第二章标量衍射理论2013

1、作业 2.12.22.92.52.32. 82.102022-6-261第二章第二章 标量衍射理论标量衍射理论 衍射的中心问题是衍射的衍射的中心问题是衍射的光强分布光强分布。要精确解决这个问题，。要精确解决这个问题，必须把光波场考虑成必须把光波场考虑成矢量场矢量场。但由于用矢量波的方法求解衍。但由于用矢量波的方法求解衍射问题，其数学运算相当复杂，至今用这种方法能严格求解射问题，其数学运算相当复杂，至今用这种方法能严格求解的例子不多，而标量衍射理论是把光波场的例子不多，而标量衍射理论是把光波场 当作当作标量场标量场 来处理，来处理，即只考虑电场的一个横向分量的标量振幅，而假定任何别的即只考虑电场

2、的一个横向分量的标量振幅，而假定任何别的分量都可以用同样的方法分量都可以用同样的方法独立独立处理，从而忽略电矢量和磁矢处理，从而忽略电矢量和磁矢量的各个分量按麦克斯韦方程组的耦合关系。量的各个分量按麦克斯韦方程组的耦合关系。 光在传播过程中光在传播过程中, ,除反射、折射外，偏离直线传播的现象，除反射、折射外，偏离直线传播的现象，称为光的称为光的衍射衍射。从光广义上说，。从光广义上说，偏离几何光学直线传播规律偏离几何光学直线传播规律的现象统称为衍射的现象统称为衍射，它是光的波动性的主要标志之一。，它是光的波动性的主要标志之一。2022-6-262 实践证明：用这种近似的处理方法在我们所涉及的光

3、学系实践证明：用这种近似的处理方法在我们所涉及的光学系统中，当衍射孔径比照明波长大得多，而且观察点离衍射孔统中，当衍射孔径比照明波长大得多，而且观察点离衍射孔径不太近时，所得结果是很精确的径不太近时，所得结果是很精确的。2022-6-2632.1 2.1 基尔霍夫衍射理论基尔霍夫衍射理论 光学设计中要计算光波通过光学系统的衍射像分布。光光学设计中要计算光波通过光学系统的衍射像分布。光学制造和检验中需要通过对衍射图形的观察来确定光学元件学制造和检验中需要通过对衍射图形的观察来确定光学元件或系统的像差或缺陷。或系统的像差或缺陷。X射线晶体学研究中可以通过衍射图射线晶体学研究中可以通过衍射图形来确定

4、晶体的晶格结构。形来确定晶体的晶格结构。1690年，惠更斯在其著作年，惠更斯在其著作论光论光中提出假设：中提出假设：“波前上的每一个面元都可以看作是一个次级波前上的每一个面元都可以看作是一个次级扰动中心，它们能产生球面子波，并且，后一时刻的波前位扰动中心，它们能产生球面子波，并且，后一时刻的波前位置是所有这些子波前的包络面置是所有这些子波前的包络面”。2022-6-2642022-6-265古斯塔夫罗伯特基尔霍夫 基尔霍夫（Gustav Robert Kirchhoff，18241887），德国物理学家。他提出了稳恒电路网络中电流、电压、电阻关系的两条电路定律，即著名的基尔霍夫电流定律（KCL

5、）和基尔霍夫电压定律（KVL），解决了电器设计中电路方面的难题。2022-6-266光学理论 给出了惠更斯-菲涅耳原理的更严格的数学形式，对德国的理论物理学的发展有重大影响。著有数学物理学讲义4卷。 他还讨论了电报信号沿圆形截面导线的扰动。2022-6-2672.1.1 2.1.1 惠更斯惠更斯-菲涅耳原理菲涅耳原理dsdsP P1 1 Q rnP P2 2S S2.1 2.1 基尔霍夫衍射理论基尔霍夫衍射理论P P0 0 当光波照明一开孔衍射屏当光波照明一开孔衍射屏P1时，根据惠时，根据惠-菲原理可以建立菲原理可以建立衍射屏衍射屏P1 和观察屏和观察屏P2上光场分布之间的关系。屏上光场分布之

6、间的关系。屏P1上面积为上面积为 的开孔被一单色光照明，此时的开孔被一单色光照明，此时 面一般不是照明光波的波阵面，面一般不是照明光波的波阵面，故称为故称为“广义波面广义波面”。若广义波前上的振幅和位相分布确定，。若广义波前上的振幅和位相分布确定，就可以知道照明光源的亮度、位置和形状。就可以知道照明光源的亮度、位置和形状。2.1.1 2.1.1 惠更斯惠更斯-菲涅耳原理菲涅耳原理 惠更斯惠更斯-菲涅耳原理是在惠更斯子波的假设与杨氏干涉原菲涅耳原理是在惠更斯子波的假设与杨氏干涉原理的基础上提出的，它是描述光传播过程的基本原理。理的基础上提出的，它是描述光传播过程的基本原理。 该原理指出：光场中任

7、一给定的该原理指出：光场中任一给定的隔开隔开波源与场点的曲面上波源与场点的曲面上的的各面元各面元可以看做是可以看做是子波源（子波源（dsds），如果这些子波是相干的，如果这些子波是相干的（例如单色光），则在波传播的空间上的任一点（例如单色光），则在波传播的空间上的任一点（QQ）处的光）处的光振动，都可以看做是这些子波源各自发出的子波在该点相干叠振动，都可以看做是这些子波源各自发出的子波在该点相干叠加的结果。加的结果。dsdsP P1 1 Q rnP P2 2S S2.1 2.1 基尔霍夫衍射理论基尔霍夫衍射理论P P0 02022-6-2682022-6-269dsdsP P Q P P0 0

8、rn设设 面上位于面上位于P点的复振幅为点的复振幅为U（P），），P点处的小面元点处的小面元ds发出的发出的球面子波在观察场中任一点球面子波在观察场中任一点P的的复振幅与传播距离复振幅与传播距离r，传播方向与，传播方向与面元面元ds法线法线n之间的夹角之间的夹角 有关有关dserKPcUQdUjkr1)()()(整个波前整个波前 各面元在各面元在QQ点点的的复振幅的数学表达式为复振幅的数学表达式为SrekPUCQUjkrd)()()(0 dsdsP P Q P P0 0rn)(0PU波面上任一点的复振幅波面上任一点的复振幅 隔开波源与场点的曲面隔开波源与场点的曲面)( K 倾斜因子，体现子波在

9、倾斜因子，体现子波在不同的方向上有不同的作用不同的方向上有不同的作用rejkr子波源发出的球面波子波源发出的球面波C比例系数比例系数 面不一定是照明面不一定是照明光波的波阵面，光波的波阵面，故称为广义波面。故称为广义波面。Q点的点的复振幅复振幅这是几经修正和推广后的惠更这是几经修正和推广后的惠更斯斯-菲涅尔原理的数学描述。菲涅尔原理的数学描述。2022-6-2610 衍射基本论要解决的问题是：分析由光源衍射基本论要解决的问题是：分析由光源 S S 发出的光波，发出的光波，受到衍射物体受到衍射物体 的限制后，在观察屏（平面）的限制后，在观察屏（平面）Q Q 上形成的复振上形成的复振幅分布或辐照度

10、分布。幅分布或辐照度分布。 惠更斯惠更斯- -菲涅尔原理可以表述为：菲涅尔原理可以表述为：“波前上任一个未受阻档波前上任一个未受阻档的面元，可看作是一个子波源，发射频率与入射波相同的波面的面元，可看作是一个子波源，发射频率与入射波相同的波面子波。在其后任意点的光振动，是所有的子波叠加的结果。子波。在其后任意点的光振动，是所有的子波叠加的结果。 菲涅尔的新贡献：菲涅尔的新贡献：他认识到子波和入射波前频率（或波他认识到子波和入射波前频率（或波长）相同，各子波是相干光波。长）相同，各子波是相干光波。引入了干涉叠加原理，而抛引入了干涉叠加原理，而抛弃了比较模糊的弃了比较模糊的“包络包络”概念。概念。2

11、022-6-2611由电磁场理论可知，电磁波在无源点上应满足如下波动方程由电磁场理论可知，电磁波在无源点上应满足如下波动方程0222 tEtEE 进一步，无损耗介质中进一步，无损耗介质中0222 tEE 0222 tEExx 0222 tEEyy 0222 tEEzz 令令),(),(tQutQEx )(2exp()(Re),(QtjQatQu 1 v2022-6-26120)(1)(2222 teQUveQUtjtj 0)(1)(222 tjtjeQUveQU 0)()(222 QUvQU vk 0)()(22 QUkQU上式方程是一个二阶线性偏微分方程，称为上式方程是一个二阶线性偏微分方程

12、，称为亥姆霍兹亥姆霍兹(Helmhotz) (Helmhotz) 方程，是方程，是无源场中单色扰动无源场中单色扰动复振幅应满足的方程。复振幅应满足的方程。 )2exp()(Re),(tQUtQu )()()(QjeQaQU 2022-6-26132022-6-2614亥姆霍兹 德国生物物理学家、数学家。“能量守恒定律”的创立者。在生理学、光学、电动力学、数学、热力学等领域中均有重大贡献。研究了眼的光学结构，发展了梯扬格韵色觉理论，即扬格亥姆霍兹理论；对肌肉活动的研究使他丰富了早些时候朱利叶斯迈耶和詹姆斯焦尔的理论，创立了能量守恒学说。2022-6-26152022-6-2616复习：复习：格林

13、（格林（Green）定理）定理 设设U(P)和和G(P)是空间位置坐标的两个复函数，是空间位置坐标的两个复函数，S是是包围体积包围体积V的封闭曲面。若在曲面的封闭曲面。若在曲面S上和上和S面内面内U和和G为单值连续，并且有一阶和二阶的单值连续偏导数。为单值连续，并且有一阶和二阶的单值连续偏导数。则则SdGUUGdVGUUGSV )()(22上式等号左边表示对封闭曲面上式等号左边表示对封闭曲面S所包围的所包围的体积体积V的积分，右端的积分，右端是对封闭曲面是对封闭曲面S的面积积分的面积积分。 在曲面在曲面S上各点沿向上各点沿向外法线上的偏导数，称为法向导数。其中外法线上的偏导数，称为法向导数。其

14、中U可理解为可理解为光场光场的的复振幅，辅助函数复振幅，辅助函数G称为格林函数称为格林函数，并使，并使G与与U一样地满足亥一样地满足亥姆赫兹方程。姆赫兹方程。表示n2022-6-2617这样就能够利用格林定理和亥姆霍兹方程将空间任一点的这样就能够利用格林定理和亥姆霍兹方程将空间任一点的复振幅复振幅U(P)用包围该点的用包围该点的任一封闭曲面任一封闭曲面上的上的U及及 表示。表示。n若在若在S S内和内和S S上，上，U U（P P）和）和 G G（P P）均单值连续，并且具有单均单值连续，并且具有单值连续的一阶导数和二阶偏导数，则有值连续的一阶导数和二阶偏导数，则有SdGUUGdVGUUGSV

15、 )()(22S SV V其中其中dSnSd n是是dsds上的指向上的指向S S外的单位矢量外的单位矢量SdU dSnU dSnU SdG dSnG dSnG 这一关系称为这一关系称为格林定理格林定理2 2、格林（、格林（GreenGreen）定理）定理n2022-6-2618SdGUUGdVGUUGSV )()(22S SV VSdU dSnU dSnU SdG dSnG dSnG n 式中式中是外法向导数。是外法向导数。利用上式，格林定理可写为利用上式，格林定理可写为dSnGUnUGdVGUUGSV )()(22上式是标量衍射理论的主要基础，但是，上式是标量衍射理论的主要基础，但是，只有

16、合适地选取格林只有合适地选取格林函函G G和封闭曲面和封闭曲面S S后后，才能将理论直接应用到衍射问题上来。，才能将理论直接应用到衍射问题上来。2022-6-26193 3、亥姆霍兹、亥姆霍兹- -基尔霍夫积分定理基尔霍夫积分定理基尔霍夫衍射理论建立在一个积分定理的基础上，基尔霍夫衍射理论建立在一个积分定理的基础上，此积分定此积分定理把齐次波动方程在任一点的解，用包围这一点的任意封闭理把齐次波动方程在任一点的解，用包围这一点的任意封闭面上方程的解及其一阶微商之值表示。面上方程的解及其一阶微商之值表示。如图，令观察点为如图，令观察点为P P0 0，S S为包围为包围P P0 0点的任一封点的任一

17、封闭曲面。我们的问题是要用封闭面上的波动闭曲面。我们的问题是要用封闭面上的波动的值来表示的值来表示P P0 0点的振动值。为此，需对格林点的振动值。为此，需对格林公式公式进行简化进行简化。)(Re),(tjePUtPu )(Re),(tjePGtPg 设设0)()(22 PUkPU0)()(22 PGkPGS SV V0P2022-6-26200)()(22 PUkPU0)()(22 PGkPG022 UGkUG022 UGkGU上面两相减得上面两相减得022 GUUGdSnGUnUGdVGUUGSV )()(22代入下式代入下式0)( dSnGUnUGS上式是同频率的两个光振动在无源点上必须

18、满足的关系式，上式是同频率的两个光振动在无源点上必须满足的关系式，即简化后的即简化后的格林定理格林定理。SV0P2022-6-2621格林函数的选择格林函数的选择选格林函数为由选格林函数为由P P0 0点向外发散的球面波，点向外发散的球面波，于是曲面于是曲面S S上任一点上任一点P P1 1处的处的格林函数格林函数为为)(1PG0101rejkr S SV V0P01r1P S这样选取格林函数，这样选取格林函数，P P0 0点就成了有源点，此时，点就成了有源点，此时，G G在在P P0 0点处出现点处出现不连续的情况，而格林定理是要求不连续的情况，而格林定理是要求G G在体积在体积V V内必须

19、是连续的。内必须是连续的。因此，为了排除在因此，为了排除在P P0 0点函数的不连续性，我们以点函数的不连续性，我们以P P0 0为球心，作为球心，作一半径为一半径为 的小球面的小球面 S，格林定理中的积分体积为介于，格林定理中的积分体积为介于S S和和 S之间的空间之间的空间, ,而积分面则是复合曲面而积分面则是复合曲面 S+S+ SS 0)( dSnGUnUGS由由得得n2022-6-26220)()()( dSnGUnUGdSnGUnUGdSnGUnUGSSS S SV V0P01r1P S)(1PG0101rejkr 对式对式求导求导),cos(0101rnrGnG ),cos()1(

20、01010101rnrerjkjkr 对对 S面有面有 01r1),cos(01 rn jkePG )(1因此有因此有 nG jkejk)1( 因为因为U U及其法向导数在及其法向导数在P P0 0点连续，所以当点连续，所以当0 ，U U和和nU nn2022-6-2623都可以用都可以用P P0 0点的点的U U（P P）值和）值和0PnU 值代替，即对于确定的值代替，即对于确定的P P0 0点，它们都是常量。同时点，它们都是常量。同时24 S0 01PP 200041)()(0limlim PjkjkSejkPUnUedSnGUnUG S SV V0P01r1P S)(40PU 0)()(

21、 dSnGUnUGdSnGUnUGSS 由下式由下式dSnGUnUGS )(41 )(0PUdSrenUnUreSjkrjkr 0101010141 上式称为亥姆霍兹上式称为亥姆霍兹- -基尔霍夫积分定理基尔霍夫积分定理n2022-6-2624 )(0PUdSrenUnUreSjkrjkr 0101010141 上式的物理意义是：衍射场中任意点上式的物理意义是：衍射场中任意点P P0 0的复振幅的复振幅U U（P P0 0）可用）可用包围包围P P0 0点的任意封闭曲面点的任意封闭曲面S S上各点的波动边值上各点的波动边值U U和和nU 通过积分求得。这一定理在标量衍射理论中起着重要的作用。通

22、过积分求得。这一定理在标量衍射理论中起着重要的作用。4 4、平面衍射屏基尔霍夫衍射公式、平面衍射屏基尔霍夫衍射公式如图，在无限大不透明屏如图，在无限大不透明屏D D上有一任意形状开孔上有一任意形状开孔 单色平面光波从左面投射到单色平面光波从左面投射到D D上和开上和开孔上，试计算衍射屏后面任一点孔上，试计算衍射屏后面任一点P P0 0的光场的复振幅。的光场的复振幅。2022-6-2625 D P0为了求出为了求出P P0 0点的复振幅，需选择一个合适的积分面。我们选点的复振幅，需选择一个合适的积分面。我们选如图两个部分：一部分以如图两个部分：一部分以P P0 0为中心，为中心，R R为半径的球

23、面为半径的球面S S2 2；另；另一部分是紧靠屏后的平面一部分是紧靠屏后的平面S S1 1，整个封闭面是，整个封闭面是S S1 1+S+S2 22S1S nD )(0PUR0PdSnGUnUGS )(41 dSnGUnUGS 1)(41 dSnGUnUGS 2)(41 在在S S2 2面上面上ReGjkR 可见，随着可见，随着R R的增大，的增大，G G趋于零。同时，趋于零。同时，U U也因为远离光源区也因为远离光源区域而无限减小。但是积分面积却按域而无限减小。但是积分面积却按R R2 2增大。因而上式中第二增大。因而上式中第二项积分在项积分在R R无限增大时无限增大时是否为零是否为零，还需作

24、进一步的分析。，还需作进一步的分析。2022-6-26262S1S nDR0P进一步分析表明，只要对进一步分析表明，只要对S S2 2面各点都满足下式面各点都满足下式0)(lim jkUnURR0)(412 dSnGUnUGS 在上式条件下，可得在上式条件下，可得P P0 0点的复振幅为点的复振幅为索末菲辐射条件索末菲辐射条件 )(0PUdSnGUnUGS 1)(41 基尔霍夫边界条件的两个假设：基尔霍夫边界条件的两个假设：（1 1）在开孔）在开孔 上的场分布与没有屏时相同上的场分布与没有屏时相同（2 2）在）在S S1 1上，除了上，除了 以外，其它各点的场分布以外，其它各点的场分布U U与

25、与nU 恒为零。恒为零。2022-6-2627即：实际U扰动本身衰减要和球面波衰减一样快2022-6-2628赵立竹赵立竹. 索末菲辐射条件的物理图象索末菲辐射条件的物理图象J.吉林师范大学学报吉林师范大学学报(自然科学版自然科学版), 1987, (2) 显然，这两条假说是不严格的。首先，屏幕的存在必然会在一显然，这两条假说是不严格的。首先，屏幕的存在必然会在一定的程度上干扰屏上的场，其次屏上的场总是要扩展到屏后几定的程度上干扰屏上的场，其次屏上的场总是要扩展到屏后几个波长的距离。但在孔的线度比波长大得多、且观察点离孔径个波长的距离。但在孔的线度比波长大得多、且观察点离孔径较远时，利用上述边

26、界条件得出的结果与实验符合得很好。较远时，利用上述边界条件得出的结果与实验符合得很好。在基尔霍夫边界条件的两个假设下，屏上的复振幅完全由照在基尔霍夫边界条件的两个假设下，屏上的复振幅完全由照明光波决定，进而，衍射场中任一点明光波决定，进而，衍射场中任一点P P0 0的复振幅的复振幅U U（P P0 0）完）完全由屏上各点的全由屏上各点的U U和和nU 决定。决定。这样这样P P0 0点的复振幅进一步简化为点的复振幅进一步简化为 )(0PUdSnGUnUG )(41 上式称为基尔霍夫衍射公式上式称为基尔霍夫衍射公式屏上的光场与照明光源有关，下面讨论单色点光源照明开孔时屏上的光场与照明光源有关，下

27、面讨论单色点光源照明开孔时的衍射规律。的衍射规律。2022-6-2629 n0P01r21r2P1P如图如图P P2 2为照明光源，为照明光源，P P1 1 为屏上一点为屏上一点 上光振动与方向导数为上光振动与方向导数为 )(1PU2121rAejkr nPU)(1),cos()1(21212121rnrAerjkjkr 上格林函数与方向导数为上格林函数与方向导数为 )(1PG0101rejkr nPG)(1),cos()1(01010101rnrAerjkjkr 将上两式代入将上两式代入 基尔霍夫衍射公式基尔霍夫衍射公式 )(0PUdSnGUnUG )(41 krr 01211,1注意注意2

28、022-6-2630 )(0PUdSrnrnrrejArrjk 2),cos(),cos(21012101)(1201 dSrnrePUjjkr 21),cos()(10101101 若对照明光源取若对照明光源取近轴近似近轴近似，即，即1),cos(21 rn )(0PU推广：对于一般光源照明，上式也是成立的，这时推广：对于一般光源照明，上式也是成立的，这时U U（P P1 1）泛指屏上的复振幅。泛指屏上的复振幅。 n0P01r21r2P1P 2022-6-2631SrekPUCQUjkrd)()()(0 nQrP 采用书上的符号，采用书上的符号，基尔霍夫衍射公式和基尔霍夫衍射公式和惠更斯惠更

29、斯菲涅耳原理的菲涅耳原理的数学式可重写于下数学式可重写于下dSrnrePUjjkr 21),cos()(10 )(QU比较两式可得常数和倾斜因子分别为比较两式可得常数和倾斜因子分别为 jC1 2cos12),cos(1)( rnK由基尔霍夫边界条件的两个假设可知，屏外的光场由基尔霍夫边界条件的两个假设可知，屏外的光场U U0 0（P P）为零，所以积分限可以扩展到无穷，从而有为零，所以积分限可以扩展到无穷，从而有SrekPCUQUjkrd)()()(0 2022-6-26322022-6-2633可以看出：可以看出：第一、惠更斯第一、惠更斯-菲涅尔公式中的倾斜因子菲涅尔公式中的倾斜因子K( )

30、有了具体形式。有了具体形式。第二、由于公式中出现了第二、由于公式中出现了1/j，因而表明惠更斯，因而表明惠更斯-菲涅尔原理菲涅尔原理须假定波面须假定波面 上任一点的子波波源的振动相位超前于光源直上任一点的子波波源的振动相位超前于光源直接传到接传到Q点的振动相位点的振动相位 /2，但，但1/j或或1/ 不会影响衍射花样的不会影响衍射花样的相对强度分布，故理论与实验结果一致。相对强度分布，故理论与实验结果一致。 jC1 21jejj2.1.2 2.1.2 惠更斯惠更斯-菲涅耳原理与叠加积分菲涅耳原理与叠加积分SrekPUjQUjkrd)()(1)(0 rekjQPhjkr)(1),( 设设SQPh

31、PUd),()(0 )(QdUdSQPhPUQdU),()()(0 上式表示屏上上式表示屏上P P点处的小面元对观察点点处的小面元对观察点QQ的贡献。的贡献。1)(0 dSPU单位振幅（脉冲）单位振幅（脉冲）则则),()(QPhQdU P P点处的单位脉冲在点处的单位脉冲在QQ点产生的复振幅分布点产生的复振幅分布),(QPh单位脉冲响应或单位脉冲响应或点扩散函数点扩散函数令令2022-6-2634由上式叠加积分可得，观察点由上式叠加积分可得，观察点Q的复振幅是的复振幅是 上所有面元的光上所有面元的光振动振动在在QQ点引起的复振幅的相干叠加。点引起的复振幅的相干叠加。注：如果把衍射过程看作是一种

32、变换，则上式便是将函数注：如果把衍射过程看作是一种变换，则上式便是将函数U U0 0（P P）变换成）变换成U U（QQ）的变换式。按系统的观点，）的变换式。按系统的观点，衍射过程衍射过程或或传播过程也可以看做为一种线性系统的传播过程也可以看做为一种线性系统的线性变换线性变换。h(P,Q)h(P,Q)代代表了这个系统的全部特性。表了这个系统的全部特性。SQPhPUQUd),()()(0 2022-6-26352.1.3 2.1.3 相干光场在自由空间传播的平移不变性相干光场在自由空间传播的平移不变性当点光源当点光源P P0 0足够远，而且入射光在孔径平面上各点的入射角足够远，而且入射光在孔径平

33、面上各点的入射角都不太大时，有都不太大时，有1)( K此外，如果观察平面在与孔径平面的距离此外，如果观察平面在与孔径平面的距离Z Z远大于孔径，而远大于孔径，而且观察面上只考虑一个对孔上各点张角不大的范围，即在且观察面上只考虑一个对孔上各点张角不大的范围，即在傍轴条件下，又有傍轴条件下，又有此时此时zejQPhjkr 1),( 2022-6-2636 n0P01r21r2P1P 1)r ,ncos(011)r ,ncos(21此时此时zejQPhjkr 1),( 0 x0y0 xy0QzzPr 2020200)()(exp)1),;,(yyxxzjkjzyxyxh ),(00yyxxh 脉冲响

34、应具有空不变形式脉冲响应具有空不变形式2022-6-2637即无论孔径平面上子波源的位置如何，所产生的球面子波即无论孔径平面上子波源的位置如何，所产生的球面子波的形式都是一样的。上式叠加式可以写为的形式都是一样的。上式叠加式可以写为0000000dyd),(),(),(xyyxxhyxUyxU 上式表明孔径平面上透射光场上式表明孔径平面上透射光场U U（x x0 0,y,y0 0) )和观察平面上的和观察平面上的光场光场U(x,y)U(x,y)之间存在着一个之间存在着一个卷积积分卷积积分所描述的关系。所描述的关系。光波在衍射孔径后的传播现象看成是光波在衍射孔径后的传播现象看成是线性不变系统线性

35、不变系统。系统。系统在空间域的特性唯一地由其空间不变的单位脉冲响应在空间域的特性唯一地由其空间不变的单位脉冲响应h h所所确定。这一响应就是位于孔径平面的确定。这一响应就是位于孔径平面的子波源所发出的球面子波源所发出的球面子波在观察平面产生的复振幅分布子波在观察平面产生的复振幅分布。00000),(dydxyxU可看作不同位置的子波源所赋予球面子可看作不同位置的子波源所赋予球面子波的权波的权重因子。所有球面子波的相干叠加，就可以得到观重因子。所有球面子波的相干叠加，就可以得到观察平面的光场分布。察平面的光场分布。2022-6-26382.2 2.2 衍射的角谱理论衍射的角谱理论1 1、角谱的传

36、播、角谱的传播由前面的讨论，我们知道，孔径平面和观察平面上的光场都可由前面的讨论，我们知道，孔径平面和观察平面上的光场都可以看成许多不同方向传播的单色平面波分量的线性组合。每一以看成许多不同方向传播的单色平面波分量的线性组合。每一平面波分量的振幅和相位取决于相应的角谱平面波分量的振幅和相位取决于相应的角谱)cos,cos(0 A和和)cos,cos( A dd)(2exp),(),(yxjAzyxU )cos)d(cosd()coscos(2exp)cos,cos()0 ,(000000 yxjAyxU)cos)d(cosd()coscos(2exp)cos,cos(),( yxjAzyxU2

37、022-6-2639如果我们知道了如果我们知道了)cos,cos(0 A和和)cos,cos( A之间的关系，就知道了每一平面波分量在传播过程中之间的关系，就知道了每一平面波分量在传播过程中振幅和相振幅和相位位发生的变化，自然就可以确定整个光场由孔径平面传播到观发生的变化，自然就可以确定整个光场由孔径平面传播到观察平面所发生的变化。察平面所发生的变化。讨论角谱传播规律的基础仍旧是标量波动方程。对于单色光场，讨论角谱传播规律的基础仍旧是标量波动方程。对于单色光场，着眼点是复振幅这一物理量。它满足亥姆霍兹方程着眼点是复振幅这一物理量。它满足亥姆霍兹方程0),(),(22 yxUkyxU0)cosc

38、os1()cos,cos()cos,cos(22222 kAAdzd对每一平面波分量，也应满足上式方程，注意对每一平面波分量，也应满足上式方程，注意A A仅是仅是z z的函数的函数0)coscos(2exp)cos,cos()(22 yxjAk 解这个微分方程得解这个微分方程得2022-6-2640)coscos1exp()cos,cos()cos,cos(22 jkzCAz=0z=0)cos,cos()cos,cos(0 CA )coscos1exp()cos,cos()cos,cos(220 jkzAA上式就是上式就是角谱传播角谱传播的规律，知道了的规律，知道了z=0z=0平面上的角谱就可

39、以平面上的角谱就可以求出观察平面上的角谱，然后通过傅里叶逆变换就能求出观求出观察平面上的角谱，然后通过傅里叶逆变换就能求出观察平面上的复振幅分布。上式具有和基尔霍夫衍射公式等同察平面上的复振幅分布。上式具有和基尔霍夫衍射公式等同的价值。的价值。2022-6-2641)coscos1exp()cos,cos()cos,cos(220 jkzAA讨论：（讨论：（1 1）当方向余弦满足下面关系式时）当方向余弦满足下面关系式时1coscos22 各平面波传播一定距离各平面波传播一定距离z z仅是引入一定的相移，而振幅不变。由仅是引入一定的相移，而振幅不变。由于不同方向上传播的平面波分量在到达观察平面时

40、走过的距离于不同方向上传播的平面波分量在到达观察平面时走过的距离各不相同，因而产生的相移与传播方向有关。各不相同，因而产生的相移与传播方向有关。1coscos22 （2 2）)exp()cos,cos()cos,cos(0 zAA 2022-6-26421coscos22 （2 2）)exp()cos,cos()cos,cos(0 zAA 01coscos22 k所以对一切满足所以对一切满足1coscos22 的波动分量，将随着的波动分量，将随着z z的增的增加而按指数加而按指数)exp( z 衰减。在几个波长距离内几乎衰减为零衰减。在几个波长距离内几乎衰减为零对应于这些传播方向波动分量称为对

41、应于这些传播方向波动分量称为倏倏(shu)(shu)逝波逝波。在通常情况下。在通常情况下不计。不计。1coscos22 （3 3）0cos 90 该波动分量的传播方向垂直于该波动分量的传播方向垂直于z z轴，因此，沿轴，因此，沿z z方向实际上没有方向实际上没有能量传播。能量传播。2022-6-2643)coscos1exp()cos,cos()cos,cos(220 jkzAA（4 4）系统的传递函数）系统的传递函数),(),(),(0 HAA )coscos1exp(),(),(),(220 jkzAAH22)()(1exp( jkz当观察平面与孔径平面之间的距离大于几个波长时，倏逝波就当

42、观察平面与孔径平面之间的距离大于几个波长时，倏逝波就衰减到极小，可以忽略，所以传递函数就可以表示为衰减到极小，可以忽略，所以传递函数就可以表示为 ),( H22)()(1exp( jkz02221 其它其它 ),( H1 1 12022-6-2644 ),( H22)()(1exp( jkz02221 其它其它公式表明，可以把光波的传播看作是一个空间滤波器。它具公式表明，可以把光波的传播看作是一个空间滤波器。它具有有限空间带宽，在频率平面上半径为有有限空间带宽，在频率平面上半径为 /1的圆形区域内，的圆形区域内，传递函数的模为传递函数的模为1 1，对各频率分量的振幅没有影响。但引入了，对各频率

43、分量的振幅没有影响。但引入了与频率有关的相移。在这一圆形区域之外，传递函数为零。与频率有关的相移。在这一圆形区域之外，传递函数为零。这一结论告诉我们，对于孔径中这一结论告诉我们，对于孔径中比波长还小的精细结构比波长还小的精细结构，或，或者说空间频率大于者说空间频率大于 /1的信息，在单色光波照明下不能沿的信息，在单色光波照明下不能沿z z方向传递。方向传递。2022-6-2645 ),( H22)()(1exp( jkz02221 其它其它以上就是衍射的角谱理论。如果把描述球面子波相干迭加的以上就是衍射的角谱理论。如果把描述球面子波相干迭加的基尔霍夫衍射的理论称为衍射的基尔霍夫衍射的理论称为衍

44、射的球面波理论球面波理论，角谱理论则可角谱理论则可以称为衍射的以称为衍射的平面波理论平面波理论。它描述孔径平面不同方向传播的。它描述孔径平面不同方向传播的平面波分量在传播距离平面波分量在传播距离Z Z后后，各自引入与各自引入与频率有关的相移频率有关的相移。然。然后再线性叠加，可得观察平面上的场分布后再线性叠加，可得观察平面上的场分布。2022-6-2646 基尔霍夫衍射理论与角谱理论完全是统一的。它们都证明基尔霍夫衍射理论与角谱理论完全是统一的。它们都证明了光的传播现象可看作线性不变系统。了光的传播现象可看作线性不变系统。 基尔霍夫理论是在基尔霍夫理论是在空域空域讨论光的传播，是把孔径平面光场

45、讨论光的传播，是把孔径平面光场看作是看作是点源的集合点源的集合，观察平面上的场分布则等于它们所发出的，观察平面上的场分布则等于它们所发出的带有不同带有不同权重因子权重因子的球面子波的相干迭加。球面子波在观察平的球面子波的相干迭加。球面子波在观察平面上的复振幅分布就是系统的脉冲响应。面上的复振幅分布就是系统的脉冲响应。 角谱理论是在角谱理论是在频率域频率域讨论光的传播，是把孔径平面场分布讨论光的传播，是把孔径平面场分布看作许多不同方向传播的平面波分量的的线性组合。观察平面看作许多不同方向传播的平面波分量的的线性组合。观察平面上的场分布仍旧是这些平面波分量的相干迭加，但每个平面波上的场分布仍旧是这

46、些平面波分量的相干迭加，但每个平面波分量引入分量引入相移相移。相移的大小决定于系统的传递函数，它是系统。相移的大小决定于系统的传递函数，它是系统的的脉冲响应脉冲响应的傅里叶变换。的傅里叶变换。2022-6-2647010203 dd)(2exp),(),(yxjAzyxU ),(),(),(0 HAA 0000000dyd),(),(),(xyyxxhyxUyxU ),( ddG),( ddG),( ddG),(权重权重权重权重权重权重2022-6-26482.2.32.2.3孔径对角谱的影响孔径对角谱的影响前面提到的孔径平面的光场分布前面提到的孔径平面的光场分布U U（x x0 0,y,y0

47、 0) )实际上是指紧靠孔实际上是指紧靠孔径平面后方的透向射光场的分布。径平面后方的透向射光场的分布。因因此，我们前面实际上只此，我们前面实际上只讨论了光波在讨论了光波在自由空间自由空间传播时光场及其角谱发生的变化。现传播时光场及其角谱发生的变化。现在我们要讨论的是在我们要讨论的是照明孔径照明孔径的入射光场与透射光场之间的关的入射光场与透射光场之间的关系，特别是角谱之间的关系。系，特别是角谱之间的关系。2022-6-2649 孔径对入射效应是展宽了光扰动的角谱，孔径越小，衍孔径对入射效应是展宽了光扰动的角谱，孔径越小，衍射效应越显著，也就是孔径或的角谱越宽射效应越显著，也就是孔径或的角谱越宽。

48、 ),(00yxUi),(000yxU),(00yxt如图如图 ),(00yxt),(),(00000yxUyxUi复振幅透过复振幅透过率率)cos,cos( iA)cos,cos(0 A)cos,cos( T),(00yxt),(),(),(0000000yxUyxtyxUi 利用傅里叶变换利用傅里叶变换卷积定理卷积定理可得角可得角谱之间的关系如下：谱之间的关系如下： )cos,cos(0 A)cos,cos()cos,cos( TAi )cos,cos( T是孔径透过率的是孔径透过率的傅里叶变换傅里叶变换为了理解衍射孔径对于入射光场角谱的效为了理解衍射孔径对于入射光场角谱的效应，我们以矩形

49、孔径为例说明。应，我们以矩形孔径为例说明。)()(),(0000byrectaxrectyxt 2022-6-2650),(00yxt ),(00yxUi),(000yxU)cos,cos( iA)cos,cos(0 A)cos,cos( T),(00yxt采用单位振幅平面波垂直照明孔采用单位振幅平面波垂直照明孔径，入射场为径，入射场为1),(00 yxUi其角谱为其角谱为)cos,cos()cos,cos( iA由于由于 函数只有当函数只有当0cos 0cos 时才不为零，所以照明光波的角谱只有一时才不为零，所以照明光波的角谱只有一个，它代表沿衍射屏法向传播的平面波。个，它代表沿衍射屏法向传

50、播的平面波。当此光波通过此孔径后，衍射光场的角谱为当此光波通过此孔径后，衍射光场的角谱为 )cos,cos(0 A)cos,cos()cos,cos( T )cos,cos( T 2022-6-2651 )cos,cos(0 A)cos,cos( T)cos(sin)cos(sin bcacab 显然显然)cos,cos(0 A较之入射光场角谱包含的角谱分量大大增加了。较之入射光场角谱包含的角谱分量大大增加了。因此，从空间域来看，孔径的作用是因此，从空间域来看，孔径的作用是限制限制了入射波面的大小范了入射波面的大小范围，而从频域来看，则是围，而从频域来看，则是展宽展宽了入射光场的角谱。而且孔径

51、越了入射光场的角谱。而且孔径越小，透射光场的角谱就愈宽，或者说包含的高频成分就愈多。小，透射光场的角谱就愈宽，或者说包含的高频成分就愈多。 cos)cos(sin aca1a1 2022-6-26522.3 2.3 菲涅耳衍射和夫琅和费衍射菲涅耳衍射和夫琅和费衍射0 x0y0 xy0QzzPr一、菲涅耳衍射公式一、菲涅耳衍射公式基尔霍夫衍射公式是一般的，直接用它来计算比较困难，具基尔霍夫衍射公式是一般的，直接用它来计算比较困难，具有实用意义的是对这个普遍理论作某些近似，用近似公式计有实用意义的是对这个普遍理论作某些近似，用近似公式计算一定范围内的衍射场分布，按照近似程度不同，分为菲涅算一定范围

52、内的衍射场分布，按照近似程度不同，分为菲涅耳衍射和夫琅和费衍射。耳衍射和夫琅和费衍射。2022-6-26530000000dyd),(),(),(xyyxxhyxUyxU zejyyxxhjkr 1),(00 由前面知道由前面知道22020)()(zyyxxr 220220)(21)(211zyyzxxz当当z z大于某一值时大于某一值时0 x0y0 xy0QzzPr2022-6-2654 202000)()(2exp)exp(1),(yyxxzkjjkzjzyyxxh 由上式可知，菲涅耳近似的实质是用由上式可知，菲涅耳近似的实质是用二次曲面二次曲面来代替球面的惠更来代替球面的惠更斯子波。上式

53、代入基尔霍夫衍射公式就得菲涅耳衍射公式。斯子波。上式代入基尔霍夫衍射公式就得菲涅耳衍射公式。 002020000)()(2exp),()exp(1),(dydxyyxxzkjyxUjkzjzyxU 上面是从空域对上面是从空域对h h作出近似，导出了菲涅耳衍射公式，这是传作出近似，导出了菲涅耳衍射公式，这是传统的物理光学教材中采用的方法。下面我们从衍射的角谱理论统的物理光学教材中采用的方法。下面我们从衍射的角谱理论出发，出发，即从频域考虑即从频域考虑，对描述光波传播的传递函数作出近似，对描述光波传播的传递函数作出近似，来导出菲涅耳衍射公式，并给出菲涅耳衍射公式成立的条件。来导出菲涅耳衍射公式，并

54、给出菲涅耳衍射公式成立的条件。2022-6-2655上面是从空域对上面是从空域对h h作出近似，导出了菲涅耳衍射公式，这是传作出近似，导出了菲涅耳衍射公式，这是传统的物理光学教材中采用的方法。下面我们从衍射的角谱理论统的物理光学教材中采用的方法。下面我们从衍射的角谱理论出发，出发，即从频域考虑即从频域考虑，对描述光波传播的传递函数作出近似，对描述光波传播的传递函数作出近似，来导出菲涅耳衍射公式，并给出菲涅耳衍射公式成立的条件。来导出菲涅耳衍射公式，并给出菲涅耳衍射公式成立的条件。)coscos1exp()cos,cos()cos,cos(220 jkzAA)coscos1exp()cos,co

55、s(22 jkzH当当1coscos22 对相位因子中的根式作二项式展开对相位因子中的根式作二项式展开)cos(cos122 22222)cos(cos81)cos(cos211 2022-6-2656假定展开式中第三项所贡献的相位变化远小于假定展开式中第三项所贡献的相位变化远小于1rad1rad，则上式中，则上式中二次方以上的项都可以忽略，即二次方以上的项都可以忽略，即z z应满足下式应满足下式1)cos(cos8max222 kzkzjyyixxr )()(000 x0y0 xy0QzzPr )(cos0 xxrir zxxrxx)()(cos00 zyyryy)()(cos00 代入上式

56、代入上式2022-6-26572022-6-2658讨论讨论1：这个近似成立的区域称为菲涅尔衍射区。作菲涅尔这个近似成立的区域称为菲涅尔衍射区。作菲涅尔近似处理时，对衍射近似处理时，对衍射孔径孔径大小，观察区域大小，观察区域范围范围和两屏之间的和两屏之间的距离距离都有一定都有一定要求要求。要求略去高次项后，不会引起明显的位。要求略去高次项后，不会引起明显的位相误差。相误差。)(1)()(8max2020radzyyzxxkzmax2020)()(4yyxxz满足上述条件时（满足上述条件时（菲涅尔近似条件菲涅尔近似条件），观察平面所在的区域称为），观察平面所在的区域称为菲涅耳衍射区菲涅耳衍射区，

57、这是一个这是一个充分充分条件。条件。讨论讨论2： 002020000)()(2exp),()exp(1),(dydxyyxxzkjyxUjkzjzyxU 2022-6-2659在菲涅耳衍射区内在菲涅耳衍射区内)cos(cos122 )cos(cos21122 )cos(cos2exp)exp()cos,cos(22 zkjjkzH因为因为 cos cos传递函数也可以表示为传递函数也可以表示为 )(exp)exp(),(22 zjjkzH )(exp)exp(),(22 zjjkzH讨论讨论3 3：上式第一项相位因子表示各角谱分量在距离为上式第一项相位因子表示各角谱分量在距离为z z的两个的两

58、个平面之间传播时都要受到的一个均匀的平面之间传播时都要受到的一个均匀的相位延迟相位延迟。第二项相位。第二项相位因子表示各角谱分量将产生与频率有关的相移，即与空间频率因子表示各角谱分量将产生与频率有关的相移，即与空间频率的平方有关的的平方有关的“色散色散”。 ddyyxxjzjjkzyyxxh )()(exp)(exp)(exp),(0022002 2020)()(2exp)exp(1yyxxzkjjkzjz 这一式子正好是基尔霍夫衍射公式经过近似得到的脉冲响应这一式子正好是基尔霍夫衍射公式经过近似得到的脉冲响应上面的讨论可知，两种近相似，一个是在空域，一个是的频域，上面的讨论可知，两种近相似，

59、一个是在空域，一个是的频域，但最终的结果是一致的。下面对菲涅耳衍射公式作进一步的讨但最终的结果是一致的。下面对菲涅耳衍射公式作进一步的讨论。论。2022-6-2660 0020200000)()(2exp),()exp(1),(dydxyyxxzkjyxUjkzjzyxU 上式实际上是孔径平面上的光场复振幅分布与球面子波的卷积上式实际上是孔径平面上的光场复振幅分布与球面子波的卷积, ,2022-6-2661该式成为菲涅尔近似。这个近似成立的区域称为菲涅尔衍射该式成为菲涅尔近似。这个近似成立的区域称为菲涅尔衍射区。作菲涅尔近似处理时，对衍射孔径大小，观察区域范围区。作菲涅尔近似处理时，对衍射孔径

60、大小，观察区域范围和两屏之间的距离都有一定要求。要求略去高次项后，不会和两屏之间的距离都有一定要求。要求略去高次项后，不会引起明显的位相误差。引起明显的位相误差。2022-6-2662展开指数中的二次项，则有展开指数中的二次项，则有 )(2exp)(exp1),(22yxzkjjkzjzyxU 00000202000)(2exp)(2exp),(dydxyyxxzjyxzkjyxU zyzxyxj ,00)(2exp讨论讨论4： )(2exp)(exp1),(22yxzkjjkzjzyxU 00000202000)(2exp)(2exp),(dydxyyxxzjyxzkjyxU )(2exp)