工程力学压杆稳定

1、Dec 12, 2014压杆稳定压杆稳定压杆稳定性的概念压杆稳定性的概念2压杆稳定性的概念压杆稳定性的概念3轴向拉压杆的强度失效轴向拉压杆的强度失效塑性材料塑性材料 lims，过大塑性变形，过大塑性变形脆性材料脆性材料 lim b，断裂，断裂相应的强度条件相应的强度条件 nAFlimN 只适用于拉杆和只适用于拉杆和“粗短粗短”的压杆。的压杆。对于对于“细长细长”的压杆，失效的形式与上述强度失效不同。的压杆，失效的形式与上述强度失效不同。F直杆受压变弯的现象，称为失稳。直杆受压变弯的现象，称为失稳。 压杆的一种失效形式。压杆的一种失效形式。压杆稳定性的概念压杆稳定性的概念4在工程实际中，其它构件

2、也需要考虑稳定问题。本章只讨论直杆的稳定问题。 实际中，很多构件需要考虑稳定性 压杆稳定性的概念压杆稳定性的概念当外力超出一定范围时，平衡形式也会发生变当外力超出一定范围时，平衡形式也会发生变化化失去稳定性。失去稳定性。5平衡的稳定性平衡的稳定性小球原有的平衡小球原有的平衡具有稳定性。具有稳定性。小球原有的平衡不小球原有的平衡不具有稳定性。具有稳定性。平衡是稳定的平衡是稳定的平衡是不稳定的平衡是不稳定的随遇平衡随遇平衡6压杆的稳定性：压杆的稳定性：指压杆受轴向压力后，其直线平衡状态的稳定性。指压杆受轴向压力后，其直线平衡状态的稳定性。（1）PPcr压杆失效压杆失效P压杆原有的直线平压杆原有的直

3、线平衡形式是稳定的。衡形式是稳定的。压杆具有稳定性压杆具有稳定性（2）PPcr压杆稳定性的概念压杆稳定性的概念7由上述讨论得：由上述讨论得：8细长压杆的临界载荷细长压杆的临界载荷 欧拉公式欧拉公式一、两端铰支细长压杆的临界载荷PPxyyxABPPxyMMPy 代入挠曲线近似微分方程代入挠曲线近似微分方程EIyM( x )Py 令令2PkEI 20yk y 该微分方程的通解为该微分方程的通解为式中式中A、B为积分常数为积分常数杆的边界条件杆的边界条件代入通解得代入通解得yAsinkxBcoskx00 xy0 xlyB B0 0Asinkl 0A00sin kl.3 , 2 , 1 nnkl 22

4、2nEIPl nyAsinxl 利用挠曲线微分方程求临界载荷。利用挠曲线微分方程求临界载荷。9 两端铰支、细长压杆，处于临界状态。利用挠曲线微分两端铰支、细长压杆，处于临界状态。利用挠曲线微分方程求临界载荷。方程求临界载荷。C1 2l2lPPxyAByx222nEIPl nyAsinxl 1、n=0，没有意义。，没有意义。2、n=2、3时，挠曲线如图。时，挠曲线如图。n=2n=3中间没有支座，压杆不会中间没有支座，压杆不会弯成这种形状。弯成这种形状。3、临界载荷是压杆失稳的最临界载荷是压杆失稳的最 小力。小力。n只能等于只能等于1。22crEIPl 4、挠曲线方程挠曲线方程yAsinxl A为

5、挠曲线中点的挠度。为挠曲线中点的挠度。1011.2.211.2.2其他约束情况下细长压杆的临界载荷其他约束情况下细长压杆的临界载荷推导方法：推导方法：仿照两端铰支、细长压杆的临界载荷的推导方法，利用微仿照两端铰支、细长压杆的临界载荷的推导方法，利用微分方程推导。分方程推导。22crEIP(l ) 细长压杆的临界载荷公式。细长压杆的临界载荷公式。（欧拉公式）（欧拉公式） 为长度因数，为长度因数， l为相当长度。为相当长度。1、PcrEI2、杆端约束越强，、杆端约束越强，Pcr越大。越大。1122crEIP(l ) 细长压杆的临界载荷公式。细长压杆的临界载荷公式。 若杆在不同的纵向平面内约束相同，

6、计算临界载荷时取若杆在不同的纵向平面内约束相同，计算临界载荷时取Imin。因为。因为随着轴向压力增大，压杆总是在抗弯能力差的纵向平面内弯曲。随着轴向压力增大，压杆总是在抗弯能力差的纵向平面内弯曲。xyzyzlyzbh例例11-1 细长压杆细长压杆，材料，材料Q235，l=4m ,b=50mm,h=150mm，E=200GPa，求临界载荷。，求临界载荷。解：解：1141562500mm 232200 1015625001925704000crPN() 若杆在不同的纵向平面内约束不相同，分别若杆在不同的纵向平面内约束不相同，分别计算临界载荷取较小的值。计算临界载荷取较小的值。3min5015012

7、1 IIPP12压杆分类压杆分类 欧拉公式适用范围欧拉公式适用范围11.3.1临界应力：临界状态时压杆横截面上的应力。临界应力：临界状态时压杆横截面上的应力。 22crcrPEIAlA AIi 惯性半径惯性半径柔度：柔度：il 22 Ecr 临界应力：临界应力： 222ilE 关于柔度（长细比）：关于柔度（长细比）：1、无量纲。综合反映了杆长、无量纲。综合反映了杆长、约束约束、截面形状与几何尺寸对、截面形状与几何尺寸对Pcr的影响。的影响。2、相同材料制成的压杆，稳定性取决于相同材料制成的压杆，稳定性取决于 。 大，稳定性差。大，稳定性差。3、在不同的纵向平面内约束、惯性矩不相同，在不同的纵向

8、平面内约束、惯性矩不相同， 则则 不同，不同，计算临界计算临界载荷（应力）时，取较大的载荷（应力）时，取较大的 值。值。4、若要使压杆在不同的纵向平面内稳定性相同，应使若要使压杆在不同的纵向平面内稳定性相同，应使2211ilil 13欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围 大柔度杆（细长杆）大柔度杆（细长杆）欧拉公式欧拉公式MyEI EIM 1 EP 弹性范围：弹性范围：所以：所以：PcrE 22从而：从而：PE 2 对于对于A3钢（钢（Q235）E200GPa，P200MPa。PE 2100P 对于用对于用A3钢（钢（Q235）制成的压杆，当）制成的压杆，当 大于大于100 时才可用欧拉公式计

9、算临界载荷。时才可用欧拉公式计算临界载荷。当当 大于大于 P时才可用欧拉公式计算临界载荷。时才可用欧拉公式计算临界载荷。由此可见：由此可见：称称 大于大于 P的压杆为细长杆或大柔度压杆。的压杆为细长杆或大柔度压杆。14压杆分类、临界应力总图压杆分类、临界应力总图 实际中实际中的压杆，的压杆， 往往小于往往小于 P。 当当 P，欧拉，欧拉公式不成立。材料进入弹塑性阶段，此时的稳定问题属于公式不成立。材料进入弹塑性阶段，此时的稳定问题属于弹塑弹塑性稳定性稳定。临界应力常常采用。临界应力常常采用： bacr a、b为材料常数，单位为材料常数，单位MPa.对于对于Q235 12. 1304 cr 为实

10、际压杆的柔度，仍由为实际压杆的柔度，仍由 计算。计算。il 由由 知，知， 越小越小， ， cr越大。当越大。当 小于某值时，小于某值时， bacr scr 压杆的强度不允许。压杆的强度不允许。15scrba 所以，直线公式当所以，直线公式当成立。成立。即即bas s 材料常数材料常数因此，因此，当当 S P 时可以用直线公式。时可以用直线公式。ssa.b. 30423561 61 12对于对于A3钢（钢（Q235）s235MPa。 12. 1304 cr称称 s P 的杆为的杆为。压杆分类、临界应力总图压杆分类、临界应力总图16称称 s的杆为的杆为。 由于压杆失稳前就会出现强度失效。因此，此

11、类杆不由于压杆失稳前就会出现强度失效。因此，此类杆不会出现失稳现象。若将其归入稳定范畴：会出现失稳现象。若将其归入稳定范畴：极极限限应应力力 cr塑性材料：塑性材料： s 脆性材料：脆性材料： b 当当 s，ssab scrba 压杆分类、临界应力总图压杆分类、临界应力总图17cr 22 Ecr 讨论稳定性问题时，先计算讨论稳定性问题时，先计算 ，判断压杆类型，选用相应公式。，判断压杆类型，选用相应公式。P s 临界应力总图临界应力总图 s Pscr bacr 小柔度杆小柔度杆 中柔度杆中柔度杆大柔度杆大柔度杆18210GPaE280MPaP例例11-2 螺旋千斤顶，丝杠的材料为螺旋千斤顶，丝

12、杠的材料为45号钢，其号钢，其，306MPas400mml40mmd。丝杠的为长度。丝杠的为长度，内径，内径。试求其临界载荷。试求其临界载荷。解：（1）计算压杆的柔度，判断压杆的类型：）计算压杆的柔度，判断压杆的类型：2=横截面的惯性半径：横截面的惯性半径：4010mm44IdiA=丝杠的柔度：丝杠的柔度：24008010li465MPaa2.568MPab对于对于45号钢：号钢：则则46530661.92.568ssab=-=-2232101086280ppE创=由于柔度由于柔度 s P，所以丝杠为中柔度杆。，所以丝杠为中柔度杆。（2）计算临界应力和临界载荷：）计算临界应力和临界载荷：465

13、2.56880259.6MPacrab-240259.6 326057N326kN4crcrPA创丝杠可以简化为一端固定另一端自由的压杆，故长度系数为丝杠可以简化为一端固定另一端自由的压杆，故长度系数为采用直线公式采用直线公式19例例11-3一矩形截面杆，两端为柱铰。材料为一矩形截面杆，两端为柱铰。材料为Q235 ，E=210GPa，截面边长，截面边长 b=40mm ，h=60mm，。求临界载荷。，。求临界载荷。zxPP解：解：（1）在）在xy面，两端铰支面，两端铰支 =1，若失稳弯曲，若失稳弯曲，z为中性轴。为中性轴。zzIi.mmA 17 32zzli. 1 200011517 32（2）

14、在）在xz面，两端固定面，两端固定 =0.5，若失稳弯曲，若失稳弯曲，y为中性轴。为中性轴。yyIi.mmA 11 55yyl.i. 10 5 200086 611 55PP2000 xyyzbhzbhI 312yhbI 31220例例11-3一矩形截面杆，两端为柱铰。材料为一矩形截面杆，两端为柱铰。材料为Q235 ，E=210GPa，截面边长，截面边长 b=40mm ，h=60mm，。求临界载荷。，。求临界载荷。zxPP解：解：（1）在）在xy面，两端铰支面，两端铰支 =1，若失稳弯曲，若失稳弯曲，z为中性轴。为中性轴。zzIi.mmA 17 32zzli. 1 200011517 32（2

15、）在）在xz面，两端固定面，两端固定 =0.5，若失稳弯曲，若失稳弯曲，y为中性轴。为中性轴。yyIi.mmA 11 55yyl.i. 10 5 200086 611 55 y，连杆在，连杆在xy面容易失稳面容易失稳计算临界载荷应以计算临界载荷应以 z计算。计算。 z115100，属于细长杆。，属于细长杆。 用欧拉公式。用欧拉公式。crcrPAkN 40 60 156374crE.MPa 223223 1421010115156 /.kN 2332210 104060120 52000374crEIP(l ) 2221压杆稳定计算压杆稳定计算 要保证压杆的稳定性，必须使压杆所受的轴向压力要保证

16、压杆的稳定性，必须使压杆所受的轴向压力小于临界载荷。小于临界载荷。 考虑到稳定贮备，取大于考虑到稳定贮备，取大于1的的稳定安全系数稳定安全系数nst。crstPPn crcrstPnnP 稳定稳定条件条件常见压杆的稳定安全系数常见压杆的稳定安全系数nst在设计手册中给出。在设计手册中给出。三类稳定计算问题三类稳定计算问题稳定性校核、确定许可载荷、截面尺寸设计稳定性校核、确定许可载荷、截面尺寸设计( (稳定系数法稳定系数法) )。 压杆的工作压力压杆的工作压力或：压杆的工作安全因数或：压杆的工作安全因数2280kNP 3stn 轴向压力为轴向压力为，规定稳定安全系数，规定稳定安全系数。试校核其稳

17、定性。试校核其稳定性。375mml40mmdQ235例例11-4 一圆截面压杆，长度一圆截面压杆，长度，直径，直径，材料是，材料是钢，最大钢，最大解：2P（1）计算压杆的柔度：）计算压杆的柔度：4010mm44IdiA=237575404li100p61.6ssp压杆稳定性是满足要求的。压杆稳定性是满足要求的。 Q235钢，钢，对于对于长度系数长度系数23例例11-5图示结构，图示结构，AB材料为材料为Q235 ，直径为直径为d40mm。试求（。试求（1）直杆直杆AB的临界载荷；（的临界载荷；（2）若）若Ab的稳定安全因数为的稳定安全因数为nst=5,确定确定结构的最大载荷结构的最大载荷F。1

18、.5m0.5mFQ30ABCD解：解： （1）求）求AB的临界载荷的临界载荷AB的柔度的柔度il 440cos3015001 4dl 2173 . P100AB属于细长杆，可用欧拉公式计算临界载荷属于细长杆，可用欧拉公式计算临界载荷22 Ecr MPa.865217310200232 24crcrcrdPA 23 14 4065 88264582 64.N. kN 1长度系数长度系数24例例11-5图示结构，图示结构，AB材料为材料为Q235 ，直径为直径为d40mm。试求（。试求（1）直杆直杆AB的临界载荷；（的临界载荷；（2）若）若Ab的稳定安全因数为的稳定安全因数为nst=5,确定确定结

19、构的最大载荷结构的最大载荷F。1.5m0.5mFQ30ABCDFQ30CADFDyFDxFAB解：解：（1）求）求AB的临界载荷的临界载荷82 6crP. kN （2）利用稳定条件，）利用稳定条件，AB的所承受的最大轴向力的所承受的最大轴向力依题意依题意82.616.5kN5ABcrstPFn=（3）结构的最大载荷）结构的最大载荷 0)F(mD301 520ABFsin.F6 2F. kN 25提高压杆稳定性的措施提高压杆稳定性的措施 由于压杆的临界载荷是压杆保持稳定的最大力（稳定极限由于压杆的临界载荷是压杆保持稳定的最大力（稳定极限载荷），临界载荷越大，压杆的稳定性越好。因此，提高压杆载荷），临界载荷越大，压杆的稳定性越好。因此，提高压杆的稳定性措施应从影响临界载荷的因素入手。的稳定性措施应从影响临界载荷的因素入手。crEIP(l ) 22Q235优质碳钢优质碳钢4652 568cr. 12. 1304 cr影响临界载荷的因素：影响临界载荷的因素： （约束）（约束）l（杆长）（杆长）I（截面形状与尺寸）（截面形状与尺寸）材料材料261.尽量减小压杆的长度尽量减小压杆的长度ll1气缸气缸活塞活塞活塞杆活塞杆十字头十字头B A不能减小长度时，也可在中间加支座。不能减小长度时，也可在中间加支座。抱辊抱辊管坯管坯顶杆顶杆27若杆为细长杆若杆为细长杆PlPl/2l/2crEIP