D9_8多元函数的极值及其求法

1、 第九章 第八节第八节二、条件极值二、条件极值 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法多元函数的极值及其求法多元函数的极值及其求法一、多元函数的极值及最大值与最小值一、多元函数的极值及最大值与最小值2实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价瓶进价1元，外地牌子每瓶进价元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖计，如果本地牌子的每瓶卖 元，外地牌子的元，外地牌子的每瓶卖每瓶卖 元，则每天可卖出元，则每天可卖出 瓶本瓶本地牌子的果汁，地牌子的果汁， 瓶外地牌子的果汁瓶外地牌子的果汁.问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可问：店主每天

2、以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？取得最大收益？xyyx4570 yx7680 每天的收益为每天的收益为 ),(yxf)7680)(2 . 1()4570)(1(yxyyxx 求求最大收益即为求二元函数的最大值最大收益即为求二元函数的最大值. .问题的提出问题的提出3的图形的图形观察二元函数观察二元函数22yxexyz 播放播放一、多元函数的极值概念和极值的必要条件一、多元函数的极值概念和极值的必要条件41、二元函数极值的定义、二元函数极值的定义极极大大值值、极极小小值值统统称称为为极极值值. . 极极大大值值点点、极极小小值值点点统统称称为为极极值值点点. . 5例例1处有极小值处有

3、极小值在在函数函数)0 , 0(4322yxz 例例2处有极大值处有极大值在在函数函数)0 , 0(22yxz 例例3处无极值处无极值在在函数函数)0 , 0(xyz 62、多元函数取得极值的必要条件、多元函数取得极值的必要条件不妨设不妨设),(yxfz 在点在点),(00yx处有极大值处有极大值,则则对对于于),(00yx的的某某邻邻域域内内任任意意 ),(yx),(00yx都都有有 ),(yxf),(00yxf,证证故故当当0yy ，0 xx 时时，有有 ),(0yxf),(00yxf,说明一元函数说明一元函数),(0yxf在在0 xx 处有极大值处有极大值,， 0),(00 yxfx0)

4、,(00 yxfy7必必有有 0),(00 yxfx;类类似似地地可可证证 0),(00 yxfy.推推广广: 如如果果三三元元函函数数),(zyxfu 在在点点),(000zyxP具具有有偏偏导导数数，则则它它在在),(000zyxP有有极极值值的的必必要要条条件件为为 0),(000 zyxfx， 0),(000 zyxfy， 0),(000 zyxfz. 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的的点，均称为函数的驻点驻点（或者临界点）（或者临界点）.驻点驻点极值点极值点注意：注意：且偏导存在且偏导存在例如例如, 点点)0 , 0(是函

5、数是函数xyz 的驻点，的驻点，但但不不是是极极值值点点.证毕证毕.问题：如何判定一个驻点是否为极值点？问题：如何判定一个驻点是否为极值点？驻点驻点:8又又 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy， 令令 Ayxfxx ),(00， Byxfxy ),(00， Cyxfyy ),(00，则则),(yxf在在点点),(00yx处处是是否否取取得得极极值值的的条条件件如如下下： 二、极值的充分条件二、极值的充分条件9例例 4 4 求由方程求由方程yxzyx22222 0104 z 确定的函数确定的函数),(yxfz 的极值的极值. 驻驻点点为为)1, 1( P,将方程两边分别对将方程

6、两边分别对yx,求偏导求偏导 0422204222yyxxzzzyzzzx将将上上方方程程组组再再分分别别对对yx,求求偏偏导导数数,解解由由函函数数取取极极值值的的必必要要条条件件 知知, )0, 0( yxzz10,21|, 0|,21|zzCzBzzAPyyPxyPxx 函函数数在在P有有极极值值.将将)1, 1( P代代入入原原方方程程,有有6, 221 zz,当当21 z时时，041 A,所所以以2)1, 1( fz为为极极小小值值；当当62 z时时，041 A,所以所以6)1, 1( fz为极大值为极大值.，故故)2(0)2(122 zzBAC11, 0),( yxfx0),( y

7、xfy求出实数解，得驻点求出实数解，得驻点及不可导点及不可导点. 极值可极值可疑点疑点 注注: 对一阶或二阶偏导不存在的极值可疑点，按极对一阶或二阶偏导不存在的极值可疑点，按极值定义判定之值定义判定之.12求最值的一般方法求最值的一般方法： 将函数在将函数在D内的所有内的所有驻点驻点及及不可导不可导点点处的函数值及处的函数值及在在D的的边界上的最大值和最小值边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值者即为最大值，最小者即为最小值. 与一元函数相类似，我们可以利用多元函数的与一元函数相类似，我们可以利用多元函数的极值来求多元函数的最大值和最小值极值来

8、求多元函数的最大值和最小值.三、多元函数的最大值、最小值问题三、多元函数的最大值、最小值问题13解解xyo6 yxDD的图形，如图的图形，如图, 0)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx且且4)1 , 2( f, 14在边界在边界6 yx上，即上，即xy 6于于是是)2)(6(),(2 xxyxf,得得4, 021 xx, 2|64 xxy,64)2 , 4( f 比较后可知比较后可知4)1 , 2( f为最大值为最大值,64)2 , 4( f为最小值为最小值. xyo6 yxD再再求求),(yxf在在D边边界界上上的的最最值值， 在在边边界界0 x和和0 y

9、上上0),( yxf, 02)6(42 xxxfx令令)4(),(2yxyxyxfz 15, 0)1()(2)1(22222 yxyxxyxzx, 0)1()(2)1(22222 yxyxyyxzy得驻点得驻点)21,21(和和)21,21( ,解解 令令16即边界上的值为零即边界上的值为零.,21)21,21( z,21)21,21( z所以最大值为所以最大值为21，最小值为，最小值为21 .因为因为01lim22 yxyxyx无条件极值：无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件并无其他条件.17例例7 用一块面积为用一块面积为 12 平方米的铁皮

10、制作一个无盖的长方平方米的铁皮制作一个无盖的长方体形状的水柜体形状的水柜,问其长、宽、高各为多少时可使水柜的容问其长、宽、高各为多少时可使水柜的容积最大积最大? 解解 设水柜的长、宽、高分别为设水柜的长、宽、高分别为x, y, z, 则则 xyzxyzV ,)(212yxxyz 0, 0yxVV令令因此，长、宽、高分别为因此，长、宽、高分别为2,2,1时容积最大，时容积最大，最大容积为最大容积为4.,1222 xyyzxz,)(2)12(yxxyxyV , 1, 2 zyx18实例实例： 小王有小王有200元钱，他决定用来购买两元钱，他决定用来购买两种急需物品：种急需物品：计算机磁盘计算机磁盘

11、和和录音磁带录音磁带，设他，设他购买购买 张磁盘，张磁盘， 盒录音磁带达到最佳效果，盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为效果函数为 设每张磁设每张磁盘盘8元，每盒磁带元，每盒磁带10元，问他如何分配这元，问他如何分配这200元以达到最佳效果元以达到最佳效果xyyxyxUlnln),( 问题的实质问题的实质：求：求 在条在条件件 下的极值点下的极值点yxyxUlnln),( 200108 yx四、条件极值与拉格朗日乘数法四、条件极值与拉格朗日乘数法19一般地，求函数一般地，求函数 (目标函数目标函数),在条件在条件 (约束条件约束条件) 下的极值问题称为下的极值问题称为条件极值问题条件极值问题.0

12、 0) ), ,( ( yx) ), ,( (yxfz 设设 在点在点(x0 , y0)处处 f (x, y) 取得条件极值取得条件极值. 0),()(),(),(000 yxPUyxfyxy 且且内有一阶连续偏导数，内有一阶连续偏导数，在在 则由隐函数存在定理则由隐函数存在定理, 方程方程 确定一确定一个连续且具有连续导数的函数个连续且具有连续导数的函数 y = y(x). 从而从而, 一元一元函数函数 z = f (x, y(x) 在在x0处取得极值处取得极值.0),( yx 下面讨论取得条件极值的必要条件：下面讨论取得条件极值的必要条件：条件极值条件极值：对自变量有附加条件的极值：对自变

13、量有附加条件的极值20 0),(00:yxffyyxx 即即得得, 0 dxdz dxdy, 0 xyyxff ,:yyf 令令由一元函数取得极值的必要条件，有由一元函数取得极值的必要条件，有( , )0,x y 由由有有dxdyffyx yx 21注注: 一般而言一般而言, 当得到极值可疑点后当得到极值可疑点后, 可根据实际问题可根据实际问题判断是否在这些点处取得极值判断是否在这些点处取得极值, 往往所得极值可疑点往往所得极值可疑点就是最值点就是最值点.拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法 ( , , )( , )( , )L x yf x yx y 称为称为拉格朗日函数拉格朗日函数, 实数实数 称

14、为称为拉格朗日乘数拉格朗日乘数. ( , )( , )0( , )( , )0,( , )0 xxxyyyLfx yx yLfx yx yLx y 22拉格朗日乘数法推广到自变量多于两个的情况拉格朗日乘数法推广到自变量多于两个的情况： 再求偏导数再求偏导数, 建立方程组建立方程组: 23121212120000(, , )0(, , )0 xxxxyyyyzzzzttttLfLfLfLfx y z tx y z t 。点点一一般般情情况况下下，即即为为极极值值极极值值可可疑疑点点为为则则点点）（设设方方程程组组的的解解为为)(),(,21tzyxtzyx 24例例8 求函数求函数f(x, y)

15、 = x2 + 2y2 在条件在条件 x2 + y2 = 1下的最值下的最值.)( 1)0 , 1()0 , 1()(2)1, 0()1 , 0().0 , 1(),0 , 1(, 1, 0,1 );1(0,(0,1), 1, 2,0最最小小值值最最大大值值计计算算时时时时 ffffxyyx 解解)1(22222 yxyxL 拉拉格格朗朗日日函函数数设设 010)2(0240)1(022 22yxyyyLxxxLyx 建建立立方方程程组组25目标函数：目标函数：f(x,y)=x2 +2y2约束条件：约束条件：x2 +y2 =126例例9 求椭圆抛物面求椭圆抛物面 z=x2 +2y2 与平面与平

16、面 3x+6y+2z=27 的交线上与的交线上与xOy平面的最短的距离平面的最短的距离. 027290272633 02022064 032222zxzyxxzzyxzLyLyxxLzyx 3327, (3,3, 27),224解解 得得 （） .427最最短短距距离离为为解解)27263()2(222 zyxzyxzL ,zd ,22zd 27解解 120020323322zyxyxLyzxLzyxLzyx 解解得得唯唯一一驻驻点点)2 , 4 , 6(，.691224623max u则则故最大值为故最大值为 12066036026232323zyxzzyxyzyxxzyx (*)12026

17、023zyxxzxy (*),31,32代入代入xzxy 28解解设设),(000zyxP为为椭椭球球面面上上一一点点,令令1),(222222 czbyaxzyxF,则则202|axFPx ， 202|byFPy ， 202|czFPz 过过),(000zyxP的切平面方程为的切平面方程为29 )(020 xxax )(020yyby0)(020 zzcz,化简为化简为 1202020 czzbyyaxx,该切平面在三个轴上的截距各为该切平面在三个轴上的截距各为 02xax ，02yby ，02zcz ,所围四面体的体积所围四面体的体积 000222661zyxcbaxyzV , 30在条件

18、在条件1220220220 czbyax下求下求 V 的最小值的最小值,令令 ,lnlnln000zyxu ),(000zyxL 000lnlnlnzyx)1(220220220 czbyax , ,010, 0, 0220220220000 cybyaxLLLzyx 由由31当当切切点点坐坐标标为为(3a，3b，3c)时时,四面体的体积最小四面体的体积最小abcV23min . 01021021021220220220200200200czbyaxczzbyyaxx 可得可得即即30ax 30by ，30cz 32多元函数的极值多元函数的极值求条件极值的拉格朗日乘数法求条件极值的拉格朗日乘数法(取得无条件极值的必要条件、充分条件取得无条件极值的必要条件、充分条件)多元函数的最值多元函数的最值小小 结结33Thanks P121 题题2; 5; 8;.作业作业34思考题解答思考题解