样条插值及应用深入研究

1、 学院： 研究生学院 专业： 机械工程 组号： 39 成绩： 报告题目样条插值及应用深入研究学院： 专业： 机械工程 组号： 成员：日期： -62-样条插值及应用研究第一章 对象描述一样条插值及应用的描述自上世纪60 年代以来, 由于航空造船等工程设计的需要, 发展了样条插值技术, 现在样条函数越来越流行, 它不仅是现代函数逼近的一个活跃的分支,而且也是现代数值计算中一个十分重要的数学工具。它以各种方式应用到逼近论、数据拟合、数值微分、数值积分、微分方程和积分方程的数值求解中。在外形设计乃至计算机辅助设计的许多领域,样条函数都被认为是一种有效的数学工具。设是定义在上的函数，在上有一个划分： ,

2、 （1.1）若满足如下条件：(1) 在每区间()上是m次多项式；(2)函数,即在上有阶连续导数则称是关于划分的一个次样条函数。简单地说，样条函数就是由一些具有某些连续性条件的子区间上的分段多项式构成的。若样条函数还满足条件：(3)对给定的某函数在节点上的函数值，且 ， （1.2）则称是关于划分的一个次样条插值函数。二样条插值及应用的相关概念1.2.1插值法设函数在区间上有定义，且已知在点上的值，若存在一简单函数，使得 （1.3）成立，就称为的插值函数，点为插值节点，包括插值节点的区间称为插值区间，求插值函数的方法称为插值法。插值的任务就是由已知的观测点，为物理量(未知量)建立一个简单的、连续的

3、解析模型，以便能根据该模型推测该物理量在非观测点处的特性。常用的插值函数类是代数多项式，相应插值问题是代数插值。1.2.2 线性样条插值函数若函数在上连续，且在每个小区间上是一次多项式，其中 是给定节点，则称是节点上的一次样条函数若在节点上给定函数值，并成立 （1.4）则称为一次样条插值函数。1.2.3 二次样条插值函数若函数在上一阶导数连续，且在每个小区间上是二次多项式，其中 是给定节点，则称是节点上的二次样条函数。若在节点上给定函数值，并成立 （1.5）则称为二次样条插值函数。1.2.4三次样条插值函数若函数在上二阶导数连续，且在每个小区间上是三次多项式，其中 是给定节点，则称是节点上的三

4、次样条函数。若在节点上给定函数值，并成立 （1.6）则称为三次样条插值函数。1.2.5 圆弧样条曲线在平面上给定有序的个型值点，过每个型值点作一圆弧，使分别过相邻两个型值点的二圆弧，在垂直且平分此二点连线的直线上相交并相切。按这种方法由圆弧连成的整个曲线是连续的且它的切线也是连续变动的，而曲率则分段为常数。这样的曲线称为圆弧样条曲线。1.2.6 B-样条曲线在数学的子学科数值分析里，B-样条是样条曲线一种特殊的表示形式。它是B-样条基曲线的线性组合。B-样条是贝兹曲线的一种一般化，可以进一步推广为非均匀有理B样条(NURBS)，使得我们能给更多一般的几何体建造精确的模型。1.2.7 截断函数

5、（1.7）三样条插值及应用的相关理论定理1：设为实数，满足则存在唯一的一个三次插值样条函数和它的一组插值节点使得： （1.8） 定理2：关于满足端点条件的三次样条函数问题，在适当的选定整数后，当，满足式 （1.9）时，那么所要求的三次插值样条函数必存在且唯一。定理3：设，为满足第一种或第二种边界条件的三次样条函数，令，则有估计式 （1.10）其中。这个定理不但给出了三次样条插值函数的误差估计，而且说明当时，及其一阶导数和二阶导数均分别一致收敛于及。定理4：中的个样条函数 （1.11）在区间上线性无关，从而可得到的维数是，即是维线性空间。B-样条的重要性质性质1：递推关系 （1.12）。性质2：

6、正性与局部非零性 （1.13）性质3：规范性 （1.14）四样条插值及应用国外研究进展样条函数是计算数学以及计算机辅助几何设计的重要工具。1946年，I.J.Schoenberg著名的关于一元样条函数的奠基性论文“Contribution to the problem of application of equidistant data by analytic functions的发表，建立了一元样条函数的理论基础。自此之后，关于样条函数的研究工作逐渐深入。随着电子计算机技术的不断进步，样条函数的理论究得到迅速的发展和广泛的应用。经过数学工作者的努力，已经形成了较为系统的理论体系。1953年，

7、I.J.Schoenberg与 A Whitney获得了判断一元样条插值节点组是否为适定节点组的准则，即著名的Sehoenberg-Whimey定理。1966年，H.B.Curry与I.J.Sehoenberg引入一元B样条，给出了重要的样条函数的B样条基的表示方法。有了完整的B样条基理论之后，样条函数逼近无论在理论在理论研究还是在应用问题探讨方面都更加方便。此后，关于样条函数的理论以及应用的研究不断取得进展。特别地，随着计算机技术的飞速发展，人们进一步认识到样条如同多项式一般的计算方便性以及强于多项式的局部可调的灵活性、易存储性等诸多性质的重要意义，并把它应用到与科学计算相关的许多领域，比如

8、数值逼近、微分方程数值解、计算机辅助几何设计、小波及有限元等。同时，样条函数在各个方面的推广也为数学工作者们密切关注并展开积极研究的重要课题。样条在多元方面的推广自1960年Birkhoff与Garabedian开始。但是，由于它的复杂性，这方面的研究工作不如一元样条函数那样顺利。1962年，C.deBoor研究并证明了一些双三次内插样条的存在与唯一性但其方法本质上只是一元样条函数的简单推广。1975年，美国锡拉丘斯(Syracuse)大学的弗斯普里尔(Versprille)在他的博士论文中首先提出了有理B样条方法。后来主要有皮格尔(Piegl)与蒂勒(Tiller)分别独立或联名发表的论文对

9、 NUBB 方法进行深入的研究工作，还有法林(Farin)等人的工作，使这个方法在理论上与实用上逐步趋向成熟。NUBB方法在B样条方法的基础上，引入了权因子与分母，看似简单，却导致了投影变换、几何原理与算法、权因子的意义与作用、权因子与参数化等一系列新概念与性质，不但具有计算稳定、灵活性强等优点，而且应用广泛。1984 年，Sederberg 提出了分段代数样条在几何设计中的应用，由于它表示简单，应用方便，受到了较多的关注和讨论。尤其是1990年 Plauszny等研究的一种特殊的平面三次代数曲线，即A-spline，获得了很好的应用。1996年，Loe在 B样条的基础上提出了线性奇异混合B样

10、条，即样条，这种样条可以根据控制点的权参数来调节曲线形状，但不能插值给定数据点。2003-2004年，Chiew-Lan tai和潘永娟等人通过一个可调的形状控制参数构造了一类插值曲线，可对曲线形状进行调控，但是仍需通过方程组来求解。五样条插值及应用国内研究现状1975年，我国学者齐东旭提出多结点样条插值法，这类样条函数通过增加更多的附加结点，在原来的结点上构造高精度样条逼近格式。这种方法无须求解方程组，插值多项式的阶数不随节点的增多而变化，而且具有对称性和导数连续性，以及保证了插值的局部性和有效性。在此基础上，我国学术界进行了更深入的发掘和研究，发表了一系列论文。与此同时，孙家昶提出了圆弧插

11、值样条。这种样条曲线，在计算上比其它样条曲线简单、准确，在曲线加工方面，机械加工很容易进行。但是在有些情况下圆弧稳定性不强、方法不完善，而且不能保证误差在规定范围内，在应用中具有一定局限性。此后，很多文献给出了进一步理论分析和应用。2001年，张三元等人提出一种新的插值曲线：通过给定的几何约束构造曲线，这些几何约束包括控制顶点、两个端点、两端点处切线及曲率。这个方法构造的曲线不仅可以减少计算的复杂度，而且还具有易于实现离散数据的拟合、操作简单等优点，但是随着参数的变化，曲线会产生一些不希望出现的尖点、拐点和结点， 并且在描述复杂图形时如何实现曲线段光滑拼接问题以及如何保证拼接后曲线原有的凹凸性

12、、单调性等问题，也没有得到有效解决。目前，样条曲线的研究已经有比较完善的理论体系， 但是关于代数曲线的研究还是相当有限的。 尤其是当给定了逼近误差，在保持原曲线一些重要性质的条件下，如何更好地去插值逼近，这对曲线插值逼近理论以及实际应用有着非常重要的意义。六样条插值及应用方法有多少？1线性样条插值2二次样条插值3三次样条插值4B-样条插值第二章 算法研究一样条插值及应用方法有多少（方法种类）？2.1.1 样条插值及应用方法有多少？2.1.1.1 线性样条插值 如果在每个子区间上的分段多项式都是一次的，我们称之为线性样条。线性样条插值是最简单的样条插值。数据点使用直线进行连接，结果样条是一个多边

13、形。从代数的角度来看，每个 都是一个如下 （2.1）的线性函数。 样条在每个数据点都必须连续，即 （2.2）我们很容易得到 （2.3） （2.4）所以以上论述成立。2.1.1.2 二次样条插值 （1）对划分：，构造以为节点的二次样条函数 （2.5）满足： 在每个区间上是一个二次多项式； ； 。在每个小区间上是一个二次多项式，有3个系数，因此要确定 就要确定个待定参数。而由，得到个方程；由得到个方程；由得到个方程，总共个方程，为了确定一个特定的样条插值函数。还需增加1个条件。这个条件通常是在区间的两个端点处给出，即边界条件。边界条件根据实际问题的要求来确定，其类型很多。常见的边界条件类型有： 给

14、定初始端点的一阶导数值； 给定终端点的一阶导数值； 给定初始端点的二阶导数值； 给定终端点的二阶导数值； 若插值函数为周期函数时，此时给定。（2）二次样条插值函数的构建针对上面5种情况分别讨论二次样条插值问题。给定初始端点的一阶导数值： （2.6）在区间内，已知，和，由Hermite插值公式可知 （2.7）其中，此时，同样加上，两个条件可推导出区间内的二次插值函数，以此类推得到区间内二次样条插值函数为 （2.8）而可由（2.9）递推得到 （2.9）给定终端点的一阶导数值：在区间内，和由Hermite插值公式可知 （2.10）此时，同时加上，两个条件可以推导出区间内的二次插值函数，以此类推得区间

15、内二次样条插值函数为 （2.11）而可由（2.12）递推得到 （2.12）给定初始端点的二阶导数值： （2.13）在区间在区间内，已知，和，利用待定系数方法，二次样条插值公式为 （2.14）此时 （2.15）这就转化为第一种情况，可由式（2.8）（2.9）得到二次样条插值函数。给定终端点的二阶导数值： （2.16）在区间内，和二次样条插值公式为 （2.17）此时 （2.18）这就转化为第二种情况，可由式（2.11）（2.12）得到二次样条插值函数。已知，给定： （2.19）由式（2.9）可知：，以此类推，得到：A当n为偶数时（2.20）若满足： （2.21）只有 （2.22）成立时有解，并且无

16、限制。任意一个可得到一组样条插值函数。若式（2.22）不满足无解，找不到满足条件的样条插值函数。B当n为奇数时（2.23）若满足： （2.24）只有 （2.25）这就转化为第一种情况， 可由式（2.8）（2.9）得到二次样条插值函数。 2.1.1.2 三次样条插值（1）用一个弹性条，在节点处将其固定而得曲线。有力学知识可得，这样的曲线具有二阶连续导数。分段线性插值导数不连续，若每一段用二次多项式来取代直线，则每一段有三个系数需要确定，除条件外，还可附加一个导数条件，只要给定，则可保证连续。但是这一过程实质上是由决定了所有节点上的导数值，这在物理上的合理性是有限的，显然这些并非真实的导数值。故此

17、我们想到用三次函数来取代二次函数，这样灵活性更大，效果更好。若函数，且在每个小区间是三次多项式，其中是给定节点，则称是节点上的三次样条函数。若在节点上给定函数值，并成立，则称为三次样条插值函数。根据在上二阶可导连续，在节点处应满足连续性条件：，。除此之外通常可在区间的端点上各加一个条件（称为边界条件），来确定。边界条件可根据实际情况问题的要求给定。常见的有以下3种：已知两端的一阶导数值，即， （2.26）已知两端的二阶导数，即， （2.27）其特殊情况为，称为自然边界条件。当是以为周期的周期函数时，则要求也是周期函数，这时边界条件应满足 （2.28）此时中，这样确定的样条函数称为周期样条函数。

18、（2）三次样条插值函数的构建三弯矩插值法构造样条插值现在推广在区间上三次样条插值函数的表达式。首先，在节点上连续，故可记，并记。由于是2阶光滑的分段三次多项式，于是是分段线性连续函数，故在区间上可由与两点的线性插值函数 （2.29）所决定，其中是待定的参数为了求出在上的表达式，只需对式 （2.30）在区间上积分两次，便得下列关系式，有 （2.31） （2.32）其中，为积分常数。利用插值条件得出满足方程 （2.33）从而可确定两积分常数 （2.34）将积分常数代入式（2.32）和式（2.31）中，于是可得及在区间上的表达式 （2.35） （2.36）因此，只要知道，的表达式也就完全确定了。为了

19、确定，必须应用样条节点光滑连续条件 （2.37）中的 （2.38）由式（2.36）可得 （2.39）类似的，可以推导出在上的表达式，从而可以得到 （2.40）因此，根据连续性条件（2.38），并经整理可得， （2.41）其中， （2.42）此时，求转化成求解方程组(1.20)，它是一个含有个未知量的个方程组成的方程组，要惟一确定未知量，还需要利用边界条件来补充两个方程。 一阶边界条件情形：由边界条件 （2.43）及式（2.39）和式（2.40），可导出补充方程 （2.44）这时，即若 （2.45）则可求的的线性方程组： （2.46） 二阶边界条件情形：由记号直接可得 （2.47）并将其代入式（

20、2.41）可得个未知数的阶线性方程组： （2.48）其中， （2.49）其他的元素仍由式（2.42）定义。特别地，当方程组的右端项特别整齐，形式简单，此时称为自然三次样条。 周期边界条件情形：由得，所以待定参数由个变为个：又由连续性条件及式（2.35），整理代入，可得到 （2.50）两边同乘以，并采用均差的记号又可得 （2.51）或写成 （2.52）其中， （2.53）从而由式（2.41）及式（2.52）可组成求的线性方程组有如下形式： （2.54）由上述三种边界条件得到的方程组（2.46）、（2.48）及（2.54）均称为三弯矩方程组，其系数矩阵中的元素已完全确定，并且满足，故系数矩阵是严格

21、对角占优的。三转角插值法构造样条插值令为待定的参数，在材料力学中解释为细梁在截面处的转角。由三次Hermite插值公式及余项公式知，在上的余项为0，因此由三次Hermite插值公式推出在上的表达式 （2.55）且满足另外，要求的2阶导数在内节点上满足连续性条件 （2.56）由式（2.55）得在上的表达式 （2.57）于是，有 （2.58）类似地可以推导出在上的表达式，从而得到 （2.59）根据2阶导数的连续性条件（2.56），得 （2.60）沿用前面的记号（2.57），而记号变为 （2.61）则式（2.60）可以化为紧凑的形式 （2.62）这是关于个待参数的个方程.为了能惟一确定待定的参数，需

22、要用边界条件补充两个方程。 一阶边界条件情形：由边界条件 （2.63）可将式（2.62）化为个未知数的线性方程组 （2.64） 二阶边界条件情形：已知 （2.65）在式（2.58）中令，式（2.59）中令，则有 （2.66）联立式（2.66）与式（2.62），则得线性方程组 （2.67）其中， （2.68）其他的仍由式（2.42）定义，而仍由式（2.61）定义。 周期边界条件情形：由 得，由此减少一个待定参数。再由连续性条件及式(1.36)和式(1.37)得 （2.69）或写成 （2.70）其中， （2.71）从而由式（2.62）及式（2.70）可组成求的方程组有如下形式 （2.72）由上述三

23、种边界条件得到的方程组（2.64）、（2.67）、（2.72）的每一个方程组中最多出现三个相邻的转角，故称这些方程组为三转角方程组把这种用转角作为待定参数来确定样条插值函数的方法称为三转角插值法。2.1.1.4 B样条插值先对划分加入新点扩展为令，视为参数，是的函数，当时，都是关于划分的样条函数记为 （2.73）关于所作的阶差商记为。设是节点序列，令，函数关于的阶差商，称为第j个m次B-样条函数。利用差商的性质其中，得 （2.74）由式定义的个样条函数是线性无关的，所以组成的一组基，这样对于定义于区间，关于划分的m次样条函数都可以表示为 （2.75）这样，求划分上的样条函数的问题，就归结为求表

24、达式中的系数的问题，求系数一般归结为解线性方程组。2.1.2经典的样条插值及应用方法是什么方法？经典的样条插值及应用方法是三次样条函数插值：分段低次插值虽然解决了高次插值的振荡现象和数值不稳定现象，使得插值多项式具有一致收敛性，保证了插值函数整体的连续性，但在函数插值节点处不能很好地保证光滑性要求，这在某些要求光滑性的工程应用中是不能接受的。如飞机的机翼一般要求使用流线形设计，以减少空气阻力。因此，在分段插值的基础上，引进了一种新的插值方法样条插值法。插值法是数值逼近的重要方法之一 它是根据给定的自变量值和函数值求取未知函数的近似值。早在一千多年前我国科学家就在研究历法时就用到了线性插值和二次

25、插值。而在实际问题中有许多插值函数的曲线要求具有 较高的光滑性 在整个曲线中 曲线不但不能有拐点而且曲率也不能有突变。因此对于插值函数必须二次连续可微且不变号这就需要用到三次样条插值。三次样条插值法，因为它既满足一般实际问题的要求，而且建立过程也不太复杂在插值区间上做高次插值多项式，可以保证曲线的光滑性， 它具有良好的收敛性与稳定性，又有二阶光滑度，当插值节点逐渐加密时，不但样条插值函数收敛于函数本身，而且其函数也收敛于函数的导数，正因为如此，三次样条插值函数在实际中得到广泛的应用。二样条插值及应用方法哪个好？（方法比较）？2.2.1样条插值及应用的优缺点分析（1）线性样条插值优点：线性样条插

26、值是最简单的样条插值缺点：总体光滑性较差，线性样条曲线在节点处的斜率是不连续的。（2）二次样条插值优点：二次样条函数在连接点处具有一阶导数连续, 计算量明显比三次样条插值函数小。缺点：二次插值算法在低采样频率下误差较大。（3）三次样条插值优点：三次样条插值，它具有良好的收敛性与稳定性，又有二阶光滑度，理论上应用上都有重要的意义，在计算机图形学中有重要的应用。对于三次样条插值函数来说，当插值节点逐渐加密时，可以证明：不但样条插值函数收敛于函数本身，而且其函数也收敛于函数的导数，这一性质是三次样条插值函数较普通插值函数的一个优点。缺点：三次样条函数分别在每个区间上对应一个表达式，这无论是在实际应用

27、中还是理论分析，都很不方便；其次，三次样条插值要利用所有给的点，即使只改变一个结点的函数值也会是整条样条曲线都发生变化；而且三次样条函数对方程的要求较高。（4）B-样条插值优点：总是位于所给点确定的多边形内部，改变一个结点的值只会是一小段曲线发生改变。其系数矩阵有较好稀疏性，插值函数本身甚至其若干阶导数都能收敛到被插值函数及其相应的若干阶导数，插值函数比较稳定等。正是由于B-样条插值函数有这许多良好的性质,因此被广泛应用于生产生活中的诸多领域，并且得到了较好的效果。2.2.2 最好的方法是？B-样条插值由于B样条曲线具有局部性，几何不变性，连续性，对称性，递推性，凸包性和变差缩减性等重要性质，

28、应用B-样条函数作为基函数构造的插值函数有其较多的优点，例如：B样条曲线系数矩阵有较好稀疏性，插值函数本身甚至其若干阶导数都能收敛到被插值函数及其相应的若干阶导数，插值函数比较稳定，总是位于所给点确定的多边形内部，改变一个结点的值只会是一小段曲线发生改变等。如正是由于B-样条插值函数有这许多良好的性质，因此被广泛应用于生产生活中的诸多领域，并且得到了较好的效果。第三章 算法应用一样条插值及应用方法怎么用？（程序设计）？3.1.1 一般程序设计三弯矩插值法程序:Clearx,y,a,b,c,n,Mx1=27.7;x2=28;x3=29;x4=30;y1=4.1;y2=4.3;y3=4.1;y4=

29、3.0;B=Tablexi,yi,i,1,4;y1=3.0;y4=-4.0;h1=0.3;h2=1;h3=1;a2=h1/(h1+h2);a3=h2/(h2+h3);a4=1;b1=1;b2=1-a2;b3=1-a3;c1=6/h1(y2-y1)/h1-y1);cj_:=6(yj+1-yj)/hj-(yj-yj-1)/hj-1)/(hj-1+hj);c4=6/h4-1(y4-(y4-y4-1)/h4-1);A=TableSwitchi-j,-1,bj-1,0,2,1,aj+1,_,0,i,1,4,j,1,4;MatrixForm%CC=Tablecj,j,1,4;MatrixForm%Line

30、arSolveA,CC;MatrixForm%;Mj_:=LinearSolveA,CCjTableMj,j,1,4Sj_:=Mj+1(x-xj)3/(6hj)-Mj(x-xj+1)3/(6hj)+(yj+1-Mj+1hj2/6)(x-xj)/hj-(yj-Mjhj2/6)(x-xj+1)/hjTableSj,j,1,3;Expand%;MatrixForm%g1=Plot%1,x,27.7,28g2=Plot%2,x,28,29g3=Plot%3,x,29,30g4=ListPlotB,Prolog-AbsolutePointSize15Showg1,g2,g3,g4,Prolog-Abso

31、lutePointSize153.1.2 举例验证例子：已知函数的数值表如下： 24637131-1试求在2,6上的三次样条插值函数 解：这是第一类边界条件的问题 ，由公式知 ， 得方程组解得 , 故所求的三次养条差值函数同理有即：Maths程序如下：Clearx,y,a,b,c,n,Mxi_:=2i;y1=3;y2=7;y3=13;B=Tablexi,yi,i,1,3;y1=1;y3=-1;hj_:=2;aj_:=hj-1/(hj-1+hj);a3=1;b1=1;bj_:=1-aj;c1=6/h1(y2-y1)/h1-y1);cj_:=6(yj+1-yj)/hj-(yj-yj-1)/hj-1

32、)/(hj-1+hj);c3=6/h3-1(y3-(y3-y3-1)/h3-1);A=TableSwitchi-j,-1,bj-1,0,2,1,aj+1,_,0,i,1,3,j,1,3;MatrixForm%CC=Tablecj,j,1,3;MatrixForm%LinearSolveA,CC;MatrixForm%;Mj_:=LinearSolveA,CCjTableMj,j,1,3Sj_:=Mj+1(x-xj)3/(6hj)-Mj(x-xj+1)3/(6hj)+(yj+1-Mj+1hj2/6)(x-xj)/hj-(yj-Mjhj2/6)(x-xj+1)/hjTableSj,j,1,2;Ex

33、pand%;MatrixForm%g1=Plot%1,x,2,4g2=Plot%2,x,4,6g3=ListPlotB,Prolog-AbsolutePointSize15Showg1,g2,g3,Prolog-AbsolutePointSize15二样条插值及应用方法用哪好？ 3.2.1 样条插值及应用方法在你所学专业的应用三次样条曲线在电极挤压机型咀上的应用1、电极挤压机型咀曲线概述电极生产中，电极挤压成型的质量是影响电极产品质量的重要因素之一，而电极的挤压成型质量的关键又是型咀的形状。但到底什么样的形状的型咀为最佳呢？这已成为国内外炭素行家研究的重要课题之一。电极挤压机型咀曲线与配方一样

34、，在国外是保密的，因此，国外对型咀曲线虽做了不少研究，但公布的技术资料却极少，我国目前通用的型咀还是三十多年来惯用的以一段园弧旋转而成的喇叭型，近年来有些炭素行家做过一些研讨，但研讨甚少，本文将以瑞士型咀为例进行分析。瑞士型咀有关资料为了保密仅仅给出曲线的十个坐标点，其值和编号如表1。为叙述方便，设型咀旋转轴为Z轴，型咀入口端面与纵剖面交线为Y轴,型咀入口端面圆心为坐标原点，设型咀曲线用函数犷来表示，则函数应满足以下条件：(1)在范围内，函数应是单值函数，并且随Z值的增加而单调下降，即曲线单调下降。(2)从受力的角度出发，型咀内壁应呈光滑的流线形，即曲线函数在Z 变化范围内连续，函数的一阶导数

35、和二阶导数连续。(3)函数的计算应简单方便，并便于用计算机进行计算。表1 瑞士电极挤压机型咀曲线上各点的坐标值02.54.759.415.726.8541.556.4571.383.55655547.6541.2036.153127.525.7524.8524.52、瑞士型咀曲线的拟合方法选择曲线的拟合方法很多，折线法是最简单的方法，它是用一段曲线的弦来近似地表示这段曲线，故误差大，曲线光滑度差，即折线函数有奇点，其一阶导数在两段折线接头处间断。园弧法也是曲线拟合和外型设计的常用方法之一，我国目前通常使用的型咀就是用单段园弧法设计的。对于瑞士型咀，从其十个坐标点的值来看,它不是单段园弧线。若为

36、园弧线，也只能是多段园弧线相切连接，即前一园弧末点与该园心的连线方程与后一园弧起迄点连线的中垂线方程的解就是后一园弧的园心坐标。拟合园弧少于四段不能拟合，若用九段园弧拟合，整个曲线起伏太大而不可取，用四至八段园弧可以拟合，但以五段园弧拟合效果为最好。样条函数法在近年来对飞机、船舶、汽车和火箭等外形设计及火箭弹道选择计算等问题都有着重要的应用，分段一次函数也就是前面讲的折线函数，它的光滑度差，但也并非高次函数就一定好，且高次函数计算复杂。样条函数中以三次样条函数应用最为广泛，三次样条函数曲线相当于集中载荷作用下的梁的挠度曲线，在数学上是二阶导数连续的分段三次多项式，它具有良好的力学性质，极大模性

37、质。且三次样条函数满足前面所述型咀曲线函数的三个条件，故用它来作为设计电极挤压机型咀曲线是很适宜的。此外，用双曲线、抛物线和星形线及指数函数进行拟合，其效果不佳。3、三次样条函数法及设计计算步骤用三次样条函数法来设计曲线，只要知道曲线起始点和终点的坐标和其斜率以及曲线中若干点的坐标即可。对于拟合曲线，这些条件是已知的或可根据条件确定。对于设计型咀曲线，这些条件可以根据挤压力学和挤压工艺加以确定。用三次样条函数法来设计型咀曲线的步骤如下：设型咀曲线函数为，把曲线分为N段，令则通过点的三次样条曲线函数为式中为未知参数（或称为矩)，可由下方程组求得，即式中和为和点的曲线斜率，将上式写成矩阵式则为4、

38、用三次样条函数对瑞士型咀曲线进行拟合计算若设曲线在起点和终点处的切线倾角为0，则和，故和,和。程序设计如下：Mathematics程序：Clearx,y,a,b,c,Mx1,x2,x3,x4,x5=0,2.5,4.75,9.40,15.7;x6,x7,x8,x9,x10=26.85,41.5,56.45,71.3,83.55;y1,y2,y3,y4,y5=65,55,47.65,41.2,36.15;y6,y7,y8,y9,y10=31,27.5,25.75,24.85,24.5;B=Tablexi,yi,i,1,10y1=0;y10=0;h1,h2,h3,h4,h5=2.5,2.25,4.6

39、5,6.3,11.15;h6,h7,h8,h9=14.65,14.95,14.85,12.25;aj_:=hj-1/(hj-1+hj);a10=1;b1=1;bj_:=1-aj;c1=6/h1(y2-y1)/h1-y1);cj_:=6(yj+1-yj)/hj-(yj-yj-1)/hj-1)/(hj-1+hj);c10=6/h10-1(y10-(y10-y10-1)/h10-1);A=TableSwitchi-j,-1,bj-1,0,2,1,aj+1,_,0,i,1,10,j,1,10;MatrixForm%CC=Tablecj,j,1,10;MatrixForm%LinearSolveA,CC

40、;MatrixForm%;Mj_:=LinearSolveA,CCjTableMj,j,1,10Sj_:=Mj+1(x-xj)3/(6hj)-Mj(x-xj+1)3/(6hj)+ (yj+1-Mj+1hj2/6)(x-xj)/hj- (yj-Mjhj2/6)(x-xj+1)/hjTableSj,j,1,9;Expand%;MatrixForm%g1=Plot%1,x,0,2.5g2=Plot%2,x,2.5,4.75g3=Plot%3,x,4.75,9.4g4=Plot%4,x,9.4,15.7g5=Plot%5,x,15.7,26.85g6=Plot%6,x,26.85,41.5g7=Plo

41、t%7,x,41.5,56.45g8=Plot%8,x,56.45,71.3g9=Plot%9,x,71.3,83.55g10=ListPlotB,Prolog-AbsolutePointSize15Showg1,g2,g3,g4,g5,g6,g7,g8,g9,g10,Prolog-AbsolutePointSize15运行结果如下：3.2.2 样条插值及应用方法在你了解的其他领域的应用自60年代以来，由于航空造船等工程设计的需要，发展了样条函数方法，现在样条函数越来越流行，它不仅是现代函数逼近的一个活跃的分支，而且也是现代数值计算中一个十分重要的数学工具。它已以各种方式应用到逼近论、数据拟合

42、、数值微分、数值积分、微分方程和积分方程的数值求解中。在外形设计乃至计算机辅助设计的许多领域，样条函数都被认为是一种有效的数学工具。样条曲线的应用范围非常广泛，不仅在几何造型方面，还应用到其它许多方面，如应用B样条函数处理力学问题 ，结合小波方法应用于图像的完整性认证，应用于实验数据的压缩，应用于一维、二维空间中轨迹的规划，在纺织数码印花，对来自气象站的逐月气候数据利用样条函数插值拟合等。样条插值的应用范围还在不断的扩大，同时也在不断的改进，因此对它的研究具有一定的应用价值和推广价值。第四章 算法展望 （1）三次样条插值在电弧炉无功补偿中的应用电弧炉以其灵活性、可靠性、较快的冶炼速度以及较优的

43、冶炼质量等优势在冶金行业得到了广泛应用。电弧炉工作时，由于电弧长度急剧变化，引起无功急剧波动，导致电网电压的闪变和波动；由于各相电弧电压是独立变化的，三相电弧各自急剧无规则变化，故其三相电流是不对称的，产生负序电流；平均功率因数低于075，在发生工作短路时甚至低于01。由于电弧炉的容量大，是用电大户，导致其所在的电网也存在电压闪变和波动严重、高次谐波多、电网功率因数低的问题，这不仅影响电炉自身的质量，使电耗、电极消耗增大，更危及发配电和大量用户，成为目前电网最主要的公害之一，进行无功补偿是解决以上问题的必要手段。无功补偿技术在应用中存在的一些问题，采用晶闸管可控电抗器可以减小损耗，降低冲击电流

44、产生的负面影响，实现节能的目的。由于晶闸管可控电抗器方程不能直接求解，所以采用函数逼近的方法建立起三次样条插值方程，在实际应用中，通常是先得到补偿电纳值，再根据该值，通过解方程组得到触发角的值。由于式(1)为超越方程，在计算机中求解比较困难，故采用函数逼近的方法，根据已知条件，建立相应的函数。因为晶闸管控制角的计算精度直接影响无功补偿的效果，故选择合理的计算方法就比较重要，文中运用三次样条插值法来实现晶闸管控制角的计算。在可控电纳与控制角的关系式中，如果取则有：三次样条插值重点是求取弯矩方程， 在节点上的二阶导数值为，由于在上的二阶光滑三次多项式，故在上是线性连续函数表示为：其中，对此式两端在

45、区间上求积分两次，并利用，可确定积分常数，从而得到样条插值函数：对求导及条件最终可得到矩阵形式：由以上分析可知，建立样条插值函数其最终目的是根据其函数值求解对应的变量值，即的值。根据已知的变量代入函数中，求解对应的函数值，得出与理想函数的误差。 (2) 应用于凸轮运动分析在采用凸轮机构的位移分析方法取得凸轮机构的从动件离散位移后，可以建立凸轮运动分析的三次样条差值函数，然后则可方便地进行从动件速度、加速度以及跃度分析。现在建立凸轮机构分析的三次样条插值方程：设（表示凸轮转角，表示从动件的位移），在处的一阶导数为，根据三次样条差值的三个边界可得如下的方程：其中，（），取得上述参数后，把位移离散值

46、代入差值函数方程，即可进行速度分析，把速度代入即可进行加速度分析，把加速度代入即可进行跃度分析。（3）基于三次样条插值理论的电子式互感器数据同步传统的电磁式互感器输出连续的模拟量，各路模拟量之间基本同步，按照统一制造标准设计的互感器传变角差很小，在实际工程应用中可以不计。电子式互感器在模拟式（电磁式的或者光学的）传感头之后，经过滤波、采样处理、数据传输、数据接收解码等环节后，输入到合并单元（MU）进行处理和输出。由于各路模拟量的上述各环节延时不一定相同，于是引出了数据同步问题。线性插值算法在谐波次数高的情况下误差过大和二次插值算法在低采样频率下误差改进不明显。出了基于三次样条插值理论的同步算法

47、，并进行了误差的理论分析和数值仿真计算。合并单元对每路测量量的每个采样值打上对应的时间标签，延时补偿后，使各路的数据能够在时间轴上具有可比性。然后，以固定的采样时间序列为标准，各路数据通过三次样条插值的方法，将数据变换到该标准时间序列下的计算值，利用新得到的各路数据进行各种保护理论的计算。结果表明该算法在高次谐波同步方面有着更高的精度，特别在合并单元低频率采样下，精度远高于二次插值算法，显著提高了电压、电流的幅值和相位精度。三次样条插值法相对于线性插值法和二次插值法计算量增加，但随着合并单元硬件处理速度的不断提高，在合理选取分段三次样条计算的采样点数后，完全可以较快地完成算法，而且极大地提高了测量精度，满足了新型变电站智能设备采样值信号接口技术的要求。第五章 学习思考一样条插值及应用相关的问题（我的思考）1.什么是拉格朗日插值基函数？它们是如何构造的？有何重要性质？2.什么是牛顿基函数？它与单项式