第01~03章 复习

1、一质点一质点 能否看成质点依研究问题而定。能否看成质点依研究问题而定。 复杂物体可看成质点的组合。复杂物体可看成质点的组合。 二参照系与坐标系二参照系与坐标系 1. 1. 参照系：参照系：研究物体运动状态时选作参照的物体。研究物体运动状态时选作参照的物体。 对物体运动的描述与参照系有关。对物体运动的描述与参照系有关。 把所研究的物体视为无形状大小但有一定质量的点。把所研究的物体视为无形状大小但有一定质量的点。直角坐标：直角坐标：P（x, y, z）自然坐标：自然坐标：P（s）2坐标系：坐标系：用以标定物体的空间位置而设置的坐标系统用以标定物体的空间位置而设置的坐标系统三位置矢量与运动方程三位置

2、矢量与运动方程 1. 位置矢量位置矢量位置矢量的直角坐标分量：位置矢量的直角坐标分量： k zj yi xrrzryrxzyxrcos,cos,cos222方向：大小：定义：定义：从坐标原点从坐标原点o o出发，指向质点出发，指向质点所在位置所在位置P P的一有向线段。的一有向线段。2. 运动方程运动方程 ktzjtyitxr)()()(矢量形式矢量形式参数形式参数形式)()()(tzztyytxx3. 轨道方程轨道方程 0),(0),()()()(tzyxGzyxFtzztyytxx消去一位移与路程一位移与路程 位移：位移： )()(trttrABr 路程：路程： 位移与路程：位移与路程：

3、sr)(),(tsstrr二速度二速度 速度是反映质点运动的快慢和方向的物理量速度是反映质点运动的快慢和方向的物理量平均速度：平均速度：1速度的概念速度的概念 平均速率平均速率: vrtr ttr tt()( )ttsttstsv)()(zyxoB:A: ttt瞬时速度瞬时速度: :dtrdtrvtlim0瞬时速率瞬时速率: :dtdstsvtlim0 vvvv, 瞬时速度沿轨道切线方向瞬时速度沿轨道切线方向 zyxoB:A: ttt2速度的直角坐标分量速度的直角坐标分量 vvvvvvvvvvkvjvivkdtdzjdtdyidtdxdtrdvjtztyitxtrrzyxzyxzyxcos,c

4、os,cos:)()()()(222方向大小三加速度三加速度 加速度是反映速度（大小和方向）加速度是反映速度（大小和方向）变化快慢的物理量变化快慢的物理量1加速度的概念加速度的概念 加速度与速度的方向一般不同。加速度与速度的方向一般不同。ttvttvtva)()(220limdtrddtvdtvat2加速度的直角坐标分量加速度的直角坐标分量 aaaaaaaaaakajaiakdtdvjdtdvidtdvdtvdaktvjtvitvtvvzyxzyxzyxzyxzyxcos,cos,cos: )()()()(222方向大小1、已知运动方程，求质点任意时刻的位置、速度以及加速度、已知运动方程，求质

5、点任意时刻的位置、速度以及加速度2、已知运动质点的速度函数（或加速度函数）以及初始条件、已知运动质点的速度函数（或加速度函数）以及初始条件求质点的运动方程求质点的运动方程例例 1-3 如如图图，一一人人拉拉着着绳绳子子的的一一端端在在水水平平面面上上以以速速度度0v匀匀速速前前进进。求求当当绳绳子子与与水水平平面面夹夹角角为为时时，重重物物上上升升的的速速度度和和加加速速度度。 图1500vyhx解： （1）22yhxhL 00022cosv xdydy dxdyvvvdtdx dtdxxh （2）222300022 3/2sin()v hvdvdv dxdvavdtdx dtdxxhh 自然

6、坐标：自然坐标：s s(t)切向：切向：沿轨道切向并指向速度方向，单位矢量为沿轨道切向并指向速度方向，单位矢量为法向：法向：沿轨道法向并指向凹侧，单位矢量为沿轨道法向并指向凹侧，单位矢量为n一一. . 自然坐标系自然坐标系切向与法向：切向与法向：加速度自然坐标加速度自然坐标(瞬时瞬时)分解的结论分解的结论tntnaaaaatan22三三. . 圆周运动圆周运动1. 1. 圆周运动的加速度圆周运动的加速度2圆周运动的角量描述圆周运动的角量描述 角位置：角位置： = = ( (t t) )角位移角位移: : =2-1角速度角速度: : dtdttlim0角加速度角加速度: : dtdttlim03

7、角量和线量的关系角量和线量的关系 0rrrxyy S uPSx OO rr0rxyy S uuPSx OO rr0rSx OO rr0r0vvvaaa0一观察者一观察者A坐在平板车上，车以坐在平板车上，车以10m/s的速率沿水平轨道的速率沿水平轨道前进。他以与车前进的反方向呈前进。他以与车前进的反方向呈60角向上斜抛出一石块，此时角向上斜抛出一石块，此时站在地面上的观察者站在地面上的观察者B看到石块沿铅垂向上运动。求石块上升的看到石块沿铅垂向上运动。求石块上升的高度。高度。按题意作矢量图按题意作矢量图vvv0103 .17601060smtgtgvvmgvH3 .1580. 923 .1722

8、20vyxy x 例例 1-6 如如图图，一一物物体体沿沿倾倾角角为为的的斜斜面面下下滑滑，设设当当物物体体相相对对斜斜面面的的速速度度大大小小为为 v时时，斜斜面面对对地地的的速速度度大大小小为为 V，求求此此时时物物体体对对地地的的速速度度大大小小和和方方向向。 vVxOy运动学13解解：Vvv sincosvvVvvyx cos2sin)cos(22222VvVvvVvv Vvvvvxycossintan 物体的惯性：物体的惯性：物体具有保持其运动状态不变的性质物体具有保持其运动状态不变的性质 力与运动的关系：力与运动的关系：力的作用是改变物体的运动状态（运动速力的作用是改变物体的运动状

9、态（运动速度），而不是维持物体的运动状态（运动速度）；力是使物体度），而不是维持物体的运动状态（运动速度）；力是使物体运动状态发生变化的物体间的相互作用。运动状态发生变化的物体间的相互作用。 任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态, 直到其他物体直到其他物体所作用的力迫使它改变这种状态为止。所作用的力迫使它改变这种状态为止。amF 力与运动的定量关系：力与运动的定量关系：Fa 质量：质量： 物体惯性大小的量度：物体惯性大小的量度：ma/1 作用力和反作用力同时存在。作用力和反作用力同时存在。 分别作用于两个物体上，不能抵消。分别作用于两个物体上，不能抵消。

10、 属于同一种性质的力。属于同一种性质的力。 反映了力的来源：力来自物体与物体间的相互作用反映了力的来源：力来自物体与物体间的相互作用 2112FF牛顿第二定律的应用牛顿第二定律的应用 1. 1. 牛顿第二定律的数学表达式牛顿第二定律的数学表达式 矢量式：矢量式： 分量式：分量式： 22dtrdmdtvdmamF2. 用牛顿第二定律解质点动力学问题用牛顿第二定律解质点动力学问题1) 1) 已知质点的运动和质量，求质点的受力：求导过程已知质点的运动和质量，求质点的受力：求导过程 2) 2) 已知质点的受力和质量，求质点的运动：求积分的过程已知质点的受力和质量，求质点的运动：求积分的过程 m2 m1

11、图13F例例 2 2- -1 1 如图，已知如图，已知21558 . 9ttF，kgm41， 0,30,102tkgm时系统保持静止，求时系统保持静止，求 t 时刻时刻 m1(m2)的加速度和速度。的加速度和速度。 m2 m1图155Fgm1TT解：amgmTamTgmF1122sin )/(3sin222112smttmmgmgmFa tvadtdvadtdvdtdva00 )/(21)3(3202smttdtttvt 质量为质量为m的小球最初位于的小球最初位于A点，然后沿半径为点，然后沿半径为R的光滑的光滑圆弧面下滑。求小球在任一位置时的速度和对圆弧面的作用。圆弧面下滑。求小球在任一位置时

12、的速度和对圆弧面的作用。A dtdvmmgcosRvmmgN2sinRddvvdsdtdvdsdtdvdRgvdvcos ngmN00cosdRgvdvvsin212Rgv sin2Rgv RRgmmgNsin2sinRvmmgN2sinsin3mgA ngmN例例2 2- -3 3 一质量为一质量为m的质点的质点t=0时自坐标原点以初速时自坐标原点以初速ivvo0做平抛运动，运动过程中受到空气阻力做平抛运动，运动过程中受到空气阻力vmkf，求，求: （1） t 时刻质点的速度；时刻质点的速度； （2） 质点的运动方程。质点的运动方程。 动力学60vxyO一一. 质心质心1. 1. 质心的定义

13、：质心的定义：由下式决定的位置矢量由下式决定的位置矢量Cr所对应的点所对应的点 C，称，称为质点系的质心：为质点系的质心： MrmriiC2. 质心的计算质心的计算MrmriiCMzmzMymyMxmxiiCiiCiiC质量连续分布的物体质量连续分布的物体 MdmrrCMzdmzMydmyMxdmxCCC例例 2-4：如图，求质量均匀分布的直角三角形的质心。如图，求质量均匀分布的直角三角形的质心。 动力学30 xyOx dxba解：MxdmxC 2/tg)(0abdxxaxa a31 同理 byC31 二质心运动定理二质心运动定理 CaMF 系统质心加速度的大小与于所受的合外力大小成正比，系统

14、质心加速度的大小与于所受的合外力大小成正比，与系统的总质量成反比，加速度的方向沿合外力的方向。与系统的总质量成反比，加速度的方向沿合外力的方向。 内力不影响系统质心的运动。内力不影响系统质心的运动。 牛顿定律成立的参考系。一切相对于惯性系作匀速牛顿定律成立的参考系。一切相对于惯性系作匀速直线运动的参考系也是惯性系。直线运动的参考系也是惯性系。相对于惯性系作加速运动的参考系。相对于惯性系作加速运动的参考系。在非惯性系内在非惯性系内牛顿定律不成立。牛顿定律不成立。0ay x 惯性参照系与非惯性参照系惯性参照系与非惯性参照系 0amQ2. 非惯性参照系中的牛顿运动定律非惯性参照系中的牛顿运动定律 a

15、mQF二. 非惯性参照系中的牛顿运动定律非惯性参照系中的牛顿运动定律 0aTgm0amQ1. 1. 冲量冲量冲量和动量冲量和动量 恒恒力力：)(0ttFI 变力：变力：)(tFF ttdtFI0t0ttiti+titFO图14iiitiiiiiiiiiitFIttFItttFIttti00lim:0:2. 2. 动量动量 pmv二动量定理二动量定理 1. 牛顿第二定律的普遍形式牛顿第二定律的普遍形式dtpdF2. 2. 动量定理动量定理 pddtFpddtFdtpdFpptt000ppIzzzyyyxxxppIppIppI000 动量定理反映了力对时间的积累效应动量定理反映了力对时间的积累效应

16、 1 1质点系的动量质点系的动量CCiiiiiiiiivMdtrdMMrmdtdMdtrdmvmPCvMP三三. . 质点系的动量定理质点系的动量定理2质点系的动量定理质点系的动量定理 dtvdMaMFCCCvMddtF00CCttvMvMdtF0PPI000zzzyyyxxxPPIPPIPPI 内力只是使系统内各质点产生动量的交换，但不改变质点系内力只是使系统内各质点产生动量的交换，但不改变质点系的总动量的总动量 3动量守恒定律动量守恒定律 0PP000zzyyxxPPPPPP 0I 若系统在某一方向所受的合力为零，则该方向动量守恒若系统在某一方向所受的合力为零，则该方向动量守恒 s 动力学

17、1512s211t2t0v动力学160vVvO解： sinsin0coscos0MVmvMVmvmv )sin(sin)sin(sin00MmvVvv PxyDCO动力学190rririirririF0P1功功)(rFF iiiiiirFArFA rriiirirdFrFAri00lim, 0 功与功率功与功率rrrdFA0直角坐标系：直角坐标系：kdzjdyidxrdkFjFiFFzyx rrzyxdzFdyFdxFA0一维运动：一维运动： xxFdxA0rrdsFA0mP动力学20 FFnF0PndsrdFnFFn2. 功率功率 vFdtrdFdtdAPvFP直角坐标系：直角坐标系： zz

18、yyxxvFvFvFP自然坐标系：自然坐标系： vFP一维运动：一维运动： FvP 功和功率都是标量，无方向，但有正负号功和功率都是标量，无方向，但有正负号 。 iiiirrrriiArdFrdFA00)(iiiiiiPvFvFP)()( 合力的功和功率合力的功和功率 ：ttPdtAdtdAP0 功和功率功和功率 的关系：的关系：动能动能 动能定理动能定理 2022121 00000mvmvmvdvdvdtdsmdsdtdvmdsFrdFAvvrrrrrrrr221mvEk质点的动能：质点的动能：动能定理：动能定理：0kkEEA三质点系的动能定理三质点系的动能定理 0kkEEAiiikiivm

19、EAAAA221内外 内力所做的总功一般不为零，即内力一般要改变系统的总动能内力所做的总功一般不为零，即内力一般要改变系统的总动能 m Mm+M动力学210v00VVMmMmvmvVMmEpMmmvVVMmmvk202020021 21)(210)(例：例：动力学22hlxgmf一一. 质点系的势能质点系的势能 1保守力保守力Px yO动力学23gmh0h0P重力做功：重力做功：x xmO动力学24 kF弹力作功：弹力作功：)2121( )(20200kxkxdxkxFdxAxxxx动力学25xOBmM0rrFy万有引力做功：万有引力做功：保守力：保守力：作功只与作功只与质点质点的前、后位置有

20、关，而与运动路径无的前、后位置有关，而与运动路径无关的力； 或关的力； 或质点质点沿任一闭合路径运动一周， 做功都为零的力沿任一闭合路径运动一周， 做功都为零的力: )()(00rrrdFrr保0)(LrdF保或2势能势能取取0)(0rEp，则则 00rrrrprdFrdFE保保受保守力作用的质点在空间某一点的势能等于质点从零受保守力作用的质点在空间某一点的势能等于质点从零势能参考点移到该点的过程中保守力所作的功的负值。势能参考点移到该点的过程中保守力所作的功的负值。3. 保守力与势能的关系保守力与势能的关系1）保守力做功等于势能增量的负值：保守力做功等于势能增量的负值： )(0ppEEA保d

21、zFdyFdxFrdFdAzyx2）保守力等于势能梯度的负值：保守力等于势能梯度的负值： dzzEdyyEdxxEdEzyppkzEjyEixEFppppdEdA功能原理功能原理 0 0）（保内非保内保内外内外ppkkEEAAAAAAAEEA)()(00pkpkEEEEAA非保内外机械能机械能: :pkEEE功能原理功能原理: 0EEAA非保内外机械能守恒定律机械能守恒定律 封闭保守系统：封闭保守系统： 0:0:非保内外保守封闭AA0EE 能量的转化与守恒定律能量的转化与守恒定律 自然界中，能量既不能消失，也不能创造，它只能从一种自然界中，能量既不能消失，也不能创造，它只能从一种形式转化成另一

22、种形式，或者从一个物体传给另一个物体。形式转化成另一种形式，或者从一个物体传给另一个物体。 自然界中有许多形式的能量。自然界中有许多形式的能量。 封闭系统，能量守恒，但机械能不一定守恒；封闭保守系封闭系统，能量守恒，但机械能不一定守恒；封闭保守系 统，能量守恒，机械能守恒统，能量守恒，机械能守恒 。mM hV vxyO动力学26角位置：角位置： 1. 1. 定轴转动的角量描述定轴转动的角量描述 ( ) t角位移：角位移： )()(0tt角速度：角速度：ddt角加速度：角加速度： 22dtddtd 角速度和角加速度均为矢量，定轴转动中其方向沿转轴的方角速度和角加速度均为矢量，定轴转动中其方向沿转

23、轴的方向并满足右手螺旋定则。向并满足右手螺旋定则。2. 2. 角量和线量的关系角量和线量的关系rv 2raran矢量表示：矢量表示： rrarv2FrMzFdFPO大小：大小：dFrFMsin 方向：方向： 沿沿Fr方向。定轴转动中沿转动轴的方向。方向。定轴转动中沿转动轴的方向。 JM 转动定律转动定律2iirmJ连续体：连续体：dmrJ21. 1. 转动惯量的物理意义：转动惯量的物理意义：刚体转动惯性大小的量度。刚体转动惯性大小的量度。 2. 2. 转动惯量的计算转动惯量的计算 转动惯量与刚体的质量、刚体的形状、以及转动轴有关。转动惯量与刚体的质量、刚体的形状、以及转动轴有关。 计算质量为计

24、算质量为 m ，长为，长为 l 的细棒绕通过其端点的垂直轴的细棒绕通过其端点的垂直轴的转动惯量。的转动惯量。oxzdxdmxdmxdJ2dxlmdxdmllxlmdxlmxJ030231231mlJ 一质量为一质量为 m ，半径为，半径为 R 的均匀圆盘，求通过盘中心并的均匀圆盘，求通过盘中心并与盘面垂直的轴的转动惯量。与盘面垂直的轴的转动惯量。rdrRrdrdm2dmrdJ2RdrrJ03224212mRRO 转动定律的应用转动定律的应用 1）受力分析 2）列方程：RaJMamF:无滑动条件根据转动定律刚体根据牛顿第二定律质点 3）解方程 解题要点解题要点例例 3 3- -3 3 如图，如图

25、，1m、2m、M、和、和R都已知，绳子与滑都已知，绳子与滑轮间无相对滑动，求轮间无相对滑动，求1m（2m）的加速度。）的加速度。 解： 2/,2212122111MRIRaIRTRTamgmTamTgm 2/)(2121Mmmgmma m2m1图136(a)RMgm11Tgm22TR1T2TgMQ图136(b)图163lAgmCidOi图29iFiril dZP0PdMdrFdrFdlFl dFdAiiiiiiiiiiiii sin sin cos 0MdAMddMdAdAiiii 刚体的内力不做功刚体的内力不做功MdtdMdtdAPMP 刚体的转动动能与重力势能刚体的转动动能与重力势能 O图26irivimZ222221)(21)21(JrmvmEiiiiiik221JEk1刚体的转动动能刚体的转动动能 2刚体的重力势能刚体的重力势能 图164imihCiiiiiiiipMghmhmMgghmECpMghE 202212100JJdJMdddJdtdddJdtdJJM0kkEEA)(0000ppkkEEdMEEdMMMMM重重外重外）（00EEdM外 0外MCEEEkp推广：推广：对含有刚体和质点复杂系统，若外力不做功，且对含有刚体