D4_5 函数的极值与最值

1、4. 5. 2 函数的最值问题函数的最值问题4. 5. 1 函数的极值的判别函数的极值的判别 4 . 5 函数的极值与最值函数的极值与最值机动 目录 上页 下页 返回 结束 第 4 章 4. 5. 1 4. 5. 1 函函 数数 极极 值值 的的 判判 别别 0fx f x 3f xx1. 驻点驻点：定义域内满足方程定义域内满足方程函数函数说明说明：机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 x 的的解解。 而言，而言，但对于但对于满足满足但但 0 不是其极值点；不是其极值点；又如又如 f xx0 x 是函数是函数的极小值点，的极小值点，但函数在此点不可导；但函数在此点不可导；函数函数不可导，不可

2、导，2. 奇点奇点： fx函数函数定义域内定义域内不可导的点不可导的点。分析：分析：如函数如函数 2,f xx 00;f 当当时取得极小值且时取得极小值且0 x 00,f 函数的函数的驻点驻点与与奇点奇点统称为函数的统称为函数的可疑极值点可疑极值点。一、可疑极值点一、可疑极值点2) 对常见函数，对常见函数， 极值点可能是函数的极值点可能是函数的驻点驻点 或函数的或函数的奇点奇点。1) 极值反映的只是函数的极值反映的只是函数的局部性质局部性质，极大值可能小于其极小值；极大值可能小于其极小值； 3f xx在在0 x 但函数在但函数在 却不取得极值。却不取得极值。0 x 二、极值的判别法则二、极值的

3、判别法则0 x f x 0,f xNCx）（）（法则法则）设设机动 目录 上页 下页 返回 结束 00,Nx是函数是函数的可疑极值点，的可疑极值点，满足：满足：且在且在则则内可导，内可导， 00fxxx必是函数必是函数0 x的的极大极大 值点值点； f x0 ,00,Nxx （小）（小）0 x f x f x）（）（法则法则）设设是函数是函数的驻点，的驻点，在点在点0 x处处二二阶阶可导，可导，若若00fx0 ,必是必是0 x的极大的极大 值点。值点。 f x（小）（小）证明证明：）由条件）由条件 00fxxx0 xx fx与与异号异号00 xx 0fx且且00 xx 0fx且且0 xx f

4、x单调增，单调增，0 xx f x单调减，单调减，使得使得则则定定 理理 1： (充分条件充分条件)类似地可证明极小值的情形。类似地可证明极小值的情形。0fx）（）（法则法则）机动 目录 上页 下页 返回 结束 由极限的保号性得，由极限的保号性得，有有 000limxxffxxxx 00limxxfxxx000,Nxx 0,使得使得 0,ffxx0 xx 0,ffxx0 xx 0,ffxx00,Nxx即即是函数是函数0 x的极大值点；的极大值点； f x00 xx 0fx且且00 xx 0fx且且0 xx f x单调增，单调增，0 xx f x单调减，单调减，异号，异号，由由）的证明过程得知）

5、的证明过程得知必是函数必是函数0 x的极大值点；的极大值点； f x类似地可证明极小值的情形。类似地可证明极小值的情形。证毕证毕0 xx与与 00fxxx fx例例 1. 231f xxx 23fxx13231xx的极值。的极值。解解:1) 求导数：求导数：2) 求极值可疑点：求极值可疑点：令令 0,fx求得求得驻点驻点：125;x 而一阶不可导的点（而一阶不可导的点（奇点奇点）为：）为：,fDR显然：显然：20;x 3) 极值的判断（作表如下）：极值的判断（作表如下）：x fx f x0520033. 0)0,(),0(52),(520 x 是函数的极大点，是函数的极大点，其极大值为：其极大

6、值为：是函数的极小点，是函数的极小点，其极小值为：其极小值为：52x机动 目录 上页 下页 返回 结束 25335xx从而得：从而得：求函数求函数即即 (;,)f xC 00;f 250.33;f例例 2. 3211f xx 221,6fxx x 2261 51fxxx的极值的极值 。解解:2 ) 求可疑极值点：求可疑极值点：令令得驻点得驻点1,0, 1321xxx3 ) 极值的判断：极值的判断：故需用第一判别法判断，故需用第一判别法判断，1x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 0,fx求函数求函数1）求导数：）求导数： 600,f 00f为其极小值；为其极小值；01f 又因又因 1 ,f由

7、于一阶导函数由于一阶导函数 fx在点在点的左右邻域内不变号，的左右邻域内不变号，在点在点处不取得极值。处不取得极值。故函数故函数 f x1x 显然显然,fDR即即 ,;f xC 1xy1定理定理 2 (判别法推广判别法推广) f xn0 x( )00,nfx则则: :且且机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证: :0()00100,nffffxxxx设函数设函数阶的导数，阶的导数，处有直到处有直到在点在点1）当）当 n 为为偶数偶数时，时，且当且当必为函数的极值点，必为函数的极值点，0 x而当而当0( )0nfx0( )0nfx时，时，是函数的极是函数的极小小值点；值点；时，时，将函数将函数

8、0 x0 x是函数的极是函数的极大大值点；值点；2）当）当 n 为为奇数奇数时，时，一定不是函数的极值点。一定不是函数的极值点。0 x展开成展开成 n 阶带阶带Peano余项的余项的Taylor公式：公式： f x (000000)!nnnf xffofxxxxxxxxnx ( )0000!nnnf xoffxxxxxnx也就是说：也就是说：0( )nfx机动 目录 上页 下页 返回 结束 必有必有 0ffxx00,Nxx ( )0,0nfx0( )0nfx同号，同号，即当即当 n 为为偶数偶数时，时，与与使得使得 0(0)01!nnfof xfxxxnx由极限的保号性知，由极限的保号性知，

9、00nf xfxxx0( )!nfxn同号，同号，与与0,00,Nxx 00ffxx0fx0,Nxx 从而证得从而证得若若0必为其函数的极小必为其函数的极小 值；值；,0（大大） 00nf xfxxx0( )nfx同号，同号，与与当当 n 为为奇数奇数时，时，若若则则0 xx 0ffxx同号，同号，与与 ( )0000!nnnf xoffxxxxxnx 0,ffxx即当即当0 xx时，时， 0,ffxx而当而当0 xx时，时，即函数即函数 f x在在0 x不是函数的极值点；不是函数的极值点；从而知从而知类似可证，当类似可证，当 0( )0nfx0 x同样也不是函数的极值点。同样也不是函数的极值

10、点。0 x的邻域内单调增，的邻域内单调增，时，时，例如例如， 3211f xx 22453 ,fxxx10;f 1x 函数极值的判别法（定理函数极值的判别法（定理1 、定理定理2 ）的条件）的条件都是充分的都是充分的；说明说明: :当函数不满足定理中的条件时，当函数不满足定理中的条件时， 其极值仍可能存在。其极值仍可能存在。例如例如: :2122sin,xx,20 x0 x 20f为函数的极大值为函数的极大值 ,但不满足定理但不满足定理1 、定理定理2 的条件的条件.xy11机动 目录 上页 下页 返回 结束 在例在例2中，中，3n 为奇数，为奇数，由定理由定理 2 知，知，不是函数的极值点。

11、不是函数的极值点。 f x 4. 5. 2 最最 值值 问问 题题 ,f xC a b f x, a b则其最值只能在极值点或区间的则其最值只能在极值点或区间的端点端点取得。取得。1. 1. 求函数最值的方法求函数最值的方法: :12,mxxx（2）求函数的最值：求函数的最值：最小值：最小值：机动 目录 上页 下页 返回 结束 M 设函数设函数（1）求函数）求函数在开区间在开区间内的可疑极值点：内的可疑极值点：最大值：最大值：m ,f a f b1,fx2,fx,mfxmax； ,f a f b1,fx2,fx,mfxmin；2. 2. 关于最值的注明关于最值的注明: : f x f x, a

12、 b最值点最值点只能在只能在区间的端点区间的端点 a、 b 处取得；处取得；且该点又是函数且该点又是函数而而实际意义实际意义的确有最值点，的确有最值点，解过程中又只求得唯一的一个可疑极值点，解过程中又只求得唯一的一个可疑极值点，机动 目录 上页 下页 返回 结束 （1）若函数）若函数在开区间在开区间, a b内只有内只有唯一唯一的一个可疑的的一个可疑的极值点，极值点，(小小)的极大的极大 值点值点 ，(小小) f x（2）若函数）若函数是闭区间是闭区间上的上的单调单调函数，函数，（3）在实际应用中，）在实际应用中，则该可疑的极值点必则该可疑的极值点必为实际问题所寻求的最值点，为实际问题所寻求的

13、最值点，不必进行最值的理论判断。不必进行最值的理论判断。则该点必是则该点必是函数函数 的最大的最大 值点。值点。 f x则函数的则函数的若在理论求若在理论求22912xx294 2 12 09681012922xx fxx140 x520 x140 x520 x例例 3. 322912f xxxx在闭区间在闭区间5142,上的最大值和最小值上的最大值和最小值 。解解:且且3221,92xxx322912 ,xxx261812xx261812xx,02,1x故函数在故函数在0 x 处取最小值处取最小值 0 ；612 ,xx612 ,xx251241机动 目录 上页 下页 返回 结束 求函数求函数

14、 5142,xCf显然函数显然函数函数函数在开区间在开区间内的可疑的极值点为：内的可疑的极值点为： f x5142,在在521,xx处取最大值处取最大值 5 。而各点处的函数值分别为：而各点处的函数值分别为： f x fx1419323,f 00,f 51,f 42,f 525.f( k 为某一常数 )例例 4. (),ADx km22,20CDx225203100ykxkxAC AB ,要在要在 AB 线上选定一点线上选定一点 D 向工厂修一条公路，向工厂修一条公路， 铁路与公路每公里货运价之比为铁路与公路每公里货运价之比为 3:5 ,为使货物从为使货物从 B 运到工厂运到工厂 C 的运费最

15、省，的运费最省，20AB100C解解: :x则则0100 x25340,0 xykx3224005400ykx令令得得 又又极小值点极小值点 ,故故 AD =15 km 时运费最省时运费最省 。总运费：总运费：从而为最小值点从而为最小值点 ,问问 D 点应如何选取点应如何选取 ？D铁路上铁路上 AB 段的距离为段的距离为100 Km ，工厂，工厂 C 距距 A 处处20 km,已知已知 机动 目录 上页 下页 返回 结束 15x 所以所以为唯一的为唯一的设设0y 5 ,1x 150 ,xy例例 5. 216wbh22136wdb0,bd问矩形截面的高问矩形截面的高 h和宽和宽 b 应如何选择才

16、能使梁的抗弯截面模量最大应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大? 解解:hbd令令0得得db31从而有从而有1:2:3:bhd22bdhd32即即由实际意义可知，所求最值存在由实际意义可知，所求最值存在 ，而驻点只一个，而驻点只一个， 故所求结果故所求结果就是最好的选择就是最好的选择 。机动 目录 上页 下页 返回 结束 把一根直径为把一根直径为 d 的圆木锯成矩形梁的圆木锯成矩形梁 ,由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为：由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为：2216dbb231,6bdb下开始移动，下开始移动，F 例例6. F F F P 解解: : 而正压力而正压力P 即即, 02令令 cos

17、sin 则问题转化为求函数则问题转化为求函数 上的最大值问题上的最大值问题 。 为多少时用力最省？为多少时用力最省？,25. 0设摩擦系数设摩擦系数机动 目录 上页 下页 返回 结束 ;cosxFF 设有质量为设有质量为 5 kg 的物体置于水平面上的物体置于水平面上 , 的水平与垂直分力分别为：的水平与垂直分力分别为：受力受力的作用的作用问力问力与水平面的夹角与水平面的夹角力力;sinyFF s;in5yPFF gcosF 5sin;F g的大小为：的大小为：5,cossinF g在闭区间在闭区间20,令令解得：解得：arctan25. 0arctan214 20,0,而而14 2取得最小值

18、，取得最小值，解解:20, sincos cossin即即令令则问题转化为求函数则问题转化为求函数上的最大值问题上的最大值问题 。5,cossinF g20, cossin 机动 目录 上页 下页 返回 结束 0, F P 在闭区间在闭区间时取得最大值，时取得最大值，所以，当所以，当因而因而F 即用力最省。即用力最省。解解:睛睛1.8 m ,例例7. 1arctan.4 1.8x223.23.2x0, x4 . 18 . 1设观察者与墙的距离为设观察者与墙的距离为 x m ,则则0,x222221.45.763.21.8xxx令令得驻点得驻点0,根据问题的实际意义，观察者最佳站位存在根据问题的

19、实际意义，观察者最佳站位存在 ，驻点又唯一，驻点又唯一，因此，观察者站在距离墙因此，观察者站在距离墙 2.4 m 处看图最清楚。处看图最清楚。问观察者在距墙多远处看图才最清楚（视角问观察者在距墙多远处看图才最清楚（视角 最大）？最大）？机动 目录 上页 下页 返回 结束 一张一张 1.4 m 高的图片挂在墙上高的图片挂在墙上 , 它的底边高于观察者的眼它的底边高于观察者的眼如右图所示，如右图所示， 2.4x arctan1.8,x221.81.8x内容小结内容小结1. 连续函数的极值连续函数的极值(1) 可疑极值点可疑极值点 :驻点驻点、奇点奇点；(2) 第一充分条件第一充分条件（Th.1）：

20、 fx过过0 x由由正正变变负负0f x为极为极大大值；值； fx过过0 x由由负负变变正正0f x为极为极小小值；值；(3) 第二充分条件（第二充分条件（Th.1）：）：000,0fxfx0f x为极为极大大值；值；0f x为极为极小小值；值；000,0fxfx(4) 判别法的推广判别法的推广（ Th.2）定理3 目录 上页 下页 返回 结束 最值点应在极值点和边界点上寻找最值点应在极值点和边界点上寻找 ； 应用题可根据实际意义判别。应用题可根据实际意义判别。2. 连续函数的最值连续函数的最值 思考与练习思考与练习1. 设, 1)()()(lim2axafxfax则在点 a 处( ).)()(xfA的导数存在 ,；且0)( af)()(xfB取得极大值 ;)()(xfC取得极小值;)()(xfD的导数不存在.B提示提示: 利用极限的保号性 .机动 目录 上页 下页 返回 结束