数形结合思想在解题过程中的应用

1、 摘 要 近年来,随着科学研究的进步与发展,我国数学地位在教育中也有明显的提升,数学已经广泛地渗入到数学以外的学科和我们的生活中.数学的精髓不在于知识本身,而在于数学知识中所蕴含的数学思想方法.本文首先简述了数形结合思想的历史演进、地位和原则.其次,借助实例从“以形辅数”、“以数思形”和“数形并重”等对数形结合思想在不等式、方程、函数、解析几何以及微积分等方面的应用加以分析,以便人们学会正确运用抽象和概括的科学思维方法,提高人们研究问题和解决问题的能力,充分体现数形结合思想在解题中的优越性.最后,总结出数形结合思想在数学教学中的作用和意义以及对人类生活的影响. 关键词：数形结合思想,以数思形,

2、以形辅数,数形并重The application of the number form combining ideas in the problem solving processAbstract: In recent years, with the progress of scientific research and development, the status of mathematics in China also has obvious improvement in education, mathematics has been widely penetrated into mat

3、hematics discipline and in our life. The essence of mathematics lies not in knowledge itself, but is contained in the mathematical knowledge of mathematics thinking method. This article first briefly describes several form combining ideas of historical evolution, status and principle. Secondly, with

4、 the aid of examples from "to shape and auxiliary number", "thinking" and "number form and logarithmic form combining ideas" in inequality, equation, function, the application of analytic geometry and calculus analysis, so that people learn to correctly use of abstracti

5、on and generalization of scientific thinking methods, improve the ability of people to study and solve problems, fully embody the superiority of the number form combining ideas in problem solving. Finally, summarizes several form combining ideas in mathematics teaching the role and significance as w

6、ell as the impact on human life.Key words: Several form combining ideas, To the number of Si-shaped, To form secondary number, Both the number of shape 目 录一、引言1二、数形结合思想的背景1三、数形结合思想的概述及其地位1四、数形结合思想的原则2（一）“形”的精确性原则2（二）等价性原则2（三）双向性原则2（四）简单性原则3五、数形结合思想在解题中的应用3（一）利用数形结合思想解决方程和不等式问题3（二）利用数形结合思想解决数列问题5（三）利

7、用数形结合思想解决最值问题5（四）利用数形结合思想解决解析几何问题6（五）利用数形结合思想解决三角形问题6（六）利用数形结合思想解决定积分问题7（七）利用数形结合思想解决实际问题8六、数形结合思想在教学中的作用和意义9七、数形结合思想对人类生活的影响12（一）“数形结合”的思想方法与人类生活的关系12（二）“数形结合”的思想方法对人类生活影响的具体体现12八、结束语13参考文献14一、引言数与形是数学中两个最古老,也是最基本的研究对象,它们在一定的条件下可以互相转化.数形结合是一种很重要的数学思想,它是研究与解决数学问题的重要方法,在数学中占有举足轻重的地位.把数量关系的研究转化为图形性质的研

8、究,或把图形性质的研究转化为数量关系的研究,这种解决问题过程中“数”与“形”互相转化的研究策略,就是数形结合的思想.数形结合思想就是要使抽象的数学语言与直观的图形结合起来,由“数”思“形”,由“形”思“数”,相互渗透,相互作用,根据条件和结论之间的内在联系,即分析其代数含义,又揭示其几何背景,使数量关系的精确刻画与空间形式的主观形象巧妙、和谐地结合在一起,充分利用这种结合,有利于多角度、多层次地展开思维,培养学生的观察能力、理解能力、记忆能力、逻辑能力,以及提高学生思维的广阔性、灵活性和深刻性,使思维具有发散性,开拓解题思路,从而起到优化解题途径的目的.二、数形结合思想的背景早在数学萌芽时期,

9、人们在度量长度、面积和体积的过程中,就把数和形联系起来了.我国宋元时期,系统地引进了几何问题代数化的方法,用代数式描述某些几何特征,把图形之间的几何关系表达成代数式之间的代数关系.17世纪上半叶,法国数学家笛卡儿以坐标为桥梁,在点与数对之间、曲线与方程之间建立起对应关系,用代数方法研究几何问题,从而创立了解析几何学.后来,几何学中许多长期不能解决的问题,例如三等分任意角、化圆为方问题,最终也借助于代数方法得到了完满的解决.即使在近代和现代数学的研究中,几何问题的代数化也是一条重要的方法原则,有着广泛的应用.初等数学历来被划分为代数和几何两大分支,前者偏重于数的分析,而后者则偏重于形的研究.但是

10、今天人们越来越认识到：仅有代数的思想而无图形的直观,或虽有直观的图形而缺少数据的分析,许多数学问题都难以高质有效的解决.形是数的翅膀,数是形的灵魂.1 三、数形结合思想的概述及其地位“问题是数学的心脏”,提出问题并解决问题是推动数学发展的动力.数学的精髓不在于知识本身,而在于数学知识中所蕴含的数学思想方法.“欲善其事,必先利其器”,数形结合就是解决数学问题的一个有力工具,也是数学教学中极为重要的数学思想的基本方法之一,通过数形结合可以将抽象的数学语言与直观图形相结合,使抽象思维与形象思维相结合,缩短了思维链,简化了思维过程.所谓数形结合,就是将抽象的数学语言和直观的图形结合起来.一方面借助数的

11、精确性来阐明形的某些属性,另一方面借助图形的直观性来阐明数量之间的关系.其实质就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系,把代数上的“数”与几何上的“形”和谐地结合起来去认识问题以至于解决问题的一种思想.给“数”的问题以直观图形的描述,揭示出问题的几何特征,就能变抽象为直观；给“形”的问题以数的度量,分析数据之间的关系,更能从本质上认识“形”的属性.正如著名数学家华罗庚所说:“数与形,本是相倚依,焉能分作两边飞,数缺形时少直观,形少数时难人微”.具体点说,就是在解决数学问题时,不能单一的从数或者形的方面去思考,而是要将两者和谐的运用,才能使问题简单化、明朗化. 在现代数学教育的各个阶段,数形结

12、合思想都是尤为重要的.利用数形结合,能有效地讲解有关基本概念、定理、培养学生的学习能力、提高学生的主观能动性、发展学生智力.解题中运用它能使复杂的问题简单化、明朗化、清晰化,提高学生思考、分析、解决问题的能力.可以说数形结合思想是师范学生应重点掌握的一种数学思想,在教学中教师应引起高度重视.四、数形结合思想的原则为了正确地在解题中运用数形结合思想,一般要遵循以下四个原则：（一）“形”的精确性原则几何图形的优点是其具有直观性,但若构图不精确,则往往会造成视觉性的误解.（二）等价性原则等价性原则是指“数”的代数性质与“形”的几何性质的转化应是对应的,即对于所讨论的问题,形与数所反映的对应关系应具有

13、一致性.利用数形结合解决数学问题时要注意转化的等价性,我们常常由“形”观察出“数”,由“数”构造出“形”,这中间的观察与构造并未经过严格的逻辑推理,加之审题不周到,容易造成数形转化的不等价而产生误解.（三）双向性原则双向性原则是指既进行几何直观的分析,又进行代数抽象的探索,代数表达及其运算比起几何图形及其结构有着自身固有的优越性,能克服几何直观方法的局限性.（四）简单性原则简单性原则是指数形转换时尽可能使构图简单合理,即使几何形象优美 又使代数计算简洁,明了,避免繁琐的运算.五、数形结合思想在解题中的应用对一个学生数学水平的评价,不仅要看学生对数学知识掌握多少,也要注重学生的数学技能.而提高这

14、种能力,最好的方法就是学习和运用数形结合思想.通过以下应用来实际说明这一点.（一）利用数形结合思想解决方程和不等式问题利用二次函数的图像与轴交点的横坐标是方程的实根,根据二次函数与轴的交点情况就可以确定方程的实根的情况,即通过的相互转化,利用函数的图像可以直观解决问题.例1：为何值时,方程的两根在之内？分析：显然,我们可从已知方程联想到相应的二次函数的草图（如图1所示）,从图像上我们可以看出,要使抛物线与轴的两个交点在之间,必须满足 , 即y,从而可解得的取值范围为或且.xy0-11x 图1 图2例2:如果方程有两个不相等的正实根,求的范围. 解：设 因为, 抛物线开口向上,如图2所示, 又因

15、为方程有两个不相等的实根. 故 所以当时,方程有两个不相等的正根.对于一些不规则的方程,通过构造两个函数,然后,把方程的根转化为两个函数的交点问题.例3：设方程,试讨论取不同范围的值时其不同解的个数的情况.分析：我们可把这个问题转化为确定函数与的图像（图3）交点个数的情况,因函数表示平行于轴的所有直线,从图像可以直观看出：当时, 与没有交点,这时原方程无解；当时,与有两个交点,原方程有两个不同的解；当时,与有四个不同交点,原方程不同解的个数有四个；当时,与有三个交点,原方程不同解的个数有三个；y当时与有两个交点,原方程不同解的个数有三个.o-111-1x 图3 图4求不等式的解集时,只要联想对

16、应的函数的图像,确定它们的交点情况,便可直观地看出所求不等式地解集.例4：不等式的解集是？ 分析：令,在同一坐标系中画出这两函数图像.如图4所示,由图像可知：与的两个交点为,.则不等式的解集为(-1,0)(1,+).这类求解像这样的不等式,跟上面所提的方程的类似,方程问题是看两个函数图像有几个交点这类的信息,而这里不等式问题的是看不同的区间内,两个函数图像谁上谁下,从而知道谁大谁小,也就是不等式的解区间,区间的端点就是方程问题所要讨论的.（二）利用数形结合思想解决数列问题等差数列的通项是关于的函数,即,其图象是一群离散的点.等差数列的通项公式是,是关于的一次式.其各项的点(,)在同一直线上,等

17、差数列的前项和公式,是关于的二次式,其对应点(,)在同一抛物线上,此抛物线一定过原点.而点(,)在直线上.等比数列的通项公式()及前项和公式(),其图像是指数型函数曲线.（三）利用数形结合思想解决最值问题例5：求函数的=+的最小值.分析：本题难度较大,若从代数的角度思考,学生的思维受阻,不易求解且过程十分繁琐.这时利用数形结合为转化手段,引导学生探索函数背后的几何背景,巧用两点间距离公式,可化为： =+解:如图5所示,所求函数的最小值可视为求点,到及的距离和的最小值.显然AB的连线与轴的交点,即为所求的点.AB的直线方程为:. 令=0,解得.y 所以,当时, 有最小值. yPB(3,2)3-1

18、1221 2 1o3xF1F2x-112A(1,-1)-2 图5 图6（四）利用数形结合思想解决解析几何问题例6：过双曲线2x2-y2-8x+6=0的右焦点作直线L交双曲线于A、B两点.若|AB|=4,这样的直线存在几条? 分析:此题若从代数的角度去思考,则显得比较困难,无从下手,如换个角度,从数形结合方面去考虑,先画出图形,再对问题进行求解,则显得很简洁. 解:如图6所示,双曲线C的方程为 其通径长为： 即通径所在直线符合题设条件,是所求的直线之一.又因为,双曲线的右焦点到左顶点的距离为,所以当A、B分别在双曲线的两支上符合条件的直线有两条,故符合题意的直线有三条.（五）利用数形结合思想解决

19、三角形问题在一些含有一般三角形的题目中,若要求其面积,都经常利用正弦定理、余弦定理以及三角恒等变换来解决,但若能利用三角函数的图像及数形结合思想,则可以简化计算过程.例7：在ABC中,则ABC的周长为是多少？分析：本题思路一般都是用三角恒等变形和正弦定理通过一定量的计算来完成,但是注意到数形结合,可以很快解决问题.为此,延长到,使（如图7）,则 ,由正弦定理,即. 因此,ABC的周长为. 图7（六）利用数形结合思想解决定积分问题例8：求二重积分,其中D是由抛物线y=和直线所围成. 分析：1、求出围成 D 中各曲线间的交点由 得到交点为 （0,0）、（2,4） 2、画出草图在该步骤中,可以用刚才

20、讲到的垂直数轴判别法.我们先取定内积分,这一点在运用该方法时很重要,内积分的积分变量取定后,才能进一步确定是做 x 轴的垂线还是 y 轴的垂线.此题,我们可取 y 为内积分的积分变量,画出草图,同时,在围成区域 D 相应的曲线标出方程,并写成关于内积分变量的表达形式.即y=（1）,（2）（若 x 为内积分的积分变量,则写成和的形式）,利用垂直数轴判别法,过 作 轴垂线,单位、大小、方向同 y 轴,由判别法知,对应着较大单位的交点所在的曲线方程为内积分的上限,相应的较小交点所在的曲线方程为内积分的下限.图形如下：yx（2,2）22 图 83、求体积 = （七）利用数形结合思想解决实际问题在现实生

21、活中,我们经常会遇到一些关于数学方面的问题,比如水、电费问题,打折销售问题,追击问题等等.此时若能对数学知识理解掌握好,巧用数形结合思想,在现实生活中有些问题便可迎刃而解.例9：某厂拟生产甲、乙两种试销产品,每件销售收入分别为3千元,2 千元.甲、乙两种产品都需要在A、B两种设备上加工,在每台A、B上加工一件甲产品所需要的时间分别为1小时、2小时,加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时,A、B两种设备每月有效使用台时数分别为400和500,如何安排生产可使收入最大？解：设加工甲产品件,加工乙产品件,目标函数, 线性约束条件为 ,作出可行域,如图9所示阴影部分.把变形为平行直线系,由图可知当

22、经过可行域上点时,截距最大.解方程组 得,所以当生产甲产品200件,乙产品100件时,可使收入最大,最大为80万. 图9六、数形结合思想在教学中的作用和意义在实际生活中,形与数是不可分离的结合在一起,这是直观与抽象、感知与思维相结合的体现.形与数的结合不仅是数学自身发展的需要,也是加深对数学知识理解,发展智力,培养能力的需要.数形结合是解决数学问题的一个有力工具,也是中学数学中极为重要的基本方法之一.2其在教学方面的作用有如下几个方面：（一）有助于学生形成合理、完整的数学概念.数学概念是数学逻辑思维的源头,是学生认知的基础,是学生数学思维的中心思想.但是由于数学中的概念往往是高度抽象,比较发散

23、的.或许是一个理论,或许是一个公式,很难立刻被理解,给人一种单调、乏味的感觉.但利用数形结合的思想可以很好的帮助学生理解数学概念. 1、化抽象为具体,化单调为丰富,有利于学生对数学概念的理解、记忆.这一点主要表现在以下几个方面：第一、利用数形结合,容易揭示数学概念的由来,学生易于感知和接受.第二、利用数形结合有利于学生对知识理论本质的理解,画图能力也会有明显的提升.第三、利用数形结合,为概念赋予图形信息,可以使学生通过看图形信息来加深理解其概念以及相关定理、性质的应用.2、提高和发展学生对数学结构的认知.数学结构的认知是学生头脑中的数学知识结构,即数学知识结构通过内化在学生脑海中所形成的理论内

24、容和归纳整理.数形结合可以使学生的知识整体化、系统化,便于学生在各种知识背景下快速,有效的提取相关有用的信息,并且能从“数”与“形”两个方向去思考并解决问题.主要体现在下面几个方面:第一、数形结合加强了知识与图形之间的相互联系与转化,建立了有效的知识网络,提高了学生的数学认知层次.第二、通过数形结合不仅使学生原有的认知水平得到了明显提高,而且使学生对知识的理解更加深刻透彻,还能使学生的智力得到发展. （二）有助于拓展学生发现解决问题的的方法. 1、数形结合思想对解决数学问题有着“导向功能”.我们知道,对于数学而言,具体问题,具体分析有多么重要.数形结合思想作为一种思维策略,虽然不能通过这种思想

25、使之全部解决,但在解题过程中却可以作为寻求解法的一个途径,或在思路受阻时寻求新的突破口,所以这又是数形结合思想另一方面的积极意义. 2、有助于学生积累数学理论知识、分清结构层次,简化思维过程.不同的学生对同一问题的思考方向不同,则思维过程也就不尽相同.思维能力强的学生思维过程短,思维链少,能力弱的同学往往表现出思维过程长,思维链多且无序,不能快速、清晰的表达出来.数形结合最大的特点就是模型化、直观化、明朗化,通过图形,可以快速的知道题里给出的已知条件和所隐含的条件.用简单直观的图形代替复杂的代数推理.学生的知识结构中要是有了一些丰富的图形模块和数式模块,将会快速、准确地解题.（三）有助于学生逻

26、辑思维能力的发展.进入高中阶段的学生己完成了由直观形象思维到抽象逻辑思维的飞跃,但这并不是说我们在教学中就可以偏颇某一种思维方式.形象思维的培养在高中阶段是不容忽视的,也是很重要的.数形结合思想可以培养以下思维： 1、有助于发展学生的形象思维.这一点主要表现在以下几个方面：第一、数形结合丰富了表象的储备,而表象的运动过程可促进形象思维发展.第二、数形结合有助于培养学生对图形的想象能力,促进学生形象思维的发展. 2、有助于培养学生的直觉思维.运用数形结合解题能直接揭示问题的本质,直观、清楚地看到问题的结果,省掉了许多思维过程.只需稍加计算或推导,就能得到确切的答案,因此许多数学问题的解答过程都是

27、先从几何图形的直觉感知中得到某种猜想、假设,然后再进行逻辑推理和证明,进而使问题得以解决的过程. 3、有助于培养学生的抽象思维能力.这一点主要表现在以下几个方面： 第一、数形结合从表面上看是代数与几何之间相结合.第二、我们知道任何的学习迁移都是通过概括这一思维过程来实现的.数形结合思想在应用的过程中,常常根据数量关系与图形特征之间的联系和规律,可以把一个形的问题等价转化迁移到与之相应的数的问题,反之数的问题等价转化迁移到与之相应的形的问题.在这方面,很好的体现了数形结合思想的等价性原则.（四）利用数形结合,唤起学生对数学美学的认识以及追求.数学本身就是一门美的学科,数学上的对称美、轮换美、简洁

28、美、和谐美、奇异美等形式在图形上的体现更为直观、更为动人.利用数形结合,使学生具有发现美的眼睛,培养学生的审美情趣,提高审美意识和审美能力,以激励起学生学好数学的激情、动力和追求解题的艺术美,促进人的素质全面提高.美国著名数学教育家波利亚说过:“掌握数学就意味着要善于解题.”只有对数学思想、数学方法理解透彻并达到融会贯通时,才能提出新看法、巧解法.3我国现在不论是小学教育、中学教育、还是高中教育对数学思想的考察都十分重视,其解答过程中都蕴含着各式各样的数学思想,虽说数学思想的种类繁多,但在其中,我认为数形结合思想显得尤为重要.实际上数形结合思想的应用是很广泛的,只要我们用心去分析,动脑去思考,

29、数学上有很多问题通过数形结合思想是很容易解决的.数形结合思想几乎贯穿了整个解析几何,可以说数形结合思想是解析几何的精髓所在.恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学”.数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系,既分析其代数意义,又揭示其几何直观,使数量关系的精确刻画与空间的直观图形巧妙、和谐地结合在一起,充分利用这种结合,寻找解题思路,使问题化难为易、化繁为简,从而得到解决.“数”与“形”是一对矛盾,是抽象与直观在数学中的体现,二者的有机结合,是数学魅力之所在.宇宙间万物无不是“数”和“形”矛盾的统一.通过代数问题与几何图形之间的相互转化,它可以使代数问题几何化,

30、几何问题代数化.但在应用中也应该注意其应用的适用性、科学性、合理性等.七、数形结合思想对人类生活的影响从李文林的数学史概论和莫里斯·克莱因所著的古今数学思想两书中我们都可注意到:“数形结合”这一思想方法的产生与发展也是经历了一个曲折的变化过程,如公元前6世纪前,数学主要是关于“数”的研究与从公元前6世纪开始,希腊数学的兴起,突出了对“形”的研究,4最终作为人类几千年数学文化沉淀的结晶数学中最基本的思想方法之一.这就如恩格斯所论述的那样：数学是关于现实世界的空间形式与数量关系的一门科学.然而,我认为数形结合思想的重要性不单单是体现在数学科学中,在我们的实际生活中也具有极其重要的作用.（

31、一）“数形结合”的思想方法与人类生活的关系“我们认为,所谓数学思想是对数学知识本质的认识,是对数学规律的理性认识,是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点”.5既然数学思想是一种认识和观点,也就可认为它是一种观念,而“数学观念系统与数学思想系统等基本认识对数学思维过程起着定向的作用”.6同时,“数学方法就是数学思维结构的主要成分”,其作用是“数学思维的操作手段”,6亦即“数学方法是指从数学角度提出问题、解决问题的过程中所采用的各种方式、手段、途径等”.5综上可知数学思想对数学思维具有导向功能,而数学方法是数学思维的具体方法,也是各种具体问题的实施方式、途径.因此,“日本数学家和数学教育家米山国臧在从事了多年数学教育之后,说过一段寓意深刻的话:学生们在初中或高中所学到的数学知识在进入社会后,几乎没有什么机会应用,因而这种作为知识的数学,通常在出校门后不到一两年就忘掉了,然而不管他们从事什么工作,那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想方法,却长期地在他们的生活和工作中发挥着重要作用.”7作为数学中一个最基本的思想方法数形结合思想,它无疑地为人类的逻辑思维提供了导航作用和各种具体的方法与途径,为人们的提供了很好的思维模式,而这种思维模式已经刻画在了人们的脑海中,人们在生活中运用时却又感受