金融工程 (5)

1、12股票指数，是运用统计学中的指数方法编制而成的、反映股市中总体股价或某类股票价格变动和走势情况的一种相对指标。 如DJIA 、SP500、中国沪深300指数。以股票指数作为标的资产的股票指数期货，则是指交易双方约定在将来某一特定时间交收“一定点数的股价指数”的标准化期货合约，通常简称为股指期货。如沪深300指数期货、SP500指数期货。3股指期货交易特殊性股指期货交易特殊性 ：（1）现金结算交割；（2）股指期货的合约规模不是固定的，而是按照开立股指期货头寸时的价格点数乘以每个指数点所代表的金额。 4股价指数可以近似地看作是支付已知收益率的资产 ,在无套利的市场条件下 : (3.7)注意式（3

2、.7）的例外：在CME交易的以美元标价的日经225指数期货无法使用式（3.7）进行定价。5()()r q T tFSe6以买现货卖期货套现为例以买现货卖期货套现为例:美美元元日本日本美国美国原因在于：该期货的标的资产为在日本大阪证券交易所交易的原因在于：该期货的标的资产为在日本大阪证券交易所交易的以日元计价的日经以日元计价的日经225股价平均数，而该期货是以美元计价的，股价平均数，而该期货是以美元计价的，合约规模为日经合约规模为日经225股价平均数乘以股价平均数乘以5美元，而且该合约实行现美元，而且该合约实行现金结算，这样我们就无法通过无套利定价方法来定价。金结算，这样我们就无法通过无套利定价

3、方法来定价。指数套利指数套利（ Index Arbitrage ）：当股指期货的实际价格偏离理论价格时，市场就存在着套利机会。l “程序交易”（ Program Trading ） 7若实际的期货价格高于理论价格，即 ，投资者可以通过买入该股票指数的成分股并卖出相应的股指期货，期货到期卖出股票交割股指期货进行套利；若实际的期货价格低于理论价格，即 ，则投资者可以卖空该股票指数的成分股，买入相应的股指期货，期货到期买回股票交割股指期货进行套利。注：套利者常常通过交易一些与股指变动同步的代表性股票进行指数套利。由计算机进行打包交易（程序交易）8()()r q T tGSe()()r q T tGS

4、e1. 多头套期保值与空头套期保值股指期货的标的资产是市场股票指数，因此运用股指期货进行套期保值，管理的是股票市场的系统性风险。 股指期货的套期保值操作中较多存在交叉套期保值的现象，股指期货的标的资产是特定的市场指数，而被保值对象则可以是市场中特定的股票、股票组合或市场指数组合。92. 股指期货的最优套期保值比率一元线性回归方程CAPM 10HGrab r)(RHfMfrRrHab G 2. 股指期货的最优套期保值比率第四章所推导的最小方差套期保值比率适用于股指期货： 注意这个式子与CAPM衡量股票系统性风险的系数的公式极为类似： （5.1）11HHGGn2iMiiMMMR RRR RRR如果

5、：（1）所表示的市场指数组合与我们用于套期保值的股指期货价格变动一致；（2）套期保值期间，被套期保值的股票组合的系数能很好地代表其真实的系统性风险，则的确是股指期货最优套期保值比率的一个良好近似。 12MR案例案例 ：沪深：沪深300股指期货套期保值股指期货套期保值 假设某投资经理管理着一个总价值为 40 000 000 元的多样化股票投资组合并长期看好该组合，该组合相对于沪深300指数的 系数为 1.22 。2012年 3月 14日，该投资经理认为短期内大盘有下跌的风险，可能会使投资组合遭受损失，决定进行套期保值。13案例案例 ：沪深：沪深300股指期货套期保值股指期货套期保值 假定用 20

6、12年 4 月到期深沪300股指期货来为该投资组合未来一个月的价值变动进行套期保值。2012 年 3 月 14 日该股指期货价格为 2627 点。 如果运用最小方差套期保值比率并以该投资组合的 系数作为近似，需要卖出的期货合约数目应等2261.92622627 300份当前文所述的两个条件满足时，运用系数进行的股指期货套期保值往往可以使投资者的整体投资组合的系统性风险为零。 假设某投资者希望将其原有组合中的部分股票转化为短期国库券，她可以利用股指期货而无需出售股票达到这一效果：保留该部分股票，同时根据系数出售与该部分股票价值相对应的股指期货空头，就可以创建一个合成的短

7、期国库券（Synthetic T-Bill）。股票多头股指期货空头短期国库券多头15反过来，投资者同样也可以利用短期国库券的多头和股指期货的多头创建一个合成的股票组合（Synthetic Equity Position），达到将原有的短期国库券转化为股票组合的目的。163. 改变投资组合的系统性风险暴露投资者可以利用股指期货，根据自身的预期和特定的需求改变股票投资组合的系数，从而调整股票组合的系统性风险与预期收益。 设定股票组合的原系数为，目标系数为。则套期保值比率就应该为，需要交易的股指期货份数为 （5.2） 和分别代表股票投资组合的总价值与一份股指期货合约的规模。17*HGVVHVGV当时

8、，意味着投资者希望提高所承担的系统性风险，获取更高的风险收益，应进入股指期货多头，式（5.2）大于零； 当时，意味着投资者希望降低所承担的系统性风险，应进入股指期货空头，式（5.2）小于零。 显然最优套期保值比率是目标的特例。 18*0在实际中，人们常常用 （5.3）代替式（5.2）。当前文所述的两个条件不成立时，系数不是股指期货最优套期保值比率b的一个良好近似，就需要使用式（5.3）进行改善。19*/HGVbV20 普通的远期外汇协议是在当前时刻由买卖双方确定未来某一时刻按约定的远期汇率买卖一定金额的某种外汇。 我们采用支付已知收益率资产远期合约的定价公式为直接远期外汇协议定价。 21可以得

9、到直接远期外汇协议的远期价值为 （5.4）远期汇率为 （5.5）式（5.5）就是国际金融领域著名的利率平价关系。 u若 , 外汇远期贴水；u若 , 外汇远期升水。22frrfrr()()frT tr T tfSeKe()()fr rT tFSe远期外汇综合协议的概念远期外汇综合协议的概念 远期外汇综合协议是指从未来某个时点起算的远期外汇协议，即当前约定未来某个时点的远期汇率，其实质是远期的远期。 交割方式：实物交割 现金结算23实际中，实物交割是，双方在当前t时刻约定买方在结算日T时刻按照协议中规定的结算日远期汇率K用第二货币（本币）向卖方买入一定名义金额A的原货币（外币），然后在到期日T*时

10、刻再按合同中规定的到期日远期汇率K*把一定名义金额（在这里假定也为A）的原货币出售给卖方。 在这里，所有的汇率均指用第二货币表示的一单位原货币的汇率。为论述方便，我们把原货币简称为外币，把第二货币简称为本币。 24远期外汇综合协议的定价远期外汇综合协议的定价远期外汇综合协议多头的现金流为：T时刻：A 单位外币减 AK本币T*时刻：AK*本币减 A单位外币 这些现金流的现值即为远期外汇综合协议多头的价值f 。（5.6)25*()()()*()()()()()()()*ffffrT trTtr T trTtr rT trrTtr T trTtfASeAKeAK eASeAeSeKAeKSe远期汇率

11、就是令合约价值为零的协议价格 ，因此(5.7) (5.8) 从上述讨论中我们可以看到，远期外汇综合协议可以理解为约定的是未来T时刻到T*时刻的远期差价。将 F 和 F* 代入 ERA 价值公式可得甲方的ERA价值为26()()fr rT tFSe*()()*frrTtFSe*r Ttr T tAeFKAeKF27 现金结算：ERA 约定的是未来 T 到 T* 时刻的远期升贴水WK。买卖双方在T时刻用本币按照真实升贴水幅度W与WK 的差异结算外币升贴水变化带来的损益。 在任意时刻，合理的升贴水幅度为WF=F*-F 对于甲方而言， 任意t时刻ERA的价值为对于甲方而言，到期T时刻的结算盈亏为 *t

12、Ktr Ttr TttPVA WWPVAKKFFPVAFKKFA eFKA eKF*r TTTA SKA eKF案例案例 ： ERA 定价定价 2007 年 10 月 10 日，伦敦银行同业拆借 3 个月期美元利率为 5.2475% ，1 年期美元利率为 5.0887% ，3 个月期日元利率为 1.0075% ，1 年期日元利率为 1.1487% 。 同时，美元对日元的即期汇率为 0.0085 美元/日元。本金 1 亿日元的 3 个月 1 年 ERA 的 3 个月合同远期汇率为 0.008615 美元/日元，1 年合同远期汇率为 0.008865 美元/日元。 请问该合约理论上的远期汇率、远期

13、差价和远期价值等于多少？28案例案例 ： ERA 定价定价 3 个月期理论远期汇率为 1 年期理论远期汇率为 3 个月 1 年理论远期差价为29日元美元/000251. 0008591. 0008842. 0*FFW(0.052475 0.010075) 0.250.00850.008591/Fe美元 日元(0.050887 0.011487) 1*0.00850.008842/Fe美元 日元案例案例 ： ERA 定价定价 根据公式（ 5.9），对于合约甲方而言，该 ERA 价值为：300.052475 0.250.050887 10.0085910.0086151182.830.008865

14、0.008842 ee亿美元31远期利率协议（FRA）是买卖双方同意从未来某一商定的时刻开始的一定时期内按协议利率借贷一笔数额确定、以具体货币表示的名义本金的协议。 (案例5.3）FRA常见的做法是进行现金结算，即结算金额为利差的贴现值。因此，FRA中的本金通常被称为“名义本金”。32注意，FRA的多方为利息支付者，即名义借款人，其订立FRA的目的主要是为了规避利率上升的风险。相应地，FRA的空方则是利息获得者，即名义贷款人，其订立FRA的目的主要是为了规避利率下降的风险。 在远期利率协议中，远期价格就是远期利率协议中的理论协议利率，或称为远期利率（Forward Interest Rate）

15、，这是金融工程中最重要的概念之一。 33 远期利率是指现在时刻的将来一定期限的利率， 而即期利率是指当前时刻起一定期限的利率。2007.9.12007.10.12007.11.112007.12.12008.1.112远期利率23远期利率34远期利率1个月即期利率2个月即期利率24远期利率34远期利率如何决定？ 远期利率是由一系列即期利率决定的。 假设现在时刻为 t，T 时刻到期的即期利率为 r，T*时刻（）到期的即期利率为，则t时刻的期间的远期利率 应满足以下等式: （5.11）若式（5.11）不成立，就存在套利空间。*r35Fr*TT*TT*FrTTrTtr T teee*FrTTrTtr

16、 Tt对（5.11） 变形可得： （5.12）这是远期利率的常用计算公式，进一步变形可得 （5.13）36*FrTtr TtrTT*FrTTrTtr TtTtrrrrTTTT 如果即期利率期限结构在期间是向上倾斜的，即，则； 如果即期利率期限结构在期间是向下倾斜的，即，则。37*TT*TT*rr*Frr*rr*Frr考虑时刻 t 的两个远期利率协议，它们的名义本金均为A，约定的未来期限均为，第一个FRA的协议利率采用市场远期利率，第二个FRA的协议利率为。显然，这两个FRA之间的唯一不同就是时刻的利息支付。换句话说，t时刻第二个FRA与第一个FRA的价值差异就是 时刻不同利息支付的现值（5.1

17、4） 38*TTFrKr*T*T*( *)( *)KFrTtrTTrTTAeAee 由于第一个FRA中的协议利率为理论远期利率，其远期价值应为零。则第二个FRA的价值就等于式（5.14）。式（5.14）适合于任何协议利率为 的远期利率协议价值的计算。 39Kr40利率期货是指以利率敏感证券作为标的资产的期货合约。人们通常按合约标的期限，将利率期货分为短期利率期货和长期利率期货。41 短期利率期货是以（期货合约到期时）期限不超过1年的货币市场利率工具为交易标的的利率期货，其典型代表为在CME交易的3个月欧洲美元期货；长期利率期货是以（期货合约到期时）期限超过1年的资本市场利率工具为交易标的的利率

18、期货，其典型代表为在CBOT交易的长期美国国债期货（30 Year U.S. Treasury Bonds Futures）。42利率远期和利率期货在本质上是相同的，但交易所对利率期货的交易制度安排使得它们之间出现了一定的差异，主要体现在： 第一，远期利率协议报出的是远期利率，而利率期货所报出的通常并非期货利率，而是与期货利率反向变动的特定价格，期货利率隐含在报价中。第二，由于上述区别，利率期货结算金额为期货到期T时刻协议价与市场结算价之差，远期利率协议的结算金额则为计息期末 时刻利差的贴现值。*T43 第三，利率期货存在每日盯市结算与保证金要求，加上结算金额计算方式的不同，决定了远期利率与期

19、货利率的差异。 第四，远期利率协议中的多头是规避利率上升风险的一方，而利率期货的多头则是规避期货价格上升风险，即规避利率下跌风险的一方。 第五，远期利率协议通常采用现金结算，而利率期货可能需要实物交割，期货交易所通常规定多种符合标准的不同证券均可用以交割，使得利率期货相对复杂。44 在CME交易的欧洲美元期货，其标的资产是自期货到期日起3个月期的欧洲美元定期存款。 表5-3列出了CME场内交易的欧洲美元期货合约的主要规定。 在 CME 集团交易，短期利率期货中交易最活跃的品种知识点提示：所谓“欧洲美元”，是指存放于美国境外的非美国银行或美国银行境外分支机构的美元存款，3个月期的欧洲美元存款利率

20、主要基于3个月期的LIBOR利率。 45欧洲美元期货合约条款欧洲美元期货合约条款46欧洲美元期货报价欧洲美元期货报价47 欧洲美元期货报价中的所谓“贴现率”实际上就是期货利率。 而欧洲美元期货的报价Q则是以“100期货利率100”给出的，市场称之为“IMM指数” 。 由于IMM指数与市场利率反向变动，一个规避利率上升风险者应进入欧洲美元期货的空头，而一个规避利率下跌风险者应进入欧洲美元期货的多头。 一份欧洲美元期货合约的合约价格： 10, 000 (100 0.25 (100 Q) 48例，2007年7月20日，将于2007年9月17日到期的欧洲美元期货合约EDU07结算报价为94.6650，

21、对应的合约价格为10000 (100 0.25 (100 94.6650)=986662.5相应的贴现率(Discount)为5.3350。这意味着市场认为2007年9月17日的LIBOR年利率将为5.3350，也就是说，3个月贴现率约为 495.3350%1.3375%4在对欧洲美元期货进行结算时，关键在于计算IMM指数变动量（或期货利率变动量）。 期货利率每个基点(0.01)的变动，意味着期货报价（IMM指数）变动0.01，一份合约价值变动 50110000 0.01254美元对于一份欧洲美元期货合约来说，期货利率每下降0.01，IMM指数就上升0.01，期货多头盈利（期货空头亏损）25美

22、元；期货利率每上升0.01,IMM指数下跌0.01，期货多头亏损（期货空头盈利）25美元。欧洲美元期货的到期结算价为到期多头盈亏为5110013LIBOR实际 个月期1001100 2510000 25Q期货利率LIBORLIBOR知识点提示：多头总是规避价格上升风险的交易者 ，而利率期货的多头则是规避期货价格的上升风险，即规避利率下跌风险的一方。 案例案例 2011 年 9 月 19 日 EDU11 到期时，3 个月期美元LIBOR 年利率为 0.25% ，相应地 EDU11 最后结算价为 99.75 。 如果忽略持有期间的盯市结算与保证金要求，一个于2011年 9 月 6 日以 99.62

23、 买入 EDU11 的交易者在该笔交易上盈利： (99.75 99.62) 100 25 = 325 美元52 欧洲美元期货合约与远期利率协议都锁定了未来一定期限的利率。 1 年以下的到期期限， 期货利率 远期利率 长期：差异不能忽略 53 对于更长期限的期货合约和远期合约来说，它们之间在交易机制上的差异就不能忽略了。具体来看主要有两个差异：（1）远期利率协议一次性到期，而欧洲美元期货每日盯市结算且有保证金要求；（2）远期利率协议的利息结算是在计息期末时刻进行的,而欧洲美元期货的利息结算则是在计息期初时刻T进行的。 54*T在CBOT交易的长期美国国债期货是长期利率期货中交易最活跃的品种之一。

24、其标的资产是从交割月的第一天算起剩余期限长于（包括等于）15年小于25年且在15年内不可赎回的面值为100 000美元的任何美国长期国债。其到期月份为3月季度循环月。美国长期国债属于附息债券，在期货存续期内常常会定期支付现金收益。55美国长期国债期货合约条款美国长期国债期货合约条款56长期国债期货的报价方式是以美元和美元报出每100美元面值债券的价格。由于合约规模为面值100 000美元，因此80-16的报价意味着一份长期美国国债期货的合约价格是美元。 132161000 80805003257注意，无论是现货还是期货，附息票债券报价与多方实际支付（或空方实际收到）的现金是不同的。附息票债券现

25、货或期货交割时多方实际支付和空方实际收到的价格是全价，又被称为现金价格或发票价格；而债券报价时通常报出净价。现金价格=报价（净价）+上一个付息日以来的应计利息58案例案例 ：附息票债券的现金价格与报价：附息票债券的现金价格与报价 2007 年 10 月 3 日，将于 2027 年 11 月 15 日到期、息票率为 6.125% 的长期国债 A 收盘报价为 118.11 。可以判断，该债券上一次付息日为 2007 年 5 月 15 日，下一次付息日为 2007 年 11 月 15 日。59案例：附息票债券的现金价格与报价案例：附息票债券的现金价格与报价 由于 2007 年 5 月 15 日到 2

26、007 年 10 月 3 日之间的天数为 141 天，2007 年 5 月 15 日到 2007 年 11 月 15 日之间的天数为 184 天，因此 2007 年 10 月 3 日，该债券每100 美元面值的应计利息等于 因此该国债的现金价格为606.1251412.3472184美元美元457.120347. 211.118长期国债期货空头可以选择从交割月第一天起剩余期限长于（包括等于）15年且在15年内不可赎回的任何美国长期国债进行交割。为了使不同的可交割债券价值具有可比性，交易所引入了标准券和转换因子的概念。 61标准券标准券是一种虚拟的证券，其面值为1美元，息票率为6，在交割月的第一

27、天时的剩余到期期限为15年整。CBOT交易的长期国债期货合约报价就是该标准券的期货报价。实际的可交割债券报价均按照一定的转换比率折算成该标准券的报价，从而使得不同可交割的债券价值具有了可比性。62转换因子（Conversion Factor）具体来看，各种可交割债券报价与上述标准券报价的转换是通过转换因子（Conversion Factor）来实现的。该转换因子等于面值每1美元的可交割债券的未来现金流按6%的年到期收益率（每半年计复利一次）贴现到交割月第一天的价值，再扣掉该债券1美元面值的应计利息后的余额。 63在计算转换因子时，债券的剩余期限只取3个月的整数倍，多余的月份舍掉。如果取整数后，

28、债券的剩余期限为半年的倍数，就假定下一次付息是在6个月之后，否则就假定在3个月后付息。（有关转换因子的进一步理解与计算详见案例5.6的第一部分）64案例案例 ：转换因子的计算：转换因子的计算 2007 年 12 月，代码为 USZ7 的长期国债期货到期。由于案例 5.4 中的债券 A 在 2007 年 12 月 1 日时的剩余期限为 19 年 11 个月又 15 天且不可提前赎回，因而是该国债期货的可交割债券。根据计算规则，在计算转换因子时应取 3 个月的整数倍，从而该债券在 2007 年 12月 1 日的剩余期限近似为 19 年 9 个月，下一次付息日近似假设为 2008 年 3 月 1 日

29、。65案例：转换因子的计算案例：转换因子的计算 面值每 1 美元的该债券未来现金流按 6% 到期收益率贴现至 2007 年 12 月 1 日的价值为66393906.125%121.031.031.02951 ( 1.031)i案例：转换因子的计算案例：转换因子的计算 根据转换因子的定义，转换因子等于该现值减去应计利息，在计算转换因子的假设条件下，该债券有 3 个月的应计利息。故此对于 2007 年 12 月到期的长期国债期货而言，这个债券的转换因子等于676.125%1.02951.01424 在实际中，转换因子是由交易所计算并公布的。 算出转换因子后，我们就可算出期货空方交割100美元面值

30、的特定债券应收到的现金：空方收到的现金空方收到的现金=期货报价期货报价 交割债券的转换因子交割债券的转换因子+交割债券的应计交割债券的应计利息利息 （5.16）上式中，期货报价是指标准券的期货报价，而空方收到的现金实际上就是期货合约的实际现金价格或发票价格。注意，式中的应计利息是交割债券在实际交割日的真实应计利息。 68案例案例 ：国债期货现金价格的计算：国债期货现金价格的计算 2007 年 10 月 3 日，上述 USZ7 国债期货报价为 111.27美元。假设空方定于 2007 年 12 月 3 日用债券 A 进行交割，一份 USZ7 国债期货的实际现金价格应为69.1000111 27

31、1 0142+应计利息案例案例 ：国债期货现金价格的计算：国债期货现金价格的计算 交割日 2007 年 12 月 3 日距上一次付息日 2007 年 11 月15 日天数为 18 天，前后两次付息日 2007 年 11 月 15 日与 2008 年 5 月 15 日之间的天数为 182 天。因此 2007年 12 月 3 日，债券 A 每 100 美元面值的应计利息等于 因此，空方交割债券 A 可得到的实际现金收入应为70.6 125180 3032182美元1000 (111.27 1.01420.303)113153美元 转换因子的不足转换因子的不足 理想的转换因子应是两种债券的真实价格之

32、比，才能保证转换之后所有可交割券之间完全平等 由于转换因子诸多假设，天然导致不同债券之间并非完美公平转换相对合算和不合算 作为有选择权的卖方，会选哪个券交割？71转换因子制度固有的缺陷和市场定价的差异决定了用何种国债交割实际上是存在差异的。这样，市场空方必然选择最合算的债券进行交割，从而出现了“交割最合算的债券”（Cheapest-to-Deliver Bond）。 交割最合算的债券就是购买交割券所付的价格与交割期货时空方收到的现金之差最小的那个债券。 交割成本交割成本=债券报价债券报价+应计利息（期货报价应计利息（期货报价 转换转换 因子因子+应计利息）应计利息） =债券报价（期货报价债券报

33、价（期货报价 转换因子）转换因子） 72 确定最便宜可交割券（确定最便宜可交割券（CTD券）券） 交割日之前，IRR最高：CTD券 隐含回购利率（Implied Repo Rate，IRR）：无付息情形73365约定的期货全价今天现货全价今天现货全价IRRIRRTtTt支付现货全价今天交易日t未来交割日T收到期货全价确定最便宜可交割券（确定最便宜可交割券（CTD券）券） 付息情形365365ttIR RTtTt时刻期货全价时刻现券全价期货期限内现券付息时刻现券全价期货期限内现券付息美国长期国债的例子美国长期国债的例子由于国债期货的空方拥有交割时间选择权和交割券种选择权，因此要精确地计算国债期货

34、的理论价格是比较困难的。但是，如果假定交割最合算的国债和交割日期是已知的，那么可以通过以下四个步骤来确定长期国债期货价格：1根据交割最合算的国债现货的报价，算出该交割券的现金价格。762运用支付已知现金收益的远期定价公式根据交割券的现金价格算出交割券期货理论上的现金价格。3反向运用式（5.16），根据交割券期货的现金价格算出交割券期货的理论报价。4将交割券期货的理论报价除以转换因子即为标准券期货理论报价，也是标准券期货的理论现金价格。（详见案例5.8）77()()r TtFSI e案例案例 延续案例 5.6 ，2007 年 10 月 3 日，针对 USZ7 期货而言交割最合算的债券是息票率为

35、7.125% 、将于 2023年 2 月 15 日到期的长期国债。其转换因子为 1.1103 ，现货报价为 126.40 。 假设我们已知空方将在 2007 年 12 月 3 日交割，市场上 2 个月期的美元无风险连续复利年利率为 3.8% 。试求出 USZ7 期货的理论报价。78案例案例1. 计算该交割券的现金价格。 根据到期日推算，该交割券的上一次付息日应为 2007 年 8 月 15 日，下一次付息日应为 2008 年 2 月 15 日。则该交割券每 100 美元面值的应计利息等于 则该国债的现金价格为.7 125490 9492184美元126. 400. 949127. 349美元案

36、例案例 2. 计算期货有效期内交割券支付利息的现值。 由于 2007 年 10 月 3 日到 2007 年 12 月 3 日期间 该交割券不会支付利息，因此 I = 0 。3. 在 12 月 3 日交割之前，USZ7 期货有效期还有 61 天（ 0.1671 年），可以计算出交割券期货理论上的现金价格为3. 8% 0. 1671127. 349128. 160Fe美元案例案例 3. 计算该交割券期货的理论报价。 2007 年 12 月 3 日交割时，该交割券的应计利息为则该交割券期货的理论报价为4. 求出标准券的理论期货报价.7 1251102 1302184美元128. 1602. 1301

37、26. 030美元126. 030113. 5101. 1103美元资产的利率风险一般被表述为资产价格变动的百分比对到期收益率变动的敏感性：（5.18）822221112!nnndPdPd Pd PdydydyPP dyP dynP dy现代的久期（Duration）就被定义为利率敏感性资产价格变动的百分比对到期收益率变动的一阶敏感性，： （5.19）由于一阶导数捕捉了函数价值敏感性变动中的主要部分，所以久期反映了资产价格利率风险的主要部分。久期越大，资产的利率风险越大；反之则越小。注意久期一般为正 。83dPPDdy 货币久期（货币久期（Dollar Duration）货币久期：到期收益率变

38、动引起的价值变动金额1 个基点的货币久期往往被称为基点价格值(DV01 或BPV）。84dPDPdy传统不含权债券的久期对传统的不含权债券：（5.20） 求导可得 （5.21） 式（5.21）就是传统的修正久期(Modified Duration)。它由 和麦考利久期(Macaulay Duration)两个部分组成 。111mimiCAPyy2311111231111111mmdPdy PyCCCmCmAyyPyyyy麦考利久期1(1)y85麦考利久期的概念麦考利久期可以解释为付息期1，2，3直至m的一种加权平均，其权重为各期现金流现值占债券价格（所有现金流现值之和）的比重，权重之和为1。从

39、这个意义上说，麦考利久期是期限的加权平均，其单位仍然是年，这是久期名称的最初来源。但真正考察债券价格对利率敏感程度时，我们仍然必须使用修正久期而非麦考利久期。 86注意，（5.21）对久期的定义取决于债券定价模型（5.20），仅适用于普通的不含权债券，而无法普遍适用于一些更复杂的利率敏感性资产如含权债券和利率期权等。相比较之下，目前式（5.19）已成为最具一般性、最能反映久期作为利率敏感性衡量指标这一性质的定义与公式。 dPPDdy 87在实际当中，人们通常用式（5.19）的下述差分形式计算定价模型比较复杂的利率敏感性资产的久期：（5.22）其中和分别代表到期收益率下跌和上升时所达到的资产价格。 2PPDPy PP88利率远期和利率期货的久期取决于其标的资产的久期和远期（期货）本身价值变化的计算方式。例如，欧洲美元期货合约的价值变动源于期货报价的变动，而期货报价等于100期货利率。因此欧洲美元期货的久期就是期货利率的久期，而后者的久期取决于LIBOR利率对特定到期收益率dy的敏感性，如果这两者是一对一变动的，欧洲美元期货的久期就等于1。89另外，由于长期国债期货的报价取决于标的资产长期国债的价格，长期国债本身的久期一般都比较大，而长期国债期货本身的到期期