历届大学物理力学试题解答

1、历届大学物理力学试题解答历届大学物理力学试题解答 共共21题题1、均匀细杆、均匀细杆AOB 的的A 端，端，B 端和中央位置端和中央位置O处各有处各有1个光滑的个光滑的小孔先让杆在光滑的水平大桌面上绕小孔先让杆在光滑的水平大桌面上绕 O 孔以角速度孔以角速度 w。作顺时。作顺时针方向旋转如图图平面为大桌面。今将一光滑的细杆迅速针方向旋转如图图平面为大桌面。今将一光滑的细杆迅速插入插入 A 孔，棍在插入前后无任何水平方向的移动，稳定后，在孔，棍在插入前后无任何水平方向的移动，稳定后，在迅速拔迅速拔A棍的同时，将另一光滑细棍如前所述插入棍的同时，将另一光滑细棍如前所述插入B 孔，再次孔，再次稳定后

2、，又在迅速拔出稳定后，又在迅速拔出 B 棍的同时，将另一光滑细棍如前所述棍的同时，将另一光滑细棍如前所述插入插入 O 孔。试求：最终稳定后，细杆孔。试求：最终稳定后，细杆AOB 绕绕O 孔旋转方向和孔旋转方向和旋转角速度的大小。旋转角速度的大小。 解：解：AOB m , l2231,121mlIImlIBAo AALLPrLLccA 0 ocAILLAAAIL 插入插入A孔前后孔前后AOB m , l0 ocAILLAAAIL 0041 AoAII插入插入 B 孔前后孔前后PrLLccB crcvPrc cLOAAoBmulIL2 AAcOAlru 202241 mlLB BBBIL 081

3、B B反向转了反向转了再次插入再次插入O孔前后孔前后BOOIL oooIL0081 BAOB m , l逆时针转逆时针转2、质量分别为、质量分别为m1 和和m2 的的 两物块与劲度系数为两物块与劲度系数为 k 的的 轻弹簧轻弹簧构成系统如图，物块与物体平面光滑接触，右侧水平外力构成系统如图，物块与物体平面光滑接触，右侧水平外力使弹簧压缩量为使弹簧压缩量为 l 。物体静止。将右侧外力撤去，系统质心。物体静止。将右侧外力撤去，系统质心 C 可获得的最大加速度为可获得的最大加速度为 ，可获得的最大速度值为，可获得的最大速度值为 。 m1 m2 k解：解：F m1N f fF m2cammkxN)(2

4、1 lx xmmkac21 21maxmmklac 质心质心 的最大加速度的最大加速度质心质心 的最大速度的最大速度 m1 m2 kF m2过平衡位置时的速度过平衡位置时的速度2max222121mvkl lmkv2max2 max212211max)(mmvmvmvc lmmkm212 = 03、如下图。外表呈光滑的、如下图。外表呈光滑的 刚体无转动地竖直下落。图中虚线对刚体无转动地竖直下落。图中虚线对应过刚体唯一地应过刚体唯一地 最低点部位最低点部位P1 的水平切平面。图中竖直虚线的水平切平面。图中竖直虚线P1 P2 对应着过对应着过 P1 点的铅垂线，点的铅垂线， C 为刚体的为刚体的

5、质心。设质心。设C与铅垂线与铅垂线P1 P2确定的平面即为铅垂面，将确定的平面即为铅垂面，将C到到P1 P2 的距离记为的距离记为 d ，刚，刚体质量为体质量为 m。刚体相对于过。刚体相对于过 C 点且与图平面垂直的水平转轴的点且与图平面垂直的水平转轴的 转动惯量为转动惯量为 JC . 设设 JCm d 2。刚体与水平地面将发生的碰撞为。刚体与水平地面将发生的碰撞为弹性碰撞，且无水平摩擦力，试在刚体中找出这样的点部位，它弹性碰撞，且无水平摩擦力，试在刚体中找出这样的点部位，它们在刚体与地面碰撞前、后的两个瞬间，速度方向相反，大小不们在刚体与地面碰撞前、后的两个瞬间，速度方向相反，大小不变。变。

6、CdP1P2v0解：解：CdP1P2N yvc)(0vmmvtNc 解：解：CdP1P2N y cJtdN 2022212121mvJmvcc 022vmdJmdJvccc 022vmdJmdc P0cv0vdvvc 4、 两个质量相同的小球两个质量相同的小球A 、B, 用长为用长为 2a 的无弹性且的不可伸的无弹性且的不可伸长的绳子联结。开始时长的绳子联结。开始时A、B 位于同一竖直线上，位于同一竖直线上， B在在A 的下方，的下方， 相距为相距为a，如下图。今给，如下图。今给A 一水平初速度一水平初速度v0 ， 同时静止释放同时静止释放B ，不计空气阻力。且设绳子一旦伸直便不再回缩，问：经

7、过多长时不计空气阻力。且设绳子一旦伸直便不再回缩，问：经过多长时间，间，A、B 恰好在同一水平线上？恰好在同一水平线上？ a v0ABCAB2 a解：解：001330cos2vavat 选择质心系，角动量守恒选择质心系，角动量守恒20v20v绳子拉紧前，绳子拉紧前， A 、B相对于质心的速度大相对于质心的速度大小为小为20v绳子拉紧后，绳子拉紧后， A 、B相对于质心做圆周运动，速度设为相对于质心做圆周运动，速度设为 vt t从释放到绳子拉直所用时间从释放到绳子拉直所用时间dtLdMcc CB20v vt t020v a v0ABCAB解：解：002t tt tt tmavmavmav 30s

8、in2220vmamav t t40vv t t226tavtt t 0232vavat t t 021)323(vattt 30 vt t vt t5、 某惯性系中有两个质点某惯性系中有两个质点A、B， 质量分别为质量分别为 m1、 m2 ，它，它们之间只受万有引力作用。开始时两质点相距们之间只受万有引力作用。开始时两质点相距 l0，质点，质点A静止，静止，质点质点B 沿连线方向的初速度为沿连线方向的初速度为 v0 .为使质点为使质点 B 维持速度维持速度v0不变，不变，可对质点可对质点 B 沿连线方向施一变力沿连线方向施一变力 F，试求：，试求：1两质点的最大两质点的最大间距，及间距为最大

9、时的间距，及间距为最大时的 F 值值2从开始时刻到间距最大的从开始时刻到间距最大的过程中，变力过程中，变力 F 作的功相对惯性系作的功相对惯性系0202lGmv G为引力常数为引力常数l0F v0m1m2AB解：解： 以以 m2 为为 S系系SSf0vm1Ffl0F v0m1m2ABSS解：解：1以以 m2 为为 S系系f0vm1Ffmax2102120121lmmGlmmGvm 机械能守恒机械能守恒020022max22lvlGmGml max221221lmmGrmmGF 2201220024)2(GmlmvlGm l0F v0m1m2ABS2S系中系中当当 l = lmax 时，时，m1

10、的速度的速度v =v0由动能定理，对由动能定理，对m1+ m2 202202121)(21vmvmmWWfF 一一对对 max0llfrdfW一对一对f0vm1drrmmGll max0221021max21lmmGlmmG 202202121)(21vmvmmWWfF 一一对对021max21lmmGlmmGWf 一一对对202202121)(21vmvmmWF 021max21lmmGlmmG 6、质量为、质量为 M 的刚性均匀正方形框架，在某边的中点开一个小缺口的刚性均匀正方形框架，在某边的中点开一个小缺口，缺口对质量分布的影响可以忽略。将框架放在以纸平面为代表的，缺口对质量分布的影响可

11、以忽略。将框架放在以纸平面为代表的光滑水平面后，令质量为光滑水平面后，令质量为m 的刚性小球在此水平面上从缺口处以的刚性小球在此水平面上从缺口处以速度速度 v 进入框内，图中进入框内，图中v 的方向的角的方向的角 =45 ，设小球与框架发生，设小球与框架发生的碰撞均为无摩擦力的弹性碰撞，试证：小球必将通过缺口的碰撞均为无摩擦力的弹性碰撞，试证：小球必将通过缺口离开框架。框架每边长为离开框架。框架每边长为a，那么小球从进入框架到离开框，那么小球从进入框架到离开框架，相对于水平面的位移为：架，相对于水平面的位移为：vmMvam)(22 v解：解： 1 vv a222)(mMrmrMrmMc )(.

12、mMrmrMrmMc vMmmrVCc . vv 小小 球在框架内运动的时间为球在框架内运动的时间为 TavvaT22224 在在T 时间间隔内，质心的位移为时间间隔内，质心的位移为avvMmmTvSc22 vvMmma )(22 vv )(mMrmrMrmMc )(mMrmrMSrmMc MmMmrrr 0 mMrmmmcrmMrmrMSr )(vvMmmaSrm)(22 7、小滑块、小滑块A 位于光滑水平桌面上，小滑块位于光滑水平桌面上，小滑块 B 处于位于桌面上处于位于桌面上的光滑小槽中，两滑块的质量均是，用长为的光滑小槽中，两滑块的质量均是，用长为L ，不可伸长、，不可伸长、无弹性的轻

13、绳连接。开始时无弹性的轻绳连接。开始时A、B 间的距离为间的距离为 L/ 2, A、B 间的间的连线与小槽垂直如图连线与小槽垂直如图 。今给滑块一冲击，使之获得平行。今给滑块一冲击，使之获得平行于槽的速度于槽的速度v，求滑块，求滑块 B 开始运动时的速度。开始运动时的速度。 y解：解：y 方向动量守恒方向动量守恒ymvmvmv120 A 对对B 原位置角动量守恒原位置角动量守恒 cossin2110LmvLmvLmvyx yv1xv12L0v B A L3 yxmvmvmv1103 2v 以以 B 为参照系，为参照系，A 相对于相对于B 的运动为以的运动为以 B 中心的圆，中心的圆， A 相相

14、对于对于B 的速度为的速度为v vvv 21 211cossinvvvvvyx vvx 2310273vv ymvmvmv120 yxmvmvmv1103 2121vvvy 2L0v y B Ayv1xv1 L122v Av B L2vxv1yv18、长为、长为 l ，质量为，质量为m 的匀质细杆，置于光滑水平面上，可绕过杆的匀质细杆，置于光滑水平面上，可绕过杆的中点的中点 O 的光滑固定竖直轴转动，初始时杆静止。有一质量与光的光滑固定竖直轴转动，初始时杆静止。有一质量与光滑杆相同的小球沿与杆垂直的速度滑杆相同的小球沿与杆垂直的速度 v 飞来，与杆碰撞并粘在杆端飞来，与杆碰撞并粘在杆端点上，如

15、图。点上，如图。1定量分析系统碰撞后的运动状态。定量分析系统碰撞后的运动状态。2假设假设去掉固定轴，杆中点不固定，再求系统碰撞后的运动状态。去掉固定轴，杆中点不固定，再求系统碰撞后的运动状态。 v m m C解：解： 1角动量守恒角动量守恒 )41121(222mlmllmv lv23 以以 3v/2l 为角速度做匀角速转动为角速度做匀角速转动 O v m C去掉固定轴，杆中点不固定去掉固定轴，杆中点不固定平动转动平动转动杆小球系统，动量守恒杆小球系统，动量守恒cmvmv2 2vvc 杆小球系统，外力矩为零，角动量守恒，杆小球系统，外力矩为零，角动量守恒， C新质心新质心C位置位置402lmm

16、mlm 对新质心对新质心C )(421ccJJlmv O v m C C4l对新质心对新质心C )(421ccJJlmv221)4(121lmmlJc 2487ml 平行轴定理平行轴定理22)4(lmJc lv56 系统的质心以系统的质心以 v/2 速度平动，速度平动，系统绕过质心的轴以系统绕过质心的轴以 6v/5l 为角速度做匀角速转动。为角速度做匀角速转动。9、 车厢内的滑轮装置如下图，平台车厢内的滑轮装置如下图，平台 C 与车厢一起运动，滑轮与车厢一起运动，滑轮固定不转动，只是为轻绳提供光滑的接触。物块固定不转动，只是为轻绳提供光滑的接触。物块A 与平桌面摩与平桌面摩擦系数擦系数 m0.

17、25，A 的质量的质量 mA 20kg，物块，物块 B 的质量的质量 m B 30 kg 。今使车厢沿水平方向朝左匀加速运动，加速度。今使车厢沿水平方向朝左匀加速运动，加速度 a02m/s2 ，假定稳定后绳将倾斜不晃，假定稳定后绳将倾斜不晃,试求绳子张力试求绳子张力T。CAB0a解：解： mA gN f T f * mB g f *Ta以车厢为参照系，引入惯性力以车厢为参照系，引入惯性力amgmamTAAA 0ABamTgmamBBB 22220BABAmmmmaggaT 0220 125.4Na纯滚动无滑动的滚动纯滚动无滑动的滚动cvAB Rvc 接触点对地的速度为接触点对地的速度为零零 R

18、ac 质心的速度为质心的速度为cv质心的加速度为质心的加速度为ca相对于质心系的角速度为相对于质心系的角速度为 相对于质心系的角加速度为相对于质心系的角加速度为 10、半径为、半径为R 的圆环静止在水平地面上。的圆环静止在水平地面上。 t 0 时刻开始以恒时刻开始以恒定角加速度定角加速度 沿直线纯滚动。任意时刻沿直线纯滚动。任意时刻 t 0，环上最低点，环上最低点 A 的加速度的大小为的加速度的大小为 , 最高点最高点 B 的加速度的大小为的加速度的大小为。 cvAB解：解： 质心系中质心系中最低点最低点A，地面系中，地面系中22 RRvan 22tR Rat cttaaa Rat 向左向左

19、Ra c向右向右0 ta22ntRa 22tRa 合加速度的大小合加速度的大小ta cvAB最高点最高点Bcttaaa Raact Rat2 22tRan 2222)()2(tRRa 424tR 纯滚动无滑动的滚动纯滚动无滑动的滚动cvAB Rvc 接触点对地的速度为接触点对地的速度为零零 Rac 质心的速度为质心的速度为cv质心的加速度为质心的加速度为ca轮子上一点相对于质心系的角速度为轮子上一点相对于质心系的角速度为 轮子上一点相对于质心系的角加速度为轮子上一点相对于质心系的角加速度为 11、半径为、半径为R 的圆环静止在水平地面上。的圆环静止在水平地面上。 t 0 时刻开始以恒时刻开始以

20、恒定角加速度定角加速度 沿直线纯滚动。任意时刻沿直线纯滚动。任意时刻 t 0，环上最低点，环上最低点 A 的加速度的大小为的加速度的大小为 , 最高点最高点 B 的加速度的大小为的加速度的大小为。 cvAB解：解： 质心系中质心系中最低点最低点A，地面系中，地面系中22 RRvan 22tR Rat cttaaa Rat 向左向左 Ra c向右向右0 ta22ntRa 22tRa 合加速度的大小合加速度的大小ta cvAB最高点最高点Bcttaaa Raact Rat2 22tRan 2222)()2(tRRa 424tR 22 RRvan 22tR Rat 12、一长、一长 L=4.8m 的

21、轻车厢静止于光滑的水平轨道上，固定于车的轻车厢静止于光滑的水平轨道上，固定于车厢地板上的击发器厢地板上的击发器 A 自车厢中部以自车厢中部以 u0 = 2m/s 的速度将质量为的速度将质量为 m1 = 1kg 的物体沿车厢内光滑地板弹出，与另一质量为的物体沿车厢内光滑地板弹出，与另一质量为 m2 =1 kg 的物体碰撞并粘在一起，此时的物体碰撞并粘在一起，此时 m2 恰好与另一端固定于车厢恰好与另一端固定于车厢的水平位置的轻弹簧接触，弹簧的弹性系数的水平位置的轻弹簧接触，弹簧的弹性系数 k = 400N/m ，长度，长度l =0 .30m ，车厢和击发器的总质量，车厢和击发器的总质量 M =

22、2kg 求车厢自静止至弹簧求车厢自静止至弹簧压缩最甚时的位移不计空气阻力，压缩最甚时的位移不计空气阻力， m1 和和m2 视作质点视作质点 解：解：车车m1+m2 系统动量守恒系统动量守恒001 MVumAm1m20u+Vm1+m2 系统动量守恒系统动量守恒01uMmV ummum)(2101 )(2101mmumu Am1m20u+V令令m1从被弹出到与从被弹出到与m2 碰撞结束所用的时间为碰撞结束所用的时间为 t m1相对车厢的位移为相对车厢的位移为)2(lL m1相对车厢的速度为相对车厢的速度为 u0+VtuVlL )(200)2(uVlLt )2(01lLuVVtVX )2()2(11

23、00101lLMmmlLuuMmMum 在在 t 内，车厢向左的位移为：内，车厢向左的位移为：车车m1+m2弹簧系统机械能守恒弹簧系统机械能守恒弹簧压缩最甚时，弹簧压缩最甚时，m1、m2 速度为零。车厢相对地面也静速度为零。车厢相对地面也静止止22122)(2121)(21ummMVlk 212101)11(1mmMkuml 在在m1和和m2与弹簧碰撞的过程中，全部系统的动量守恒与弹簧碰撞的过程中，全部系统的动量守恒0)()()()(2121 tMVtummMVummVummMtVtu )()()(21A)(tu)(tV)()()(21tVmmMtu A)(tu)(tV设设m1和和m2与弹簧碰

24、撞所用的时间为与弹簧碰撞所用的时间为 t 在在 t 内，内， m1和和m2相对车厢的速度为相对车厢的速度为 u(t)()()(tutVtu )()()(21tVmmMtV )()(2121tVmmMmm ldttut 0)(20)(XdttVt lmmMmmX )(212122121012121)11(1mmMkumMmmmm 车厢的总位移为车厢的总位移为 X21XXX )2(11lLMmm 2121012121)11(1mmMkumMmmmm X= 0.75(m)A)(tu)(tV13、 车厢内的滑轮装置如下图，平台车厢内的滑轮装置如下图，平台 C 与车厢一起运动，滑轮与车厢一起运动，滑轮固

25、定不转动，只是为轻绳提供光滑的接触。物块固定不转动，只是为轻绳提供光滑的接触。物块A 与平桌面摩与平桌面摩擦系数擦系数 m0.25，A 的质量的质量 mA 20kg，物块，物块 B 的质量的质量 m B 30 kg 。今使车厢沿水平方向朝左匀加速运动，加速度。今使车厢沿水平方向朝左匀加速运动，加速度 a02m/s2 ，假定稳定后绳将倾斜不晃，假定稳定后绳将倾斜不晃,试求绳子张力试求绳子张力T。CAB0a解：解： mA gN f T f * mB g f *Ta以车厢为参照系，引入惯性力以车厢为参照系，引入惯性力amgmamTAAA 0ABamTgmamBBB 22220BABAmmmmagga

26、T 0220 125.4NaP1 v1P2cab行星绕恒星的椭圆运动行星绕恒星的椭圆运动一、能量和角动量一、能量和角动量)()(21camvcamv caMmGmvcaMmGmv 22221211由由由由222241bGMcvv GMabcav2222)( )(21cacavv 222bca aGMmbvcamL 2)(P1 v1P2cabGMabcav2222)( caMmGmvE 2221aGMm2 222bca 二、椭圆在二、椭圆在 P1 点的曲率半径为点的曲率半径为ab2 三、椭圆轨道的偏心率为三、椭圆轨道的偏心率为abaace22 四、轨道按能量的分类四、轨道按能量的分类 E 0，那

27、么偏心率，那么偏心率 e 0，那么偏心率，那么偏心率 e1， 质点的运动轨道为双曲线。质点的运动轨道为双曲线。以地球为例：以地球为例： rmaxU(r)REE100 r2221 khmEe14、行星原本绕着恒星、行星原本绕着恒星S 做圆周运动。设做圆周运动。设S 在很短的时间内发在很短的时间内发生爆炸，通过喷射流使其质量减少为原来的质量的生爆炸，通过喷射流使其质量减少为原来的质量的 g 倍，行星倍，行星随即进入椭圆轨道绕随即进入椭圆轨道绕S 运行，试求该椭圆轨道的偏心率运行，试求该椭圆轨道的偏心率 e 。提。提示记椭圆的半长，半短轴分别为示记椭圆的半长，半短轴分别为A、B ，那么，那么)22A

28、BAe 解：变轨后解：变轨后 P 或为近地点，或为远地点或为近地点，或为远地点对圆轨道对圆轨道 P 点：点：P1 v1P2C202)(0CAmGMCAmv 对椭圆轨道对椭圆轨道 P1 点：点：202)(0CAmMGmv AB2 222CBA S v0PAB先考虑先考虑 P 为近地点，后考虑为近地点，后考虑P 为远地点的情况为远地点的情况202)(0CAmGMCAmv 202)(0CAmMGmv AB2 222CBA 1)( CA 1)(2 CAABACABAe 22P1 v1P2C 1ACA 1e202)(0CAmGMCAmv 对对P2 点点202)(0CAmMGmv 1 ACAP1 v1P2

29、C因为因为 1 ，因此上式不成立，因此上式不成立 。故故 行星变轨后不可能处于行星变轨后不可能处于P2点，只能处于点，只能处于P1 点。点。解二：解二：)()(21CAmvCAmv CAMmGmvCAMmGmv 22221211椭圆轨道的角动量椭圆轨道的角动量P1 v1P2CAGMmBvCAmL 2)(圆轨道的角动量圆轨道的角动量RGMmmvRL0 CAR 0MM CAAB 2 222CBA ABAACe22 P1 v1P2CAB 1e1)( ACA角动量守恒角动量守恒AMGmBL0 )(0CAGMm 15、一个质量为一个质量为m 的卫星绕着质量为的卫星绕着质量为 M ，半径为，半径为 R 的

30、大星体的大星体作半径为作半径为 2R 的圆运动。远处飞来一个质量为的圆运动。远处飞来一个质量为 2m，速度为，速度为 的小流星，它恰好沿着卫星的运动方向的小流星，它恰好沿着卫星的运动方向追上卫星并和卫星发生激烈碰撞，结合成一个新的星体，作用追上卫星并和卫星发生激烈碰撞，结合成一个新的星体，作用时间非常短。假定碰撞前后位置的变化可以忽略不计，新星的时间非常短。假定碰撞前后位置的变化可以忽略不计，新星的速度仍沿原来的方向，速度仍沿原来的方向，（1）用计算表明新的星体的运动轨道类型，算出轨道的偏心）用计算表明新的星体的运动轨道类型，算出轨道的偏心率率e（2）如果用小流星沿着卫星的速度的反方向发生碰撞

31、，算出）如果用小流星沿着卫星的速度的反方向发生碰撞，算出此时新星体的轨道的偏心率。给出新星体能否与大星体碰撞的此时新星体的轨道的偏心率。给出新星体能否与大星体碰撞的判断。判断。RGMv 解：解： M R 2R m 2m(1) 碰撞前卫星的速度碰撞前卫星的速度)2()2(202RvmRMmG RGMv20 M R 2R m 2m小流星与卫星碰撞，动量守恒小流星与卫星碰撞，动量守恒vmmRGMmRGMm)2(22 RGMv RGMv624 新星体的能量新星体的能量RmMGvmE2)3()3(212 04 . 52)3( RmGM椭圆轨道椭圆轨道aGMmE2 比照比照Ra4 . 5 R2 在近地点在

32、近地点 a63. 0 arae近近偏心率偏心率 M R 2R m 2mRGMv (2) 小流星与卫星反方向碰撞，动量守恒小流星与卫星反方向碰撞，动量守恒vmmRGMmRGMm )2(22RGMv23122 新星体的能量新星体的能量RmMGvmE2)3()3(212 02 . 12)3( RmGM椭圆轨道椭圆轨道aGMmE2 比照比照Ra2 . 1 R2 M R 2R m 2mRGMv Ra2 . 1 R2 a在远地点在远地点67. 0 aare新星与新星与 M 在近地点时的距离在近地点时的距离RRrar 4 . 02近近两者发生碰撞两者发生碰撞16、质量为、质量为2m 的匀质圆盘形滑轮可绕过中

33、心的匀质圆盘形滑轮可绕过中心O 并与盘面垂直并与盘面垂直的水平固定光滑轴转动，转轴半经线度可忽略，物体的水平固定光滑轴转动，转轴半经线度可忽略，物体1、2的质的质量分别为量分别为m 和和2m ，它们由轻质、不可伸长的细绳绕过滑轮挂，它们由轻质、不可伸长的细绳绕过滑轮挂在两侧。细绳与滑轮间的摩擦系数处处相同，记为在两侧。细绳与滑轮间的摩擦系数处处相同，记为 m，开始，开始时，滑轮和两物体均处于静止状态，而后假设时，滑轮和两物体均处于静止状态，而后假设m 0那么滑轮那么滑轮不会转动；假设不会转动；假设m 0，但较小时，滑轮将会转动，同时与绳，但较小时，滑轮将会转动，同时与绳之间有相对滑动；当之间有

34、相对滑动；当 m 到达某临界值到达某临界值m0 时，滑轮与绳之间的时，滑轮与绳之间的相对滑动刚好消失，试求相对滑动刚好消失，试求m0 值。值。T2T1 m1 g m2 g解：解：amgmT111 amTgm222 mm 1mm22 212221mRJRTRT Ra T2T1 m1 g m2 g解：解：amgmT111 amTgm222 mm 1mm22 212mRJRTRT Ra mamgT 1maTmg222 maTT 12ga41 mgT451 mgT232 绳子的质量忽略不计绳子的质量忽略不计 0iF0 ddTTdTdf )()( 2)(2)( dTddTdN22sin dd2sin)(

35、2sin)( dTddTdN TddN 对临界对临界 值值 dNdf0 NdT ( ) dfd 2 dT ( d )2cos)(2cos)( dTdfddT TddT0 dTdT0 0021dTdTTT 012ln TT 012eTT 56ln10 dTTdTdf )()( TddN dNdf0 mgT451 mgT232 17、光滑的平面上整齐地排列着一组长为、光滑的平面上整齐地排列着一组长为 l,质量为质量为m 的均匀的均匀 细杆细杆， 杆的间距足够大。杆的间距足够大。 现有一质量现有一质量 为为 M 的小球以垂直于杆的的小球以垂直于杆的 速度速度 V0 与杆的一端做弹性碰撞，随着细杆的旋

36、转，杆的另一端又与小与杆的一端做弹性碰撞，随着细杆的旋转，杆的另一端又与小球做弹性碰撞，而后小球相继再与第二杆、第三杆球做弹性碰撞，而后小球相继再与第二杆、第三杆.相碰。当相碰。当 m/M 为何值时，为何值时， M才能仍以速度才能仍以速度 V0 穿出细杆阵列？穿出细杆阵列？0V m , lM解：解：cmVMVMV 0由动量守恒由动量守恒由角动量守恒由角动量守恒 cJlMVlMV2202121mlJc 由动能守恒由动能守恒2222212121210 JmVMVMVcV = VccmVMVMV 0 cJlMVlMV2202222212121210 JmVMVMVcV = Vc由由 得：得：lVc6

37、 代入代入21 mM18、将劲度系数为、将劲度系数为 k，自由长度为，自由长度为L，质量为，质量为m 的均匀柱形圆的均匀柱形圆柱弹性体竖直朝下，上端固定，下端用手托住。柱弹性体竖直朝下，上端固定，下端用手托住。1设开始时弹性体处于静止的平衡状态，其长度恰好为设开始时弹性体处于静止的平衡状态，其长度恰好为L,试求此时手上的向上托力。试求此时手上的向上托力。2而后将手缓慢向下移动，最终与弹性体别离，试求其间而后将手缓慢向下移动，最终与弹性体别离，试求其间手的托力所作的功手的托力所作的功W。解解:(1) 取下面一段研究取下面一段研究0 F0TG它处于静止的平衡状态它处于静止的平衡状态T GF00Fm

38、gLyL 取取 一微元一微元dy计算其弹性系数计算其弹性系数将圆柱看做由许多的小段将圆柱看做由许多的小段 dy 串联而成串联而成nkkkk111121 0 y F0 y y dydyLkdy 1kyLkdyd TT+dT对微元对微元dy， 设伸长为设伸长为 dx xx xddykT x xddkyL yLkTdd x xyFmgLyLLkd)(10 其总伸长为其总伸长为 LyFmgLyLLk00d)(1dx xx x令令 x x 为零为零0d)(100 LyFmgLyLLkx xmgF210 2问问 中中 x 为为 LLyFmgLyLLk000d)(1dx xx x)21(10LFmgLLk kFkmg02 x xx xkmgF 210令令F 0mgk210 x x 00dx xx xFWx xx xd)21(20 kmgmgkkmg8)(2 19、如下图，光滑水平面上有一半径为、如下图，光滑水平面上有一半径为R的固定圆环的固定圆环，长，长2l 的匀质细杆开始时绕着中心的匀质细杆开始时绕着中心C点旋转，点旋转，C点靠点靠在圆环上，且无初速度，假定此后细杆可无相对滑动在圆环上，且无初速度，假定此后细杆可无相对滑动的绕着圆环外侧运动，直到细杆的一端与环接触后彼的绕着圆环外侧运动，直到细杆的一端与环接触后彼此别离，细杆与圆环之间的摩擦因数此别离，细杆与圆环之间的摩擦因数