西南交大-研究生课程-振动理论及应用课件02

1、2022年7月5日振动力学22022年7月5日中国力学学会学术大会200522022年7月5日22022年7月5日振动力学3单自由度系统的振动单自由度系统的振动2022年7月5日振动力学42022年7月5日振动力学4 2.1 2.1 运动方程的建立运动方程的建立弹簧弹簧- -质量系统：质量系统：将结构简化为将结构简化为“无质量无质量”的弹簧和的弹簧和“无无 弹性弹性 ”的质量块所组成的系统的质量块所组成的系统单度系统（单自由度系统）：单度系统（单自由度系统）：系统的位置可以用一个独系统的位置可以用一个独 立坐标描述的系统。立坐标描述的系统。单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动振动力学5单自

2、由度系统的振动单自由度系统的振动例例2-1 2-1 弹簧质量系统弹簧质量系统解：这是最简单的单自由度系统。图解：这是最简单的单自由度系统。图2-12-1中，我们考察弹簧质量系统沿铅垂中，我们考察弹簧质量系统沿铅垂方向的自由振动。弹簧刚度为方向的自由振动。弹簧刚度为k k，其质量忽略不计，其质量忽略不计,x,x1 1方向以向下为正，由牛方向以向下为正，由牛顿第二定律，系统的运动方程为顿第二定律，系统的运动方程为若设偏离静平衡位置的位移为若设偏离静平衡位置的位移为 x x , ,则因则因，故上式变为故上式变为 因此，当像重力一类的不变力作用时，可只考虑偏离系统静平衡位置的位移，因此，当像重力一类的

3、不变力作用时，可只考虑偏离系统静平衡位置的位移，那么运动方程中不会再出现重力这类常力，使方程形式简洁。那么运动方程中不会再出现重力这类常力，使方程形式简洁。现约定，无特现约定，无特别指明，一律以系统稳定的静平衡位置作为运动（或广义）坐标的原点。别指明，一律以系统稳定的静平衡位置作为运动（或广义）坐标的原点。1/xxlmg k 0m xk x11()m xkxlm g图图 2-12-1振动力学6单自由度系统的振动单自由度系统的振动例例2-2 2-2 扭摆的振动扭摆的振动解：如图解：如图2-22-2所示，相对于固定轴所示，相对于固定轴x x，建立系统的转动运动方程。仅有两力矩作，建立系统的转动运动

4、方程。仅有两力矩作用在圆盘上，即用在圆盘上，即 惯性力矩惯性力矩 恢复力矩恢复力矩 由动静法原理得由动静法原理得 其中，其中， 为轴的扭转刚度为轴的扭转刚度 , ,故故JpGIl0pGIJlpGIltk0tkJ图图 2-22-2振动力学7单自由度系统的振动单自由度系统的振动例例2-3 2-3 带重物带重物m m的简支梁的横向振动的简支梁的横向振动解：梁的质量与解：梁的质量与m m相比可略去。弹簧常数相比可略去。弹簧常数k k取决于质量取决于质量m m在梁上的位置。对图在梁上的位置。对图2-2-3 3（a a）简支梁，由材料力学得）简支梁，由材料力学得 从而从而 因矩形横截面惯性矩因矩形横截面惯

5、性矩 ，所以，所以 由图由图2-32-3（c c）当量系统，惯性力与弹性恢复力相平衡，所以有）当量系统，惯性力与弹性恢复力相平衡，所以有 或或 如果梁的两端不是简支，那么如果梁的两端不是简支，那么 应改变为不同数值。应改变为不同数值。22123m g llE I l22123m gE Ilkl l312bhI 322124E b h lkl l0m yk y3221204E b hlyym ll图图 2-32-3振动力学8单自由度系统的振动单自由度系统的振动例例2-4 2-4 较复杂系统的振动较复杂系统的振动 解：我们可以选择任意坐标解：我们可以选择任意坐标x x1 1,x,x2 2, , 作

6、为变量。它们互相关联且只有一个独立，现取作为变量。它们互相关联且只有一个独立，现取绕固定轴绕固定轴O O的转角的转角 为独立坐标，则等效转动惯量为独立坐标，则等效转动惯量 其中，其中，r r是是m m3 3的惯性半径。系统的等效角刚度的惯性半径。系统的等效角刚度 则则 或或 其中其中 可以取可以取x x1 1为独立坐标，于是为独立坐标，于是 令令222123cJm am bm r222123ekk ak bk c2221232221230k ak bk cm am bm r0A222123222123k ak bk cAm am bm r221123221123()()()()()()eebr

7、mmmmaabckkkkaa221231221123()()()()()()eebckkkkaaBbrmmmmaa图图 2-42-4振动力学9单自由度系统的振动单自由度系统的振动 经推导可得系统运动方程经推导可得系统运动方程 同理以同理以x x2 2为独立坐标，可得为独立坐标，可得 其中其中 不难验证不难验证 A=B=CA=B=C 可见，可见，对结构较复杂的单自由度系统，不管我们选择哪一个坐标变对结构较复杂的单自由度系统，不管我们选择哪一个坐标变量作为独立坐标，其运动方程形式不变。这说明系统固有振动规律与坐标量作为独立坐标，其运动方程形式不变。这说明系统固有振动规律与坐标选择无关。选择无关。1

8、10 xB x220 xC x2212322123()()()()bckkkaaCbrmmmaa2022年7月5日振动力学10单自由度系统的振动单自由度系统的振动2022年7月5日振动力学10单自由度系统的振动单自由度系统的振动振动力学11单自由度系统的振动单自由度系统的振动2.2 2.2 等效质量、等效刚度、等效阻尼等效质量、等效刚度、等效阻尼1.1.等效质量等效质量( (动能等效原则）动能等效原则） 把有多个集中质量或分部质量系统简化为具有一个把有多个集中质量或分部质量系统简化为具有一个等效质量等效质量单自由单自由度系统。度系统。求等效质量的方法：求等效质量的方法：例例2-5 2-5 如图

9、如图2-52-5弹簧质量系统若需要考虑弹簧质量，则其等效质量为多弹簧质量系统若需要考虑弹簧质量，则其等效质量为多少？设弹簧原长为少？设弹簧原长为l l，单位长度的质量为，单位长度的质量为 。解：弹簧的质量为匀布，它要参与系统振动，可以将其简化，即把它集解：弹簧的质量为匀布，它要参与系统振动，可以将其简化，即把它集中到质量块上，如图中到质量块上，如图2-52-5（b b）所示。现按）所示。现按动能等效的原则动能等效的原则来获得等来获得等效质量，如图（效质量，如图（d d）所示，取微段）所示，取微段dsds，其质量，其质量在在dsds段处的弹簧位移为段处的弹簧位移为 ，速度为，速度为 ，微段的动能

10、为，微段的动能为图图 2-52-5dsdmsxlsxl221()22sdTdm vdsxl振动力学12单自由度系统的振动单自由度系统的振动 则弹簧的动能为则弹簧的动能为 令令 则则 故故 即弹簧的等效质量是按即弹簧的等效质量是按1/31/3的弹簧质量附加到原质量块上。的弹簧质量附加到原质量块上。 例例2-6 2-6 如图如图2-62-6，已知，已知l l、m m、k k。求该系统的等效质量。求该系统的等效质量。 解：依据动能等效原则，有解：依据动能等效原则，有 又又 ，则，则 由几何关系，得由几何关系，得 故故 由（由（a a）、（）、（b b）两式得）两式得22220111()223lxTd

11、Ts dsl xl113ml2112Tm x113emml222011( ) ( )224clTJJma2112cJml2217()248Tml34xl22113()( )224eeTm xmlb72 7emm图图 2-62-6振动力学13单自由度系统的振动单自由度系统的振动例例2-7 2-7 图图2-72-7为转动惯量为为转动惯量为 的杆件的杆件ABAB，连接有质量块，连接有质量块m m1 1和和m m2 2，距杆，距杆ABAB转动点转动点O O的距离分别为的距离分别为a a和和b b。现求将质量简化到。现求将质量简化到A A点的等效质量。点的等效质量。解：设等效质量的动能为解：设等效质量的

12、动能为而总系统的动能而总系统的动能又又得得0J图图 2-72-7212eeeTm u222120111222ABTm vm vJeAuvaBvb222120111()()222TmambJ22221201111()()()2222emamambJ20122()eJbmmmaa振动力学14单自由度系统的振动单自由度系统的振动例例 2-8 2-8 如图如图2-82-8均质等截面简支梁，在梁中央放置一集中质量均质等截面简支梁，在梁中央放置一集中质量m m1 1，梁，梁本身的质量为本身的质量为m m2 2。试求将梁本身质量简化到梁的中央的等效质量。试求将梁本身质量简化到梁的中央的等效质量。解：已知梁中

13、央处静载荷解：已知梁中央处静载荷 , ,在其作用下梁的挠度曲线为在其作用下梁的挠度曲线为注意到注意到y y、y y m m 皆为时间函数。皆为时间函数。 由（由（a a）、（）、（b b）式得）式得则则设梁的单位长度的质量为设梁的单位长度的质量为 ，则其动能为，则其动能为故故1mg231(34)(0)( )482m glyl xxxaEI31/2( )( )48mx lm gyy xlbEI23334ml xxyyl23334( )ml xxyycl232222301341 1712()()22 352lmmeml xxTydxl ym yl21735emm振动力学15单自由度系统的振动单自由

14、度系统的振动2.2.等效刚度（势能等效原则）等效刚度（势能等效原则） 弹性元件斜向布置或几个弹性元件（或弹簧）以不同方式连接在一弹性元件斜向布置或几个弹性元件（或弹簧）以不同方式连接在一起，则必须求得一个与之起，则必须求得一个与之等效的弹性元件的刚度等效的弹性元件的刚度，称为，称为等效刚度等效刚度。（1 1）并联弹簧）并联弹簧 把图把图I I中（中（a a）作为并联弹簧是显而易见的，但对（）作为并联弹簧是显而易见的，但对（b b）和（）和（c c）图有）图有必要略加说明。必要略加说明。 图图I I中（中（b b）和（）和（c c）是并联的，是因为（）是并联的，是因为（b b）中）中k1k1和和

15、k2k2两弹簧的两弹簧的变形变形相同，力不同（并联特征），相同，力不同（并联特征），而（而（c c）中两轴的扭角也相同。）中两轴的扭角也相同。 如果如果F1F1、F2F2分别表示（分别表示（b b）中）中k1k1、k2k2弹簧所受到的力，弹簧所受到的力，x x为质点为质点m m的位移，则的位移，则 故故1212121212eFFFFFFxkkkkkkk12ekkk图图 I I振动力学16单自由度系统的振动单自由度系统的振动（2 2）串联弹簧）串联弹簧 串联弹簧中各弹簧所受串联弹簧中各弹簧所受力相等，但变形一般不等（串联特征）力相等，但变形一般不等（串联特征）。比较一下图比较一下图IIII中的（

16、中的（a a）、（）、（b b）与图）与图I I中的（中的（b b）、（）、（c c），可看出串联），可看出串联弹簧与并联弹簧的差异。弹簧与并联弹簧的差异。 若若F F为各弹簧中所受到的力，为各弹簧中所受到的力，x1x1和和x2x2分别表示图分别表示图IIII中（中（a a）中两弹）中两弹簧的变形，则簧的变形，则故故 串联弹簧必须用刚度倒数相加，比较麻烦。可以借助下图所示的串联弹簧必须用刚度倒数相加，比较麻烦。可以借助下图所示的图解方法求得等效刚度图解方法求得等效刚度k k e e 。利用几何中的三角形比例关系不难证明。利用几何中的三角形比例关系不难证明作图法中的作图法中的k k e e 完全

17、符合式（完全符合式（2-12-1）12121211()eFFFxxxFkkkkk121212111()(21)eek kkkkkkk或图图 IIII振动力学17单自由度系统的振动单自由度系统的振动例例2-9 2-9 图图2-92-9，已知，已知k1k1、k2k2、a a、b b及及m m。求等效刚度。求等效刚度解：由受力分析知解：由受力分析知由几何关系知由几何关系知将（将（b b）、（）、（c c）、（）、（d d）代入式（）代入式（e e），有），有1 1220,( )yeFk xk xk xa()0,cmF有图图 2-92-91 1220ak xk x b211()k bxbk a1( )

18、xx ac 2( )xx bd 12()( )bxaxa b xe122212()()k a abxxfk ak b振动力学18单自由度系统的振动单自由度系统的振动将式（将式（e e）、（）、（b b）代入式（）代入式（a a），有），有即即例例2-10 2-10 求图求图2-102-10所示系统的等效刚度所示系统的等效刚度k k e e 。解：设解：设k1k1、k2k2、k3k3和圆盘在同一平面内。作用于固定轴的扭转力矩和圆盘在同一平面内。作用于固定轴的扭转力矩故故22112222112()()ek bab kk a abk xkk xxk aak ak b222222121221()()1

19、()eababkabk ak bk kkk图图 2-102-10221223311223ttttttk kk kMkk aakkkk2122 3311223()tttetttMk kk kkkkakkkk振动力学19单自由度系统的振动单自由度系统的振动例例2-11 2-11 求图求图2-112-11（a a）、（）、（b b）的等效刚度）的等效刚度解：图解：图2-112-11（a a）中，悬臂梁的刚度为）中，悬臂梁的刚度为 。质量质量m m上两个弹簧的挠度相等，故（上两个弹簧的挠度相等，故（a a）为并联弹簧，则其等效刚度为）为并联弹簧，则其等效刚度为图图2-112-11（b b）中，悬臂梁的

20、）中，悬臂梁的刚度同（刚度同（a a）, ,但两个弹簧但两个弹簧挠度不同，载荷却相同，故挠度不同，载荷却相同，故为串联弹簧，则其等效刚度为串联弹簧，则其等效刚度为为可见，连接方式改变，等效刚度就有明显不同，这是应该引起注意的。可见，连接方式改变，等效刚度就有明显不同，这是应该引起注意的。33 E Il33eEIkkl图图 2-112-113113eklkE I单自由度系统的振动单自由度系统的振动3.3.等效阻尼等效阻尼( (耗能等效）耗能等效） 等效粘性阻尼等效粘性阻尼 阻尼在所有振动系统中是客观存在的阻尼在所有振动系统中是客观存在的 大多数是非粘性阻尼，其性质各不相同，一些机理不清楚大多数是

21、非粘性阻尼，其性质各不相同，一些机理不清楚 非粘性阻尼的数学描述比较复杂非粘性阻尼的数学描述比较复杂l处理方法之一：处理方法之一： 采用采用能量等效能量等效方法将非粘性阻尼简化为方法将非粘性阻尼简化为等效粘性阻尼等效粘性阻尼等效原则：等效原则：l粘性阻尼（线性阻尼）：阻尼力与速度成正比的阻尼粘性阻尼（线性阻尼）：阻尼力与速度成正比的阻尼l平方阻尼：阻尼力与速度平方成正比的阻尼平方阻尼：阻尼力与速度平方成正比的阻尼2022年7月5日振动力学21振动力学21单自由度系统的振动单自由度系统的振动 通常假设在简谐激振力作用下非粘性阻尼系统的稳态响应仍然通常假设在简谐激振力作用下非粘性阻尼系统的稳态响应

22、仍然为简谐振动为简谐振动 求等效黏性阻尼求等效黏性阻尼c c e e 是计算非黏性阻尼的近似方法是计算非黏性阻尼的近似方法。 设等效黏性阻尼系数为设等效黏性阻尼系数为c c e e ，则阻尼力的大小为，则阻尼力的大小为 。系。系统在振动一个周期里消耗的能量为统在振动一个周期里消耗的能量为 而而即一周期内阻尼力所做的功。即一周期内阻尼力所做的功。 当激振力当激振力F=FF=F 0 0 sin sin t t时，系统作简谐强迫振动，有时，系统作简谐强迫振动，有 则则相应地相应地deFcx0TdeRAc xdxA0TRAR x d xsin()xBtcos()xBtcos()deeFc xc Bt振

23、动力学22单自由度系统的振动单自由度系统的振动故得故得例例2-12 2-12 干摩擦阻尼情况干摩擦阻尼情况解：如图解：如图2-122-12所示，所示，F F为常力，其大小不变、方向改变。分为常力，其大小不变、方向改变。分4 4个过程，即个过程，即O A O B,O A O B,均需消耗能量。均需消耗能量。O AO A过程摩擦力所做的功为过程摩擦力所做的功为则全过程中摩擦力所做的功为则全过程中摩擦力所做的功为022220222cos() sin()cos ()22TdeeeeRAc Btd Btc Btdtc Bc BA2(22)ReAcB图图 2-122-12(1)RAFB4RAFB可见可见c

24、ece与与和和B B有关有关振动力学23单自由度系统的振动单自由度系统的振动则由式（则由式（2-22-2）得其等效黏性阻尼）得其等效黏性阻尼例例2-13 2-13 流体阻尼流体阻尼解：流体阻尼有其自身特点，即当物体以较大的速度在黏性较小的流解：流体阻尼有其自身特点，即当物体以较大的速度在黏性较小的流体中运动时，其阻力为体中运动时，其阻力为阻力在一周期内所做的功为阻力在一周期内所做的功为代入式（代入式（2-22-2），则得），则得244eFBFcBB2dFcx2444333332008444cos ()3TTRdAF xdxcx dxcBtdtcB83ecBc可见可见cece与与和和B B有关有

25、关2022年7月5日振动力学242022年7月5日振动力学24单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动（3 3）结构阻尼）结构阻尼22deAcB由于材料为非完全弹性，在变形过程中材料的内摩擦所引起由于材料为非完全弹性，在变形过程中材料的内摩擦所引起的阻尼称为的阻尼称为结构阻尼结构阻尼2RAB ：比例系数：比例系数等效粘性阻尼系数：等效粘性阻尼系数：特征：应力应变曲线存在滞回曲线特征：应力应变曲线存在滞回曲线内摩擦所耗散的能量等于滞回环内摩擦所耗散的能量等于滞回环所围的面积：所围的面积：ec 加载和卸载沿不同曲线加载和卸载沿不同曲线应变应变应力应力 加载加载卸载卸载0可见可见cece与与和和B

26、B有关有关 等效质量和等效刚度小结等效质量和等效刚度小结选定广义位移坐标后，将系统得动能、势能写成如下形式：选定广义位移坐标后，将系统得动能、势能写成如下形式： 221xMTe 221xKVe K Ke e：简化系统的等效刚度：简化系统的等效刚度M Me e：简化系统的等效质量：简化系统的等效质量 这里这里等效等效的含义是指简化前后的系统的动能和势能分别相的含义是指简化前后的系统的动能和势能分别相等等 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动2022年7月5日振动力学26单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动2022年7月5日振动力学26单自由度系统的振动单自由度系统的振动振动力学27单自由

27、度系统的振动单自由度系统的振动2-3 2-3 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动1.1.无阻尼的单自由度系统无阻尼的单自由度系统 图图2-192-19示单自由度弹簧示单自由度弹簧- -质量系统质量系统 令令x x为位移，以质量块静平衡位置为坐标原点，坐标轴如图，系统为位移，以质量块静平衡位置为坐标原点，坐标轴如图，系统受到初始扰动时，由牛顿第二定律得受到初始扰动时，由牛顿第二定律得式中：式中： 为弹簧在质量块重力作用下的静变形，由静平衡有为弹簧在质量块重力作用下的静变形，由静平衡有图图 2-192-19s()(23)smxmgkx(24)smgk振动力学28单自由度系统的振动单自由度

28、系统的振动由式（由式（2-32-3）得弹簧）得弹簧- -质量系统质量系统固有振动或自由振动固有振动或自由振动微分方程微分方程定义定义（2-52-5）变为）变为方程为常系数线性齐次二阶常微分方程，通解为方程为常系数线性齐次二阶常微分方程，通解为式中，式中，A A、B B是积分常数，由初始条件决定。设振动初始条件为是积分常数，由初始条件决定。设振动初始条件为方程解为方程解为因因两个同频率的简谐振动，合成后仍然为一个简谐振动两个同频率的简谐振动，合成后仍然为一个简谐振动，故式（，故式（2-82-8）亦可用下式表达：亦可用下式表达：式中式中0(25)m xkx2(26)km20( 27 )xxsinc

29、osxAtBt000,txxxx时，00cossin(28)xxxttsin()(29)xAt220000() ,tan(2 10)xxAxx振动力学29单自由度系统的振动单自由度系统的振动 式（式（2-82-8）或式（）或式（2-92-9）称为系统对于初始条件）称为系统对于初始条件 与与 的响应。的响应。式（式（2-92-9）说明，在）说明，在线性恢复力作线性恢复力作用下系统的运动是简谐运动。用下系统的运动是简谐运动。A A是偏离是偏离平衡位置的最大位移，称为平衡位置的最大位移，称为振幅振幅， 称为称为初相位初相位。 简谐振动的简谐振动的圆频率圆频率为为 ，由式（，由式（2-62-6），有）

30、，有固有频率固有频率为为f f周期周期为为T T 所以所以频率和周期仅决定于系统本身的性质，即质量频率和周期仅决定于系统本身的性质，即质量m m和弹簧刚度和弹簧刚度k k，与初始条件无关与初始条件无关。0 x0 x (1 /)(211)ksm1()(212)22kfHzm12( )(2 13)mTsfk振动力学30单自由度系统的振动单自由度系统的振动例例2-14 2-14 一台电动机重一台电动机重461N461N，转速为，转速为1430r/min, 1430r/min, 固定在两根固定在两根5 5号槽钢组号槽钢组成的简支梁中点，如图成的简支梁中点，如图(a)(a)。每根槽钢长。每根槽钢长1.5

31、m1.5m，重，重64N64N，EIEI=162.8=162.810106 6 NcmNcm2 2。试求此系统的固有频率。试求此系统的固有频率。解：将其简化为一个弹簧解：将其简化为一个弹簧- -质量系统，质量系统，如图如图(b(b）。将槽钢质量的（）。将槽钢质量的（17/35)17/35)一半一半加在电动机质量上一起作为一个质量块。加在电动机质量上一起作为一个质量块。 质量块的质量为质量块的质量为据简支梁挠度公式，在梁跨中点有集中力据简支梁挠度公式，在梁跨中点有集中力P P作用点的挠度为作用点的挠度为 , ,于于是简支梁中点的刚度为是简支梁中点的刚度为两根槽钢的总刚度为两根槽钢的总刚度为461

32、 6453.529.8mkg348PlyEI348PEIkyl63348248 162.8 1024630/150EIkNml振动力学31单自由度系统的振动单自由度系统的振动系统的固有圆频率为系统的固有圆频率为固有频率为固有频率为例例2-15 2-15 一钢结构单层厂房简化为图一钢结构单层厂房简化为图2-212-21（a a）所示单层框架。设楼板质）所示单层框架。设楼板质量量m=2500kgm=2500kg，两侧墙壁的总质量，两侧墙壁的总质量2700kg2700kg，且在高度上均匀分布。每侧墙，且在高度上均匀分布。每侧墙的折算截面惯性矩的折算截面惯性矩I=3500cmI=3500cm4 4,

33、,钢的弹性模量钢的弹性模量E=2.06E=2.0610107 7 N/cm N/cm2 2, ,求楼板求楼板横向振动的固有圆频率。横向振动的固有圆频率。解：据题意，楼板横向振动可用图解：据题意，楼板横向振动可用图2-212-21（b b）的弹簧）的弹簧- -质量系统等效，弹质量系统等效，弹簧刚度为簧刚度为463093/0.535kradsm9314.822fH z图图 2-212-2176332 32 3 2.06 1035000.4747 10/450eEIkN ml 振动力学32单自由度系统的振动单自由度系统的振动框架的固有圆频率为框架的固有圆频率为33250027003078.57140

34、emkg60.47471012.42 (1/ )3078.57eeksm2022年7月5日振动力学33单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动2022年7月5日振动力学33单自由度系统的振动单自由度系统的振动 能量法能量法对于不计阻尼即认为没有能量损失的单自由度系统，也可以对于不计阻尼即认为没有能量损失的单自由度系统，也可以利用利用能量守恒原理：能量守恒原理：（1 1）建立自由建立自由振动方程振动方程，（，（2 2）求出系）求出系统的统的固有频率固有频率。无阻尼系统为无阻尼系统为保守系统保守系统，其，其机械能守恒机械能守恒，即动能，即动能 T T 和势和势能能 V V 之和保持不变之和保持不变

35、 ，即：，即：constVT0VTdtd或：或：单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动弹簧质量系统弹簧质量系统 动能：动能：221xmT 势能：势能：mgx （重力势能）（重力势能）（弹性势能）（弹性势能）dxxkx0)(0VTdtd0)( xkxxm dxxkmgxVx0 不可能恒为不可能恒为 0 0 x 0 kxxm 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动kmg 221kxxkmgx221kx0 0m mx x静平衡位置静平衡位置弹簧原长位置弹簧原长位置k如果将坐标原点不是取在系统的静平衡如果将坐标原点不是取在系统的静平衡位置，而是取在弹簧为自由长时的位置位置，而是取在弹簧为自由长时的

36、位置 动能：动能：221xmT 势能：势能：xkxdxmgxV00 xkxxmgxxm 0VTdtdmgkxxm 设新坐标设新坐标 kmgxy0 kyym 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动221 kxmgx x0 0m mx x静平衡位置静平衡位置k考虑两个特殊位置上系统的能量考虑两个特殊位置上系统的能量 静平衡位置上，系统势静平衡位置上，系统势能为零，动能达到最大能为零，动能达到最大021max2maxmaxVxmT最大位移位置，系统动最大位移位置，系统动能为零，势能达到最大能为零，势能达到最大2maxmaxmax210kxVTconstVT( )sin()x tAt/k mmaxm

37、axxx单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动maxmaxVTmaxmax 对于转动：对于转动：x x 是广义的是广义的0 0m mx x静平衡位置静平衡位置k静平衡位置静平衡位置最大位移位置最大位移位置x xmamax x0 0m mx xk例：如图所示是一个倒置的摆例：如图所示是一个倒置的摆 摆球质量摆球质量 m m刚杆质量忽略刚杆质量忽略 每个弹簧的刚度每个弹簧的刚度 2k求求: : 倒摆作微幅振动时的固有频率倒摆作微幅振动时的固有频率单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动l lm ma ak/k/2 2k/k/2 2广义坐标广义坐标动能动能2222121mlIT势能势能maxmax

38、UTmaxmax22kamglml平衡位置平衡位置1 1cos1212122mglakV零平衡位置零平衡位置1 1单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动)(21 222mglka2221 2sin22kamgl22)(21 mglka l lm ma ak/k/2 2k/k/2 2单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动k k1 1R Rk k2 2M M m m 例：铅垂平面内一个滑轮例：铅垂平面内一个滑轮- -质量质量- -弹簧系统弹簧系统确定系统微振动的固有频率确定系统微振动的固有频率滑轮为匀质圆柱滑轮为匀质圆柱 ，绳子不可伸，绳子不可伸长，且与滑轮间无滑动，绳右下长，且与滑轮间无滑动

39、，绳右下端与地面固结。端与地面固结。 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动解：解：k k1 1R Rk k2 2M M m m 广义坐标：质量块的垂直位移广义坐标：质量块的垂直位移 x x动能：动能：x x2222)2)(21(21)21(2121RxMRxMxmT2)8141(21xMMm2)83(21xMm2122)21(2121xkxkU势能：势能：212)41(21xkk 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动解：解：k k1 1R Rk k2 2M M m m 广义坐标：质量块的垂直位移广义坐标：质量块的垂直位移 x x动能：动能：x x2)83(21xMmT势能：势能：212

40、)41(21xkkU2122838kkMmmaxmaxTU122838kkMm2022年7月5日振动力学43单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动2022年7月5日振动力学43单自由度系统的振动单自由度系统的振动 瑞利法瑞利法利用能量法求解固有频率时，对于系统的动能的计算只考虑利用能量法求解固有频率时，对于系统的动能的计算只考虑了惯性元件的动能，而忽略不计弹性元件的质量所具有的动了惯性元件的动能，而忽略不计弹性元件的质量所具有的动能，因此算出的固有频率是实际值的能，因此算出的固有频率是实际值的上限上限。这种简化方法在。这种简化方法在许多场合中都能满足要求，但有些工程问题中，弹性元件本许多场合

41、中都能满足要求，但有些工程问题中，弹性元件本身的质量因占系统总质量相当大的比例而不能忽略，否则算身的质量因占系统总质量相当大的比例而不能忽略，否则算出的固有频率明显偏高。出的固有频率明显偏高。单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动m mk kx x0 0例如：弹簧质量系统例如：弹簧质量系统设弹簧的动能设弹簧的动能: 221xmTtt 系统最大动能：系统最大动能： 2max2maxmax2121xmxmTt系统最大势能：系统最大势能： 2maxmax21kxVmaxmaxxxtkmm若忽略若忽略 ，则，则 增大增大 tm单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动2max)(21xmmttm弹簧弹

42、簧等效等效质量质量 mtmkx02022年7月5日振动力学462022年7月5日振动力学46单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动2022年7月5日振动力学47单自由度系统振动单自由度系统振动2022年7月5日振动力学472022年7月5日振动力学48振动力学48单自由度系统的振动单自由度系统的振动2.2.有阻尼的单自由度系统有阻尼的单自由度系统 阻尼有各种来源阻尼有各种来源：（：（1 1）两物体相对移动时的两物体相对移动时的干摩擦干摩擦阻尼阻尼；（；（2 2）有润滑剂的两个面之间的）有润滑剂的两个面之间的摩擦力摩擦力；物体在；物体在液体中运动的液体中运动的流体阻尼流体阻尼；材料本身的内摩擦

43、引起的；材料本身的内摩擦引起的材材料阻尼料阻尼等。阻尼处理始终是振动分析中的一个难题。等。阻尼处理始终是振动分析中的一个难题。黏性阻尼由于它与速度成正比，又称线性阻尼黏性阻尼由于它与速度成正比，又称线性阻尼。式中式中c c为比例常数，称为为比例常数，称为黏性阻尼系数黏性阻尼系数，单位为，单位为Ns/mNs/m。黏性阻尼在分析振动问题时使求解大为简化，也能。黏性阻尼在分析振动问题时使求解大为简化，也能阐明阻尼对系统响应的影响。阐明阻尼对系统响应的影响。(2 14)Fcx振动力学49单自由度系统的振动单自由度系统的振动 对图对图2-222-22示有粘性阻尼的单自由度系统，运动微分方程为示有粘性阻尼

44、的单自由度系统，运动微分方程为令令得得设解设解 ，代入得，代入得则得则得特征方程特征方程特征方程解为特征方程解为其中其中 为无量纲量，称为无量纲量，称阻尼比（相对阻尼系数）阻尼比（相对阻尼系数）。 方程（方程（2-162-16）通解为）通解为 或或图图 2-222-220mxcxkx2,2(215)kcmm220(2 16)xxxstxe22(2)0stsse2220ss21,2(1)(2 17)s 1212s ts txC eC e22(1 )(1)12(218)ttxC eC e振动力学50单自由度系统的振动单自由度系统的振动C1C1、C2C2由初始条件确定。由初始条件确定。 对于对于 ，

45、讨论如下：，讨论如下：（1 1） ，大阻尼大阻尼情况情况当当 时，特征方程的根时，特征方程的根s s1 1与与s s2 2均为负实数。式（均为负实数。式（2-182-18）表明，）表明，x x将随时将随时间按质数规律减小，并趋于平衡位置间按质数规律减小，并趋于平衡位置。（2 2） ，临界阻尼临界阻尼情况情况当当 时，特征方程有重根时，特征方程有重根 ，故方程的通解为，故方程的通解为在以上两种情况下，系统受到初始扰动离开平衡位置后，将在以上两种情况下，系统受到初始扰动离开平衡位置后，将逐渐回到平衡位逐渐回到平衡位置置，运动已，运动已无振动的性质无振动的性质，只有当，只有当 为负且绝对值足够大时，

46、物体才能为负且绝对值足够大时，物体才能通过平衡位置一次，随即回到通过平衡位置一次，随即回到平衡位置。在这两种情况下，平衡位置。在这两种情况下，对不同的初始条件，其运动对不同的初始条件，其运动曲线如图曲线如图2-232-23。1,1,1111112ssp ()(2 19)ptxC Dt e0 x 图图 2-232-23振动力学51单自由度系统的振动单自由度系统的振动（3 3） ，小阻尼小阻尼情况情况 时，特征方程的根时，特征方程的根s s1 1、s s2 2为共轭复数为共轭复数应用欧拉公式应用欧拉公式得方程（得方程（2-162-16）的解为）的解为式中式中 ，C C、D D由初始条件确定。设由初

47、始条件确定。设t=0t=0时，时， ，则，则由三角变换得由三角变换得式中式中1121,2(1)(2 20)si 2122cos1sin1itetit ( cos sin )(2 21)txeCtDt21 00,xxxx000,(2 22)xxCx Dsin( )(2 23)txAet22000()(2 24)xxAx000arctan(225)xxx振动力学52单自由度系统的振动单自由度系统的振动其运动曲线如图其运动曲线如图2-242-24所示。系统振动不再是等幅的简谐振动，而是振幅被限所示。系统振动不再是等幅的简谐振动，而是振幅被限制在曲线制在曲线 之内，随时间不断之内，随时间不断衰减振动衰

48、减振动。系统的衰减振动虽不是周期性运动，但式（系统的衰减振动虽不是周期性运动，但式（2-232-23）中的因子）中的因子 表明物体仍周期地通过平衡位置表明物体仍周期地通过平衡位置O O向两侧偏离，因此，习惯上将向两侧偏离，因此，习惯上将分别称为分别称为衰减振动的圆频率和周期衰减振动的圆频率和周期。将上式与无阻尼情况相比，阻尼对将上式与无阻尼情况相比，阻尼对自由振动的影响有两个方面，一方面自由振动的影响有两个方面，一方面是是阻尼使系统振动频率阻尼使系统振动频率 降低，周期降低，周期T T略有加长略有加长。 值越小，影响将越小。值越小，影响将越小。例如，当例如，当 时，时， ， ；当；当 时，时，

49、 ， 。可见。可见 时，时，阻尼对频率和周期影响很小阻尼对频率和周期影响很小。tAesin( )t21(226) 12222(227)11TT 图图 2-242-240.2210.20.9798121.020621 0.2TTT0.0521 0.050.99875121.0012510.05TTT1振动力学53单自由度系统的振动单自由度系统的振动 在另一方面，式（在另一方面，式（2-232-23）中因子）中因子 说明说明衰减振动的振幅按指数规律衰减振动的振幅按指数规律缩减缩减。当。当 时，运动曲线与包络线时，运动曲线与包络线 相切，在切点处的相切，在切点处的x x值值 称为称为衰减振动的振幅衰

50、减振动的振幅。设在第。设在第i i个振幅处个振幅处t=tt=ti i, ,振幅振幅 , ,第第i+1i+1个振幅个振幅 , ,则任意两个相邻振幅之比都等于则任意两个相邻振幅之比都等于式中式中 称为称为减幅系数或减缩率减幅系数或减缩率。上式说明衰减振动的振幅以公比。上式说明衰减振动的振幅以公比 按几何级数按几何级数递减。阻尼越大，振幅衰减也愈快。当递减。阻尼越大，振幅衰减也愈快。当 即振动一周后振幅减少即振动一周后振幅减少27%27%，经过，经过1010个周期，振幅将减为初始振幅的个周期，振幅将减为初始振幅的4.3%4.3%，这说明振动将很快停息，可见这说明振动将很快停息，可见阻尼对振幅的影响是显著的阻尼对振幅的影响是显著