复数代数形式的乘除运算【人教A版】

1、3.2 .2复数的乘法已知两复数已知两复数z1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d是实数）是实数） 即即: :两个复数相加两个复数相加( (减减) )就是就是 实部与实部实部与实部, ,虚部与虚部分别相加虚部与虚部分别相加( (减减).).(1)加法法则加法法则：z1+z2=(a+c)+(b+d)i; (2)减法法则减法法则：z1- -z2=(a- -c)+(b- -d)i. (a+bi i )(c+di i) = (ac) + (bd)i i1.复数复数加法减法法则加法减法法则2.共轭复数的定义与性质共轭复数的定义与性质 （1）两复数）两复数z1=a+bi, z2=c+di（a,b,

2、c,d是实数）是实数）是共轭复数满足条件：是共轭复数满足条件：a=c，b=-d （2） (3) z , 对应的复平面的点关于对应的复平面的点关于x轴对称轴对称|z|z z问题问题1.1.复数的乘法法则复数的乘法法则z1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d是实数是实数）2acadibcibdi)()acbdbcad i（说明说明:(1):(1)两个复数的积仍然是一个复数；两个复数的积仍然是一个复数； (2) (2)复数的乘法与多项式的乘法是类似的复数的乘法与多项式的乘法是类似的，只是把，只是把i i看作字母，按多项式乘法进行看作字母，按多项式乘法进行, ,化化i i2 2=-1=-1，再

3、实部，再实部 与虚与虚部相加部相加i2()()abi cdi问题2.复数乘法满足的运算律： 对任意复数对任意复数z1、z2、z3C，有，有 交换律交换律z1z2_ 结合律结合律(z1z2)z3_ 乘法对加法的分配律乘法对加法的分配律z1(z2z3)_ 实数集实数集R R中正整数指数的运算律中正整数指数的运算律, ,在复数集在复数集C C中仍然成立中仍然成立. .即对即对z z1 1,z,z2 2,z,z3 3C C及及m,nm,nN N* *有有: : z zm mz zn n=z=zm+nm+n, , (z (zm m) )n n=z=zmnmn, , (z (z1 1z z2 2) )n

4、n=z=z1 1n nz z2 2n n. . 变式变式:设复数设复数z(2-3i)=6+4i,求求z例例1.计算计算1.（a+bi)(a-bi) 2（2- i)(3+4i)(1biabia）（22ba 思考：思考：在复数集在复数集C内，你能将内，你能将 分解因式吗？分解因式吗？22yx 2.共轭复数共轭复数：实部相等，虚部互为相反数的两个复数：实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数叫做互为共轭复数.复数复数z=a+bi的共轭复数记作的共轭复数记作, zzabi记思考：设思考：设z= =a+ +bi ( (a, ,bR R ) ), ,那么那么zzzzzzzzzz12121212,

5、 另外不难证明另外不难证明:zz2a2bizz22ab22 ()abi（ ）222babia222()() 2a biababi22 22aabib i3 (1 2 )(34 )( 2)iii （ ）(112 )( 2)20 15iii 222ababi3.3.复数的除法法则复数的除法法则 先把除式写成分式的形式先把除式写成分式的形式, ,再把分子与分母都再把分子与分母都乘以分母的共轭复数乘以分母的共轭复数, ,化简后写成代数形式化简后写成代数形式( (分母分母实数化实数化).).即即分母实数化分母实数化dicbiadicbia)()()()(dicdicdicbia22)()(dciadbc

6、bdac(0).cdi2222acbdbcadicdcd例例3.3.计算计算)43()21 (ii解解:iiii4321)43()21 ()43)(43()43)(21 (iiii2510543468322iiii5251先写成分式形式先写成分式形式 化简成代数形式就得结果化简成代数形式就得结果. 然后然后分母实数化分母实数化即可运算即可运算.(一般分子分母同时乘一般分子分母同时乘以分母的共轭复数以分母的共轭复数)1212(1)(2)(3)(4)ZZZZZZ下列命题中正确的是如果是实数，则、互为共轭复数纯虚数 的共轭复数是。两个纯虚数的差还是纯虚数两个虚数的差还是虚数。(2)(2)121212

7、1212121212( )0,( )0,()0,()0,AZZZZBZZZZCZZZZDZZZZ下列命题中的真命题为：若则与互为共轭复数。若则与互为共轭复数。若则与互为共轭复数。若则与互为共轭复数。D D（1 1）已知已知求求iziz41,232111212122,zzzzzzzz练练 习习（2 2）已知）已知 求求iziz2,1214211122, ()zzzzz（3 3）2)1 (i;2iii11i1; iii11; i. i如果如果nN*有有:i4n=1;i4n+1=i,i4n+2=-1;i4n+3=-i.(事实上可以把它推广到事实上可以把它推广到nZ.）设设 ,则有则有:i2321 . 01 ; 12_23 事实上事实上, 与与 统称为统称为1的立方虚根的立方虚根,而且对于而且对于 ,也也有类似于上面的三个等式有类似于上面的三个等式._ _ .11;11;1;2)1(2iiiiiiiiii (6)一些常用的计算结果一些常用的计算结果