机械工程控制基础 第5章 20100610

1、材料学院机械工程控制基础机械工程控制基础主讲教师：叶春生Tel中科技大学材料学院华中科技大学材料学院机械工程控制基础机械工程控制基础 第一章第一章 自动控制的一般概念自动控制的一般概念 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 第三章第三章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法 第四章第四章 频域分析法频域分析法 第五章第五章 控制系统的稳定性控制系统的稳定性 第六章第六章 控制系统的校正控制系统的校正华中科技大学材料学院第五章 系统的稳定性 5.1 5.1 系统稳定性的初步概念系统稳定性的初步概念 5.2 5.2 RouthRouth稳定判据稳定判据

2、 5.3 5.3 NyquistNyquist稳定判据稳定判据 5.4 5.4 BodeBode稳定判据稳定判据 5.5 5.5 系统的相对稳定性系统的相对稳定性华中科技大学材料学院5.1 5.1 系统稳定性的初步概念系统稳定性的初步概念 稳定性是控制系统最重要的问题，是系稳定性是控制系统最重要的问题，是系统正常工作的首要条件。控制系统在实际运统正常工作的首要条件。控制系统在实际运行中，总会受到外界和内部一些因素的扰动，行中，总会受到外界和内部一些因素的扰动，例如负载或能源的波动、环境条件的改变、例如负载或能源的波动、环境条件的改变、系统参数的变化等。如果系统不稳定，当它系统参数的变化等。如果

3、系统不稳定，当它受到扰动时，系统中各物理量就会偏离其平受到扰动时，系统中各物理量就会偏离其平衡工作点，并且越偏越远，即使扰动消失了，衡工作点，并且越偏越远，即使扰动消失了，也不可能恢复原来的平衡状态。也不可能恢复原来的平衡状态。华中科技大学材料学院1 1 稳定性的初步概念稳定性的初步概念 如果系统受到扰动后，偏离了原来的平衡状态，如果系统受到扰动后，偏离了原来的平衡状态，而当扰动取消后，系统又能够逐渐恢复到原来的状态，而当扰动取消后，系统又能够逐渐恢复到原来的状态，则称系统是稳定的，或具有稳定性的。否则称系统是则称系统是稳定的，或具有稳定性的。否则称系统是不稳定的，或不具有稳定性。不稳定的，或

4、不具有稳定性。0AAAfABBA( )a( )b( )c小球的稳定性小球的稳定性华中科技大学材料学院稳定性的初步概念工程实例稳定性的初步概念工程实例华中科技大学材料学院稳定性的初步概念稳定性的初步概念- -正反馈加力正反馈加力华中科技大学材料学院 线性定常系统的稳定性表现为其时域响应的收敛线性定常系统的稳定性表现为其时域响应的收敛性。如果线性定常系统的时域响应随着时间的推移性。如果线性定常系统的时域响应随着时间的推移, , 是逐渐收敛的是逐渐收敛的, ,即即 系统的时域响应能最终收敛到一个系统的时域响应能最终收敛到一个稳定状态稳定状态, , 则称该线性定常系统是稳定的则称该线性定常系统是稳定的

5、; ; 反之，如反之，如果时域响应发散果时域响应发散, , 则该线性定常系统就是不稳定的。则该线性定常系统就是不稳定的。 线性定常系统稳定的充分必要条件线性定常系统稳定的充分必要条件华中科技大学材料学院1011111( )( )()( )mmmmnnnnb sbsbsbX sG snmY ssa sasa系统的特征方程式为系统的特征方程式为 0111nnnnasasas经过研究得出如下结论：经过研究得出如下结论： 线性定常系统稳定的充分必要条件是线性定常系统稳定的充分必要条件是, , 特征方程特征方程式的所有根均为负实根或其实部为负的复根式的所有根均为负实根或其实部为负的复根, , 即特征即特

6、征方程的根均在复平面的左半平面。方程的根均在复平面的左半平面。由于系统特征方程的根就是系统闭环传函的极点由于系统特征方程的根就是系统闭环传函的极点, , 因因此也可以说此也可以说, , 线性定常系统稳定的充分必要条件是线性定常系统稳定的充分必要条件是系统闭环传系统闭环传函的极点均在复平面的左半平面。函的极点均在复平面的左半平面。线性定常系统传递函数的通式为线性定常系统传递函数的通式为 华中科技大学材料学院 若线性定常系统在复平面右半平面没有极点若线性定常系统在复平面右半平面没有极点, , 但但虚轴上存在极点虚轴上存在极点, , 则称系统为临界稳定。在工程上则称系统为临界稳定。在工程上, , 临

7、界稳定属于不稳定临界稳定属于不稳定, , 因为参数的微小变化就会使极因为参数的微小变化就会使极点具有正实部点具有正实部, , 从而导致系统不稳定。从而导致系统不稳定。 线性定常系统的临界稳定条件线性定常系统的临界稳定条件稳定性是系统自身的固有特性，与外界输入信号无关。稳定性是系统自身的固有特性，与外界输入信号无关。华中科技大学材料学院反馈系统稳定的充要条件对于一般的反馈系统，系统的传递函数为：对于一般的反馈系统，系统的传递函数为： X(s)G(s)(s)Y(s)1G(s)H(s)设输入信号为单位脉冲信号，则有：设输入信号为单位脉冲信号，则有：12nn12nii 112niG(s)G(s)Y(s

8、)1G(s)H(s)(ss )(ss )(ss )ccccssssssssins tii 1y(t)c e华中科技大学材料学院从上式可看出，要想系统稳定，只有当系统的从上式可看出，要想系统稳定，只有当系统的特征根特征根s s，全部全部具有具有负实部。负实部。 综上所述，不论系统特征方程的特征根为何综上所述，不论系统特征方程的特征根为何种形式，线性系统稳定的充要条件为：所有种形式，线性系统稳定的充要条件为：所有特征根均为负数或具有负的实数部分；即：特征根均为负数或具有负的实数部分；即：所有特征根均在复数平面的左半部分。所有特征根均在复数平面的左半部分。由于特征根就是系统的极点，因此，线性系由于特

9、征根就是系统的极点，因此，线性系统稳定的充要条件也可表述为：系统的极点统稳定的充要条件也可表述为：系统的极点均在均在s s平面的左半平面。平面的左半平面。华中科技大学材料学院线性系统稳定的充要条件线性系统稳定的充要条件1i1iititY( )( )X(s) X(s)=1 s (i1,2,3,.n) (s)0, Y( ) A( )() Re0 lim( )0 Re0 lim( )iiiinAssins tiiisssstA essssy tsy t 是 的根若若华中科技大学材料学院线性系统稳定充要条件的例子线性系统稳定充要条件的例子32X(S)1. Y(S)452: SSS例试判断系统的稳定性。

10、解 , -23S -1,2S -1,1S 02)(S21)(S2)3S21)(S(S 025S24S3S 故系统稳定。负实部由于三个特征根都具有华中科技大学材料学院控制系统李亚普诺夫稳定性控制系统李亚普诺夫稳定性 对于非线性、时变、多输入多输出控对于非线性、时变、多输入多输出控制系统稳定性问题的研究，经典控制理论无制系统稳定性问题的研究，经典控制理论无能为力。只有利用俄罗斯科学家李亚普诺夫能为力。只有利用俄罗斯科学家李亚普诺夫（A. M. A. M. LyapunovLyapunov）的稳定性理论来分析和）的稳定性理论来分析和研究。研究。 A. M. A. M. LyapunovLyapuno

11、v于于18921892年出版专著年出版专著运动系统稳定性的一般问题运动系统稳定性的一般问题，使得，使得LyapunovLyapunov稳定性理论已经成为控制理论的最稳定性理论已经成为控制理论的最重要的几个柱石之一。重要的几个柱石之一。华中科技大学材料学院李亚普诺夫意义下稳定性的定义李亚普诺夫意义下稳定性的定义稳定的定义稳定的定义nxx1x则则221nxxx非线性时变系统非线性时变系统0ex),(txfx表示求欧几里德范数。表示求欧几里德范数。（即：表示空间距离）（即：表示空间距离）华中科技大学材料学院李亚普诺夫稳定的定义李亚普诺夫稳定的定义0),(tetxx)(0),(0t定义定义 对于任意给

12、定的实数对于任意给定的实数 ，都对应存在，都对应存在 实数满足，使实数满足，使0的任意初始状态的任意初始状态 出发的轨线出发的轨线 有有00)(xxt)(txetxx)( （对所有（对所有 t t0）成立，则称成立，则称 为为Lyapunov意义下是稳定的。意义下是稳定的。0ex华中科技大学材料学院渐近稳定渐近稳定如果系统的平衡状态如果系统的平衡状态 是稳定的。是稳定的。从平衡状态的某个充分小的领域内出发从平衡状态的某个充分小的领域内出发的状态轨线的状态轨线 ，当，当 时，收敛于时，收敛于 ，则称，则称 为渐近稳定。为渐近稳定。0ex)(txt0ex0exLyapunov意义下稳定渐进稳定渐进

13、稳定华中科技大学材料学院5.2 5.2 RouthRouth稳定判据稳定判据稳定判据稳定判据-1-110( ).0nnnnD sa sa sasaRouth稳定判据稳定判据: 系统的特征方程为系统的特征方程为必要条件：必要条件：（1）特征方程的各项系数）特征方程的各项系数ai(i=1,2,n)都不为零；都不为零；（2）特征方程的各项系数）特征方程的各项系数ai(i=1,2,n)具有相同的具有相同的符号。符号。充分条件：充分条件： 劳斯阵列第一列所有元素为正。劳斯阵列第一列所有元素为正。华中科技大学材料学院劳劳 斯斯 阵阵 列列 -2-4-6-1-1-3-5-7-2123-31 2 . . .

14、. . . . . . . nnnnnnnnnnnnsaaaasaaaasbbbscc123145121116731131215131211 . . . . . . b b b c c nnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaa aaaa aaaaaa aab aabb aabbb华中科技大学材料学院 的个数。别该特征方程正实部根试用Routh判据判 054s3s2ss 设有下列特征方程 例1.234 5 s 0 6 s 5 1s 0 4 2 s 5 3 1 s : : 0152-41124-32 2 34 列写劳斯阵列解符号改变一次符号改变一次。故有两个实部为正的根次阵列第一列符号改变二

15、R Ro ou ut th h ,华中科技大学材料学院RouthRouth 判据的特殊情况判据的特殊情况- -方法一方法一 : 023s-s . 3解正的特征根的个数。试应用判据判别实部为设系统的特征方程为例3 2-3 -20 s 1 -3 s 0 2 s 0 s 2 改变一次改变一次1 某行第一个元素为零，其余均不为零。某行第一个元素为零，其余均不为零。方法一方法一:有两实部为正的根。华中科技大学材料学院RouthRouth 判据的特殊情况判据的特殊情况- -方法二方法二有两个实部为正的根。则取得新方程乘以原方程以 6 0s 0 20 1s 0 6 2/3- 2s 0 7- 3 3s 6 3

16、- 1 4s 067s-23s-33s42)3s-3a)(s(s , 3,)( saas改变一次改变一次华中科技大学材料学院劳斯表某行全为零劳斯表某行全为零65432: s-2s -3s -7s -4s-40 : s例已知系统特征方程为试确定正实部根的个数。解 0 0 0 s 4- 3- 1 s 0 4- 3- 1 s 4- 7- 2- 1 s 3 456423( ): ( )-3-40 4-60dF sF sss ss ds辅助方程说明特征方程中存在一些大小相等，但方向相反的根。说明特征方程中存在一些大小相等，但方向相反的根。华中科技大学材料学院劳斯表某行全为零劳斯表某行全为零 4- s 0

17、 16.7- s 4- 1.5- s 0 6- 4 s 4- 3- 1 s 4- 3- 1 s 4- 7- 2- 1 s 0123456说明特征方程中存在一些大小相等，但方向相反的根。说明特征方程中存在一些大小相等，但方向相反的根。423( ): ( )-3-40 4-60dF sF sss ss ds辅助方程改变一次华中科技大学材料学院4222222, ( )34(4)(1)02,:(s1)(4)(1)013 :-22F sssssjsssj符号改变一次有一个实部为正的根。求解辅助方程得出产生全零行的根为。再由原特征方程得另外二根为。华中科技大学材料学院在这两种情况下在这两种情况下, , 两

18、个大小相等符号相反的实根两个大小相等符号相反的实根表明系统在复平面内可能存在表明系统在复平面内可能存在 两个共轭虚根两个共轭虚根 以虚轴对称的两对共轭复根以虚轴对称的两对共轭复根, , 此时，系统处在不稳定状态或临界稳定状态。此时，系统处在不稳定状态或临界稳定状态。 下面通过实例说明这时应如何排劳斯表。若遇到下面通过实例说明这时应如何排劳斯表。若遇到第一种情况第一种情况, , 可用一个任意小的正数可用一个任意小的正数代替为零的元代替为零的元素素, , 然后继续进行计算然后继续进行计算, , 完成劳斯表。完成劳斯表。 华中科技大学材料学院 例例 考虑图所示的系统考虑图所示的系统, , 确定使系统

19、稳定的确定使系统稳定的K K的的取值范围。取值范围。 控制系统框图控制系统框图 )2)(1(2ssssKR(s)C(s)解解 由图可知由图可知, , 系统的闭环传递函数为系统的闭环传递函数为 华中科技大学材料学院KssssKsRsCs)2)(1()()()(2所以系统的特征方程为所以系统的特征方程为 0233)2)(1()(2342KssssKsssssD列劳斯表如下：列劳斯表如下：华中科技大学材料学院KsKsKssKs01234079203702331根据劳斯判据根据劳斯判据, , 系统稳定必须满足系统稳定必须满足 0792,0KK华中科技大学材料学院因此因此, , 使闭环系统稳定的使闭环系

20、统稳定的K K值范围为值范围为 9140 K当当K K=14/9=14/9时时, , 系统处于临界稳定状态。系统处于临界稳定状态。 需要指出需要指出, , 在运用劳斯稳定判据分析系统稳在运用劳斯稳定判据分析系统稳定性时定性时, , 有时会遇到下列两种特殊情况：有时会遇到下列两种特殊情况： (1) (1) 在劳斯表的某一行中在劳斯表的某一行中, , 第一列元素为零第一列元素为零, , 而其余各列元素均不为零而其余各列元素均不为零, , 或部分不为零或部分不为零; ; (2) (2) 劳斯表的某一行元素全部为零。劳斯表的某一行元素全部为零。 华中科技大学材料学院RouthRouth 判据的应用判据

21、的应用: ?K,-1S K Routh,:解至范围应取多大问垂线之左部位于闭环极点全的取值范围。如果要求的开环增益判据确定使系统稳定试应用设系统如图所示例)125.0)(11 .0(SSSKY(S)X(S)-华中科技大学材料学院 s 14-560 s 14 s 40 1 s : 04014s :40.K, )10)(4()( :012 323KKKKssKsssKs相应的劳斯表为程由上式得系统的特征方式中系统闭环传递函为14K0 560K0 014K-560 0K , *即应有为使系统稳定华中科技大学材料学院 4.8K0.675 19227 27-K s 1127)-(K-165 s 27-K

22、 11 s 15 1 s 0)27(1511s ,1s ,1 *01*11*2131*121311 KRouthKsssss则解得表为相应的得代入原特征方程则令垂线之左平面上全部位于若要求闭环极点在华中科技大学材料学院5.3 5.3 NyquistNyquist稳定判据稳定判据在在s s平面上任选一封闭曲线平面上任选一封闭曲线 ，并使，并使 上每上每个点不包含个点不包含 的零点与极点，则的零点与极点，则 映射到映射到 平面上也是一条封闭曲线。当平面上也是一条封闭曲线。当s s顺时针沿顺时针沿 变化一周时，变化一周时， 向量端点轨迹按顺时针向量端点轨迹按顺时针围围绕原点绕原点总圈数总圈数 等于封

23、闭曲线等于封闭曲线 内包围的内包围的零点数目与极点数目之差，其中，零点数目与极点数目之差，其中， 与与 是是指指 在在 内的零点数与极点数。内的零点数与极点数。svsvsvF s( )ZsvFvPNF s( )F s( )F s( )svNZP华中科技大学材料学院幅角定理幅角定理1212)mnK szszszFspspsp(s)(s F(s)华中科技大学材料学院乃氏判乃氏判剧剧- -形式形式 G jH j() ()1 1 形式形式华中科技大学材料学院形式形式华中科技大学材料学院形式形式limRjRseRR0lim R110110lim R()( )( )1 Rjjsemmmmnnnnsemj

24、nmnmnG s H sb sbsba sasabeaRlim R( )( )jmsenbG s H saR()lim R( )( )0jj n mseG s H senmnm华中科技大学材料学院1G s H sF s( ) ( )( )F(s) GH(s)华中科技大学材料学院001lim01lim(1)( )( )(1)jrjrmiijvjvsren vvrvjjsreskG s H skeersT s s GH(s)华中科技大学材料学院乃氏图负乃氏图负穿越穿越( 1,) ( 1,) ( 1,) 华中科技大学材料学院1 01NNNNN ，0 00NNNNN，1 10NNNNN，乃氏图负穿越实

25、例乃氏图负穿越实例1 1华中科技大学材料学院11 212NNNNN ，3 0232NNNNN ，乃氏图负穿越实例乃氏图负穿越实例2 2华中科技大学材料学院0P PN乃氏图负穿越实例乃氏图负穿越实例2 2华中科技大学材料学院乃氏判剧乃氏判剧- -形式形式 闭环系统稳定的充要条件是，当角频率闭环系统稳定的充要条件是，当角频率由由0 0变化到变化到时，开环频率特性时，开环频率特性 正、负穿越正、负穿越 平面负实轴上（平面负实轴上（-1-1，- - ）段的次数差为段的次数差为 ，这里，这里 是开环传递函是开环传递函数极点中处于数极点中处于s s平面右半部的数目。否则，平面右半部的数目。否则，闭环系统不

26、稳定。闭环系统不稳定。G jH j() ()GH/2PP华中科技大学材料学院乃氏判剧乃氏判剧- -形式形式例子：例子：如图所示的乃氏曲线中，如图所示的乃氏曲线中，判别哪些是稳定的，哪些是不稳定的。判别哪些是稳定的，哪些是不稳定的。 华中科技大学材料学院000022NNP所以系统稳定所以系统稳定0 1122NNP 0 12122NNP所以系统不稳定所以系统不稳定所以系统不稳定所以系统不稳定华中科技大学材料学院1 10022NNP 系统稳定系统稳定0 10022NNP1 10022NNP 系统不稳定系统不稳定系统稳定系统稳定华中科技大学材料学院Nyquist DiagramReal AxisIma

27、ginary Axis-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-0.6-0.4-0.200.20.40.6设闭环系统的开环传递函数为，分析其稳定性。设闭环系统的开环传递函数为，分析其稳定性。1212( ) ( )0,0(1)(1)KH s G sTTTsT s，)()(jGjH的轨迹如图所示。的轨迹如图所示。)()(sGsH在右半在右半s s平面内没有任何极点，并且平面内没有任何极点，并且)()(jGjH的轨迹不包围的轨迹不包围01j的值，的值，该系统都是稳定该系统都是稳定的。的。，所以对于任何，所以对于任何华中科技大学材料学院设系统具有下列开环传递函数设系统具有下列开

28、环传递函数: :) 1)(1()()(21sTsTsKsGsH试确定以下两种情况下，系统的稳定性：试确定以下两种情况下，系统的稳定性：增益增益K K较小较小增益增益K K较大。较大。小小K K值时是稳定的值时是稳定的大大K K值时是不稳定的值时是不稳定的平面GHReIm001000ZRP平面GHReIm001220ZRP华中科技大学材料学院设一个闭环系统具有下列设一个闭环系统具有下列) 1()()(TssKsHsG试确定该闭环系统的稳定性。试确定该闭环系统的稳定性。平面GHReIm100开环传递函数：开环传递函数：表明闭环系统有两个极点在右半表明闭环系统有两个极点在右半s s平面，故平面，故系

29、统是不稳定的。系统是不稳定的。开环传递函数在开环传递函数在s s右半平面右半平面内有一个极点内有一个极点( )( )，奈奎斯特曲线如图示，奈奎斯特曲线如图示，轨迹顺时针轨迹顺时针1P方向包围方向包围 点一次点一次,因此因此01j1N 2ZNP华中科技大学材料学院问题讨论问题讨论 1 1 在引入在引入NyquistNyquist判剧时，为什么只就开环极点判剧时，为什么只就开环极点在虚轴上的分布情况进行讨论而没有就在虚轴上的分布情况进行讨论而没有就开环零点的开环零点的情况进行讨论？情况进行讨论？ 2 2 原点处有开环极点时为什么要补作一条虚线，原点处有开环极点时为什么要补作一条虚线，虚线在实际中是

30、否存在？补作虚线与开环传函中的那虚线在实际中是否存在？补作虚线与开环传函中的那一个环节有关系，在给出的一个环节有关系，在给出的NyquistNyquist判剧形式判剧形式与形与形式式中的具体关系是什么？中的具体关系是什么？ 3 3 根据根据NyquistNyquist判剧给出如下情况的分析：判剧给出如下情况的分析：对于对于P=0P=0的开环系统，若其开环频率响应的开环系统，若其开环频率响应通过（通过（-1-1，j0j0）点，则系统处于什么状态？点，则系统处于什么状态？() ()G jH j华中科技大学材料学院0(dB)0gk乃氏判剧乃氏判剧- -形式形式 乃氏判据左手定则。乃氏判据左手定则的内

31、容乃氏判据左手定则。乃氏判据左手定则的内容如下：将左手平伸，拇指和其余四指在手掌平面内如下：将左手平伸，拇指和其余四指在手掌平面内垂直且指尖向上，对于最小相位系统，将左手放垂直且指尖向上，对于最小相位系统，将左手放在系统开环频率特性即将包围（在系统开环频率特性即将包围（-1-1，j j0 0）点的最里点的最里层上，且四指指尖与系统开环频率特性的方向相层上，且四指指尖与系统开环频率特性的方向相同，若手背朝向（同，若手背朝向（-1-1，j j0 0）点，则该闭环系统稳定，点，则该闭环系统稳定，否则不稳定。否则不稳定。 乃氏判剧乃氏判剧- -形式形式华中科技大学材料学院乃氏判剧乃氏判剧- -形式形式

32、实例实例华中科技大学材料学院 在伯特图上，在幅值在伯特图上，在幅值 的区域内，当角频率的区域内，当角频率 增加时，相频特增加时，相频特性曲线性曲线 从下向上穿越从下向上穿越 线称为正穿线称为正穿越；相频特性曲线越；相频特性曲线 从上向下穿越从上向下穿越 线称为负穿越；线称为负穿越；20lg0dB()()G jH j( ) ( ) 伯特图负穿越伯特图负穿越华中科技大学材料学院形式形式 20lg|G jH j() () ( )/2PP华中科技大学材料学院形式形式/2PP华中科技大学材料学院gk乃氏判剧乃氏判剧- -形式形式c乃氏判剧乃氏判剧- -形式形式华中科技大学材料学院华中科技大学材料学院5.

33、5 5.5 系统的相对稳定性系统的相对稳定性 设计控制系统，要求它必须稳定，这是控制设计控制系统，要求它必须稳定，这是控制系统赖以正常工作的必要条件。除此之外，还要系统赖以正常工作的必要条件。除此之外，还要求控制系统具有适当的相对稳定性。求控制系统具有适当的相对稳定性。华中科技大学材料学院 根据根轨迹，我们知道：对于大的根据根轨迹，我们知道：对于大的K K值，系统值，系统是不稳定的。当增益减小到一定值时，系统可能稳是不稳定的。当增益减小到一定值时，系统可能稳定。定。相对稳定性相对稳定性0BeRmIGH01B（b）0AeRmIGH0A（a）-1华中科技大学材料学院 基于基于NyquistNyqu

34、ist判剧，当开环传递函数判剧，当开环传递函数 在在s s平面右半部无极点时，其开环频率响应平面右半部无极点时，其开环频率响应 若通过点（若通过点（-1-1，j j0 0），），则控制系统处于临界稳定边缘。则控制系统处于临界稳定边缘。在这种情况下若控制系统的参数发生漂移，便有可能在这种情况下若控制系统的参数发生漂移，便有可能使控制系统的开环频率响应包围点（使控制系统的开环频率响应包围点（-1-1，j j0 0），），从而从而造成控制系统不稳定。因此，在造成控制系统不稳定。因此，在NyquistNyquist 图上，图上，开环开环频率响应频率响应 与点（与点（ -1 -1，j j0 0 ）的接近

35、程度可直接表征的接近程度可直接表征控制系统的稳定程度控制系统的稳定程度。G s H s( ) ( )G jH j() ()相对稳定性的概念相对稳定性的概念华中科技大学材料学院 图图(a)(a)和和(b)(b)所示的两个最小相位系统的开环所示的两个最小相位系统的开环频率特性曲线（实线）没有包围频率特性曲线（实线）没有包围 点，由点，由奈氏判据知它们都是稳定的系统，但图奈氏判据知它们都是稳定的系统，但图(a)(a)所示系所示系统的频率特性曲线与负实轴的交点统的频率特性曲线与负实轴的交点 A A 距离点较远，距离点较远，图图(b)(b)所示系统的频率特性曲线与负实轴的交点所示系统的频率特性曲线与负实

36、轴的交点 B B 距离距离 点较近。点较近。 ), 1(j), 1(j0BeRmIGH01B（b）0AeRmIGH0A（a）-1华中科技大学材料学院假定系统的开环放大系统由于系统参数的改变比原来假定系统的开环放大系统由于系统参数的改变比原来增加了增加了50%50%，则图，则图(a)(a)中的中的A A点移动到点移动到 点点, ,仍在仍在 点右侧，系统还是稳定的；而图点右侧，系统还是稳定的；而图(b)(b)中的中的B B点则移到点则移到 的左侧的左侧 点，系统便不稳定了。可见前者较点，系统便不稳定了。可见前者较能适应系统参数的变化，即它的相对稳定性比后者好。能适应系统参数的变化，即它的相对稳定性

37、比后者好。), 1(jAB), 1(j0BeRmIGH01B（b）0AeRmIGH0A（a）-1华中科技大学材料学院 通常用稳定裕度来衡量系统的相对稳定性或系统的通常用稳定裕度来衡量系统的相对稳定性或系统的稳定程度，其中包括系统的相角裕度和幅值裕度。稳定程度，其中包括系统的相角裕度和幅值裕度。（1 1） 相角裕度相角裕度 )0( 1)()(cccjHjG 我们把我们把GHGH平面上的单位圆与系统开环频率特性平面上的单位圆与系统开环频率特性曲线的交点频率曲线的交点频率 称为幅值穿越频率或剪切频率，称为幅值穿越频率或剪切频率，它满足：它满足：c所谓相角裕度是指幅值穿越频率所对应的相移所谓相角裕度是

38、指幅值穿越频率所对应的相移 与与 角的差值，即角的差值，即0180)(c0()180c 稳定裕度稳定裕度华中科技大学材料学院 对于最小相位系统，如果相角度对于最小相位系统，如果相角度 系统是稳系统是稳定的定的( (下图下图) )且且 值愈大，系统的相对稳定性愈好。如值愈大，系统的相对稳定性愈好。如果相角裕度果相角裕度 , ,系统则不稳定系统则不稳定( (下图右下图右) )。当。当 时，系统的开环频率特性曲线穿过时，系统的开环频率特性曲线穿过 点，系点，系统处于临界稳定状态。统处于临界稳定状态。000000), 1(j100Kg负相角裕度负相角裕度mI)(c0j1gKg11eRcGH100Kg正

39、相角裕度正相角裕度mIeR)(cGHKg1j110cg华中科技大学材料学院（2 2） 幅值裕度幅值裕度 把系统的开环频率特性曲线与把系统的开环频率特性曲线与GHGH平面负实轴的交平面负实轴的交点频率称为相位穿越频率点频率称为相位穿越频率 ，显然它应满足，显然它应满足g0()()180 (0)gggG jH j 1()()gKG jH j 对于最小相位系统，当幅值裕度对于最小相位系统，当幅值裕度Kg1 ,Kg1 ,系统稳定，系统稳定，且且KgKg值愈大值愈大, ,系统的相对稳定性愈好。如果系统的相对稳定性愈好。如果 则系则系统不稳定统不稳定. .1gK 所谓幅值裕度所谓幅值裕度KgKg是指相位穿

40、越频率是指相位穿越频率 所对应所对应的开环幅频特性的倒数值，即的开环幅频特性的倒数值，即g华中科技大学材料学院 使系统到达临界状态时的开环频率特性的幅使系统到达临界状态时的开环频率特性的幅值值 增大增大( (对应稳定系统对应稳定系统) )或缩小或缩小( (不不稳定系统稳定系统) )的倍数。幅值裕度也可以用分贝数来的倍数。幅值裕度也可以用分贝数来表示。表示。 )()(ggjHjG)()(lg20lg20jHjGKg分贝分贝 因此，可根据系统的幅值裕度大于、等于或小于因此，可根据系统的幅值裕度大于、等于或小于零分贝来判断最小相位系统是稳定、临界稳定或不稳零分贝来判断最小相位系统是稳定、临界稳定或不

41、稳定。这里要指出的是，系统相对稳定性的好坏必须同定。这里要指出的是，系统相对稳定性的好坏必须同时考虑相角和幅角裕度。时考虑相角和幅角裕度。通常要求相角裕度通常要求相角裕度= = , ,幅值裕度幅值裕度 (6(6分贝分贝) )0300602Kg幅值裕度的含义幅值裕度的含义 华中科技大学材料学院稳定裕度与系统的稳定性稳定裕度与系统的稳定性 前面已经介绍，求出系统的稳定裕度可以定量分前面已经介绍，求出系统的稳定裕度可以定量分析系统的稳定程度。下面通过两个示例进一步说明。析系统的稳定程度。下面通过两个示例进一步说明。 例：已知最小相位系统的开环传递函数为例：已知最小相位系统的开环传递函数为: :)()

42、1()1()()(2TTsssKsHsG试分析稳定裕度与系统稳定性之间的关系。试分析稳定裕度与系统稳定性之间的关系。该系统的开环频率特性的极坐标图分别如图该系统的开环频率特性的极坐标图分别如图(a)(a)(当当 时时) )和图和图(b)(b)(当当 时时) )所示。由所示。由 图图(a)(a)可知，可知，当当 时时, ,系统的相角裕度系统的相角裕度 ，由图，由图(b)(b)可知可知, , 当当 时，时， 系统的相角裕度系统的相角裕度 。TTT0T 0华中科技大学材料学院0001jeRmITa)(GH00001jmIeRTb)(GH0系统的幅频特性和相频特性分别为系统的幅频特性和相频特性分别为

43、1122222TKA 2001)(180180TTarctgarctgTarctg华中科技大学材料学院 时，时， ，有，有 , ,该系统不稳定；该系统不稳定； 时，时， ，该系统是稳定的。，该系统是稳定的。g. 1KgT当00T当00)()(1gggjHjGK令令 , ,则有则有 ， 故故或或 。对应。对应S S平面的坐标原点，舍去。平面的坐标原点，舍去。由由 ，求出系统的幅值裕度为，求出系统的幅值裕度为 0180 2()01TarctgT 0g()gT 0g()gT g 华中科技大学材料学院由由BodeBode图判断系统的稳定性图判断系统的稳定性稳定裕量就是表征系统稳定程度的量它是描述稳定裕

44、量就是表征系统稳定程度的量它是描述系统特性的重要的量，与系统的暂态响应指标有密切系统特性的重要的量，与系统的暂态响应指标有密切的关系。这里讨论的关系。这里讨论由由Bode图求系统稳定余量，并判图求系统稳定余量，并判断稳定性的方法。断稳定性的方法。的轨迹越接近于包围点，系统的轨迹越接近于包围点，系统的稳定程度越差因此，系统开环频率特性靠近的稳定程度越差因此，系统开环频率特性靠近点的程度可以用来衡量系统的稳定程度。点的程度可以用来衡量系统的稳定程度。系统的稳定裕量用相角裕度和增益裕度来表系统的稳定裕量用相角裕度和增益裕度来表示示)()(jHjG)0, 1(j)0, 1(jgK华中科技大学材料学院

45、乃奎斯特稳定判据和系统的相对稳定性乃奎斯特稳定判据和系统的相对稳定性剪切频率剪切频率对应于对应于 的频率，记为的频率，记为相角裕量相角裕量在剪切频率在剪切频率 处，使系统达到临界稳处，使系统达到临界稳定状态所要附加的相角迟后量定状态所要附加的相角迟后量1)()(jHjGcc)(180c为使系统稳定，相角裕量必须为正值为使系统稳定，相角裕量必须为正值增益裕度增益裕度在相角特性在相角特性 等于的频率等于的频率 处，处，开环幅频特性的倒数若系统增益增大到开环幅频特性的倒数若系统增益增大到 ，则系统达到临界稳定状态。，则系统达到临界稳定状态。gK)(180)()(1jHjGgKKg或或)()(lg20

46、lg20gggjHjGKGM华中科技大学材料学院 乃奎斯特稳定判据和系统的相对稳定性稳定的系统，稳定的系统， 为正为正GMKg, 1华中科技大学材料学院 通过本章前面几节的介绍，已经了解到系统的通过本章前面几节的介绍，已经了解到系统的开环频率特性对分析系统的稳定性和稳定程度（即开环频率特性对分析系统的稳定性和稳定程度（即相对稳定性）具有十分重要的意义。相对稳定性）具有十分重要的意义。 本小节将进一步研究系统的闭环频率特性。一本小节将进一步研究系统的闭环频率特性。一般情况下，求解系统的闭环频率特性十分复杂烦琐般情况下，求解系统的闭环频率特性十分复杂烦琐, ,在实际中通常都是采用图解法来求出系统的

47、闭环频在实际中通常都是采用图解法来求出系统的闭环频率特性。率特性。系统的闭环频率特性系统的闭环频率特性华中科技大学材料学院向量作图法向量作图法如图所示单位负反馈系统，如图所示单位负反馈系统，X(s)Y(s)G(s)( )( )( )1( )Y sG sX sG s其闭环传递函数：其闭环传递函数：用用 代入上式，就可得到系统的闭环频率特性代入上式，就可得到系统的闭环频率特性表示为：表示为：js ()()()1()YjGjXjGj华中科技大学材料学院设系统的开环频率特性如下图所示。设系统的开环频率特性如下图所示。mIAG0eR0P) 01(j，1 是单位负反馈系统的开环频率特性。是单位负反馈系统的

48、开环频率特性。)(jG与闭环频率特性与闭环频率特性 间的关系。间的关系。()()()1()Y jG jX jG j()()YjXj)(jG描述了系统的闭环频率特性。描述了系统的闭环频率特性。下面说明下面说明华中科技大学材料学院 由图可见，当由图可见，当 时时1jeOAjGjGOAjG)()()(11由此得到由此得到 时系统的闭环频率特性为：时系统的闭环频率特性为：1)(111)(1)()()(jePAOAjGjGjRjC当当 时，系统闭环频率特性的幅值等于向量时，系统闭环频率特性的幅值等于向量 与与 的幅值之比的幅值之比; ;其相角等于向量其相角等于向量 与与 的相的相角差。角差。1OAPAO

49、APA这样，逐点测出不同频率处对应向量的幅值和相角，这样，逐点测出不同频率处对应向量的幅值和相角，便可绘制如下图所示的闭环幅频特性便可绘制如下图所示的闭环幅频特性 和闭环相频和闭环相频性性 。)()(A华中科技大学材料学院)(A0)(0001800360华中科技大学材料学院 例：设单位反馈系统的开环频率特性为：例：设单位反馈系统的开环频率特性为：jVUjG)(式中式中U U、V V都是角频率都是角频率的实函数的实函数, ,故系统的闭环频率故系统的闭环频率特性为：特性为：()()()1()1Y jG jUjVX jG jUjV令令()()1UjVY jMX jUjV即即222221VUVUM若若M=1M=1则则 , ,这是在这是在G G平面上过点平面上过点 , ,且平行于虚轴的直线方程。且平行于虚轴的直线方程。21U)0,21(j华中科技大学材料学院若 ，则上式可写成： 1M222222211MMVMMU圆方程,圆心坐标为 ,半径是 。),1(22joMM12MM当M1时，圆的半径 随M值的增加而减小，圆心位于负实轴 点的左侧, 且收敛于(-1，j0)点；12MM)