物理奥赛培训--光学091

1、Jianping Ding1物理奥赛培训光学Jianping Ding2南京大学物理系 丁剑平二、光在非均匀介质中的传播四、费马原理及其运用五、光的干涉六、光的衍射三、几何光学成像物理奥赛培训光学一、光的反射与折射Jianping Ding3例1、一等腰玻璃三棱镜的折射率n=1.50，底部浸在水中，水折射率 n水1.33，入射的平行光与底面平行，问：1）底角 q 多大时，光线才能在底面发生全反射？2）透过上述棱镜观看远处的物体，并使棱镜以入射光线为轴以角速度 w 旋转，将会看到什么现象？q90o-q解：水nn sinqq全反射条件：sin90sinqqn折射关系：qq水nnsincoscoss

2、inqqqqn水n1cos2222水水nnnn2q4 .25q q1）q一、光的反射与折射Jianping Ding42）透过上述棱镜观看远处的物体，并使棱镜以入射光线为轴以角速度 w 旋转，将会看到什么现象？ABBAwABBA解：棱镜旋转时，物体的像AB相应旋转相应旋转棱镜旋转180o时，物体的像AB 转过转过360o 像的转速是棱镜转速的两倍2wJianping Ding5例2、图示一条光线射入空气中的球状水滴，在水滴内表面反射后又穿出水滴。入射光线与出射光线之间的夹角 d 称为偏向角，已知水滴的折射率为 n，问：1）光线在水滴内表面反射时是全反射还是部分反射？2) 入射角i1多大时，偏向

3、角d 最小？i1OdnJianping Ding6i1i2i2Odn解：1）光在水滴内表面反射时是全反射还是部分反射？21sinsinini 全反射临界角：nic1arcsin2cinini212sin1sin1sin折射关系：cii22 总是部分反射Jianping Ding7解：2）入射角i1多大时，偏向角d 最小？ai1i2i2Odnad1221222iiiiia三角几何关系：2142ii dd 是入射角 i1 的函数: d = d (i1) 极小值条件：121420didididd21sinsinini 1221coscosdidiini 21122121coscoscossindii

4、idinini211cos 3ni最小偏向角条件：Jianping Ding8例3、折射率n=1.5、半径为R的透明半圆柱体轴线的横截面如图所示，O点为横截面与轴线交点。一束平行光线以入射角i照射整个平面AB，其中一部分入射光束能通过半圆柱体从圆柱面射出，这部分光束入射到AB面上时沿y轴方向的长度用d表示，不考虑光线在半圆柱体内经过反射再射出柱体的情形，求解：（1）当平行入射光的入射角i从0o到90o变化时，求d的最大和最小值。（2）在图示的平面内，求出射光束与柱面相交的圆弧对O点的张角q与入射角i的关系，并求在掠入射时上述圆弧的位置。ORBiA1.5n y第25届全国中学生物理竞赛决赛题（2

5、008年）Jianping Ding9求解：（1）当平行入射光的入射角i从0o到90o变化时，求d的最大和最小值。解： 在后表面要考虑可能存在的全反射 光线发生两次折射 分析1.5n iOAB全反射临界角：1arcsin41.8ciniDDCyCiDaiDaOCD中:sinsin 90CDyRiasincosDCiyRasincosDCiyRaOC D中:sinsin 90CDyRiaJianping Ding101arcsin41.8cin1.5n iOABiDDCyCiDaiDasincosDCiyRasincosDCiyRa解：（1）当平行入射光的入射角i从0o到90o变化时，求 d 的

6、最大和最小值。当iD和iD达到最大值时，yC和yC的绝对值达到最大值，即有：maxmaxCCdyy已有min2sin1.33cddi RRa=0时sin2cosciRaa amax=时maxddmaxsin2coscciddRicia即 = 时1.79RJianping Ding111arcsin41.8ciniOABiDDCyCicaica解： （2）在图示的平面内，求出射光束与柱面相交的圆弧对O点的张角q与入射角i的关系，并求在掠入射时上述圆弧的位置。q对OD和OD 与水平线的夹角，ciacia有283.6ciqJianping Ding12二、光在非均匀介质中的传播 光线在非均匀介质中的

7、传播可以看成是连续折射的过程，逐点运用折射定律可以追踪光线的轨迹。n半径光在光纤中的传输Jianping Ding13例4： 一块平行平板，其厚度为 d，光线 从O点垂直入射，若平板折射率按 变化，q 为常数，并在 A 点以 a 角出射，求 光线轨迹、A 点的位置和平板厚度。qxn410AaOXYd解： 折射定律决定光线在每一点的方向，从而确定光线的轨迹； 介质折射率连续变化，可将平板沿 X 方向切成一系列薄片，对每层薄片应用折射定律。 折射定律的级联形式：AAxxnnnnsinsinsin110qxnnx410 x(x,y)Jianping Ding14a220sinnnAAaOXYdAAx

8、xnnnnsinsinsin110 xqxnnx410P :(x, y) P点光线的方向由x 决定:qxnnxx411sin0 P点光线的切线斜率 kp :qxkxp41tan 曲线 y = f(x)与斜率 kp：dxdykp A点条件：asin90sinAoAn0sinnnAA和qxy 2 光线轨迹方程： 结论：qnxA2024sinaqnydA02sina和Jianping Ding15例5、光从空气折射进透明介质，入射点折射率为n0，入射角近似 /2，介质折射率与介质高度 y 有关，当折射光线的轨迹是抛物线 y=ax2 时，求折射率与高度 y 的关系。解：xyqaqsin0nn 折射定律

9、：qactgtgdxdy光线切向斜率：1sin122qax140aynnJianping Ding16题6、飞机场跑道上空空气的折射率分布随地面高度y的变化规律为: , 其中a a = 1.0 x10-6 m-1，某人站在跑道上观看远处的跑道，他的眼睛离地面的高度为1.69m。求该人能看到的跑道长度。ynna10m36103 . 121069. 12xyqa解：qsin0nn 折射定律：1sin1 2qqctgdxdyayx2yaJianping Ding17休息10分钟！Jianping Ding183) 在入射角qi 0 和 = qiM条件下，确定光由 O点入射传播到与Ox轴的第一个交点的

10、时间。 例7、圆柱型光纤的纤芯半径为a，折射率介于n1和n2之间（1n2n1）并按照 渐变，n2为距轴线a处的折射率， 为常数，包裹层折射率也为n2 。光纤置于折射率为n0的空气中，取Ox轴沿光纤轴线方向，O为光纤端点的中心。假设 一束单色光从O点以入射角i 进入光纤，入射面为xOy : 2211ynynn1）求出光线在光纤里的轨迹方程 y=f(x)；2）求出光可以在光纤纤芯中传播的最大入射角iM；Oxqia0yn2n2n0 2211ynynna4) qi qiM时光信号沿光纤的传输速度（定义为第一个交点x坐标与时间的比值）（亚洲奥赛04年题）Jianping Ding19Oxqiaa0yn2

11、n2n0解：01cossinaqni入射点：x=0, y=0, qaacos1sin1sin22122101ynynnqP(x, y)aasinsin01xnn折射级联性质：1sin11cos1tan02222aqqydxdyy 切线斜率 1sin102222ayy2211ynn aJianping Ding20Oxa0yn2n2n0P(x, y) 1sin102222ayy一阶微分方程022sin22ayyyy 两边对x再求导一次 00actgyx入射点初始条件：x=0, y=0y=a时 n=n2另一个边界条件12221nannaqi0sin022yya00sinsinaxAy 2211yn

12、ynnJianping Ding21axnnnnnayiiqq22122212221sinsinsinOxqia0yn2n2n0P(x, y)1）光线在光纤里的轨迹方程a2) 光可以在光纤纤芯中传播的最大入射角iM；annai2221sinqay 2221sinnniMqJianping Ding223) 在入射角qi 0 和 = qiM条件下，确定光由 O点入射传播到与Ox轴的第一个交点的时间Oxyn2n2n0aaxnnnnnayiiqq22122212221sinsinsin Oz 轴的第一个交点处：qaxnnni12212221sinx122212211sinnnnaxq 第一个交点坐标

13、n1Jianping Ding23Oxyax1dsdxdy22212211sinnnnaxqdscnvdsdt通过一线段元 ds 时间为dxydydxds2221线段元dxycndscnxxxx200111 2211ynynnaxnnnnnayiiqq22122212221sinsinsinJianping Ding24abxbxbadxarcsin1222Oxyax1dsdxdy22212211sinnnnaxq 2211ynynnaxnnnnnayiiqq22122212221sinsinsindxycndscnxxxx2001112122221212sin1nnncaniq3222222

14、2222arcsin2babxabxbaxxbadxx利用积分公式Jianping Ding254) qi qiM时光信号沿光纤的传输速度（= x1/）Oxyax1222122nncnvM2122221212sin1nnncaniq22212211sinnnnaxq2221sinnniMqqin2n1Jianping Ding26-ssrnnPPOC三、几何光学成像单球面折射成像公式阿贝不变式：nnnnsrsrrnnsnsn或nnss平面面折射成像：Jianping Ding27rnnOC-fFfF 焦距公式 物方焦距rnnnf像方焦距: rnnnf 高斯成像公式: 1sfsfnnffrnns

15、nsnJianping Ding28rnnsnsn反射成像公式：rss211r平面镜：s=-s 单个球面的反射成像O-ssnnJianping Ding29P例8、一个折射率为1.5的玻璃球，半径 R，置于空气中。在近轴成像时，问：（1）无穷远处的物成像在何处？（2）物在球前2R处，成像在何处？ RO1O2P-s1P1s1s2s2n=1.5Jianping Ding30RO1-s1P1s1rnnsnsn解：O1面：s1 = 3R(1).n=1.5O2面：s2 = R/2O2s1=-, r1=+R, n1=1, n1=1.5Ps2s2s2=R, r2= -R, n2=1.5, n2=1Jianp

16、ing Ding31PRO1-s1s1n=1.5(2).O1面：s1=-2R, r1=+R, n1=1, n1=1.5s1 = rnnsnsns2O2s2PO2面：s2= , r2= -R, n2=1.5, n2=1s2 = 2RJianping Ding32例9. 推导薄透镜(的焦距公式-透镜制造者公式 2111) 1(1rrnfnOC2C1I1I2-r2r1证明：11111rnssnI 面：22211rnsnsII 面：I1面: s1, s1, r1I2面: s2, s2, r2s = s1, s = s2, s2 = s1薄透镜透镜制造者公式成像公式2111111rrnssJianpin

17、g Ding33例10、有一半径R=0.128m的玻璃半球，过球心O并与其平面部分相垂直的轴线上沿轴线方向放置一细条形发光体A1A2，长度为l=0.020m。若人眼在轴附近对着平面部分向半球望去，可看到发光体的两个不很亮的像（更暗的像不必考虑），当发光体在轴上前后移动时，这两个像也在轴上移动。如调整发光体的位置，使得两个像恰好头尾相接连在一起，则发光体的近端A2距球心O的距离为a2=0.020m，求此玻璃球的折射率 n（计算时只考虑近轴光线）。(全国竞赛题）OA1A2a2解： 分析 两个像，一为平面反射的像； 另一个：经过平面折射 球面反射 平面折射nRJianping Ding34OA1A2

18、a2 求光轴上一点A（在O左方a处）经过三次（折射、反射、折射）所成的像Ru 注意：半球的 r = -Rnrnnsnsn计算可得最后的像A在O右边sA处：12/Aasna R显然 sA sA2 A1A2A”2A”1 A 经平面反射的像 A” 在O右边 a 处，两条形像头尾相接， A1 与A2” 重合l221.62lRnaalJianping Ding35例11、一个放在空气中的玻璃棒，折射率n0=1.5，中心轴长 L=45cm，一端是半径为R1=10cm的凸球面。问：（1）要使玻璃棒的作用相当于一架理想的天文望远镜（使主光轴上无限远的物成像于主光轴上无限远处的望远系统），取中心轴线为主光轴，玻璃棒的另一端应磨成什么样的球面？（2）