中南大学线性代数

1、线性空间中向量之间的联系，是通过线性空线性空间中向量之间的联系，是通过线性空间到线性空间的映射来实现的间到线性空间的映射来实现的映射映射).( ,)( ),(, , , 1ATTBABABA 或或记作记作或映射或映射的变换的变换到集合到集合合合这个对应规则称为从集这个对应规则称为从集那么那么和它对应和它对应中一个确定的元素中一个确定的元素总有总有按照一定规则按照一定规则元素元素中任一中任一如果对于如果对于设有两个非空集合设有两个非空集合定义定义 ,)()(ATAT 变换的概念是函数概念的推广变换的概念是函数概念的推广即即记记作作象象集集称称为为象象的的全全体体所所构构成成的的集集合合的的源源集

2、集称称为为变变换换下下的的源源在在变变换换称称为为下下的的象象在在变变换换称称为为变变为为把把元元素素就就说说变变换换设设),(,. , ,)(,ATTATTTTA .)(BAT 显显然然 ; ,)1(212121 TTTVn 有有任给任给 .,)2( kTkTRkVn 都都有有任任给给.,的的线线性性变变换换到到为为从从就就称称那那么么mnUVT满足满足如果变换如果变换的变换的变换到到是一个从是一个从性空间性空间维线维线维和维和分别是实数域上的分别是实数域上的设设定义定义TUVTmnUVmnmn, , 22 2从线性空间从线性空间 到到 的线性变换的线性变换VnUm ., 2)( 下下的的象

3、象在在变变换换代代表表元元素素或或变变换换代代表表线线性性一一般般用用黑黑体体大大写写字字母母TTTBAT 说明说明.)1(组合的对应的变换组合的对应的变换线性变换就是保持线性线性变换就是保持线性., 中的线性变换中的线性变换称为线性空间称为线性空间自身的线性变换自身的线性变换到其到其是一个从线性空间是一个从线性空间那么那么如果如果VVTVUnnnm 从线性空间从线性空间 到其自身的线性变换到其自身的线性变换Vn下面主要讨论线性空间下面主要讨论线性空间 中的线性变换中的线性变换Vn, 3中中在线性空间在线性空间xP例1例1. )1( 是一个线性变换是一个线性变换微分运算微分运算D, 30122

4、33xPaxaxaxap ,231223axaxaDp ,3012233xPbxbxbxbq ,231223bxbxbDq )()()()(0011222333baxbaxbaxbaD )( qpD 从而从而)()(2)(31122233baxbaxba )23()23(12231223bxbxbaxaxa ;DqDp )()(012233akxakxakxakDkpD )23(1223axaxak .kDp .,)( )2(0也是一个线性变换也是一个线性变换那么那么如果如果TapT );()()(00qTpTbaqpT ).()(0pkTakkpT ., 1)()3( 11性变换性变换但不是

5、线但不是线是个变换是个变换那么那么如果如果TpT , 1)(1 qpT, 211)()( 11 qTpT但但).()()( 111qTpTqpT 所以所以.,cossinsincos 的几何意义的几何意义说明说明平面上的一个变换平面上的一个变换确定确定由关系式由关系式TTxOyyxyxT 例2例2解解 ,sin,cos ryrx记记于是于是 yxT cossinsincosyxyx cossinsincossinsincoscosrrrr,)sin()cos( rr.: 角角转转向旋向旋把任一向量按逆时针方把任一向量按逆时针方变换变换上式表明上式表明 Txyopp1 证明证明设设 .,VxgV

6、xf 则有则有 dttgtfxgxfTxa dttgdttfxaxa xgTxfT 例例定义在闭区间上的全体连续函数组成实数定义在闭区间上的全体连续函数组成实数域上的一个线性空间域上的一个线性空间 ，在这个空间中变换，在这个空间中变换是一个线性变换是一个线性变换. dttfxfTxa V xkfT故命题得证故命题得证.证明证明则有则有 E EE V ,设设 dttkfxa tdtfkxa .xfkT . kEkkE 例例线性空间线性空间 中的恒等变换（或称单位变换）中的恒等变换（或称单位变换） ：是线性变换是线性变换 .,VE VE所以恒等变换所以恒等变换 是线性变换是线性变换E证明证明 00

7、0000 设设,V 则有则有 .0000 kkk 所以零变换是线性变换所以零变换是线性变换例例线性空间线性空间 中的零变换中的零变换 ：是线性：是线性变换变换 00 VO证明证明 ,3321321Rbbbaaa 332211,bababaTT 0 ,3232211bbaaba 0 ,0 ,32213221bbbaaa . TT 证毕证毕.例例在在 中定义变换中定义变换则则 不是不是 的一个线性变换的一个线性变换 0 ,3221321xxxxxxT 3R3RT ;, 00. 1 TTT .,. 3 2121亦亦线线性性相相关关则则线线性性相相关关若若mmTTT ; ,. 222112211mmm

8、mTkTkTkTkkk 则则若若.,2121不不一一定定线线性性无无关关则则线线性性无无关关若若mmTTT 注注意意证明证明 ,21nVT 设设,21nV 则则有有,2211 TT使使从而从而2121 TT ,21nVTT ;21nV 因因11 kTk ,1nVTkT ,1nVk 因因由于由于 ,nnVVT 由上述证明知它对由上述证明知它对 中的线中的线nV线性运算封闭，线性运算封闭， 故它是故它是 的子空间的子空间nV.),()( . 4 的象空间的象空间称为线性变换称为线性变换的子空间的子空间是一个线性空间是一个线性空间的象集的象集线性变换线性变换TVVTTnn证明证明,21TS 若若,

9、0, 021 TT则则 2121 TTT 0 ;21TS ,1RkST 若若则则 0011 kkTkT .1TSk ,对对线线性性运运算算封封闭闭因因此此TS,nTVS 又又.的的子子空空间间是是故故nTVS ., 0,0. 5 的的核核称称为为线线性性变变换换的的子子空空间间是是的的全全体体的的使使TSVTVSTTnnT 阶矩阵阶矩阵设有设有n 例7例7),(21212222111211 nnnnnnnaaaaaaaaaA 为为中的变换中的变换定义定义其中其中)(,21xTyRaaanniiii ),( ,)(RxAxxTn .为线性变换为线性变换则则T,Rban 设设则则)(baT )(b

10、aA AbAa );()(bTaT )(kaT)(kaA kAa ).(akT 量空间量空间所生成的向所生成的向的象空间就是由的象空间就是由又又 nT, 21, )(212211RxxxxxxyRTnnnn . 0 间间的解空的解空就是齐次线性方程组就是齐次线性方程组的核的核 AxSTT要证一个变换要证一个变换 是线性变换，必须证是线性变换，必须证 保持保持加法和数量乘法，即加法和数量乘法，即 , TTT . kTkT TT若证一个变换若证一个变换 不是线性变换，只须证不是线性变换，只须证 不保不保持加法或数量乘法，并且只须举出一个反例即可持加法或数量乘法，并且只须举出一个反例即可TT.,)( , 332132133213并分析其几何意义并分析其几何意义的一个线性变换的一