复合材料力学part

1、复合材料力学复合材料力学2复合材料力学重点内容复合材料力学重点内容简单层合板的简单层合板的宏观力学性能宏观力学性能简单层合板简单层合板的微观力学的微观力学性能性能简单层合板简单层合板的应力的应力-应变应变关系关系简单层合板简单层合板的强度问题的强度问题刚度的弹性刚度的弹性力学分析方力学分析方法法刚度的材料刚度的材料力学分析方力学分析方法法强度的材料强度的材料力学分析方力学分析方法法简单层合板简单层合板的力学性能的力学性能复合材料力学重点内容复合材料力学重点内容经典经典层合理论层合理论层合板的层合板的强度问题强度问题层合板的应层合板的应力应变关系力应变关系刚度的刚度的特殊情况特殊情况层间应力层间

2、应力强度分析方强度分析方法法层合板设计层合板设计层合板的宏层合板的宏观力学性能观力学性能层合板弯曲层合板弯曲振动与屈曲振动与屈曲复合材料力学重点内容复合材料力学重点内容首先要把注意力集中在宏观力学上，因为它是最容易解决设计分析中的重要问题，其次对微观力学也将进行研究，以便得到对复合材料组分如何配比和排列以适应特定的强度和刚度的评价使用宏观力学和微观力学相结合，能够在少用材料的的情况下设计复合材料来满足特定的结构要求，复合材料的可设计性是其超过常规材料的最显著的特点之一设计的复合材料可以只在给定的方向上有所需的强度和刚度，而各向同性材料则在不是最大需要的其他方向上也具有过剩的强度和刚度弹性力学基

3、本问题弹性力学基本问题弹性力学问题弹性力学问题6个应力分量个应力分量6个应变分量个应变分量3个位移分量个位移分量w w, ,v v, ,u u, , , , , , , , , , ,xyxyzxzxyzyzz zy yx xxyxyzxzxyzyzz zy yx x 简单层合板的宏观力学性能简单层合板的宏观力学性能引引 言言简单层板：是单向纤维或交织纤维在基体中的平面排列（有时是曲面的，如在壳体中），是纤维增强层合复合材料的基本单元件引引 言言引引 言言宏观力学性能：只考虑简单层合板的平均表观力学性能，不讨论复合材料组分之间的相互作用对简单层合板来说，由于厚度与其他方向尺寸相比较小，因此一般

4、按平面应力状态进行分析，只考虑单层板面内应力，不考虑面上应力，即认为它们很小，可忽略在线弹性范围内 Anisotropic Orthotropy Isotropy Failure Criterion传统材料传统材料) )( (/ /E EG G 12独立常数只有独立常数只有2个个对各向同性材料来说，表征它们刚度性能的工程弹性常数有：E、G、v E：拉伸模量 G：剪切模量 V：泊松比 其中广义虎克定律 各向异性材料的线性应力-应变关系 弹性理论中的一个基本原理，由弹性能推导而来621 ,.,., ,j j, , i iC Cj jijiji i 应力分量，刚度矩阵，应变分量应力分量，刚度矩阵，应

5、变分量621 ,.,., ,j j, , i iS Sj jijiji i 柔度矩阵柔度矩阵 各向异性材料的应力各向异性材料的应力-应变关系应变关系弹性力学知识弹性力学知识 123123321666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211123123321C CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC C各向异性线弹性材料最通用的定律

6、，各向异性线弹性材料最通用的定律，要完整描述这种材料需要要完整描述这种材料需要36个分量或常数，该类材料个分量或常数，该类材料没有材料对称性，这种材料也叫做三斜晶系材料没有材料对称性，这种材料也叫做三斜晶系材料 各向异性材料的应力各向异性材料的应力-应变关系应变关系 123123321666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211123123321C CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC

7、 CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC Cz zw wy yv vx xu u 321x xv vy yu uz zu ux xw wz zv vy yw w 123123简写了表简写了表达符号达符号几何方程几何方程弹性力学知识弹性力学知识xyzxzxz yzyz zdydyy yy yy y dydyy yzyzyzyzy dydyy yxyxyxyxy x xy yz zx xy yz zz zy yx x, , , , , , 六个应力分量六个应力分量主应力和主方向主应力和主方向材料往往在受力最大的面发生破坏，材料往往在受力最大的面发生破坏，物体内每一点都有无穷多个

8、微面通物体内每一点都有无穷多个微面通过，斜面上剪应力为零的面为主平过，斜面上剪应力为零的面为主平面，其法线方向为主方向，应力为面，其法线方向为主方向，应力为主应力，三个主应力，包括最大和主应力，三个主应力，包括最大和最小应力最小应力 xyxyzxzxyzyzz zy yx xxyxyzxzxyzyzz zy yx xS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS S66646463626151413121161514131211 j ji ij ji iC C 柔度分量、模量分量柔度分量、模量分量各向异性体弹性各向异性体弹性力学基本方程力学基本方程

9、平衡方程平衡方程弹性体受力变形的弹性体受力变形的应力与应变关系应力与应变关系本构方程本构方程36000 z zy yx xz zy yx xz zy yx xz zyzyzzxzxyzyzy yxyxyxzxzxyxyx x z zy yx xz zy yx xz zy yx xy yx xz zz zy yx xx xz zy yxyxyzxzxyzyzz zxyxyzxzxyzyzy yxyxyzxzxyzyzx x222222222222222222222y yz zz zy yx xz zz zx xx xy yy yx xz zy yy yz zz zx xz zx xy yx xx

10、 xy y xvyuzuxwzvywxyzxyz 几何方程消除位移分量几何方程消除位移分量连续性方程或变形协调方程连续性方程或变形协调方程6几何方程几何方程zwyvxuzyx 弹性力学问题的一般解法弹性力学问题的一般解法6个应力分量个应力分量6个应变分量个应变分量3个位移分量个位移分量w w, ,v v, ,u u, , , , , , , , , , ,xyxyzxzxyzyzz zy yx xxyxyzxzxyzyzz zy yx x 几何关系（位移和应变关系）：几何关系（位移和应变关系）：6物理关系（应力和应变关系）：物理关系（应力和应变关系）：6平衡方程（应力之间的关系）：平衡方程（应

11、力之间的关系）：315个方程求个方程求15个未知数个未知数可解可解(材料性质已知材料性质已知)难以实现难以实现简化或数值解法简化或数值解法弹性力学知识弹性力学知识弹性力学知识弹性力学知识位移法：几何关系（位移和应变关系）代入物理关系（应力应变关系），再代入平衡方程，得到仅含有位移分量的偏微分方程，解出位移函数 较容易实现力法：仅含有应力函数混合法：确定某些位移和某些应力弹性力学知识弹性力学知识000 z zy yx xz zy yx xz zy yx xz zyzyzzxzxyzyzy yxyxyxzxzxyxyx xz zw wy yv vx xu u 321x xv vy yu uz zu

12、 ux xw wz zv vy yw w 123123 123123321666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211123123321C CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC C三类基本问题三类基本问题第一类基本问题 在弹性体的全部表面上都给定了外力，要求确定弹性体内部及表面任意一点的应力和位移n nz zyzyzxzxzn

13、 nzyzyy yxyxyn nzxzxyxyxx xZ Z) )z z, ,n ncos(cos() )y y, ,n ncos(cos() )x x, ,n ncos(cos(Y Y) )z z, ,n ncos(cos() )y y, ,n ncos(cos() )x x, ,n ncos(cos(X X) )z z, ,n ncos(cos() )y y, ,n ncos(cos() )x x, ,n ncos(cos( 三类基本问题三类基本问题第二类基本问题 在弹性体的全部表面上都给定了位移，要求确定弹性体内部及表面任意一点的应力和位移* * * *w ww wv vv vu uu

14、u: :S Sonon s三类基本问题三类基本问题第三类基本问题 在弹性体的一部分表面上都给定了外力，在其余的表面上给定了位移，要求确定弹性体内部及表面任意一点的应力和位移S SS SS Sw ww w, ,v vv v, ,u uu u: :S SononX Xn n: :S Sononu u* * * *u ui ij jijij SuS 三类基本问题三类基本问题解析解法：15方程+边界条件得出15个未知量确定解存在数学上的障碍数值解法 计算力学 计算方法 有限元、有限差分、边界元 计算机程序离散替代连续离散替代连续三类基本问题三类基本问题复合材料的力学问题复杂化 复合材料结构的静力学和动

15、力学方程、几何关系、变形协调关系、边界条件和初始条件等与各向同性的结构相比，在基本概念和原理方面没有多大变化 本构关系和强度准则发生重大变化 几何参数和材料性能数据大大增加 控制方程、边界条件和初始条件数量增多、形式复杂 求解难度和工作量增加 出现许多新问题，原有力学原理和分析计算方法可以借鉴和参考 掌握和集成各向同性材料的结构计算方法，并注意到复合材料及其结构的特点三类基本问题三类基本问题复合材料结构的力学问题 各种形式的复合材料结构，在各种类型的载荷（冲击、交变、长期载荷等）的各种分布情况下，在各种支撑和约束条件下，在结构完好或有缺陷、损伤、裂纹和初始变形情况下，具有各种各样的本构关系时的

16、各种静力学和动力学问题，其中包括应力分析、变形、屈曲、动力响应、震颤和疲劳等以及它们的某种组合各向异性 分析复杂、发挥优势不均匀性和某种程度上的不连续性 影响强度分析（局部）层间剪切模量较低、层间剪切和拉伸强度更低 孔口和边界处拉压强度和模量不同和非线性几何非线性和物理非线性 123123321666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211123123321C CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC

17、CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC C回来继续关注刚度矩阵回来继续关注刚度矩阵3636个分量个分量 各向异性材料的应力各向异性材料的应力-应变关系应变关系 在刚度矩阵在刚度矩阵Cij中有中有36个常数，但在材料中，实际常数个常数，但在材料中，实际常数小于小于36个。首先证明个。首先证明Cij的对称性：的对称性： 存在有弹性位能或应变能密度函数的弹性材料，当应存在有弹性位能或应变能密度函数的弹性材料，当应力力 i作用产生作用产生d i的增量时，单位体积的功的增量为：的增量时，单位体积的功的增量为： dW= i d i 由应力由应力-应变关系应变关系 i= Ci

18、j d j，功的增量为：，功的增量为： dW= Cij d j d i 沿整个应变积分，单位体积的功为：沿整个应变积分，单位体积的功为： W=1/2 Cij j i 证明：证明：Cij的对称性的对称性证明：证明：Cij的对称性的对称性ijijj ji ij jijiji iC Cw wC Cw w 2jijii ij jC Cw w 2Cij的脚标与微分次序无关：的脚标与微分次序无关： Cij=Cji同理同理广义胡克定律关系式可由下式导出：广义胡克定律关系式可由下式导出：W=1/2 Cij j i 621, ,. . . . . ., , ,j j, , i iS Sj ji ij ji i

19、Sij=Sji 123123321665646362616565545352515464544342414363534332313262524232212161514131211123123321C CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC C 各向异性的、全不对称材料各向异性的、全不对称材料21个常数个常数 刚度矩阵是对称的，只有刚度矩阵是对称的，只有21个常数是独立的个常数是独立的如果材料存在对称面，则弹性常数将会减少，例如

20、z=0平面为对称面，则所有与Z轴或3正方向有关的常数，必须与Z轴负方向有关的常数相同剪应变分量yz和xz仅与剪应力分量yzxz有关，则弹性常数的独立常数变为13个 12312332166362616554545443633231326232212161312111231233210000000000000000C CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC C单对称材料（单斜晶系）单对称材料（单斜晶系）随着材料对称性的提高，独立常数的数目逐步减少如果材料有两个正交的材料性能对称面，则对于和这两个相垂直的平面也有对称面（第三个

21、）正交各向异性9个独立常数正交各向异性材料正交各向异性材料正交各向异性9个独立常数 123123321665544332331232221131211123123321000000000000000000000000C CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC C正应力与剪应变之间没有耦合，正应力与剪应变之间没有耦合，剪应力与正应变之间没有耦合剪应力与正应变之间没有耦合不同平面内的剪应力和剪应变不同平面内的剪应力和剪应变之间也没有相互作用之间也没有相互作用正交各向异性材料正交各向异性材料如果材料中每一点有一个方向的力学性能都相同，那么为横观各向同性材料5个独立常数常常用

22、来描述各向异性纤维和单向复合材料的弹性常数 123123321121144443313131311121312111231233212000000000000000000000000C CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC C2121166C CC CC C 根据纯剪切和拉伸与压缩组合之间的等根据纯剪切和拉伸与压缩组合之间的等效推导而出效推导而出1-2平面平面1，2可互换可互换横观各向同性材料横观各向同性材料横观各向同性材料横观各向同性材料5 个材料常数如果材料完全是各向同性的，则2个独立常数21211665544312312332211/ /) )C CC

23、C( (C CC CC CC CC CC CC CC CC C 123123321121112111211111212121112121211123123321200000020000002000000000000C CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC C各向同性材料各向同性材料 应变应变-应力关系（柔度矩阵）应力关系（柔度矩阵） 123123321665646362616565545352515464544342414363534332313262524232212161514131211123123321S SS SS SS SS SS SS

24、 SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS S与刚度矩阵一样有相似的性质与刚度矩阵一样有相似的性质刚度矩阵与柔度矩阵互为逆矩阵刚度矩阵与柔度矩阵互为逆矩阵 应变应变-应力关系（柔度矩阵）应力关系（柔度矩阵） 12312332166362616554545443633231326232212161312111231233210000000000000000S SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS

25、SS SZ=0的平面对称，的平面对称，13个独立常数个独立常数 应变应变-应力关系（柔度矩阵）应力关系（柔度矩阵） 123123321665544332313232212131211123123321000000000000000000000000S SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS S正交各向异性，正交各向异性，9个独立常数个独立常数 应变应变-应力关系（柔度矩阵）应力关系（柔度矩阵） 123123321121144443323132322121312111231233212000000000000000000000000) )S SS S( (S SS SS

26、 SS SS SS SS SS SS SS SS S横观各向同性（横观各向同性（1-2平面是各向同性面），平面是各向同性面），5个独立常数个独立常数 应变应变-应力关系（柔度矩阵）应力关系（柔度矩阵） 123123321121112111211221212121112121211123123321200000020000002000000000000) )S SS S( () )S SS S( () )S SS S( (S SS SS SS SS SS SS SS SS S各向同性，各向同性，2个独立常数个独立常数正交各向异性、横观各向同性、各向同性正交各向异性、横观各向同性、各向同性对称性对

27、称性正交各向异性、横观各向同性、各向同性正交各向异性、横观各向同性、各向同性总结总结各向异性材料的性质更多地取决于非零分量的个数各向异性材料的性质更多地取决于非零分量的个数 正交各向异性材料的工程常数正交各向异性材料的工程常数工程常数： 可以用简单试验如拉伸、压缩、剪切、弯曲等获得 具有很明显的物理解释 这些常数比Cij或Sij中的各分量具有更明显的物理意义、更直观 最简单的试验是在已知载荷或应力的条件下测量相应的位移或应变，因此柔度矩阵比刚度矩阵更能直接测定 1231233216656463626165655453525154645443424143635343323132625242322

28、12161514131211123123321S SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS S 正交各向异性材料的工程常数正交各向异性材料的工程常数最简单的试验是在已知载荷或应力下测量相应的位移或应变，这样柔度矩阵比刚度矩阵更能直接确定 正交各向异性材料的工程常数正交各向异性材料的工程常数正交各向异性材料用工程常数表示正交各向异性材料用工程常数表示的柔度矩阵的柔度矩阵 123123322311333221123312211100

29、000010000001000000100010001G GG GG GE EE EE EE EE EE EE EE EE ES Si ij jE1、E2、E3为为1，2，3方向上的弹性模量方向上的弹性模量 ij为应力在为应力在i方向上作用时方向上作用时j方向的横向应变的泊松比方向的横向应变的泊松比G23,G31,G12为为2-3，3-1，1-2平面的剪切应变平面的剪切应变正交各向异性材料用工程常数表示正交各向异性材料用工程常数表示的柔度矩阵的柔度矩阵i ij jijij 321 , , ,j j, , i iE EE Ej jjijii iijij ij为应力在为应力在i方向上作用力时引方向

30、上作用力时引起起j方向的横向应变的泊松比方向的横向应变的泊松比正交各向异性材料只有九个独立常数，现在有正交各向异性材料只有九个独立常数，现在有12个常数个常数根据根据S矩阵的对称性，有：矩阵的对称性，有： 123123322311333221123312211100000010000001000000100010001G GG GG GE EE EE EE EE EE EE EE EE ES Sijij刚度矩阵与柔度矩阵互为逆矩阵刚度矩阵与柔度矩阵互为逆矩阵 12312332166564636261656554535251546454434241436353433231326252423221

31、2161514131211123123321S SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS S621, ,. . . . . ., , ,j j, ,i iC Cj ji ij ji i 621, ,. . . . . ., , ,j j, , i iS Sj ji ij ji i 刚度矩阵与柔度矩阵互为逆矩阵刚度矩阵与柔度矩阵互为逆矩阵23231221233213222231133221166665555444411231312

32、23212221133221323121321311332233122313122233322112111S SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SC CS SC CS SC CS SS SS SS SC CS SS SS SC CS SS SS SS SC CS SS SS SC CS SS SS SS SC CS SS SS SC C 在此方程中，符号在此方程中，符号C和和S在每一处都可以互换的在每一处都可以互换的 正交各向异性材料的工程常数正交各向异性材料的工程常数 1231233223113332211233122111000000100000010

33、00000100010001G GG GG GE EE EE EE EE EE EE EE EE ES Si ij j 正交各向异性材料的工程常数正交各向异性材料的工程常数32113322131133223211221211233442113212331311232233131132255212312133232213113663113321232233121123232231121111E EE EE EE EE EC CC CE EE EE EE EC CE EE EC CC CE EE EE EE EC CC CE EE EE EE EC CE EE EC C 各向同性材料工程常数的转换

34、各向同性材料工程常数的转换 弹性常数的限制弹性常数的限制各向同性材料各向同性材料)1( 2/EG1 为保证为保证E和和G为正值，即正应力或剪应力乘以正应变为正值，即正应力或剪应力乘以正应变或剪应变产生正功或剪应变产生正功 各向同性材料，弹性常数满足某些关系式，如剪切各向同性材料，弹性常数满足某些关系式，如剪切模量模量G可以有弹性模量可以有弹性模量E和泊松比和泊松比v给出给出 弹性常数的限制弹性常数的限制各向同性材料各向同性材料 213/ /E EK K同样对于各向同性体承受静压力同样对于各向同性体承受静压力P的作用，体积应变（三的作用，体积应变（三个正应变或拉伸应变之和）可定义为：个正应变或拉

35、伸应变之和）可定义为： K KP P/ /E EP Pz zy yx x 213) )( (E EP PE EE EE E) )( (E EP PE EE EE E) )( (E EP PE EE EE EP Px xy yz zz zz zx xy yy yz zy yx xx xz zy yx x 21212121121/ / / K为正值（如果为正值（如果K为负，为负，静压力将引起体积膨胀）静压力将引起体积膨胀）弹性常数的限制弹性常数的限制正交各向异性材料正交各向异性材料正交各向异性材料的情况很复杂（热力学分析和能量的角度分析，要符合） 应力分量和对应的应变分量的乘积表示应力所做的功，所

36、有应力分量所做的功的和必须是正值，以免产生能量，该条件提供了弹性常数的热力学限制 伦普里尔将这个限制推广到正交各向异性材料，要求联系应力-应变的矩阵应该是正定的，即有正的主值或不变量 刚度和柔度矩阵都是正定的（主对角线元素为正）621 ,.,., ,j j, , i iC Cj jijiji i 621 ,.,., ,j j, , i iS Sj jijiji i 弹性常数的限制弹性常数的限制正交各向异性材料正交各向异性材料0665544332211 S S, ,S S, ,S S, ,S S, ,S S, ,S S0121323321 G G, ,G G, ,G G, ,E E, ,E E,

37、 ,E E 123123322311333221123312211100000010000001000000100010001G GG GG GE EE EE EE EE EE EE EE EE ES Si ij j 弹性常数的限制弹性常数的限制正交各向异性材料正交各向异性材料0665544332211 C C, ,C C, ,C C, ,C C, ,C C, ,C C010101211231133223 ) )( () )( () )( (021133221311332232112 由于正定矩阵的行列由于正定矩阵的行列式必须为正式必须为正321133221311332232112212112

38、33442113212331311232233131132255212312133232213113663113321232233121123232231121111E EE EE EE EE EC CC CE EE EE EE EC CE EE EC CC CE EE EE EE EC CC CE EE EE EE EC CE EE EC C 弹性常数的限制弹性常数的限制正交各向异性材料正交各向异性材料211211122133111321332223/ / / /) )S SS S( (S S) )S SS S( (S S) )S SS S( (S S 6666555544441123131

39、22321222113322132312132131133223312231312223332211111S SC CS SC CS SC CS SS SS SS SC CS SS SS SC CS SS SS SS SC CS SS SS SC CS SS SS SS SC CS SS SS SC C C为正定为正定弹性常数的限制弹性常数的限制正交各向异性材料正交各向异性材料321 , , ,j j, , i iE EE Ej jjijii iijij 211331213113213223212332212112211221/ / / / / / /E EE EE EE EE EE EE E

40、E EE EE EE EE E 010101211231133223 ) )( () )( () )( (211211122133111321332223/ / / /) )S SS S( (S S) )S SS S( (S S) )S SS S( (S S 代入工程常数也可得到代入工程常数也可得到弹性常数的限制弹性常数的限制正交各向异性材料正交各向异性材料2121132133223221221133221/ /E EE EE EE EE EE E 021133221311332232112 0112211321322113211321332232 / / /E EE EE EE EE EE

41、EE EE E 211221132132132232121332212112211321321322321213321111/ / / / / / /E EE EE EE EE EE EE EE EE EE EE EE EE EE EE EE E为了用另外两个泊松比表达为了用另外两个泊松比表达 2121的界限，继续转化的界限，继续转化对对 3232 1313可得可得相似的表达相似的表达式式弹性常数的限制弹性常数的限制作用作用对正交各向异性材料工程常数的限制，可以用来检验试验数据，看他们在数学弹性模型的范围内是否与实际一致 Dickerson和Dimartino（1966）在硼/环氧复合材料的实

42、验中发现v12=1.97，这对各向同性材料来说是难以接受的（v1/2） 但：E1=11.86x106磅/平方英寸、E2=1.33x106磅/平方英寸992971212112. .E EE E. ./ / 是合理的数据是合理的数据弹性常数的限制弹性常数的限制作用作用只有测定的材料性能满足限制条件，我们才有信心着手用这种材料设计，否则我们就有理由怀疑材料模型或试验数据工程常数的限制也可以用来解决实际的工程分析问题，例如考虑有几个解的微分方程，这些解依赖于微分方程中系数的相对值，在变形体物理问题中这些系数包含着弹性常数，于是可以用来决定微分方程的哪些解是适用的突破传统材料的概念，大胆设计复合材料 平

43、面应力状态与平面应变状态平面应力状态与平面应变状态对包括复合材料层合板的许多材料来说，应力分析是在二维空间进行的平面应力和平面应变问题是最普遍的二维情况对这些情况，广义胡克定律可被大大地简化 对简单层合板来说，由于厚度与其他方向尺寸相比较小，因此一般按平面应力状态进行分析 只考虑单层面内应力，不考虑单层面上应力平面应力状态平面应力状态00031233 平面应变状态平面应变状态13213213200031233 正交各向异性材料正交各向异性材料平面应力问题平面应力问题的应力应变关系的应力应变关系00031233 正交各向异性材料正交各向异性材料平面应力问题平面应力问题的应力应变关系的应力应变关系

44、00031233 1221665544332313232212131211123123321000000000000000000000000000S SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS S00SS31232231133 1221662212121112210000S SS SS SS SS S正交各向异性材料正交各向异性材料平面应力问题平面应力问题的应力应变关系的应力应变关系126622222111212111111G GS S, ,E ES SE EE ES SE ES S 其中其中正交各向异性材料正交各向异性材料平面应力问题的应力应变关系平面应力问题的应力应变

45、关系 12216655443323132322121312111232100000000000000000000000000000S SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS S2231133 S SS S正交各向异性材料正交各向异性材料平面应力问题的应力应变关系平面应力问题的应力应变关系 123123322311333221123312211100000010000001000000100010001G GG GG GE EE EE EE EE EE EE EE EE ES Si ij j2231133 S SS S12121222222112211112121111

46、111 G GE EE EE EE E) )( () )( () )( () )( (121 2 12 1 2 12 引起的引起的可以从受力关系上推导正交各向异可以从受力关系上推导正交各向异性材料平面应力问题的应力应变关性材料平面应力问题的应力应变关系系正交各向异性材料正交各向异性材料平面应力问题的应力应变关系平面应力问题的应力应变关系正交各向异性材料正交各向异性材料平面应力问题的应力应变关系平面应力问题的应力应变关系利用叠加原理：利用叠加原理：1212122211122212221121121111111 G GE EE EE EE E) )( () )( () )( () )( ( 122

47、1122112221112211000101G GE EE EE EE E 1221662212121112210000S SS SS SS SS S126622222111212111111G GS SE ES SE EE ES SE ES S 正交各向异性材料正交各向异性材料平面应力问题的应力应变关系平面应力问题的应力应变关系 1221662212121112210000Q QQ QQ QQ QQ Q66662122211112221222111212212221122111S SQ QS SS SS SS SQ QS SS SS SS SQ QS SS SS SS SQ Q 126621

48、12222211212121122121221121111111G GQ QE EQ QE EE EQ QE EQ Q 1221662212121112210000S SS SS SS SS S126622222111212111111G GS S, ,E ES SE EE ES SE ES S 221112E EE E E ES SE ES S) )S SS S( (S SS SS SS S 121112211211111212111221120000 1221661112121112210000Q QQ QQ QQ QQ QG G) )( (E EQ QE EQ QE EQ Q 12116

49、62122114个独立的常数，个独立的常数，E1、E2、 12和和G12对于各向同性材料：对于各向同性材料：正交各向异性材料正交各向异性材料平面应力问题的应力应变关系平面应力问题的应力应变关系已知已知T300/648单层板的工程弹性常数为单层板的工程弹性常数为3408055083134121221. ., ,G GP Pa a. .G G, ,G GP Pa a. .E E, ,G GP Pa a. .E E 试求它的正轴柔量和正轴模量试求它的正轴柔量和正轴模量例题例题12662112222211212121122121221121111111G GQ QE EQ QE EE EQ QE EQ

50、 Q 126622222111212111111G GS S, ,E ES SE EE ES SE ES S 1122121211211 ) )E EE E( () )( (m mG GP Pa a. .G GQ QG GP Pa a. .E Em mQ QQ QG GP Pa a. .m mE EQ QG GP Pa a. .m mE EQ Q. .) )E EE E( (m mT TP Pa a. .G G/ /S ST TP Pa a. .E E/ /S SS ST TP Pa a. .E E/ /S ST TP Pa a. .E E/ /S S805912568313500741141

51、72153261171457112662122112222111112212112661112211212221111 例题例题简单层板在任意方向上的应力简单层板在任意方向上的应力-应变关系应变关系上述定义是在正交各向异性材料的主方向上的，但材料的主方向往往和几何上适应解题要求的坐标轴方向不一致 斜铺或缠绕简单层板在任意方向上的应力简单层板在任意方向上的应力-应变关系应变关系简单层板在任意方向上的应力简单层板在任意方向上的应力-应变关系应变关系 122122222222sinsincoscoscoscossinsincoscossinsincoscossinsincoscossinsincos

52、cossinsinsinsincoscosxyxyy yx x 22221221222222sinsincoscoscoscossinsincoscossinsincoscossinsincoscossinsincoscossinsinsinsincoscosxyxyy yx x用用1-2坐标系中的应力来表示坐标系中的应力来表示x-y坐标系中的应力的转换方程为坐标系中的应力的转换方程为很麻烦！很麻烦！简单层板在任意方向上的应力简单层板在任意方向上的应力-应变关系应变关系 222222122sinsincoscoscoscossinsincoscossinsincoscossinsincosco

53、ssinsincoscossinsinsinsincoscosT T 12211T Txyxyy yx x 2212211T Txyxyy yx x简单层板在任意方向上的应力简单层板在任意方向上的应力-应变关系应变关系 22222222sinsincoscoscoscossinsincoscossinsincoscossinsincoscossinsincoscossinsinsinsincoscosT T xyxyy yx xT T1221 221221xyxyy yx xT T 200010001R R 2xyxyy yx xxyxyy yx xR R 212211221R R 12211

54、T Txyxyy yx x 2212111T Txyxyy yx x如果应用剪应变的张量定义（等于工程剪应变的一半），应如果应用剪应变的张量定义（等于工程剪应变的一半），应变和应力的转换关系式是一致的。我们引入变和应力的转换关系式是一致的。我们引入Router矩阵矩阵Router矩阵转换的优点消除了刚度或柔度矩阵表达式矩阵转换的优点消除了刚度或柔度矩阵表达式中的很麻烦的中的很麻烦的1/2 或或2，推导或计算方便！，推导或计算方便！简单层板在任意方向上的应力简单层板在任意方向上的应力-应变关系应变关系 1221661112121112210000Q QQ QQ QQ QQ Qxyxyy yx x

55、 12211221Q Q 1221112211Q QT TT Tx xy yy yx x对于材料主轴和坐标系一致的特殊正交各向异性简单层板对于材料主轴和坐标系一致的特殊正交各向异性简单层板可简写可简写简单层板在任意方向上的应力简单层板在任意方向上的应力-应变关系应变关系 1TRTRT T TT TQ QT TQ Q 1Q的转换矩阵的转换矩阵简单层板在任意方向上的应力简单层板在任意方向上的应力-应变关系应变关系 x xy yy yx xx xy yy yx xx xy yy yx xR RT TR RQ QT TT TR RQ QT TR RQ QT TQ QT TT T111122111221

56、11221122矩阵逆转置矩阵逆转置 xyxyy yx xxyxyy yx xxyxyy yx xQ QQ QQ QQ QQ QQ QQ QQ QQ QQ Q662616262212161211) )sinsin(cos(cosQ Qcoscossinsin) )Q QQ QQ QQ Q( (Q Qcoscossinsin) )Q QQ QQ Q( (coscossinsin) )Q QQ QQ Q( (Q Qcoscossinsin) )Q QQ QQ Q( (coscossinsin) )Q QQ QQ Q( (Q QcoscosQ Qcoscossinsin) )Q QQ Q( (sin

57、sinQ QQ Q) )sinsin(cos(cosQ Qcoscossinsin) )Q QQ QQ Q( (Q QsinsinQ Qcoscossinsin) )Q QQ Q( (coscosQ QQ Q 44662266122211663662212366121126366221236612111642222661241122441222662211124222266124111122222222422九个非零分量，四个独立常数，但是广义的正交各向异九个非零分量，四个独立常数，但是广义的正交各向异性层板剪应变和正应力，剪应力和正应变存在耦合性层板剪应变和正应力，剪应力和正应变存在耦合简单

58、层板在任意方向上的应力简单层板在任意方向上的应力-应变关系应变关系 T TT TQ QT TQ Q 1简单层板在任意方向上的应力简单层板在任意方向上的应力-应变关系应变关系广义正交各向异性简单层板和各向异性简单层板存在不同，容易由试验来表征如果不知道材料的主方向，广义正交各向异性简单层板和各向异性简单层板就无法区别了 xyxyy yx xxyxyy yx xxyxyy yx xQ QQ QQ QQ QQ QQ QQ QQ QQ QQ Q662616262212161211 122166221212111221S000SS0SS xyyx662616262212161211xyyxTxyyxSS

59、SSSSSSSTST我们也可以用应力来表示应变我们也可以用应力来表示应变简单层板在任意方向上的应力简单层板在任意方向上的应力-应变关系应变关系 12211T Txyxyy yx x 2212111T Txyxyy yx x 11 R RT TR RT TT T xyxyy yx xxyxyy yx xS SS SS SS SS SS SS SS SS S662616262212161211) )sinsin(cos(cosS Scoscossinsin) )S SS SS SS S( (S Scoscossinsin) )S SS SS S( (coscossinsin) )S SS SS S

60、( (S Scoscossinsin) )S SS SS S( (coscossinsin) )S SS SS S( (S ScoscosS Scoscossinsin) )S SS S( (sinsinS SS S) )sinsin(cos(cosS Scoscossinsin) )S SS SS S( (S SsinsinS Scoscossinsin) )S SS S( (coscosS SS S 446622661222116636612223661211263661222366121116422226612411224412226622111242222661241111422222