第五章杆件的变形与刚度计算

1、1第五章第五章 杆件的变形与刚度计算杆件的变形与刚度计算 5- -1 轴向拉压杆的变形轴向拉压杆的变形5- -2 圆轴扭转变形及刚度计算圆轴扭转变形及刚度计算5- -3 梁的弯曲变形及刚度计算梁的弯曲变形及刚度计算25 5- -1 1 轴向拉压杆的变形轴向拉压杆的变形一、线应变一、线应变FF1llb1blll1bbb1llbb纵向线应变：横向线应变：形系数)称为泊松比或横向变(材料在线弹性范围内：3二、拉压杆的变形二、拉压杆的变形材料在线弹性范围内：EllAFNAElFlN等截面杆：多段等截面杆：变截面杆：iiiiNAElFl dxxAExFlNl三、典型例题三、典型例题EA：称为截面抗拉压刚

2、度。（轴力）有正负iNF4FFFFFFNNN2,332131iiiiNADEAlFl1.分段求轴力(或作轴力图)2.求变形11A,lAB2F4F3FCD22A,l33A,lBDACADl,l,l：变截面杆，材料相同E ，不计自重, 求 。 113EAFl21iiiiNACEAlFl22113EAFlEAFl32iiiiNBDEAlFl33222EAFlEAFl最大线应变？解：解：EmaxmaxminmaxNEAF22EAFl332EAFl5：等截面石柱，E、A、容重求B截面相对于A截面的变形量。xAxFN)( lNABdxEAxFl0lxdxE0El22lxABx)(xFN1.求轴力2.求AB

3、l解：解：6ABFC12aaaL1L2L例题例题1-31-3 已知E、A、L，求杆1、2的内力。解解：、静力学平衡方程10AM03221FaaFaFNN122LL、物理方程3EALFLN 11EALFLN 22FFN531FFN562F2NF1NFAxFAyF、变形条件275 5- -2 2 圆轴扭转变形及刚度计算圆轴扭转变形及刚度计算一、圆轴扭转变形（相对扭转角）一、圆轴扭转变形（相对扭转角）pGITdxdldlpdxGIT0pGIlT称为截面抗扭刚度:pGI等直圆轴：pGIlT多段等直圆轴：piiiGIlT变截面圆轴： dxxGIxTplmmAB8 )(m/radGITpmaxmax )(

4、180m/GITopmaxmax二、刚度条件及计算二、刚度条件及计算1.1.刚度条件刚度条件2.2.三种刚度计算三种刚度计算：刚度校核、截面设计、许可载荷的确定。 最大单位长度扭转角:max9例例题题2-12-1 有一直径d=25mm的钢轴，当扭转角为60时，最大切应力为95Mpa，试确定此轴的长度。已知材料的剪切弹性模量G=79Gpa。pGITLppITRITmaxmax180maxGRL180695252110793(mm)1089解：解：18010例例题题2-22-2：试选择图示传动轴的直径。已知：n=300rpm，P1=20PS，P2=50PS，P3=30PS，=40Mpa， =0.3

5、0/m，G=80Gpa。1.求外力偶矩并作扭矩图m)(N468300207024P702411nmm)(N1170300507024P702422nmm)(N702300307024P702433nmmN468 mN702 m2m2213解：解：m)(N702maxT11mN468 mN702 16,3maxmaxdWWTpp 316maxTd mm74440107021633. 32,1804maxdIGITpp 4max18032GTdmm36430108018010702324323.mm65d2.根据强度条件确定直径3.根据刚度条件确定直径125 5- -3 3 梁的弯曲变形及刚度计算

6、梁的弯曲变形及刚度计算一、梁的弯曲变形（挠度与转角）一、梁的弯曲变形（挠度与转角）)x(qABmFwwxtanwxw 1.挠度：2.转角：3.挠曲线、挠曲线方程：4.转角方程：挠度与转角的关系：负顺时针为负向下为，逆时针为正：，向上为正：说明：w)(xfw )(xfw13二、梁的挠曲线近似微分方程二、梁的挠曲线近似微分方程EIxM)(1：物理关系232)1 (1ww ：几何关系EIxMw)( w _挠曲线近似微分方程M0Mxww0M0Mxww014支承条件：00AA,w00DCw,wCdxEIxMw)(DCxdxdxEIxMw)(通过边界条件确定积分常数(悬臂梁)(简支梁)FCDHBAF三、积

7、分法求梁的挠度和转角三、积分法求梁的挠度和转角15例例题题3-13-1 求图示悬臂梁的挠曲线方程和转角方程及最大挠度、最大转角。oxwmxM)(EImdxwd220, 0wLx 时建立如图坐标系Lm弯矩方程为：微分方程为：EI边界条件为：得：)(xLEIm2)(2xLEImwEImLmaxEImLwmax22maxwmax解：解：积分得：DCxEImxwCEImxw2216oxwLEIF思考题思考题3-13-1：求图示悬臂梁的挠曲线方程、转角方程、最大挠度及最大转角。maxwmaxFxxM)(EIFxdxwd220, 0wLx 时建立如图坐标系弯矩方程为：微分方程为：边界条件为：解微分方程得：

8、)(222xLEIF)32(6323xxLLEIFwEIFL22maxEIFLw33max解：解：17例题3-2 ：求图示弯曲刚度为EI的简支梁的挠曲线方程和转角方程。AD段： xlFbxM1 BAxwF DablxFB FA 1）分段求弯矩方程DB段： axFxlFbxM2解：解：）（ax 0）（lxa18 xMwEI22 2）梁的挠曲线方程 xMwEI11 xlbFaxFxlbFAD段：DB段：3）积分AD段：1212CxlFbwEI11316DxCxlFbEIwDB段：222222CaxFxlFbwEI2233266DxCaxFxlFbEIw194）确定积分常数位移边界条件：01w0 x

9、时，a) BAxwF Dabl02wlx 时，b)位移连续条件：21ww ax 时，a)21ww ax 时，b)解得：22216bllFbCC021 DD2022211312xbllEIFbwAD段：22216xbllEIFbxwDB段：222222312xblaxbllEIFbw322326xxblaxbllEIFbw）（ax 0）（lxa如何确定最大挠度和最大转角？如何确定最大挠度和最大转角？21四、四、叠加法求梁的挠度和转角叠加法求梁的挠度和转角1.叠加法的理论依据： 材料在线弹性范围内工作；发生的变形是小变形。mLEI3mLEI162FLEI162FLEI483qLEI243q5LEI

10、3844mFqmLEImLEI22FLEI22FLEI33qLEI63qLEI84mFq22例题例题3-3-3 3 简支梁受力如图所示，q、l、EI均为已知。C截面的挠度wC ；B截面的转角B。23321CCCCwwww1.将梁上的载荷变为三种简单的情形。123BBBB242.由挠度表查得三种情形下C截面的挠度和B截面的转角:EIqlwEIqlwEIqlwCCC4342411614813845,EIqlEIqlEIqlBBB333231311612413. 叠加: ,EIqlwwiCiC43138411EIqliBiB331481125例例题题3-43-4 求图示悬臂梁O处的挠度和转角。oxw

11、LEIFoxwLEIFFLM oxwLEIFLM ，EIFLO2211.F单独作用2.M单独作用EIFLwO331EIFLEIMLO22EIFLEIMLwO22321逆时针EIFLOOO2221 EIFLwwwOOO6321由叠加原理有：解：解：26 例例题题3-53-5 试按叠加原理求图示悬臂梁C处的挠度和转角。C111l ,IE222l ,IEFABCBFF2FlM BCA1C1Cw2B2Cw2C2Bw逐段刚化法逐段刚化法 1.刚化AB段，考虑BC段的变形 2.刚化BC段，考虑AB段的变形顺时针222212IEFlC 223213IEFlwC22BC2222lwwBBC解：解：211211

12、112111312)2(23lIEllFlIEMlIEFl 1122111221113123IElFlIElFlIEFl顺时针112112)2(IEllFl22IE11IE11111212IEMlIEFl27顺时针11211222221222IE)ll (FlIEFlCCC由叠加原理有： 用逐段刚化法时，每段的变形必须且需必须且需考虑一次。2232213IEFlwwwCCC 1122111221113123IElFlIElFlIEFl28例例题题3-6.3-6.试按叠加原理求图a所示等直外伸梁其B截面的转角，以及A端的挠度和BC段中点D的挠度。29用逐段刚化法求解。 1.刚化AB段，考虑BC段

13、的变形，计算图(c)BBMBqB1BDMDqDwww1a|wBA11解：解：1qa2= 313224233逆时针EIqaEIaMEIaqB)(24116223845424EIqaEIaMEIaqB EIqaaEIqa4331 3130 2.刚化BC段，考虑AB段的变形,计算简图(b)02B02Dw EIqaEIaqwA4424182逆时针EIqlBBB3321 EIqawwwAAA421127 EIqawwwDDD421241所以：31F=qaAEIDBqaqa2/2(1)aa 2.刚化AB段，考虑BC段的变形，计算图(2) 1.刚化BC段，考虑AB段的变形，计算图(1)解：解：BC(2)+a

14、qC 由叠加原理求图示弯曲刚度为EI的外伸梁 C截面的挠度和转角以及D截面的挠度。ACaaaF=qaBDEIq321DDww ）（FDw1）（MDw1EIaF48)2(3EIaM16)2(2）（EIqa244BC(2)+aqF=qaAEIDBqaqa2/2(1)aaCEIaqa48)2(3EIa/qa162222）（332CC1BEIqa632C）（FB1）（MB1EIaF1622EIaM32（顺时针）EIqa432CCww aB1EIqa841622EIaqaEIqa33a）（EIqa64BC(2)+aqF=qaAEIDBqaqa2/2(1)aaC34(a) 例例题题3-73-7、 试按叠加原理求图a所示等直梁中截面C的 挠度和A截面的转角。(b)对称结构在对称载荷作用下，对称结构在对称载荷作用下，中截面的转角等于零；中截面的转角等于零；对称结构在反对称载荷作用下，对称结构在反对称载荷作用下，中截面的挠度等于零。中截面的挠度等于零。35CC EIqlEIlqwC76853842/5441 48242331顺时针EIqlEIl/qA顺时针 3842422332EIqlEI/l/qA02Cw EIqlwwwCCC7685421 12833844833321顺时针EIqlEIqlEIqlAAA按叠加