数系的扩充与复数的概念

1、数系的扩充数系的扩充复数的概念复数的概念数系的扩充与复数的概念数系的扩充与复数的概念数系的扩充数系的扩充复数的概念复数的概念自然数自然数整数整数有理数有理数实数实数NZQR？数系的扩充数系的扩充复数的概念复数的概念请分别在我们学过的整数集、有理数集、请分别在我们学过的整数集、有理数集、实数集中解下列方程。实数集中解下列方程。153) 1x4)22x2)32x1)42x 4343无解2222无解无解无解无解无解数系的扩充数系的扩充复数的概念复数的概念对于一元二次方程对于一元二次方程 没有实数根没有实数根012 x12 x12 ii数系的扩充数系的扩充复数的概念复数的概念 （1）； （2） i 数

2、系的扩充数系的扩充复数的概念复数的概念 形如形如a+bi(a,bR)的数叫做复数的数叫做复数. 全体复数所形成的集合叫做全体复数所形成的集合叫做，一般用字母一般用字母 表示表示 .不是实数。所以，时，因当bibibbib0)(02222数系的扩充数系的扩充复数的概念复数的概念通常用字母通常用字母 表示，即表示，即 biaz ),(RbRa 其中其中 称为称为虚数单位虚数单位i000000bababb，非纯虚数，纯虚数虚数实数000000bababb，非纯虚数，纯虚数虚数实数CR 数系的扩充数系的扩充复数的概念复数的概念72618. 0i725 -8，i 29331i223ii1010数系的扩充

3、数系的扩充复数的概念复数的概念immz)1(1 解解: （1）当当 ，即，即 时，复数时，复数z 是实数是实数01 m1 m（2）当当 ，即，即 时，复数时，复数z 是虚数是虚数01 m1 m（3）当当 0101mm即即 时，复数时，复数z 是是纯虚数纯虚数1 m关健是什么？关健是什么？找准复数的实部与虚部，根据复数的分类找准复数的实部与虚部，根据复数的分类列出方程或不等式组。列出方程或不等式组。数系的扩充数系的扩充复数的概念复数的概念练练1. 实数实数m 取什么值时，复数取什么值时，复数 z=(m2-3m-4)+(m2-5m-6)i (1) 是实数？是实数？(2)纯虚数？纯虚数？ (3)零？

4、零？ 解：解：(1)当当m2-5m-6=0时，时，即即m=6或或m=-1时，时，z为实数为实数(2)当当 时，时，m2-3m-4=0m2-5m-6 0即即m=4时，时， z为纯虚数为纯虚数(3)当当 时，时，m2-3m-4=0m2-5m-6=0即即m=-1时，时， z为零为零数系的扩充数系的扩充复数的概念复数的概念注意注意: :两个实数可以比较大小。但两个复两个实数可以比较大小。但两个复数，如果不全是实数，就数，如果不全是实数，就不能比较它们的大小不能比较它们的大小。例如例如1+i1+i与与3+5i3+5i就不能比较大小。就不能比较大小。两个复数能比较大小吗？两个复数能比较大小吗？数系的扩充数

5、系的扩充复数的概念复数的概念iyyix)3()12( Ryx ,. yx与与 )3(112yyx解得解得4,25 yx,Rdcba 若dicbia dbca数系的扩充数系的扩充复数的概念复数的概念i2224xyxyii数系的扩充数系的扩充复数的概念复数的概念1.1.虚数单位虚数单位i的引入；的引入；2.2.复数有关概念：复数有关概念：),( RbRabiaz dicbia dbca数系的扩充数系的扩充复数的概念复数的概念*Znni424ni34ni14ni1-1iiB数系的扩充数系的扩充复数的概念复数的概念有理数有理数=分数分数=循环小数循环小数实数实数=小数小数数系的扩充数系的扩充复数的概念

6、复数的概念 负数负数在古代人看来，没有就表示最少了，最少就用在古代人看来，没有就表示最少了，最少就用“零零”表示，没有比零更小的数了，可是负数不但表示没有，表示，没有比零更小的数了，可是负数不但表示没有，而且意味着比没有还要少，这是怎么回事呢？而且意味着比没有还要少，这是怎么回事呢？ 中国人认识负数比世界上任何一个国家的民族都要早得中国人认识负数比世界上任何一个国家的民族都要早得多多. 我国在西汉时代就会用负数，当时的人用我国在西汉时代就会用负数，当时的人用红色红色算筹表示算筹表示正数，用正数，用黑色黑色算筹表示负数算筹表示负数. 系统地论述负数，我国也是世界上最早的系统地论述负数，我国也是世

7、界上最早的. 在东汉初编在东汉初编成的成的九章算术九章算术内，就已记载了正、负数的相反意义，还内，就已记载了正、负数的相反意义，还提出了正、负数的加减法则提出了正、负数的加减法则. “较大数与较小数的比可能等于较小数与较大数的比吗较大数与较小数的比可能等于较小数与较大数的比吗? 直到直到17世纪世纪,法国数学家笛卡儿引进坐标系后法国数学家笛卡儿引进坐标系后,负数获得负数获得了几何解释了几何解释,负数在方程中去得了合理地位负数在方程中去得了合理地位.数系的扩充数系的扩充复数的概念复数的概念无理数无理数 公元前公元前500年，古希腊毕达哥拉斯年，古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras)学派的学派的

8、弟弟(Hippasus)发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的与其一边的长度是不可公度的.这一不可公度性与毕氏学派这一不可公度性与毕氏学派“万物皆为数万物皆为数”(指有理数指有理数)的哲理大相径庭。这一发现使该的哲理大相径庭。这一发现使该学派领导人惶恐、恼怒，认为这将动摇他们在学术界的统治学派领导人惶恐、恼怒，认为这将动摇他们在学术界的统治地位。希勃索斯因此被囚禁，受到百般折磨，最后竟遭到沉地位。希勃索斯因此被囚禁，受到百般折磨，最后竟遭到沉舟身亡的惩处。舟身亡的惩处。 毕氏弟子的发现，第一次向人们揭示了有理数系的缺陷，毕氏弟

9、子的发现，第一次向人们揭示了有理数系的缺陷，证明它不能同连续的无限直线同等看待，有理数并没有布满证明它不能同连续的无限直线同等看待，有理数并没有布满数轴上的点，在数轴上存在着不能用有理数表示的数轴上的点，在数轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙孔隙”。而这种而这种“孔隙孔隙”经后人证明简直多得经后人证明简直多得“不可胜数不可胜数”。于是，。于是，古希腊人把有理数视为连续衔接的那种算术连续统的设想彻古希腊人把有理数视为连续衔接的那种算术连续统的设想彻底地破灭了。底地破灭了。不可公度量的发现连同著名的芝诺悖论一同被不可公度量的发现连同著名的芝诺悖论一同被称为数学史上的第一次危机称为数学史上的第一次危

10、机.数系的扩充数系的扩充复数的概念复数的概念无理数无理数 15世纪意大利著名画家达世纪意大利著名画家达.芬奇称之为芬奇称之为“无理的无理的数数”，17世纪德国天文学家开普勒称之为世纪德国天文学家开普勒称之为“不可名状不可名状”的数。的数。 然而，真理毕竟是淹没不了的，毕氏学派抹杀真然而，真理毕竟是淹没不了的，毕氏学派抹杀真理才是理才是“无理无理”。人们为了纪念希勃索斯这位为真理。人们为了纪念希勃索斯这位为真理而献身的可敬学者，就把不可通约的量取名为而献身的可敬学者，就把不可通约的量取名为“无理无理数数”这便是这便是“无理数无理数”的由来。的由来。 数系的扩充数系的扩充复数的概念复数的概念 “复

11、数复数”、“虚数虚数”这两个名词，都是人们在解方程时引入的。为了用公这两个名词，都是人们在解方程时引入的。为了用公式求一元二次、三次方程的根，就会遇到求负数的平方根的问题。式求一元二次、三次方程的根，就会遇到求负数的平方根的问题。1545年，年，意大利数学家卡丹诺（意大利数学家卡丹诺（Girolamo Cardano,1501年年1576年）在年）在大术大术一一书中，书中，首先研究了虚数首先研究了虚数，并进行了一些计算。，并进行了一些计算。1572年，意大利数学家邦别利年，意大利数学家邦别利（Rafacl Bombclli,1525年年1650年）正式使用年）正式使用“实数实数”“”“虚数虚数

12、”这两个名这两个名词。此后，德国数学家莱布尼兹（词。此后，德国数学家莱布尼兹（Gottfried Wilbclm Lcibniz,1646年年1716年）、瑞士数学家欧拉（年）、瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler,1707年年1783年）和法国数学家棣年）和法国数学家棣莫佛（莫佛（Abrabam de Moivre,1667年年1754年）等又研究了虚数与对数函数、年）等又研究了虚数与对数函数、三角函数等之间的关系，除解方程以外，还把它用于微积分等方面，得出很三角函数等之间的关系，除解方程以外，还把它用于微积分等方面，得出很多有价值的结果，使某些比较复杂的数学问题变得简单而易于处理。

13、大约在多有价值的结果，使某些比较复杂的数学问题变得简单而易于处理。大约在1777年，年，欧拉第一次用欧拉第一次用i来表示来表示-1的平方根的平方根，1832年，德国数学家年，德国数学家高斯高斯（Carl Fricdrich Gauss,1777年年1855年）年）第一次引入复数概念第一次引入复数概念，一个复数可以用，一个复数可以用abi来表示，其中来表示，其中a，b是实数，是实数，i代表虚数单位，这样就把虚数与实数统一起代表虚数单位，这样就把虚数与实数统一起来了。高斯还把复数与复平面内的点一一对应起来，给出了复数的一种几何来了。高斯还把复数与复平面内的点一一对应起来，给出了复数的一种几何解释。不久，人们又将复数与平面向量联系起来，并使