函数的单调性与曲线的凸凹性

1、1函数单调性的判别法函数单调性的判别法单调区间求法单调区间求法小结小结 第四节第四节 函数的单调性与函数的单调性与曲线的凹凸性曲线的凹凸性曲线凹凸性的判别法曲线凹凸性的判别法曲线的拐点及其求法曲线的拐点及其求法第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用( )( , )( ),a bfx10如果在内如果在内20)( xf0)( xf定理定理1,)(上连续上连续在在设函数设函数baxfy .),(内可导内可导在在ba，内内如果在如果在0)(),()2( xfba)(xfy 那末函数那末函数上上在在,ba)(xfy 那末函数那末函数上上在在,ba单调增加单调增加;单调减少单调减少

2、.一、单调性的判别法一、单调性的判别法函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性xyOabAB)(xfy xyO)(xfy abAB3证证,21baxx ,21xx 且且 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理)()()(1212xxfxfxf 内，内，若在若在),(ba, 0)( f则则),()(12xfxf ;,)(上上单单调调增增加加在在baxfy )(21xx , 0)( xf(1) 此定理不论对于开、闭、有限或无穷此定理不论对于开、闭、有限或无穷区间都正确区间都正确.注注函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性 在在(a,b)区间内等于零的点为无限多个，其余点区间内等

3、于零的点为无限多个，其余点处保持定号，则函数仍单调！处保持定号，则函数仍单调！)(xf 注：若注：若4方法方法不存在的点不存在的点的根及的根及用方程用方程)(0)(xfxf 定义定义 若函数在其定义域的某个区间内是单调的若函数在其定义域的某个区间内是单调的,)(的定义区间的定义区间划分函数划分函数xf然后判定区间内导数然后判定区间内导数的符号的符号.函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性二、单调区间求法二、单调区间求法则该区间称为函数的单调区间则该区间称为函数的单调区间.寻找寻找分界点分界点注意注意 函数的单调性是一个函数的单调性是一个区间上区间上的性质，要用导数在的性质，要用导

4、数在这一这一区间上区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性号来判别一个区间上的单调性yxO说明说明: : 1) 单调区间的分界点除单调区间的分界点除驻点驻点外外,也可是也可是导数不存在的点导数不存在的点. 例例1,),(,32xxy332xy 0 xy32xy 2) 如果函数在如果函数在某驻点两边导数同号某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性则不改变函数的单调性 .例例2,),(,3xxy23xy 00 xyyOx3xy 6P145P145例例2 2解解.1的单调性的单调性讨论函数讨论函数 xeyx. 1 xey,)0 ,(内

5、内在在 , 0 y单调减少；单调减少；函数在函数在0 ,(,), 0(内内在在, 0 y.), 0单调增加单调增加函数在函数在).,(函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性定义域为定义域为7函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性P146P146例例4 4解解.31292)(23的单调区间的单调区间确定函数确定函数 xxxxf12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx,0)(得得解方程解方程 xf, 11 x. 22 x).,(定义域定义域)1 ,( )2 , 1(), 2(x)(xf)(xf 单调区间为单调区间为,1 ,(,2 , 1 )., 2 8函数的单调性

6、与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性应用：利用函数的单调性可以证明不等式应用：利用函数的单调性可以证明不等式和确定某些方程实根的个数和确定某些方程实根的个数.例例证证.)1ln(,0成立成立试证试证时时当当xxx ),1ln()(xxxf 设设.1)(xxxf 则则, 0)(), 0(,), 0)( xfxf可导，可导，且且上连续上连续在在上单调增加；上单调增加；在在), 0 , 0)0( f时，时，当当0 x, 0)1ln( xx).1ln(xx 即即9(concave and convex)三、三、曲线曲线凹凸凹凸性的判别法性的判别法函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性

7、1.1.定义定义如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向xyOABC10)(xfy )(xfy 1x2x1x2x定义定义1内任意两点内任意两点如果对如果对设设),(,)(babaCxf ,2)()()2(2121xfxfxxf ,21xx恒有恒有.),()(的的内的图形是内的图形是在在那末称那末称baxf凹凹2)()()2(2121xfxfxxf (凸凸)221xx 221xx 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性图形上任意弧段图形上任意弧段位于所张弦的下方位于所张弦的下方图形上任意弧段图形上任意弧段位于所张弦的上方位于所张弦的上方xyOxyO11)(xfy )(xfy 曲

8、线弧上每一点的切线曲线弧上每一点的切线定义定义2( (上上) ) 方方, ,称为称为凹凹 弧弧. .( (凸凸) )凹凹弧的曲线段弧的曲线段)(xf)(xf 即即的切线斜率是单增的的切线斜率是单增的, ,是单增的是单增的, ,凸凸弧的切线斜率是单减的弧的切线斜率是单减的, ,)(xf 即即是单减的是单减的. .而而 利用利用二阶导数二阶导数判断曲线的判断曲线的凹凸性凹凸性从几何直观上从几何直观上,随着随着x的增大的增大,都在曲线的都在曲线的下下函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性xyOxyO12递增递增)(xf 0)( xf递减递减)(xf 0)( xf函数的单调性与曲线的凹凸

9、性函数的单调性与曲线的凹凸性2. 凹凸性的判别法凹凸性的判别法xyOabAB)(xfy xyOabAB)(xfy 定理定理2. 2.(凹凸判定法)(xf(1) 在在 (a,b) 内内, 0)( xf则则 f (x) 在在 I 内图形是凹的内图形是凹的 ;(2)在在 (a,b) 内内, 0)( xf则则 f (x) 在在 I 内图形是凸的内图形是凸的 .设函数设函数在区间在区间a,b 上有二阶导数上有二阶导数13P149P149例例7 7.3的凹凸性的凹凸性判断曲线判断曲线xy 解解,32xy ,6xy 时，时，当当0 x, 0 y为为凸凸的的；在在曲曲线线0 ,( 时，时，当当0 x, 0 y

10、.), 0为为凹凹的的在在曲曲线线 注注)0 , 0(点点 凸凸变变凹凹的分界点的分界点.是是曲曲线线由由函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性3xy xyO 141.1.定义定义连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的 拐点拐点. .几何上几何上函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性四、曲线的四、曲线的拐点拐点及其求法及其求法(inflection point)拐点处的切线必在拐点处穿过曲线拐点处的切线必在拐点处穿过曲线. .3xy xyO例例. . 判断曲线的凹凸性的凹凸性.解解:故曲线故曲线在在上是向上凹的上是向上凹的.说明说明:1)

11、若在某点二阶导数为若在某点二阶导数为 0 ,2) 根据拐点的定义及上述定理根据拐点的定义及上述定理, 可得可得拐点的判别法拐点的判别法如下如下:若曲线若曲线或不存在或不存在,但但在在 两侧两侧异号异号, 则点则点是曲线是曲线的一个拐点的一个拐点.则曲线的凹凸性不变则曲线的凹凸性不变 .在其两侧二阶导数不变号在其两侧二阶导数不变号,函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性4xy ,34xy 212xy 时，当0 x;0 y,0时x, 0 y4xy ),(,0连续在点 x0)(0 xf)(xf )(,(00 xfx)(xfy )(xfy 0 x16的邻域内的邻域内在在设函数设函数0)(

12、xxf,)(0变号变号两近旁两近旁xfx ,)(0不变号不变号两近旁两近旁xfx 拐点的充分条件拐点的充分条件,二阶可导二阶可导0)(0 xf且且;)(,(00即为拐点即为拐点点点xfx.)(,(00不是拐点不是拐点点点xfx2. 拐点的求法拐点的求法 拐点也可能出现在二阶导数不存在的点处拐点也可能出现在二阶导数不存在的点处. .(1)(2)函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性( (或或x0为为二阶导数不存在的点二阶导数不存在的点) )17pg149pg149例例9 9.14334凹、凸的区间凹、凸的区间的拐点及的拐点及求曲线求曲线 xxy解解),(:D,121223xxy )

13、.32(36 xxy, 0 y令令.32, 021 xx得得x)0 ,( ),32()32, 0(032)(xf )(xf 00凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点拐点拐点)1 , 0()2711,32(18).,32,32, 0,0 ,(凹凸区间为凹凸区间为注注1：拐点可能存在于二阶导数为：拐点可能存在于二阶导数为0的点处。的点处。19EXEX.95)2(235的拐点及凹、凸性的拐点及凹、凸性求曲线求曲线xxy 解解),(,910)2(3532xxy .)2()2(19103131 xxy, 0 y令令, 31 x得得x)2 ,( ), 3( )3 , 2(23)(xf )(xf 0拐点拐点拐点

14、拐点)920, 2( )4, 3( 不不存存在在的的点点y 不存在不存在定义域为定义域为(1)(2). 22 x(3) 列表列表函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性注注2：拐点也可能存在于二阶导数不存在的点处：拐点也可能存在于二阶导数不存在的点处。五、内容小结五、内容小结1. 可导函数单调性判别可导函数单调性判别在在 I 上单调递增上单调递增在在 I 上单调递减上单调递减2.曲线凹凸与拐点的判别曲线凹凸与拐点的判别+拐点拐点 连续曲线上有切线的凹凸分界点连续曲线上有切线的凹凸分界点Ixxf,0)()(xfIxxf,0)()(xfIxxf ,0)(上向上凹在曲线Ixfy)(Ixx

15、f ,0)(上向上凸在曲线Ixfy)(函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性作业作业 P151 3 (7) ; 10 (2) (4); 11(1). 1322习习 题题3-4.cos)(1的单调性的单调性判断函数判断函数xxxf xxyxxxyln2)2(;71862)1(:2223 求下列函数的单调区间求下列函数的单调区间xxxxxxxx sin31,0)2(;1211 ,0)1(:33时时当当时时当当证明下列不等式证明下列不等式解答解答解答解答解答解答解答解答解答解答23xxyxxxyarctan)2();0(1)1(:4

16、判判断断下下列列曲曲线线的的凹凹凸凸性性xxxeyexy )2(;)1()1(:54及及凹凹凸凸区区间间求求下下列列函函数数图图形形的的拐拐点点)., 0, 0(2ln)(lnln:,6yxyxyxyxyyxx 证明证明利用函数图形的凹凸性利用函数图形的凹凸性解答解答解答解答解答解答24解解xxfsin1)( , 0 ,)(2210)(是成立的是成立的的点的点且使且使zkknxxf .),(cos)(上单调增加上单调增加在定义域在定义域故故 xxxf习题解答.cos)(1的单调性的单调性判断函数判断函数xxxf 返回习题返回习题25:2 求求下下列列函函数数的的单单调调区区间间181262 x

17、xy)32(62 xx)3)(1(6 xx3, 1,021 xxy时时令令;, 0,1函函数数单单调调增增加加时时当当 yx;, 0,31函数单减少函数单减少时时当当 yx., 0,3函函数数单单调调增增加加时时当当 yx;71862)1(23 xxxy解解返回习题返回习题习题解答26习题解答解解, 0 x函数的定义域为函数的定义域为, 014 xxy令令,21 x得得, 0,210 yx时时当当,函数单调减少函数单调减少.函数单调增加函数单调增加, 0,21 yx时时当当:2 求求下下列列函函数数的的单单调调区区间间.ln2)2(2xxy 返回习题返回习题27证证,121)(xxxf 设设x

18、xfx 12121)(,0时时当当因为因为, 0)111(21 x.), 0)(上单调增加上单调增加在在故故xf:3 证证明明下下列列不不等等式式;1211 ,0)1(xxx 时时当当习题解答返回习题返回习题28证证,sin)(1xxxf 令令, 0cos1)(1 xxf则则,)(1单调增加单调增加故故xf, 0)0()(11 fxf从而从而).0(sin xxx即即,31sin)(32xxxxf 令令221cos)(xxxf 则则2sin222xx 22)2(2xx , 0 ,)(2单调增加单调增加故故xf, 0)0()(22 fxf从而从而).0(sin313 xxxx即即习题解答:3 证证明明下下列列不不等等式式.sin31,0)2(3xxxxx 时时当当返回习题返回习题29解解,11)1(2xy ),0(013 xxy.,0该曲线是上凹的该曲线是上凹的时时所以当所以当 x,1arctan)2(2xxxy 2222)1(2)1(