考试点专业课：名师王高雄《常微分方程》经典题型解析

1、名师王高雄?常微分方程?经典题型解析1、验证以下方程是恰当方程，并求出方程的解。1. 解： ，=1 .那么所以此方程是恰当方程。凑微分，得 ：2 解： ， .那么 .所以此方程为恰当方程。凑微分，得 3 解： 那么 .因此此方程是恰当方程。 1 2对1做的积分，那么= 3对3做的积分，那么=那么故此方程的通解为4、 解： ， . .那么此方程为恰当方程。凑微分，得 ：5.(sin-cos+1)dx+( cos- sin+)dy=0解： M=sin-cos+1 N= cos- sin+=- sin-cos- cos+sin=- sin-cos- cos+sin所以，=，故原方程为恰当方程因为si

2、ndx-cosdx+dx+ cosdy- sindy+dy=0d(-cos)+d (sin)+dx+d(-)=0所以，d(sin-cos+x -)=0故所求的解为sin-cos+x -=C求以下方程的解：62x(y-1)dx+dy=0解：= 2x , =2x所以，=，故原方程为恰当方程又2xydx-2xdx+dy=0所以，d(y-x)=0故所求的解为y-x=C7.(e+3y)dx+2xydy=0解：edx+3ydx+2xydy=0exdx+3xydx+2xydy=0所以，d e( x-2x+2)+d( xy)=0即d e( x-2x+2)+ xy=0故方程的解为e( x-2x+2)+ xy=C

3、8. 2xydx+( x+1)dy=0解：2xydx+ xdy+dy=0d( xy)+dy=0即d(xy+y)=0故方程的解为xy+y=C9、解：两边同除以 得即，故方程的通解为10、解：方程可化为：即， 故方程的通解为： 即：同时，y=0也是方程的解。11、解：方程可化为： 即：故方程的通解为：12、解：方程可化为：故方程的通解为 ： 即：13、解：这里 ， 方程有积分因子两边乘以得：方程是恰当方程故方程的通解为：即：14、解：这里因为故方程的通解为： 即：15、解：这里 方程有积分因子： 两边乘以得：方程为恰当方程故通解为 ：即：16、解：两边同乘以得：故方程的通解为：17、试导出方程具有

4、形为和的积分因子的充要条件。解：假设方程具有为积分因子， 是连续可导令 ， .， ， ， 方程有积分因子的充要条件是：是的函数，此时，积分因子为 . 令 ，此时的积分因子为18. 设及连续,试证方程为线性方程的充要条件是它有仅依赖于的积分因子.证:必要性 假设该方程为线性方程,那么有 ,此方程有积分因子,只与有关 .充分性 假设该方程有只与有关的积分因子 .那么为恰当方程 ,从而 , , .其中 .于是方程可化为即方程为一阶线性方程.20.设函数f(u)，g(u)连续、可微且f(u)g(u),，试证方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0有积分因子u=(xyf(xy)-g(xy)证：在方程y

5、f(xy)dx+xg(xy)dy=0两边同乘以u得：uyf(xy)dx+uxg(xy)dy=0那么=uf+uy+yf=+-yf=而=ug+ux+xg=+- xg=故=，所以u是方程得一个积分因子21假设方程2.43中得函数Mx,yN(x,y)满足关系=Nf(x)-Mg(y),其中f(x),g(y)分别为x和y得连续函数，试证方程2.43有积分因子u=exp(+)证明：M(x,y)dx+N(x,y)dy=0即证u+M=u+Nu(-)=N- Mu(-)=Nef(x)-M eg(y)u(-)=e(Nf(x)-Mg(y)由条件上式恒成立，故原命题得证。22、求出伯努利方程的积分因子.解：伯努利方程为：两边同乘以，令，线性方程有积分因子：，故原方程的积分因子为：，证毕！23、设是方程的积分因子，从而求得可微函数，使得试证也是方程的积分因子的充要条件是其中是的可微函数。证明：假设，那么又即为的一个积分因子。24、设