第2章测量技术基础

1、2.1 2.1 概述概述2.2 2.2 基准与量值传递基准与量值传递2.3 2.3 计量器具和测量方法计量器具和测量方法2.4 2.4 测量误差和数据处理测量误差和数据处理2.5 2.5 等精度测量列的数据处理等精度测量列的数据处理思考题思考题概述概述测量测量：是指为确定被测量的量值而进行的实验过程：是指为确定被测量的量值而进行的实验过程测量过程应包括以下四个要素：测量过程应包括以下四个要素：测量对象测量对象-本课程涉及的测量对象是几何量，长度、本课程涉及的测量对象是几何量，长度、 角度、表面粗糙度和形位误差角度、表面粗糙度和形位误差计量单位计量单位-常用单位常用单位mm测量方法测量方法是指测

2、量时所采用的测量原理、计量器具是指测量时所采用的测量原理、计量器具 及测量条件的总和及测量条件的总和测量精确度测量精确度-是指测量结果与真值的一致程度是指测量结果与真值的一致程度基准与量值传递基准与量值传递一、长度单位和量值传递系统一、长度单位和量值传递系统 常用长度单位常用长度单位 机械制造中长度单位常用毫米（机械制造中长度单位常用毫米（mm） 精密测量时多采用微米（精密测量时多采用微米（m） 超精密测量时采用纳米（超精密测量时采用纳米（nm），），1nm=10-3 m米的定义米的定义最初的定义：最初的定义：1791年以通过巴黎的地球子午线的四千万分年以通过巴黎的地球子午线的四千万分之一位长

3、度单位米，并制成一米的基准尺之一位长度单位米，并制成一米的基准尺1983年的新定义：年的新定义：“米是光在真空中（米是光在真空中（1/299 792 458）s的的时间间隔内所经路径的长度。时间间隔内所经路径的长度。”1985年我国用自己研制是碘吸收稳定的年我国用自己研制是碘吸收稳定的0.633 m氦氖激光氦氖激光辐射来复现我国的国家长度基准。辐射来复现我国的国家长度基准。基准与量值传递基准与量值传递线线纹纹尺尺基准与量值传递基准与量值传递柔性线纹尺柔性线纹尺楔形线纹尺楔形线纹尺测周径线纹尺测周径线纹尺测管壁厚线纹尺测管壁厚线纹尺基准与量值传递基准与量值传递二、量块 量块用特殊合金钢制成，具有

4、线胀系数小、不易变形、硬度高、耐磨性好、工作面表面粗糙度值小以及研合性好等特点。基准与量值传递基准与量值传递基准与量值传递基准与量值传递 根据不同的使用要求，量块做成不同的精度等级。划分量块精度有两种根据不同的使用要求，量块做成不同的精度等级。划分量块精度有两种规定：按规定：按“级级”划分和按划分和按“等等”划分。划分。 量块按制造精度将量块分为量块按制造精度将量块分为0000，0 0，1 1，2 2，3 3和和K K级共六级，其中级共六级，其中0000级级精度最高，精度最高，3 3级精度最低，级精度最低，K K级为校准级。级为校准级。 量块按量块按“级级”使用时，是以量块的使用时，是以量块的

5、标称长度为工作尺寸标称长度为工作尺寸的，该尺寸包含的，该尺寸包含了量块的制造误差，它们将被引入到测量结果中：由于不需要加修正值，了量块的制造误差，它们将被引入到测量结果中：由于不需要加修正值，故使用较方便。故使用较方便。 量块按检定精度将量块分为量块按检定精度将量块分为1616等，精度依次降低，量块按等，精度依次降低，量块按“等等”使用使用时，不再以标称长度作为工作尺寸，而是用量块经检定后所给出的时，不再以标称长度作为工作尺寸，而是用量块经检定后所给出的实测中实测中心长度作为工作尺寸心长度作为工作尺寸，该尺寸排除了量块的制造误差，仅包含检定时较小，该尺寸排除了量块的制造误差，仅包含检定时较小的

6、测量误差；的测量误差； 量块在使用时，常常用几个量块组合成所需要的尺寸，组合量块时，一量块在使用时，常常用几个量块组合成所需要的尺寸，组合量块时，一般不超过般不超过4 4块。块。基准与量值传递基准与量值传递各级量块的精度指标各级量块的精度指标(摘自摘自GB/T 60932001)量块的标称长度偏差量块的标称长度偏差(极限偏差极限偏差)长度变动量的允许值长度变动量的允许值基准与量值传递基准与量值传递各等量块的精度指标各等量块的精度指标 (摘自摘自JJG 1461994)中心长度测量的不确定度中心长度测量的不确定度()长度变动量的允许值长度变动量的允许值基准与量值传递基准与量值传递成套量规尺寸（成

7、套量规尺寸（83块套）块套）级别级别尺寸系列尺寸系列/mm间隔间隔/mm块数块数0 0，1 1，2 20.50.51 11.0051.0051.011.01，1.021.02，1.491.491.51.5，1.61.6，1.91.92.02.0，2.52.5，9.59.51010，2020，100100-0.00.01 10.10.10.50.510101 11 11 149495 516161010请组成尺寸请组成尺寸58.635mm方法：去尾数法方法：去尾数法1.005+ 1.13+6.5+ 50 =58.635基准与量值传递基准与量值传递塞规塞规角度量块角度量块各种量块各种量块基准与量值

8、传递基准与量值传递计量器具与测量方法计量器具与测量方法计量器具与测量方法计量器具与测量方法 一、计量器具的分类一、计量器具的分类 1)1)标准量具标准量具只有某一个固定尺寸，通常是用来校对和调整其他计量器只有某一个固定尺寸，通常是用来校对和调整其他计量器具或作为标准用来与被测工件进行比较，如具或作为标准用来与被测工件进行比较，如量块、直角尺量块、直角尺、各种曲线样板及标、各种曲线样板及标准量规等。准量规等。 2)2)极限量规极限量规是一种没有刻度的专用检验工具，用这种工具不能得出被是一种没有刻度的专用检验工具，用这种工具不能得出被检验工件的具体尺寸，但能确定被检验工件是否合格。检验工件的具体尺

9、寸，但能确定被检验工件是否合格。 3)3)检验夹具检验夹具也是一种专用的检验工具，当配合各种比较仪时，能用来也是一种专用的检验工具，当配合各种比较仪时，能用来检查更多和更复杂的参数。检查更多和更复杂的参数。 4)4)计量仪器计量仪器能将被测的量值转换成可直接观察的指示值或等效信息的能将被测的量值转换成可直接观察的指示值或等效信息的计量器具。根据构造上的特点，计量仪器还可分为以下几种：计量器具。根据构造上的特点，计量仪器还可分为以下几种： 游标式量仪游标式量仪( (游标卡尺、游标高度尺及游标量角器等游标卡尺、游标高度尺及游标量角器等) )； 微动螺旋副式量仪微动螺旋副式量仪( (外径千分尺、内径

10、千分尺等外径千分尺、内径千分尺等) )； 机械式量仪机械式量仪( (百分表、千分表、杠杆比较仪、扭簧比较仪等百分表、千分表、杠杆比较仪、扭簧比较仪等) )； 光学机械式量仪光学机械式量仪( (光学计、测分仪，投影仪、干涉仪等光学计、测分仪，投影仪、干涉仪等) )； 气动式量仪气动式量仪( (压力式，、流量计式等压力式，、流量计式等) )； 电动式量仪电动式量仪( (电接触式、电感式、电容式等电接触式、电感式、电容式等) )。计量器具与测量方法计量器具与测量方法测量方法分类测量方法分类直接测量直接测量间接测量间接测量绝对测量绝对测量相对测量相对测量单项测量单项测量综合测量综合测量接触测量接触测量

11、不接触测量不接触测量被动测量被动测量主动测量主动测量静态测量静态测量动态测量动态测量二、计量器具与测量方法的常用术语二、计量器具与测量方法的常用术语计量器具与测量方法计量器具与测量方法 (1) (1)标尺间距标尺间距指沿着标尺长度的线段测量得出的任何两个相邻标尺标记之指沿着标尺长度的线段测量得出的任何两个相邻标尺标记之间的距离。标尺间距以长度单位表示，它与被测量的单位或标在标尺上的单间的距离。标尺间距以长度单位表示，它与被测量的单位或标在标尺上的单位无关。位无关。(2)(2)标尺分度值标尺分度值指两个相邻标尺标记所对应的标尺值之差。标尺分度值又指两个相邻标尺标记所对应的标尺值之差。标尺分度值又

12、称为标尺间隔，一般可简称分度值，它以标在标尺上的单位表示，与被测量称为标尺间隔，一般可简称分度值，它以标在标尺上的单位表示，与被测量的单位无关。国内有的把分度值称为格值。的单位无关。国内有的把分度值称为格值。(3)(3)标尺范围标尺范围指在给定的标尺上，两端标尺标记之间标尺值的范围。标尺指在给定的标尺上，两端标尺标记之间标尺值的范围。标尺范围以标在标尺上的单位表示，它与被测量的单位无关。范围以标在标尺上的单位表示，它与被测量的单位无关。(4)(4)量程量程指标尺范围上限值与下限值之差。指标尺范围上限值与下限值之差。 (5)(5)测量范围测量范围指在允许误差限内计量器具的被测量值的范围。测量范围

13、的指在允许误差限内计量器具的被测量值的范围。测量范围的最高最低值称为测量范围的最高最低值称为测量范围的“上限值上限值”、“下限值下限值”。(6)(6)灵敏度灵敏度指计量仪器的响应变化除以相应的激励变化。当激励和响应为指计量仪器的响应变化除以相应的激励变化。当激励和响应为同一类量的情况下，灵敏度也可称为同一类量的情况下，灵敏度也可称为“放大比放大比”或或“放大倍数放大倍数”。 一、测量误差一、测量误差( (error of measurement) )的基本概念的基本概念 任何测量过程，由于受到计量器具和测量条件的影响，不可避免地会产任何测量过程，由于受到计量器具和测量条件的影响，不可避免地会产

14、生测量误差。所谓测量误差生测量误差。所谓测量误差 ，是指测得值，是指测得值x与真值与真值Q之差，即之差，即 = x-Q (2-2)(2-2) 由式由式(5-2)(5-2)所表达的测量误差，反映了测得值偏离真值的程度，也称所表达的测量误差，反映了测得值偏离真值的程度，也称绝对绝对误差误差( (absolute error) )。由于测得值。由于测得值x可能大于或小于真值可能大于或小于真值Q，因此测量误差，因此测量误差可能是正值或负值。若不计其符号正负，则可用绝对值表示。可能是正值或负值。若不计其符号正负，则可用绝对值表示。 | | |=|=|x- -Q| | 这样，这样，真值真值Q可用下式表示可

15、用下式表示 Q=x| | 上式表明，可用测量误差来说明测量的精度。当测量误差的绝对值愈小，上式表明，可用测量误差来说明测量的精度。当测量误差的绝对值愈小，说明测得值愈接近于真值，测量精度也愈高；反之，测量精度就愈低。但说明测得值愈接近于真值，测量精度也愈高；反之，测量精度就愈低。但这一结论只适于测量尺寸相同的情况下。因为测量精度不仅与绝对误差的这一结论只适于测量尺寸相同的情况下。因为测量精度不仅与绝对误差的大小有关，而且还与被测量的尺寸大小有关。为了比较不同尺寸的测量精大小有关，而且还与被测量的尺寸大小有关。为了比较不同尺寸的测量精度，可应用相对误差度，可应用相对误差( (relative e

16、rror) )的概念。的概念。 相对误差相对误差 是指绝对误差的绝对值是指绝对误差的绝对值| | | |与被测量真值与被测量真值Q之比，即之比，即 =|=| |/|/Q =| =| |/|/x 100% (2-3) (2-3)测量误差和数据处理测量误差和数据处理二、测量误差的来源二、测量误差的来源 ( (一一) )计量器具误差计量器具误差 计量器具误差是指计量器具本身在设计、制造和使用过程中造成的各项计量器具误差是指计量器具本身在设计、制造和使用过程中造成的各项误差。误差。 设计计量器具时，为了简化结构而采用近似设计，或者设计的计量器具设计计量器具时，为了简化结构而采用近似设计，或者设计的计量

17、器具不符合不符合“阿贝原则阿贝原则”等因素，都会产生测量误差。等因素，都会产生测量误差。 “ “阿贝原则阿贝原则”是指是指“在设计计量器具或测量工件时，将被测长度与基准长在设计计量器具或测量工件时，将被测长度与基准长度沿测量轴线成直线排列。度沿测量轴线成直线排列。”例如，例如，千分尺的设计是符合千分尺的设计是符合“阿贝原则阿贝原则”的，即被测两点的，即被测两点间的尺寸线与标尺间的尺寸线与标尺( (基准长度基准长度) )在一条线上，从而提高了测在一条线上，从而提高了测量精度。量精度。游标卡尺的设计则不符合游标卡尺的设计则不符合“阿贝原则阿贝原则”。测量误差和数据处理测量误差和数据处理( (二二)

18、 )基准器误差基准器误差基准器误差是指作为基准量的基准器本身存在的误差。例如，量块的制基准器误差是指作为基准量的基准器本身存在的误差。例如，量块的制造误差、线纹尺的刻线误差等。造误差、线纹尺的刻线误差等。 ( (三三) )测量方法误差测量方法误差 测量方法误差是指测量方法不完善所引起的误差。包括计算公式不准测量方法误差是指测量方法不完善所引起的误差。包括计算公式不准确、测量方法选择不当，测量基准不统一，工件安装不合理以及测量力确、测量方法选择不当，测量基准不统一，工件安装不合理以及测量力等引起的误差。等引起的误差。 ( (四四) )测量环境误差测量环境误差 测量环境误差是指测量时的环境条件不符

19、合标准条件所引起的误差。测量环境误差是指测量时的环境条件不符合标准条件所引起的误差。规定标准温度为规定标准温度为2020。 ( (五五) )测量力误差测量力误差 测量器具与工件接触力引起弹性变形。测量器具与工件接触力引起弹性变形。( (六六) )人为误差人为误差 人为误差是指测量人员的主观因素人为误差是指测量人员的主观因素( (如技术熟练程度、分辨能力、思如技术熟练程度、分辨能力、思想情绪等想情绪等) )引起的误差。例如，测量人员眼睛的最小分辨能力和调整能力、引起的误差。例如，测量人员眼睛的最小分辨能力和调整能力、量值估读错误等。量值估读错误等。测量误差和数据处理测量误差和数据处理 三、测量误

20、差的分类和特性三、测量误差的分类和特性 测量误差按其性质分为测量误差按其性质分为系统误差系统误差、随机误差随机误差和和粗大误差粗大误差( (过失或反常误差过失或反常误差) )。 测量误差和数据处理测量误差和数据处理 ( (一一) )系统误差系统误差( (systematic error) ) 系统误差是指在一定测量条件下，多次测量同一量时，系统误差是指在一定测量条件下，多次测量同一量时，误差的大小和符误差的大小和符号均不变或按一定规律变化的误差号均不变或按一定规律变化的误差。 (1)(1)线性变化的系统误差线性变化的系统误差 指在整个测量过程中，随着测量时间或量程的指在整个测量过程中，随着测量

21、时间或量程的增减，误差值成比例增大或减小的误差。例如，随着时间的推移，温度在增减，误差值成比例增大或减小的误差。例如，随着时间的推移，温度在逐渐均匀变化，由于工件的热膨胀，长度随着温度而变化，所以在一系列逐渐均匀变化，由于工件的热膨胀，长度随着温度而变化，所以在一系列测得值中就存在着随时间而变化的线性系统误差。测得值中就存在着随时间而变化的线性系统误差。 (2)(2)周期性变化的系统误差周期性变化的系统误差 指随着测得值或时间的变化呈周期性变化的指随着测得值或时间的变化呈周期性变化的误差：例如，百分表的指针回转中心与刻度盘中心有偏心，指针在任一转误差：例如，百分表的指针回转中心与刻度盘中心有偏

22、心，指针在任一转角位置的误差按正弦规律变化。角位置的误差按正弦规律变化。 (3)(3)复杂变化的系统误差复杂变化的系统误差 按复杂函数变化或按实验得到的曲线图变化的按复杂函数变化或按实验得到的曲线图变化的误差：例如，由线性变化的误差与周期性变化的误差叠加形成复杂函数变误差：例如，由线性变化的误差与周期性变化的误差叠加形成复杂函数变化的误差。化的误差。 a无系统误差无系统误差b有线性系统误差有线性系统误差c有周期性系统误差有周期性系统误差d有复杂变化的系统误差有复杂变化的系统误差测量误差和数据处理测量误差和数据处理( (二二) )随机误差随机误差( (random error) ) 随机误差是指

23、在一定测量条件下，多次测量同一量值时，随机误差是指在一定测量条件下，多次测量同一量值时，其数值大小和其数值大小和符号以不可预定的方式变化的误差符号以不可预定的方式变化的误差。它是由于测量中的不稳定因素综合形。它是由于测量中的不稳定因素综合形成的，是不可避免的。例如，测量过程中温度的波动、振动、测量力的不成的，是不可避免的。例如，测量过程中温度的波动、振动、测量力的不稳定，量仪的示值变动，读数不一致等。对于某一次稳定，量仪的示值变动，读数不一致等。对于某一次 测量结果无规律可寻，测量结果无规律可寻，但如果进行大量、多次重复测量，随机误差分布则服从统计规律。但如果进行大量、多次重复测量，随机误差分

24、布则服从统计规律。 1 1随机误差的分布规律随机误差的分布规律 随机误差可用试验方法来确定。实践表明，大多数情况下，随机误差符随机误差可用试验方法来确定。实践表明，大多数情况下，随机误差符合正态分布。合正态分布。测量误差和数据处理测量误差和数据处理 例如，对一圆柱销轴，用同样的方法在同样条件下重复测量销例如，对一圆柱销轴，用同样的方法在同样条件下重复测量销轴的同一部位尺寸轴的同一部位尺寸200次，得到次，得到200个数据，其中最大值为个数据，其中最大值为20012mm，最小值为，最小值为19990mm，然后按测得值大小分别归，然后按测得值大小分别归入入11组，分组间隔为组，分组间隔为0.002

25、mm，有关数据如下页表所示。，有关数据如下页表所示。测量误差和数据处理测量误差和数据处理表2-6 测量数据统计表尺寸分组区间 / mm组号区间中心值/ mm每组出现的次数（频数n i）频率（n i / n）19.99019.99219.99219.99419.99419.99619.99619.99819.99820.00020.00020.00220.00220.00420.00420.00620.00620.00820.00820.01020.01020.012123456789101119.99119.99319.99519.99719.99920.00120.00320.00520.0

26、0720.00920.0112410243745392312310.010.020.050.120.1850.2250.1950.1150.060.0150.005用横坐标表示随机误差用横坐标表示随机误差 ，纵坐标表示对应各随机误差的概率密度函数，纵坐标表示对应各随机误差的概率密度函数y y。正态分布曲线可用下列数学公式表示正态分布曲线可用下列数学公式表示：式中式中 Y概率密度；概率密度； 标准偏差值；标准偏差值； e 自然对数的底；自然对数的底； 随机误差。随机误差。 22221efy（2-42-4）概率密度与随机误差及标准偏差有关。概率密度与随机误差及标准偏差有关。当当 时，概率密度时，概

27、率密度y y最大，最大， 02/1maxy测量误差和数据处理测量误差和数据处理概率值概率值P=，P=68.26%=2，P=95.44%=3，P=99.73%=4，P=99.99% 2 2随机误差的特性随机误差的特性 (1)(1)对称性对称性 绝对值相等的正、负随机误差出现的概率相等。绝对值相等的正、负随机误差出现的概率相等。 (2)(2)单峰性单峰性 绝对值越小的随机误差出现绝对值越小的随机误差出现的概率越大，随机误差为零时，的概率越大，随机误差为零时，概率最大，存在一个最高点。概率最大，存在一个最高点。 (3)(3)抵偿性抵偿性 在一定条件下，多次重复测量，在一定条件下，多次重复测量，随机误

28、差的代数和趋于随机误差的代数和趋于0 0。 (4)(4)有界性有界性 在一定测量条件下，随机误差在一定测量条件下，随机误差的实际分布范围有限并且一定。的实际分布范围有限并且一定。测量误差和数据处理测量误差和数据处理按照误差理论，不存在系统误差时，等精度测量列中单次测量按照误差理论，不存在系统误差时，等精度测量列中单次测量( (任一测得值任一测得值) )的标准偏差可用下式计算：的标准偏差可用下式计算： NNNiin1222221（2-52-5）式中式中 N N测量次数测量次数 随机误差随机误差i测量误差和数据处理测量误差和数据处理3.3.正态分布随机误差概率的计算正态分布随机误差概率的计算 计算

29、概率实际上是求正态分布曲线与横坐标之间在随机误差计算概率实际上是求正态分布曲线与横坐标之间在随机误差 的指定区的指定区间内的面积。间内的面积。 121222deydP表表2-3 2-3 典型典型t t值及相应的概率值及相应的概率测量误差和数据处理测量误差和数据处理4. 4. 极限误差的确定极限误差的确定由表由表6-36-3可见，正态分布的随机误差的可见，正态分布的随机误差的99.73%99.73%可能分布在土可能分布在土33范围内，范围内，而超出该范围的概率仅为而超出该范围的概率仅为0.27%0.27%，可认为超出的可能性已经很小了，可认为超出的可能性已经很小了 极限误差为极限误差为NNii1

30、2lim33（2-62-6）此时，可信度为此时，可信度为99.73% 99.73% 单次测量误差的结果可表示为：单次测量误差的结果可表示为：3limiixxx（5-75-7）( (三三) )粗大误差粗大误差(parasitic error)(parasitic error) 粗大误差是指由于主观疏忽大意或客观条件发生突然变化而产生的误粗大误差是指由于主观疏忽大意或客观条件发生突然变化而产生的误差，在正常情况下，一般不会产生这类误差。例如，由于操作者的粗心差，在正常情况下，一般不会产生这类误差。例如，由于操作者的粗心大意，在测量过程中看错、读错、记错以及突然的冲击振动而引起的测大意，在测量过程中

31、看错、读错、记错以及突然的冲击振动而引起的测量误差。通常情况下，这类误差的数值都比较大，在分析测量误差和处量误差。通常情况下，这类误差的数值都比较大，在分析测量误差和处理数据时理数据时应设法剔除粗大误差应设法剔除粗大误差。 四、测量精度四、测量精度 判断下图中的随机误差、系统误差的大小判断下图中的随机误差、系统误差的大小a随机误差大，系统误随机误差大，系统误差小差小,精密度低精密度低 通常，用精密度通常，用精密度(precision)形容随机误差的影响，用正确度形容随机误差的影响，用正确度(correctness)形形容系统误差的影响，用准确度容系统误差的影响，用准确度(accuracy)形容

32、随机误差与系统误差的综合影形容随机误差与系统误差的综合影响。响。测量误差和数据处理测量误差和数据处理b随机误差小，系统随机误差小，系统误差大，误差大，正确度正确度低低c随机误差小，系统随机误差小，系统误差小，误差小，准确度高准确度高等精度测量列的数据处理等精度测量列的数据处理例例2-1 对某一轴径等精度测量对某一轴径等精度测量1010次，测得值列于下表，假定已消除定植系统误次，测得值列于下表，假定已消除定植系统误差，试求测量结果。差，试求测量结果。序号序号测得值测得值xi/mm 剩余误差剩余误差_/xxmvii剩余误差的平方剩余误差的平方22/mvi1234567891029.99929.99

33、429.99829.99629.99729.99829.99729.99529.99929.997+2-3+1-10+10-2+204911010440101_997.29101iixx1010iiv241012iiv一、直接测量列的数据处理一、直接测量列的数据处理 1.判断变值系统误差判断变值系统误差2.计算标准偏差计算标准偏差mvnviinii63.192411011012123.单次测量的极限误差单次测量的极限误差limm90. 463. 133lim4.判断粗大误差判断粗大误差根据根据“3准则准则”，|vi|4.9m，故不存在粗大误差。，故不存在粗大误差。根据根据“剩余误差观察法剩余误

34、差观察法”判断，由于该测量列中的剩余误差大体上正负相间，判断，由于该测量列中的剩余误差大体上正负相间，无明显的变化规律，所以认为无变值系统误差。无明显的变化规律，所以认为无变值系统误差。5.计算测量列的算术平均值的标准偏差计算测量列的算术平均值的标准偏差xmnx52. 01063. 163. 16.算术平均值的极限误差算术平均值的极限误差lim（x）7.多次测量的测量结果：多次测量的测量结果：mxx56. 152. 033)lim(mmxQx0015. 0997.293等精度测量列的数据处理等精度测量列的数据处理例例2.2 2.2 测量小轴直径。得到一系列等精度测量值：测量小轴直径。得到一系列

35、等精度测量值：25.036025.0360；25.036525.0365； 25.036225.0362；25.036525.0365；25.036725.0367；25.036325.0363；25.036625.0366；25.036325.0363； 25.036625.0366；25.0364(mm)25.0364(mm)，求小轴直径。，求小轴直径。解解: : 列表计算如下：列表计算如下：1 12 23 34 45 56 610108 89 97 725.036025.036025.036525.036525.036225.036225.036425.036425.036725.036

36、725.036325.036325.036425.036425.036325.036325.036625.036625.036625.03661)1)计算平均值：计算平均值：0364.2510/ixx0364.25x-0.4+0.1-0.2 0+0.3-0.1 0-0.1+0.2+0.22)2)计算剩余误差计算剩余误差vi0iv3)3)计算剩余误差计算剩余误差平方和平方和序号序号系列测量值系列测量值 残差残差vi（m） 残差平方和残差平方和vi20.160.160.010.010.040.04 0 00.090.090.010.01 0 00.010.010.040.040.040.0440. 02iv4)4)判断系统误差判断系统误差由于残差大体正负相间，由于残差大体正负相间，无明显变化规律，故变值无明显