随机变量基础

1、随机信号分析与处理的基础是概率论与随机变量的理论。随机信号分析与处理的基础是概率论与随机变量的理论。1.1概率论的基本术语满足下列三个条件的试验称为随机试验，记为E ： (1)在相同条件下可重复进行； (2)试验的结果不止一个，所有可能的结果能事先明确； (3)每次试验前不能确定会出现哪一个结果。例：投掷硬币1. 随机试验随机试验可重复性可重复性总体总体确定确定性性具体随机性具体随机性2. 随机事件随机事件 在随机试验中，对试验中可能出现也可能不出现的、而在大量的重复试验中体现某种规律性的事情，称之为随机事件，简称为事件。3. 基本事件基本事件 在随机试验中，最简单的随机事件称为基本事件。比如

2、投掷骰子出现1,2，6点均为基本事件，而出现偶数点不是基本事件。4. 样本空间样本空间 随机试验的所有基本事件组成的集合称为样本空间，记为S，或者为。每个基本事件亦称为样本空间里的一个样本点。如投掷骰子的样本空间为1,2,3,4,5,6。5. 频数和频率频数和频率 在相同条件下的n次重复试验中，事件A发生的次数nA 称为事件A的频数，而nA /n 为事件A的频率。6. 概率（统计性定义）概率（统计性定义） 如果试验次数n趋向无穷大，频率将趋于某个稳定值，这个值就称为事件A发生的概率，记为P(A)，即()limAnnnP A 7. 古典概率古典概率 一般地，具备下列两个特征的随机试验的数学模型称

3、为古典概型：（1）试验的样本空间S是个有限集合，不妨记作S=1 ，2 ， ， n （2）每个样本点在1次试验后都等可能的出现。因此，我们规定在古典概型中，事件A发生的可能性为他的概率，即古典型概率，为( )AnnP A 8. 几何概率几何概率 一般地，假设样本空间S是某个区域，这个区域可以是一维的，二维的，也可以是三维的，每个样本点等可能出现，我们规定事件A的概率为()()()mAm SP Am(.)可以是长度，面积和体积9. 概率的公理化定义概率的公理化定义 给定一个随机试验，S是他的样本空间，对于任何一个事件A，规定一个实数，记作P(A）.如果P(.)满足下列3条公理：公理1 非负性 对于

4、任意一个事件A，P(A)=0;公理2 规范性 P(S)=1；公理3 可列可加性 当可列无限个事件A1，A2，两两不相容时，有P(A1UA2U)=P(A1)+P(A2)+那么称P(A)为事件A的概率。1.2随机变量的定义定义：定义：设随机试验设随机试验E E的样本空间为的样本空间为S=eS=e，如果对于每一个，如果对于每一个e e S S，有一个实数，有一个实数X(e)X(e)与之对应，这样就得到一个定义在与之对应，这样就得到一个定义在S S上上的单值函数的单值函数X(e)X(e)，称，称X(e)X(e)为随机变量，简记为为随机变量，简记为X X。 1.1.随机变量的定义随机变量的定义随随机机变

5、变量量离散型随机变量离散型随机变量连续型随机变量连续型随机变量2.2.随机变量的分类随机变量的分类通常用概率分布律来描述通常用概率密度函数来描述3.3.几种典型的离散型随机变量的分布几种典型的离散型随机变量的分布（1）、（0,1）分布设随机变量X的可能取值只有0和1，其概率分布为P(X=1)=p,P(X=0)=1-p(0p=10n，也用二项分布来描述产品抽查的不合格率。因为Mnnlim(1),0,1,.,kn kkkn kMNNNppknC CCC泊松定理 设=np，对于任意一个非负整数k，证明 ：令p=/n推得又,故得证。n.lim(1)!kkkn kneppkCn(1).(1)(1)()

6、(1)!kkn kkn kn nnkppknnC11(1) (1) 11-) . (1)!nknkkknnn（(1)(1)limlimnnnnenn服从泊松分布的例子很多，比如某交通路口忙时的车流量，某个通信端局忙时的通信量，1年内我国发生3级以上的地震次数，公共车站候车的乘客数，1年内战争爆发次数等等。（5）、几何分布篮球运动员罚点球问题。若一篮球运动员罚点球命中的概率为p，且不限制他罚球的次数，只是一旦命中即停止。设X为首次命中的罚球次数，则有 P(X=k)=p(1-p)k-1称X服从参数为p的几何分布。几何分布显然也属于n重贝努利试验，只是最后一次试验结果是确定事件A发生的。1.3随机变

7、量的分布函数与概率密度1.1.分布函数分布函数设设X X为随机变量，为随机变量， 为实数，定义为实数，定义 ，为为X X的概率分布函数，简称分布函数。若的概率分布函数，简称分布函数。若X X为离散型，则有为离散型，则有 2.2.分布函数的性质分布函数的性质( )F xP Xxx-x （1）F（x）是一个单调非减函数，即当1212()()F xF xxx时，（2）0( )1F x（3）()1,()0;limlimxxFxFx （4）( )-+F x在（， ）上每一点处至少右连续:( )=()iiiiixixF xP Xaapa3.3.概率密度函数概率密度函数给定一个连续型随机变量X，如果存在一个

8、定义域为非负实值函数 ，使得X的分布函数 可以表达为 则 为连续性随机变量X的概率密度函数。(,) ( )f x( )F x( )( ),xtF xf txd ( )f x4.4.概率密度函数的性质概率密度函数的性质（1）（2）( )0;f x ()1;xfxd211221()()( )xxP xXxF xF xf x dx（3）211221()()( )xxP xXxF xF xf x dx随机变量落入 概率 12(,)x x（4 4）离散型随机变量）离散型随机变量X X的概率密度，为的概率密度，为1x2xkx1p2pkp( )F xx1xNoImagekx1p( )f xx2pkp( )(

9、)kkkf xxxp 5.5.常见的连续型概率分布常见的连续型概率分布 222)(exp21)(xxf),(2NX-4-3-2-10123400.10.20.30.40.50.60.70.8N(0,1)正态分布概率密度 标准正态分布函数（1 1）正态分布（）正态分布（NormalNormal），也称高斯（），也称高斯（GaussGauss）分布）分布221()( )exp22xXxF xdx21( )exp22xxxdx服从正态分布的例子，如某班级的某科目的成绩，某地区的服从正态分布的例子，如某班级的某科目的成绩，某地区的年降雨量，某地区男性身高，材料的断裂强度，自动机床生年降雨量，某地区男性

10、身高，材料的断裂强度，自动机床生产的产品尺寸。产的产品尺寸。（2 2）均匀均匀分布（分布（uniform distributionuniform distribution）设连续型随机变量设连续型随机变量X X的概率密度函数为的概率密度函数为通常称这个随机变量通常称这个随机变量X X服从区间（服从区间（a,b)a,b)上的连续型均匀上的连续型均匀分布，记作分布，记作X XR(a,b)。1f ( )a;0,xxbba，其 他 在实际问题中，定点计算的舍入误差，计算机产生的随机数，正弦波的随机相位等都用到均匀分布。 （3 3）瑞利瑞利分布（分布（RayleighRayleigh）0002exp)(

11、222xxxxxf，瑞利分布概率密度2 02468101200.050.10.150.20.250.30.350.4 （4 4）指数指数分布（分布（RayleighRayleigh）指数分布概率密度 000)(xxexfx，0123456700.511.5指数分布在可靠性问题中被广泛应用，许多优质电子产品的寿命常常服从指数分布。 （5 5）韦伯分布韦伯分布kkf( )0;0 xxxx k-1() exp-() ,0 x 其中其中k,k,为常数，参数为常数，参数称为尺度参数，称为尺度参数，k k为形状参数，为形状参数，雷达的地杂波的幅度特性通常可以用韦伯分布来描述，概雷达的地杂波的幅度特性通常可

12、以用韦伯分布来描述，概率密度曲线如图所示。率密度曲线如图所示。 （6 6）对数正态分布）对数正态分布22ln ()1m( )exp,0220 xf xxx,0 x 其中其中m,m,为非负的常数，则称为非负的常数，则称X X服从对数正态分布，雷达服从对数正态分布，雷达的海杂波的幅度特性通常可以用对数正态分布来描述，概的海杂波的幅度特性通常可以用对数正态分布来描述，概率密度曲线如下图。率密度曲线如下图。 （7 7）K K分布分布11222( )()(02( )vvvvvvf xxKxxv）， 其中其中00为比例参数，为比例参数，v0v0为形状参数，为形状参数，（. .）为伽码函）为伽码函数，数，K

13、 Kv-1v-1(.) (.) 为第二类为第二类v-1v-1阶修正贝塞尔函数。阶修正贝塞尔函数。K K分布是描分布是描述现代高分辨率雷达杂波的一种统计模型。其概率密度曲述现代高分辨率雷达杂波的一种统计模型。其概率密度曲线如下。线如下。K分布概率密度函数曲线图v=110) （8 8）拉普拉斯分布（双指数分布）拉普拉斯分布（双指数分布）1( )cexp(|)2f xc x 其中其中c,c,均为常数，且均为常数，且c0c0，则称，则称X X服从拉普拉斯分布。服从拉普拉斯分布。拉普拉斯分布被广泛应用于语音信号和图像灰度的统计建拉普拉斯分布被广泛应用于语音信号和图像灰度的统计建模，概率密度曲线如下。模，

14、概率密度曲线如下。1.4随机过程的定义定义一：设随机试验E的样本空间为S=e，对其每一个元素ei(i=1,2,)都以某种法则确定一个样本函数x(t,ei),由全部元素e所确定的一族样本函数X(t,e)称为随机过程，简记为X(t)。定义定义2 2： 设有一个过程X(t) ，若对于每一个固定的时刻tj(j=1,2,) ，X(tj)是一个随机变量，则X(t)称为随机过程。 1.随机过程的定义随机过程的定义随机过程随机过程X(t,e)X(t,e)四种不同情况下的意义：四种不同情况下的意义：当当t t固定，固定，e e固定时，固定时， X(t)X(t) 是一个是一个确定值确定值； 当当t t固定，固定，

15、e e可变时，可变时， X(t)X(t) 是一个是一个随机变量随机变量； 当当t t可变，可变，e e固定时，固定时， X(t)X(t) 是一个确定的是一个确定的时间函数时间函数； 当当t t可变，可变，e e可变时，可变时， X(t)X(t) 是一个是一个随机过程随机过程； 2.随机过程的数字特征随机过程的数字特征随机过程的均值是时间t t的函数，也称为均值函数，统计均值是对随机过程中所有样本函数在时间t t的所有取值进行概率加权平均，所以又称为集合平均。随机过程的均值可以直观地 理解为在t t时刻所有样本函数取值的一个取值中心，它反映了样本函数统计意义下的平均变化规律。对于随机序列：均值与方差的物理意义：均值与方差的物理意义：如果：如果：X(t)-X(t)-单位电阻上的电压交流平交流平均功率均功率直流平直流平均功率均功率总的平总的平均功率均