昆明理工大学数学模型

1、计算机仿真技术数学建模 数学模型： 是系统某种特征本质的模拟，即用数学公式、数学符号、程序、图形等对实际问题的本质属性的抽象而又简洁的刻画。是用来描述所研究的客观对象或系统中某一方面的规律。 它或能解释某些客观现象，或能预测未来发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略。 建模方法： 系统模型的建立是系统仿真的基础，而建立系统模型是以系统之间的相似性原理为基础的。1.数学模型的建立方法：n机理分析法（演绎法）：它是根据所遵循的数学规律，直接写出系统中各个变量之间的相互关系的数学结构。n测试分析法（系统辩识，归纳法）：采用该方法是因为对系统的结构和特性不了解，只能通过试验来辨别出

2、来，通过对系统的输入/输出的测试数据来建立系统的数学模型，即对大量数据的分析、总结和归纳。n混合法：演绎法+归纳法：演绎法确定模型结构，归纳法定参数。机电传动系统建模方法牛顿定律、能量守恒、牛顿-欧拉法、动量定理、达郎伯原理等 2.建模的原则 如果要评价一个模型的好坏，一般遵循以下原则： 精确性：相似度 合理性：同一系统可建不同模型，关键是对研究问 题有利 复杂性：在满足精度的前提下，越简单越好。 应用性：遵循输入、输出量是可以测量的原则。 鲁棒性：适应的工况范围宽。 3 建模步骤n模型准备：了解问题背景，明确建模目的要求，收集资料。n模型假设：对问题作出必要合理的假设，使问题突出主要特征，忽

3、略次要方面。n模型构成：根据事物间联系及因果等关系等，依据所遵循的定律，构造各种量之间的关系，把问题化为数学问题。n模型求解：数值计算法、数理统计法、优化方法、图论方法等n模型分析：对所得到的解答进行分析，注意结果是否稳定。n模型检验：分析结果，与实际情况比较，看是否符合实际。n模型应用：按建立模型所用的数学方法：初等数学模型、几何模型、微分方程模型、图论模型、马氏链模型、规划模型等。按模型的表现分： 静态模型和动态模型； 确定性模型和随机模型；线性和非线性模型；连续和离散模型。你碰到过的数学模型你碰到过的数学模型“航行问题航行问题”用用 x 表示船速，表示船速，y 表示水速，列出方程：表示水

4、速，列出方程：75050)(75030)(yxyx答：船速每小时答：船速每小时20千米千米/ /小时小时. .甲乙两地相距甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，小时，从乙到甲逆水航行需从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少小时，问船的速度是多少?x =20y =5求解求解航行问题建立数学模型的基本步骤航行问题建立数学模型的基本步骤 作出简化假设（船速、水速为常数）；作出简化假设（船速、水速为常数）； 用符号表示有关量（用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）；表示船速和水速）； 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以用物理定律（匀速运动的距离等

5、于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）；时间）列出数学式子（二元一次方程）； 求解得到数学解答（求解得到数学解答（x=20, y=5）；）； 回答原问题（船速每小时回答原问题（船速每小时20千米千米/小时）。小时）。机电系统建模方法（机理分析）n步骤：n1.确定输入量、输出量；n2.按信号传递顺序写各环节动态微分方程；n3.消除中间变量；n4.整理。)()()()()()(01110010110txbdttxdbdttxdbtxadttxdadttxdaimimmmimmnnnnnn 复杂机电系统建模方法（机理分析法）n例例1 1 建立建立RCRC电路运动方程和弹簧阻尼系统运动方程。电

6、路运动方程和弹簧阻尼系统运动方程。(t)(dt(t)duRC122utu(t)(dt(t)dxkc00ixtxxix0机械系统数学模型的建立22)()()()(dttxdmdttdxctkxtfn例2 如图所示的机械振动系统。在外力F的作用下，根据牛顿第二定律，系统微分方程可以写成为)()()()(2sXmsscsXskXsFkcsmssFsX21)()(机械系统数学模型的建立n例3 设弹簧-质量-阻尼组成的简单的机械平移系统如图所示，列出以F为输入，以质量的位移y为输出的运动方程式。根据牛顿第二定律可得:22dtydmmaF则系统的方程为:kydtdycFFFFdtydmkf22上式经整理，

7、可得系统的微分方程为:Fkydtdycdtydm22 kcsmssFsY21传递函数: 右图所示为电枢控制直流电动机，要求取电枢电压Ua(t)为输入量，电动机转速为输出量，列写微分方程。图中R、L分别是电枢电路的电阻和电感，ML是折合到电动机轴上的总负载转距。激磁磁通为常值。Ea为电枢两端反电势，M为电机电磁力矩,J为转动部分折合到电机轴上的总转动惯量。例例4aaaaEtRidttdiLtU)()()()(tikMamLMMdttdJ)(克希荷夫 得电枢回路电压平衡方程：dakE 楞次定律 得电枢反电势：安培定律 得电磁转矩方程：牛顿定律 得转矩平衡方程：LmdLmdadmddMkkRdtdM

8、kkLukdtdkkRJdtdkkLJm122消中间变量得： 函数记录仪方框图 复杂系统的数学模型反馈口：反馈口：放大器：放大器：电动机：电动机：减速器：减速器：绳绳 轮：轮：电电 桥：桥：rmmmmmuTKKKKKLTKKKKKLTL432143211 消去中间变量可得：消去中间变量可得：LKuKLKuKTuKuuuupmmmmmpr423321 例例7 X-Y 7 X-Y 记录仪记录仪 机电传动系统概述机电传动系统概述n机电传动系统的一般结构和功能机电传动系统的一般结构和功能机械系统数学模型的建立有三种阻止运动的力：惯性力、弹簧力和阻尼力。22)()()()(dttxdmdttdvmtma

9、tFm（2）弹簧力：对于线性弹簧来说，弹簧被拉伸或压缩时，弹簧的变形量与所受的力成正比，数学模型为)()(tkxtFk（1）惯性力：根据牛顿第二定律，惯性力等于质量乘以加速度，数学模型为（3）阻尼力：当力较大质量块获得较大速度时，不能忽略空气阻尼力的影响。在粘性摩擦系统中，阻尼力与速度v成正比，数学模型为dttdxctcvtFc)()()(典型传动机构的动力学模型1.定轴传动机构的模型机电传动系统建模方法 1212M tKttsKss)()()()(20)0()0(sJssTtJtT )()()()()()(210)0(21ssBssTttBtT2.齿轮传动机构的模型（1）：刚性传动轴情况21

10、e1122JJn J21e1122BBn B0e120Mn MieeeMMBJ01111 iiiiiTTBJ1 2TTBJLLLLL LiLii/iTT12齿轮传动机构的模型（2）：弹性传动轴情况2422n KnnzzMMKJMKJMKJKMJi322323323424434323321212221111/)(,)()(),( )()(1212322KJnJ )()(2422442nKnnJn 3.丝杠螺母传动机构的模型 惯性负载的等效转换：转换前后系统所具有的动能不变。 Je=mL(L0/2)2 2iieie2ddddttJT tBtt iieeT sss J sBiLL20机电传动系统建模

11、方法机构的数学建模4.同步齿形带传动机构的模型主动轮半径：ri从动轮半径：rL齿形带弹性变形：l= riirLL 对主动轮和从动轮分别列写微分方程，并化简。2002( )()()iimidddJM tBKdtdtdt20002()()iLidddJBKdtdtdt 对输入轴列方程对输入轴列方程: 对输出轴列方程对输出轴列方程: 200( )()( )( )LiJ ssBsKss20( )( )()( )( )miiJ ssM sBsKss拉拉氏氏变变换换 022( )( )()()mLmLmLsBsKJ JM sJJssBsKJJ基本物理量的折算 n在建立机械系统数学模型的过程中，经常会遇到基

12、本物理量的折算问题，在此结合数控机床进给系统，介绍建模中的基本物理量的折算问题。n数控机床进给系统如图2-3所示。电动机通过两级减速齿轮z1、z2、z3、z4及丝杠螺母机构驱动工作台做直线运动。 图2-3 数控机床进给系统 n图2-3中，J1为轴I部件和电动机转子构成的转动惯量；J2、 J3为分别为轴II、III部件的转动惯量；k1、k2、k3分别为轴I、II、III的扭转刚度系数；k为丝杠螺母副的轴向刚度系数；m为工作台质量；c为工作台导轨粘性阻尼系数；T1、T2、T3分别为轴的输入转矩。 n将轴I、II、III上的转动惯量和工作台的转动惯量都折算到轴I上，作为系统总转动惯量。设T1、T2、

13、T3 分别为轴I、II、III的负载转矩，1、2、3分别为轴I、II、III的角速度，v为工作台的运动速度。 (1) 轴I、II、III转动惯量的折算 根据动力平衡原理，1111TJT 1. 转动惯量的折算2222TJT 对于轴I有： 对于轴II有：n由于轴II的输入转矩是从轴I上的负载转矩获得的，且与他们的转速成反比，所以有 1122TzzT 1212zz又由传动关系知2222TJT将上三式联立得： 221122121TzzzzJT3333TJT对于轴III有 根据力学原理和传动关系，整理得 ： 34312432132TzzzzzzJT121432433zzzzzz2433TzzT (2)工

14、作台质量的折算 根据动力平衡关系：丝杠转动一周所做的功等于工作台前进一个导程时其惯性力所做的功，对于工作台和丝杠有，式中 L丝杠导程。 根据传动关系有：LvmT2314231322zzzzLLv将上两式联立得： 14231232mzzzzLT(3)折算到轴I上的总转动惯量 1423123343124321322211221212mzzzzLTTzzzzzzJTTzzzzJT1111TJT112242312423132212112JLzzzzmzzzzJzzJJT式中J系统折算到轴I上的总转动惯量。 224231242313221212LzzzzmzzzzJzzJJJ 其中，第二项为轴II转动惯

15、量折算到轴I上的当量转动惯量；第三项为轴III转动惯量折算到轴I上的当量转动惯量；第四项为工作台质量折算到轴I上的当量转动惯量。n当工作台匀速转动时，轴的驱动转矩T3完全用来克服粘滞阻尼力的消耗。考虑到其他各环节的摩擦损失比工作台导轨的摩擦损失小得多，故只计工作台导轨的粘性阻尼系数C，其它忽略。 2. 粘性阻尼系数的折算 131423TzzzzT214231Lzzzzv 即丝杠旋转一周T3所做的功，等于工作台前进一个导程时其阻尼力所做的功。根据力学原理和传动关系有将以上三式联立，并整理得 根据工作台与丝杠之间的动力平衡关系有:LvcT231122423112ccLzzzzTcLzzzzc224

16、2312式中c工作台导轨折算到轴I上的粘性阻尼系数n机械系统中各元件在工作时受到力和/或力矩的作用，将产生伸长（或压缩）和/或扭转等弹性变形，这些变形将影响整个系统的精度和动态性能。在机械系统的数学建模中，需要将其折算成相应的当量扭转刚度系数和/或线性刚度系数。 n在本例中，首先将各轴的扭转角折算到轴I上，丝杠与工作台之间的轴向弹性变形会使轴III产生一个附加扭转角，所以也要折算到轴I上，然后求出折算到轴I上的系统的当量刚度系数。 3. 刚度系数的折算 （1）轴向刚度系数的折算 当系统受到载荷作用时，丝杠螺母副和螺母座都会产生轴向弹性变形，其示意图如图2-10所示。设丝杠的输入转矩为T3，丝杠

17、和工作台之间的弹性变形为，相应的丝杠附加转角为3。3. 刚度系数的折算 图2-10 弹性变形等效示意图LkT23L23332321 kkTkT33 即 kk221式中k附加扭转刚度系数所以： 根据动力平衡和传动关系，对于丝杠轴III有 （2）扭转刚度系数的折算 设1、2、3分别为轴I、II、III在输入转矩T1、T2、T3作用下产生的扭转角，根据动力平衡和传动关系有111kT2112222kTzzkT313142333kTzzzzkTn因为丝杠和工作台之间的轴向弹性变形，使得轴III产生了一个附加扭转角3，所以轴III上的实际扭转角III为： III=3+3kkzzz

18、zkTkTIIIkT33313142333kTzzzzkTn将各轴的扭转角折算到轴I上，得到系统的当量扭转角 IIIzzzzzz31422121111kT212222kTzzkkkzzzzkTkTIIIkTTkkzzzzkzzkTkkzzzzkTzzkT113231422212113231422121211111111式中k折算到轴I上的当量扭转刚度系数 kkzzzzkzzkk1111132314222121kTTkkzzzzkzzkTkkzzzzkTzzkT113231422212113231422121211111111n齿轮传动机构的模型小结：齿轮传动机构的模型

19、小结： （1）从动轴上的转动惯量）从动轴上的转动惯量J等效到主动轴上等效到主动轴上时，时，Je=n2J，n为由主动轴到从动轴的传动比。为由主动轴到从动轴的传动比。 （2）类似地，对于从动轴上的刚度）类似地，对于从动轴上的刚度K、阻尼、阻尼B，等效到主动轴上时，等效到主动轴上时， Ke=n2K， Be=n2B。 （3）从动轴上的力矩）从动轴上的力矩M等效到主动轴上为等效到主动轴上为nM。 （4）从动轴上的转角）从动轴上的转角 折算到主动轴上为折算到主动轴上为 /n。 （5）主动轴向从动轴的转换也成立。）主动轴向从动轴的转换也成立。n备注：齿轮传动系统的模型结构简化的一些前提假设 （1）齿轮具有理

20、想的齿廓几何形状。 （2）齿轮的材质是均匀的，在啮合过程中啮合刚度为常数。 （3）齿轮啮合过程无功率消耗。 （4）齿轮传动过程是平稳的，无脱啮现象。2.2 机构的数学建模2.2.1 机构的运动学建模1.基于闭环矢量法的系统运动学模型：连杆机构 定义各个杆件矢量R1, R2, R3, . 闭环矢量方程 ，正交分解 被动杆件的速度方程 被动杆件的加速度方程机电传动系统建模方法机构的数学建模 0Ri0Rzyxi,0Rzyxit,dddrivedrivepassive,passiveDCdrivedrivepassive,passiveddddDCttdrivepassive,1passiveBA举例

21、：定义连杆矢量闭环矢量方程 R2+R3=R1+R4矢量投影方程 r2c2+r3c3=r1c1+r4c4， r2s2+r3s3=r1s1+r4s4速度方程 C=D机电传动系统建模方法机构的数学建模334432 22334442 22ssscccrrrrrr 加速度方程 A=B 仿真算法机电传动系统建模方法机构的数学建模33443334442222 222 223 334 442222 222 223 334 44ssccsccccsssrrrrrrrrrrrrq 用闭环矢量方程动态仿真曲柄滑块机构用闭环矢量方程动态仿真曲柄滑块机构单缸四冲程发动机中就有这种机构。单缸四冲程发动机中就有这种机构。q

22、 用闭环矢量方程动态仿真曲柄滑块机构用闭环矢量方程动态仿真曲柄滑块机构曲柄滑块机构的闭环矢量方程为曲柄滑块机构的闭环矢量方程为 q 用闭环矢量方程动态仿真曲柄滑块机构用闭环矢量方程动态仿真曲柄滑块机构将此矢量方程分解到将此矢量方程分解到z z和和y y坐标轴上坐标轴上 将上式对时间求导数，有将上式对时间求导数，有 q 用闭环矢量方程动态仿真曲柄滑块机构用闭环矢量方程动态仿真曲柄滑块机构 可以写成如下的矩阵形式：可以写成如下的矩阵形式：曲柄的速度曲柄的速度omega2omega2已知，方程描述的是曲柄滑块机构已知，方程描述的是曲柄滑块机构速度速度问题。问题。q 用闭环矢量方程动态仿真曲柄滑块机构

23、用闭环矢量方程动态仿真曲柄滑块机构 可求出可求出omega3omega3和和dr1.dr1.如果将如果将omega2omega2作为仿作为仿真输入，可以用数值积分从速度中求出真输入，可以用数值积分从速度中求出theta2,theta3,r1theta2,theta3,r1。q 用闭环矢量方程动态仿真曲柄滑块机构用闭环矢量方程动态仿真曲柄滑块机构 编写编写matlabmatlab函数函数function x=compvel(u)function x=compvel(u)%u(1)=omega-2%u(1)=omega-2%u(2)=theta-2%u(2)=theta-2%u(3)=theta-

24、3%u(3)=theta-3r2=25.4;r3=101.6;r2=25.4;r3=101.6;a=r3a=r3* *sin(u(3) 1;-r3sin(u(3) 1;-r3* *cos(u(3) 0;cos(u(3) 0;b=-b=-r r2 2* *u(1)u(1)* *sin(u(2);r2sin(u(2);r2* *u(1)u(1)* *cos(u(2);cos(u(2);x=inv(a)x=inv(a)* *b;b;q 用闭环矢量方程动态仿真曲柄滑块机构用闭环矢量方程动态仿真曲柄滑块机构 5.5.匀速输入时完成的运动学仿真匀速输入时完成的运动学仿真q 用闭环矢量方程动态仿真曲柄滑块机

25、构用闭环矢量方程动态仿真曲柄滑块机构 6 6、建立初始条件、建立初始条件在仿真运行之前，建立初始条件。这是求解任何微分方程的在仿真运行之前，建立初始条件。这是求解任何微分方程的关键一步。关键一步。Theta2Theta2、theta3theta3、r1r1必须是机构某个真实位置时必须是机构某个真实位置时的角度和长度。的角度和长度。假设仿真的初始条件：假设仿真的初始条件：Theta2=0radTheta2=0rad；theta3=0radtheta3=0rad；r1=177mmr1=177mmq 用闭环矢量方程动态仿真曲柄滑块机构用闭环矢量方程动态仿真曲柄滑块机构 7 7、运行仿真结果、运行仿真

26、结果输入：输入：Th20=0;Th20=0;Th30=0;Th30=0;R10=127;R10=127;Plot(tout,simout(:,5)Plot(tout,simout(:,5)机电传动系统建模方法机构的数学建模2.D-H法建立运动学模型： 对多体系统的每一刚体建立固连对多体系统的每一刚体建立固连坐标系；坐标系； 应用坐标变换原理推导机构应用坐标变换原理推导机构“末末端坐标系端坐标系”相对于相对于“参考坐标系参考坐标系”的等价的等价齐次变换矩阵。齐次变换矩阵。坐标变换 设Pxyz=px, py, pzT Puvw=pu, pv, pwT 矢量表示法： Puvw=puiu+pvjv+p

27、wkw 当Ouvw绕任意轴旋转后， px=ixPuvw=puixiu+pvixjv+pwixkw py=jyPuvw=pujyiu+pvjyjv+pwjykw pz=kzPuvw=pukziu+pvkzjv+pwkzkw方向余弦矩阵 R为正交矩阵RT= R1wvuwvuwzvzuzwyvyuywxvxuxzyxpppppppppRkkjkikkjjjijkijiiixyzuvwPRP1uvwxyzPR P刚体的连续转动及其合成刚体的连续转动及其合成特殊情形：特殊情形： 对对x轴的转动轴的转动 对对y轴的转动轴的转动 对对z轴的转动轴的转动1000cossin0sincoscos0sin010s

28、in0coscossin0sincos0001称为基本旋转矩阵。如果称为基本旋转矩阵。如果Ouvw坐标系绕坐标系绕Oxyz坐标系的一个坐标轴转动则可对旋转矩阵左乘坐标系的一个坐标轴转动则可对旋转矩阵左乘相应的基本旋转矩阵；如果相应的基本旋转矩阵；如果Ouvw坐标系绕自坐标系绕自己的坐标轴旋转，则可对旋转矩阵右乘相应的己的坐标轴旋转，则可对旋转矩阵右乘相应的基本旋转矩阵。基本旋转矩阵。,zyxRRRR当当Ouvw坐标系绕坐标系绕Oxyz坐标系顺序绕坐标系顺序绕Ox轴旋转轴旋转角，绕角，绕Oy轴旋转轴旋转角，绕角，绕Oz轴旋转轴旋转角时，角时，旋转变换矩阵为旋转变换矩阵为当当Ouvw坐标系绕自己的

29、坐标系顺序坐标系绕自己的坐标系顺序绕绕Ou轴旋转轴旋转角，角，绕绕Ov轴旋转轴旋转角，绕角，绕Ow轴旋转轴旋转角时，旋转变换矩角时，旋转变换矩阵为阵为,TTzyxuvwRRRRRRR以欧拉角表示的旋转矩阵以欧拉角表示的旋转矩阵 欧拉角方式I：绕Oz旋转角绕转动后的Ou轴转动角绕转动后的Ow轴转动角 欧拉角方式欧拉角方式II：绕：绕Oz旋转旋转 角角绕转动后的绕转动后的Ov轴转动轴转动角角绕转动后的绕转动后的Ow轴转动轴转动角角 欧拉角方式欧拉角方式III：绕：绕Ox旋转旋转角（偏转）角（偏转）绕绕Oy轴转动轴转动角（俯仰）角（俯仰）绕绕Oz轴转动轴转动 角角（侧倾）（侧倾）1311333OPR

30、T1000100010001zyxdddT齐次坐标和变换矩阵齐次坐标和变换矩阵 齐次坐标P=wpx, wpy, wpz, wT 齐次变换矩阵 齐次平移矩阵举例：两关节机器人，平面运动问题O0 x0y0z0绕O0z0轴旋转q1O1x1y1z1沿O1x1轴平移l1O1x1y1z1绕O1z1轴旋转q2 O2x2y2z2沿O2x2 轴平移l2O2x2y2z2 0T1=Rz, q1Tx, l1，1T2=Rz, q2Tx, l2，T=0T11T2末端齐次坐标（在O2x2y2z2）P2=0 0 0 1变换至O0 x0y0z0P0=TP2系统的动力学模型系统的动力学模型1.拉格朗日法 拉格朗日方程T质点系动能

31、，qj广义坐标，Qj广义力 或L拉格朗日函数，L=KP；K、P质点系动能和势能；广义力Fj中不含有势力d1,2,.,djjjLLFjftqq&),.,2 , 1(fjQqTqTdtdjjj 设有设有n个知点组成的知点系，受完整的理想约束，具有个知点组成的知点系，受完整的理想约束，具有k个自由度，其位置可由个自由度，其位置可由k个广义坐标个广义坐标 来确定。来确定。则有则有kqqq,21 jjjQqTqTdtd)(), 2 , 1(kj 式中式中2121iinivmT为质点系的动能；为质点系的动能；jq 是广义坐标对是广义坐标对时间的变化率，称为时间的变化率，称为广义速度广义速度； 是对

32、应广义坐标是对应广义坐标jQ 的广义力。的广义力。jq这就是这就是拉格朗日方程拉格朗日方程，简称简称拉氏方程拉氏方程。它是由它是由k个二个二阶常微分方程组成的方程组。将此微分方程组积分，阶常微分方程组成的方程组。将此微分方程组积分，就可以得出以就可以得出以广义坐标表示的质点的运动方程。广义坐标表示的质点的运动方程。 二、保守系统的拉格朗日方程二、保守系统的拉格朗日方程 在上述条件下，如果质点系所受的主动力都是在上述条件下，如果质点系所受的主动力都是有势力，就得到保守系统的拉格朗日方程有势力，就得到保守系统的拉格朗日方程0)(jjqLqLdtd), 2 , 1(kj 式中式中 为质点系动能和势能

33、之差，称为为质点系动能和势能之差，称为拉格拉格朗日函数。朗日函数。VTL这就是这就是保守系统的拉格朗日方程保守系统的拉格朗日方程。 3、计算对应每个广义坐标的广义力、计算对应每个广义坐标的广义力 ；当主；当主动力为有势力时，需要写出用广义坐标表示的势能动力为有势力时，需要写出用广义坐标表示的势能及拉格朗日函数及拉格朗日函数 。jQVTL 4、计算诸导数：、计算诸导数：jqTjqT)(jqTdtd或或jqLjqL)(jqLdtd 5、写出拉格朗日方程并加以整理，得到、写出拉格朗日方程并加以整理，得到k个二个二阶常微分方程。由阶常微分方程。由2 k个初始条件，解得运动方程。个初始条件，解得运动方程

34、。 1、确定研究对象，（一般以整个系统）判断系、确定研究对象，（一般以整个系统）判断系统的自由度数目，选取合适的广义坐标。统的自由度数目，选取合适的广义坐标。 2、分析系统的运动，写出用广义坐标及广义速、分析系统的运动，写出用广义坐标及广义速度表示的系统的动能。（速度及角速度均为绝对的）度表示的系统的动能。（速度及角速度均为绝对的） 三、应用拉格朗日方程解题的步骤三、应用拉格朗日方程解题的步骤 例4 在水平面内运动的行星齿轮机构如图。已知动齿轮半径为r，重为P，可视为均质圆盘；曲柄OA重Q，可视为均质杆；定齿轮半径为R。今在曲柄上作用一不变的力偶，其矩为M，使机构运动。求曲柄的运动方程。OMr

35、RA 解：以整个系统为研究对象，系统具有一个自由度，取曲柄转角 为广义坐标。 由运动学关系知，动齿轮的角速度 与曲柄的角速度 的关系为rRr 则系统的动能为OMrRA22222222)(92(121)21(21)(21)(3121RrPQgrgPRrgPRrgQT 给曲柄以虚位移 ，则对应的广义力为MMWQ求诸导数2)(92(61RrPQgT 2)(92(61)(RrPQgTdtd0TQTTdtd)(由，得MRrPQg 2)(92(61即2)(92(6RrPQMg 积分得曲柄的运动方程为0022)(92(3ttRrPQMg式中， 、 分别为初始转角和初始角速度。00举例：二关节机械手举例：二关

36、节机械手 选取广义坐标，建立坐标系选取广义坐标，建立坐标系 计算系统动能和势能计算系统动能和势能 求出拉格朗日函数及其偏导数求出拉格朗日函数及其偏导数 求广义力求广义力 代入拉格朗日方程代入拉格朗日方程 二关节机械手如图所示，二关节机械手如图所示，T1和和T2为关节驱动为关节驱动力矩，力矩，m1和和m2分别为连杆的质量，且以连杆分别为连杆的质量，且以连杆末端的点质量表示；末端的点质量表示；d1和和d2分别为两杆的长分别为两杆的长度，度，1和和2分别为两杆的广义坐标，分别为两杆的广义坐标，g为重力为重力加速度。用拉格朗日法建立该机械手的动力加速度。用拉格朗日法建立该机械手的动力学模型。学模型。计

37、算连杆计算连杆1 1的动能的动能K K1 1和势能和势能P P1 122211 11111111111122cosKmvm dPm gym gd &计算连杆计算连杆2 2的动能的动能K K2 2和势能和势能P P2 22222222,21gymPvmK222222211212211212211 121212211 121212sinsin()coscos()coscos()()sinsin()()vxyxddyddxddydd &式中式中求得求得1222222212212212211211()cos()22Km dm dm d d & &)cos(cos2122

38、1122gdmgdmP以及以及yx1T2T21),(11yx1m1d2d2m),(22yxg二连杆机械手122222222121122122112(2)2cos()vddd d & & &222222121211212212211211()()cos()22KKKmm dm dm d d & &)cos(cos)(2122112121gdmgdmmPPP求得二连杆机械手系统的总动能和总势能分别为：求得二连杆机械手系统的总动能和总势能分别为：121122121221221122212222212112212222122 121222122221222212

39、2 12()sinsin()sin()sin()()2coscoscosLmm gdm gdLm d dm gdLmm dm dm dm d dm d dLm dm dm d d & &拉格朗日函数拉格朗日函数L L对对L L求偏导和导数求偏导和导数22221211221211()()22LKPmm dm d&2212211212112212cos()()coscos()m d dmm gdm gd & &2212122212211222212222122 12122 122()2coscossindLmm dm dm d ddtdLm dm dm d

40、dm d ddt & & & & & &2222212222122 1221222(cos)2sinsinm dm d dm d dm d d & & &11122212122212212221222()2cos(cos)dLLTdtmm dm dm d dm dm d d & & &22122 1221222121122122sinsin()sinsin()m d dm d dmm gdm gd & &222222122122222(cos)dLLTm dm d dm ddt &a

41、mp; & &22122 12212sinsin()m d dm gd &把相应的偏导和导数代入拉格朗日方程，可求得力矩把相应的偏导和导数代入拉格朗日方程，可求得力矩T T1 1和和T T2 2的动力学表达式的动力学表达式22111 1122111 11222112 121212 1122221 1222211 12222212 122212 12TDDDDDDDTDDDDDDD & & & & & & & & &力矩力矩T T1 1和和T T2 2的动力学表达式的一般形式和矩阵表达式为：的动力学表

42、达式的一般形式和矩阵表达式为：1111211112211212111112221222112222122212222 1TDDDDDDDTDDDDDDD & & & & &D Diiii关节关节i i的有效惯量：关节的有效惯量：关节i i的加速度的加速度 将在关节将在关节i i上产生上产生 的惯性力；的惯性力；D Dijij关节关节i i和和j j的耦合惯量：关节的耦合惯量：关节i i和和j j的加速度的加速度 和和 将在关节将在关节j j和和i i上分别产上分别产 生一个等于生一个等于 和和 的惯性力；的惯性力； 关节关节j j的速度作用在关节的速度作

43、用在关节i i上产生的向心力；上产生的向心力；ijjjD &i& &iiiD& &i& &j& &ijiD& &ijjD& &ijkjkikjkjD D & & &关节关节j j和和k k的速度的速度 和和 引起的作用在关节引起的作用在关节i i的哥氏力；的哥氏力；j&k&D Di i关节关节i i处的重力。处的重力。3.联立约束法建立动力学模型联立约束法建立动力学模型(牛顿牛顿-欧拉法欧拉法) 根据牛顿定律列出每个连接杆件（运动部件）的力（力矩）平衡方程，同时将系统约束方程一起联立，建立约束矩阵方程。通过求解约束矩阵方程不仅可求出各构件动力-运动关系，还可同时解出各构件间的约束反力。应用举例 力平衡方程 约束方程 约束矩阵方程0)(1iiiniiramF将上式写成解析式，则有将上式写成解析式，则有0)()()(1niiiiiiiiiiiiizzmZyymYxxmX 以上两式是由达朗伯原理和虚位移原理相结合以上两式是由达朗伯原理和虚位移原理相结合而得到的结果，称为而得到的结果，称为动力学普遍方程动力学普遍方程，也称，也称达朗达朗伯伯拉格朗日方程拉格朗日方程。动力学普遍方程可以叙述如。动力学普遍方程可