd2 pyppyyyppdd即两端积分得,lnlnln1Cyp,1yCp 即yCy1(一阶线性齐次方程)故所求通解为xCeCy12解解:,yp 设设xpydd 则xyypddddyppdd26M : 地球质量m : 物体质量例例6. 静止开始落向地面, 求它落到地面时的速度和所需时间(不计空气阻力). 解解: 如图所示选取坐标系. 则有定解问题:22ddtym2yMmk,0lyt00

15、ty,ddtyv 设tvtydddd22则ddddvyytddvvy 代入方程得,dd2yyMkvv积分得122CyMkv一个离地面很高的物体, 受地球引力的作用由 yoRl27,1122lyMkv,ddtyv yyllMkv2即tdyylyMkld2两端积分得Mklt2,0lyt利用, 02C得因此有)arccos(22lylyylMkltlylyylarccos22C, 0000lyyvttt利用lMkC21得28由于 y = R 时,gy 由原方程可得MRgk2因此落到地面( y = R )时的速度和所需时间分别为)arccos(212lRlRRlglRtRylRlRgvRy)(222d

16、dtym,2yMmkyyllMkv2)arccos(22lylyylMkltyoRl29说明说明: 若此例改为如图所示的坐标系, Ryol22ddtym2)(ylMmk,00ty00ty，令tyvdd解方程可得)11(22lylMkv问问: 此时开方根号前应取什么符号? 说明道理 .则定解问题为30例例7. 解初值问题解解: 令02 yey,00 xy10 xy,yp ,ddyppy 则代入方程得yeppydd2积分得1221221Cepy利用初始条件, 0100 xyyp, 01C得根据yepxydd积分得,2Cxey, 00 xy再由12C得故所求特解为xey1得31内容小结内容小结可降阶微分方程的解法 降阶法)(. 1)(xfyn逐次积分),(. 2yxfy 令,yp xpy