第二版《材料力学》第六章至第九章习题解答_(华中科大版_倪樵主编)

1、第二版材料力学习题解答（华中科大版 倪樵等主编）第六章至第九章6-2 圆截面直杆受力如图所示。试用单元体表示圆截面直杆受力如图所示。试用单元体表示A点的应力状态。已知点的应力状态。已知F=39.3N，M0=125.6Nm，D=20mm，杆长，杆长l=1m。 解：按杆横截面和纵截面方向截取单元体解：按杆横截面和纵截面方向截取单元体AMPaDFlWM04.5002. 013 .39323233MPaDMWTp96.7902. 06 .1251616330单元体可画成平面单元体如图单元体可画成平面单元体如图(从上往下观察从上往下观察)6-5 试用求下列各单元体中试用求下列各单元体中ab面上的应力（单

2、位面上的应力（单位MPa） 。解解：(a)3007070 xyyx)(352170)302cos(22MPayxyx)(62.602370)302sin(2MPayx(b)3007070 xyyx)(70)302cos(22MPayxyx0)302sin(2yx6-6 各单元体的受力如图所示，试求：（各单元体的受力如图所示，试求：（1）主应力大小及方向并在原单元体图上绘出主）主应力大小及方向并在原单元体图上绘出主单元体；（单元体；（2）最大切应力（单位）最大切应力（单位MPa） 。解解：(a)20050 xyyx02. 702.5702.32252025025022minmax02. 7002

3、.573215422tan0yxxy021933.1901333.1902.32222maxxyyxmax31max02.32202. 702.572xy6-6 各单元体的受力如图所示，试求：（各单元体的受力如图所示，试求：（1）主应力大小及方向并在原单元体图上绘出主）主应力大小及方向并在原单元体图上绘出主单元体；（单元体；（2）最大切应力（单位）最大切应力（单位MPa） 。解：解： (d)404020 xyyx23.7123.1123.41304022026022minmax23.71023.11321422tan0yxxy98.37023.41222maxxyyxmax31max23.41

4、21398.37xy6-9 图示一边长为图示一边长为10mm的立方钢块，无间隙地放在刚体槽内，钢材弹性模量的立方钢块，无间隙地放在刚体槽内，钢材弹性模量E=200GPa，=0.3=0.3，设，设F=6kN，试计算钢块各侧面上的应力和钢块沿槽沟方向的应变（不计摩擦），试计算钢块各侧面上的应力和钢块沿槽沟方向的应变（不计摩擦） 。解：假定解：假定 F 为均布压力的合力，由已知条件为均布压力的合力，由已知条件MPaAFy601010600000 xzMPaEzyxzyxx18603 . 0)(0)(1由广义胡克定律由广义胡克定律696101171020010)1860(3 . 0)(1yxzzE6-

5、11 已知图示各单元体的应力状态（图中应力单位为已知图示各单元体的应力状态（图中应力单位为MPa）。试求：（）。试求：（1）主应力及最大）主应力及最大切应力；（切应力；（2）体积应变）体积应变；（；（3）应变能密度）应变能密度u及畸变能密度及畸变能密度ud。设材料的。设材料的E=200GPa， =0.3 。解：解： （a）如图取坐标系）如图取坐标系xyz40000 xyyxz40minmax400403210)(21321E40231max)(221133221222221Eu)/(104 .101020021040)3 . 01 (2339122mJ)()()(61213232221Eud)

6、/(104 .10102001040)3 . 01 (339122mJ6-11 已知图示各单元体的应力状态（图中应力单位为已知图示各单元体的应力状态（图中应力单位为MPa）。试求：（）。试求：（1）主应力及最大）主应力及最大切应力；（切应力；（2）体积应变）体积应变；（；（3）应变能密度）应变能密度u及畸变能密度及畸变能密度ud。设材料的。设材料的E=200GPa， =0.3 。解：解： （d）505050321)(21321E0231max)(221133221222221Eu)/(105 . 71020021050)3 . 021 (3339122mJ0)()()(61213232221E

7、ud696103001020010503)3 . 021 (6-14 列车通过钢桥时，在钢桥横梁的列车通过钢桥时，在钢桥横梁的A点用应变仪测得点用应变仪测得 x=0.410-3， y= -0.1210-3 ，已知：，已知： E=200GPa， =0.3 。试求。试求A点的点的x-x及及y-y方向的正应力方向的正应力 。解：解：A点为平面应力状态，由广义胡克定律点为平面应力状态，由广义胡克定律)(1)(1xyyyxxEE)(12yxxE)(12xyyEMPa8010)12. 03 . 04 . 0(3 . 0110200329010)4 . 03 . 012. 0(3 . 01102003296

8、-17 在图示梁的中性层上某点在图示梁的中性层上某点K处，沿与轴线成处，沿与轴线成 45 方向用电阻片测得应变方向用电阻片测得应变= -0.26010-3 ，若，若材料的材料的E=210GPa， =0.28 。试求梁上的载荷。试求梁上的载荷F 。解：测点解：测点 K 处剪力为处剪力为:中性层上的点处于纯剪切应力状态，有：中性层上的点处于纯剪切应力状态，有：FFs32tISFzzs*max904545由广义胡克定律由广义胡克定律EE)1 (90454545)66.42()1 (3245*maxMPaEtIFSzz则：则：即：即：*max4523)1 (zzStIEFkN79.133)28. 01

9、 (2105 . 8102461026. 01021033339mmSImmtzz2465 . 8*max查表得查表得:6-19 求图示各单元体的主应力，以及它们的相当应力，单位均为求图示各单元体的主应力，以及它们的相当应力，单位均为MPa。设。设 =0.3 。解：准平面应力状态，如图取坐标系，已知一主应力解：准平面应力状态，如图取坐标系，已知一主应力 z =50MPa， 可按平面应力状态公式求得另外两个主应力。可按平面应力状态公式求得另外两个主应力。MPaMPaMPaxyyx403020 xyz22minmax22xyyxyx17.4217.5217.475)40(230202302022M

10、PaMPaMPa17.425017.52321主应力为：主应力为：MPar17.5211MPar82.49)17.4250(3 . 017.52)(3212MPar34.94313MPar27.93)()()(222132322214相当应力：相当应力：7-2 悬臂木梁上的载荷悬臂木梁上的载荷F1=800N，F2=1650N，木材的许用应力，木材的许用应力=10MPa，设矩形截面的，设矩形截面的h=2b，试确定截面尺寸。试确定截面尺寸。解：危险截面为固定端，其内力大小为解：危险截面为固定端，其内力大小为NmFMy160021max3322max23366bMbMbhMhbMWMWMzyzyzz

11、yymmmMMbzy90)(101016505 . 116003)233(131631NmFMz165012危险点为截面角点，最大应力为危险点为截面角点，最大应力为由强度条件由强度条件mmhmmb18090则取截面尺寸为则取截面尺寸为7-4 斜梁斜梁AB的横截面为的横截面为100 mm100 mm 的正方形，若的正方形，若F=3kN，作梁的轴力图、弯矩图，作梁的轴力图、弯矩图，并求梁的最大拉应力和最大压应力。并求梁的最大拉应力和最大压应力。 解：将解：将F 分解为轴向力分解为轴向力Fx 和横向力和横向力 FykNFFkNFFyx8 . 1534 . 254)(1 . 010125. 161 .

12、 0104 . 23323maxPaWMAFcNccFxFy作内力图作内力图FN ：M ：-2.4kN1.125kNm最大压应力在最大压应力在C 处左侧截面上边缘各点，其大小为处左侧截面上边缘各点，其大小为MPaMPa99. 6)75. 624. 0(最大拉应力在最大拉应力在C 处右侧截面下边缘各点，其大小为处右侧截面下边缘各点，其大小为MPaPaWMct75. 6)(1 . 010125. 1633max7-5 在正方形截面短柱的中部开一槽，其面积为原面积的一半，问最大压应力增大几倍？在正方形截面短柱的中部开一槽，其面积为原面积的一半，问最大压应力增大几倍？ 解：未开槽短柱受轴载作用，柱内各

13、点压应力为解：未开槽短柱受轴载作用，柱内各点压应力为24aFAFN222max486/22/2aFaaaFaFWMAFN开槽短柱削弱段受偏心压力，最大压应力为开槽短柱削弱段受偏心压力，最大压应力为故最大压应力增大故最大压应力增大 7 倍倍7-8 求图示截面的截面核心。求图示截面的截面核心。 解：取截面互垂的对称轴为坐标轴解：取截面互垂的对称轴为坐标轴113 . 0zyama2233220193. 02 . 0512/2 . 02 . 0212/6 . 02 . 0mAIiizy064064. 03 . 00193. 01121FyzFzmmmaiyyz1以直线以直线 1 为中性轴为中性轴以直线

14、以直线 2 为中性轴为中性轴2mamazy4 . 04 . 022mmmaiyyzF48048. 04 . 00193. 0222mmaizzyF48222F1 、F2 两点的联线构成截面核心边界的一部分，按类似的两点的联线构成截面核心边界的一部分，按类似的方法可得该截面的截面核心为以截面形心为中心的八边形方法可得该截面的截面核心为以截面形心为中心的八边形(48,48)(64,0)(-48,-48)(48,-48)(-48,48)(0,64)(0,-64)(-64,0)(mm)7-13 图示钢制圆截面梁，直径为图示钢制圆截面梁，直径为d，许用应力为，许用应力为，对下列几种受力情况分别指出危险点

15、，对下列几种受力情况分别指出危险点的位置，画出危险点处单元体的应力状态图，并按最大切应力理论建立相应的强度条件。的位置，画出危险点处单元体的应力状态图，并按最大切应力理论建立相应的强度条件。(1)只有只有F 和和Mx作用；作用；(2)只有只有My 、Mz 和和 Mx作用；作用；(3) My 、Mz、Mx 和和F 同时作用。同时作用。 解解： (1)只有只有F 和和Mx作用，拉扭组合，任一截面周边上的点作用，拉扭组合，任一截面周边上的点都是危险点都是危险点422222223WMAFWMAFxxr42dAAFAFN3223dWWMWMWTxpxp应力状态：应力状态：其中：其中：则有强度条件：则有强

16、度条件：7-13 图示钢制圆截面梁，直径为图示钢制圆截面梁，直径为d，许用应力为，许用应力为，对下列几种受力情况分别指出危险点，对下列几种受力情况分别指出危险点的位置，画出危险点处单元体的应力状态图，并按最大切应力理论建立相应的强度条件。的位置，画出危险点处单元体的应力状态图，并按最大切应力理论建立相应的强度条件。(1)只有只有F 和和Mx作用；作用；(2)只有只有My 、Mz 和和 Mx作用；作用；(3) My 、Mz、Mx 和和F 同时作用。同时作用。 解解： (2)只有只有My 、Mz 和和 Mx作用，弯扭组合，任一截面与总作用，弯扭组合，任一截面与总弯矩矢量垂直的直径两端点是危险点弯矩

17、矢量垂直的直径两端点是危险点4222223WMMMxzyr应力状态：应力状态：其中：其中：则有强度条件：则有强度条件：WMMWMzy22WMWMWTxpxp2yzMMyMzD1D2D1D2323dW7-13 图示钢制圆截面梁，直径为图示钢制圆截面梁，直径为d，许用应力为，许用应力为，对下列几种受力情况分别指出危险点，对下列几种受力情况分别指出危险点的位置，画出危险点处单元体的应力状态图，并按最大切应力理论建立相应的强度条件。的位置，画出危险点处单元体的应力状态图，并按最大切应力理论建立相应的强度条件。(1)只有只有F 和和Mx作用；作用；(2)只有只有My 、Mz 和和 Mx作用；作用；(3)

18、 My 、Mz、Mx 和和F 同时作用。同时作用。 解解： (3) My 、Mz、Mx 和和F 同时作用，拉弯扭组合，任一截同时作用，拉弯扭组合，任一截面面D1点是危险点点是危险点422222223WMWMMAFxzyr应力状态：应力状态：其中：其中：则有强度条件：则有强度条件：WMMAFWMAFzyN22WMWMWTxpxp2yzMMyMzD1D132432dWdA7-17 图示直角曲拐，图示直角曲拐，C端受铅垂集中力端受铅垂集中力F作用。已知作用。已知a=160mm，AB杆直径杆直径D=40mm，l=200mm ，E=200GPa， =0.3，实验测得实验测得D点沿点沿45 方向的线应变方

19、向的线应变 45 =0.265 10-3。试求：。试求：（1）力）力F的大小；（的大小；（2）若）若AB杆的杆的=140MPa，试按最大切应力理论校核其强度。，试按最大切应力理论校核其强度。 解：测点在中性轴处为纯剪切应力状态，且有解：测点在中性轴处为纯剪切应力状态，且有4521)31(1634EDaDFAFWFap05. 139.14232/322223MPaDalFWTMrFlMFaTkNDEF493. 3)3/14(161245则则危险截面危险截面 A 处内力大小为（不计剪力）处内力大小为（不计剪力）按最大切应力理论校核强度按最大切应力理论校核强度满足强度要求满足强度要求7-21 图示用

20、钢板加固的木梁，作用有横力图示用钢板加固的木梁，作用有横力F=10kN，钢和木材的弹性模量分别为，钢和木材的弹性模量分别为Es=200GPa 、 Ew=10GPa 。试求钢板和木梁横截面上的最大正应力及截面。试求钢板和木梁横截面上的最大正应力及截面C的挠度。的挠度。 解：复合梁，以钢为基本材料解：复合梁，以钢为基本材料mmnnyyc5 .15210100200100205101001002001001mmyy5 .572101205. 0swEEnyzy1y24610854. 8m23)1005 .152(20010012200100nnIz23)5 .152205(101001210100M

21、PayIMzs29.432maxmaxkNmFlFabM667. 632max危险截面为危险截面为 C 截面截面MPayIMnzw74. 51maxmax)(5 . 2)(6222mmbalIlEFbayzsc8-1 图示各圆截面杆，材料的弹性系数图示各圆截面杆，材料的弹性系数E都相同，试计算各杆的应变能。都相同，试计算各杆的应变能。 解：解： (b)4/)2(8/34/4/4/)2(8/32222222dldldlEFAElFUiiiN222200231467)(212ddElFEAlFdxxlFFEAEAxFUllN2287dElF(d)x8-2 试计算图示各结构的应变能。梁的试计算图示各

22、结构的应变能。梁的EI已知，且为常数；对于拉压杆（刚度为已知，且为常数；对于拉压杆（刚度为EA），只），只考虑拉压应变能。考虑拉压应变能。解：求内力解：求内力FFN23lxxFM11102拉压杆拉压杆:计算结构的应变能计算结构的应变能梁梁:20222lxFxMx1x220222012132022d2d2dlllNEIxMEIxMEAxFU20222012132022d2d22d23lllEIxFxEIxxFEAxFEIlFEAlF16433228-3 试用卡氏定理求习题试用卡氏定理求习题8-2中各结构截面中各结构截面A的铅垂位移。的铅垂位移。 解：求解：求 A 的铅垂位移，虚加一相应的附加力的

23、铅垂位移，虚加一相应的附加力 F ，刚架各，刚架各杆内力为杆内力为1021211FFFFlFMxFMNNlxxFFxqxxMN1111211100)(2)(由卡氏定理由卡氏定理有：有：FlxFqlxFFlqlxMN2222220)()(2)(2100dilFiiNiNiFAixFMEIMFFEAFFUylllxEIlqlxEIxqxxEAql0201210d2d2d1)()581 (85852181242424AlIEIqlEAqlEIqlEAqlEIql8-4 图示等截面直杆，承受一对方向相反、大小均为图示等截面直杆，承受一对方向相反、大小均为 F 的横向力作用。设截面宽度为的横向力作用。设

24、截面宽度为 b、拉、拉压刚度为压刚度为 EA，材料的泊松比为，材料的泊松比为 。试利用功的互等定理，证明杆的轴向变形为。试利用功的互等定理，证明杆的轴向变形为 解：杆的轴向变形解：杆的轴向变形 l 是直杆两端一对轴载的相应位是直杆两端一对轴载的相应位移，而一对横向力移，而一对横向力 F 的相应位移是两力作用点的相的相应位移是两力作用点的相对位移对位移 b。考察直杆两端受一对轴载作用。考察直杆两端受一对轴载作用FFFF21EAbFbbbF即两个广义力分别为：即两个广义力分别为：相应广义位移为：相应广义位移为：EAbFlFFFFbl2112直杆两端受轴载作用时杆内各点均为相同的单向应力状态直杆两端

25、受轴载作用时杆内各点均为相同的单向应力状态EAbFFbFFFllFF/212121由：功的互等定理由：功的互等定理212121FFEAbFl即：即：18-5 图示为水平放置的圆截面直角折杆图示为水平放置的圆截面直角折杆ABC，试求截面，试求截面C的竖直位移和转角。已知杆的直径的竖直位移和转角。已知杆的直径d和材料的和材料的E、G。 解：列出各杆段在外载和欲求位移相应单位力分别解：列出各杆段在外载和欲求位移相应单位力分别作用时的内力方程作用时的内力方程20222221211qlTqlxMTqxMiilpiiliiGIxTTEIxMMdd00lpllCyxGIlqlxEIxqlxxEIxqx022

26、022201121d2dd2由莫尔定理由莫尔定理:)()2311(823844444GEdqlGIqlEIqlEIqlpx1x211lTxMTxM022020110101001020201011111TMTM0110020201012222TMTM)()132(162d2EdqlGIxlqlEIxqxlplC)(32d1430222dEqlEIxqlxlC8-6 图示为水平放置的圆截面开口圆环，试求铅垂力图示为水平放置的圆截面开口圆环，试求铅垂力F 的相应位移（即开口的张开位移）。的相应位移（即开口的张开位移）。圆环横截面的直径圆环横截面的直径d和材料常数和材料常数E

27、、G均已知。均已知。 解：求单力系统广义力的相应位移，可用实功原理计算。解：求单力系统广义力的相应位移，可用实功原理计算。任一截面上的内力为：任一截面上的内力为：)cos1 ()(sin)(FRTFRMlplGIsTEIsMU2d2d22则铅垂力则铅垂力F 的相应位移的相应位移 为：为：R20222202224d)cos1 (2dsinGIRRFEIRRFFWGEEIRFGIRFEIRF21)231 (24323232326424dIIIp)231 (64)231 (2433GEEdFRGEEIFRFU8-6 图示为水平放置的圆截面开口圆环，试求铅垂力图示为水平放置的圆截面开口圆环，试求铅垂力

28、F 的相应位移（即开口的张开位移）。的相应位移（即开口的张开位移）。圆环横截面的直径圆环横截面的直径d和材料常数和材料常数E、G均已知。均已知。 解：用单位力法计算。任一截面上的内力为：解：用单位力法计算。任一截面上的内力为：)cos1 ()(sin)(FRTFRMlplGIsTTEIsMMdd00R202220222d)cos1 (dsinGIRFREIRFR)231 (23333GEEIFRGIFREIFR6424dIIIp)231 (6443GEEdFR=1=1)cos1 ()(sin)(00RTRM8-9作用有横力的简支梁作用有横力的简支梁AB，其上用五杆加强，如图所示。已知梁的弯曲刚

29、度为，其上用五杆加强，如图所示。已知梁的弯曲刚度为EI，各杆的，各杆的拉压刚度均为拉压刚度均为EA，且，且 I=Aa2/10。若。若F =10kN，试求杆，试求杆EG的轴力。的轴力。解：一次超静定组合结构，将杆解：一次超静定组合结构，将杆EG截开得静定基，有截开得静定基，有011111FX0NiFF计算外力单独作用于静定基上时内力计算外力单独作用于静定基上时内力MF 、FNF ，不计梁式杆不计梁式杆AB的轴力的轴力MF 、FNF ：0FaX1FFFF00000计算单位广义力单独作用于静定基上时内力计算单位广义力单独作用于静定基上时内力M01 、F0N ，不计梁式杆，不计梁式杆AB的轴力的轴力M

30、01 、F0N ：a-1-111X1=12212100000DGCEBGAEEGNNNNNFFFFF)32212(111aaaaaaEI8-9作用有横力的简支梁作用有横力的简支梁AB，其上用五杆加强，如图所示。已知梁的弯曲刚度为，其上用五杆加强，如图所示。已知梁的弯曲刚度为EI，各杆的，各杆的拉压刚度均为拉压刚度均为EA，且，且 I=Aa2/10。若。若F =10kN，试求杆，试求杆EG的轴力。的轴力。MF 、FNF ：0FaX1FFFF00000M01 、F0N ：a-1-111X1=122)32212(111aaaaaaEI) 1() 1(2222211 1aaaEAEAaEAaEIa32

31、1259)243(353EAFaEIFaaaFaaaFaEIF35035)32212(131kNFXF58. 621259501111FNNNEGEGEGFXFF10kNX58. 611（受压）（受压）8-10 试求图示各刚架截面试求图示各刚架截面A的位移和截面的位移和截面B的转角，的转角，EI为已知。为已知。 解：刚架由直杆组成，莫尔积分可用图乘法计算，且忽略轴解：刚架由直杆组成，莫尔积分可用图乘法计算，且忽略轴力对位移的影响。力对位移的影响。EIMCFAxMAx0)(6172EIaMeA 为可动铰支座为可动铰支座MeMeMeMe /2aMe /2aMF ：11112a2aM0Ax ：0Ay

32、)243()()232()221(1aaMaaMEIee1 / 2a11 / 2a11M0B ：EIMCFBMB0 1)() 132()221(1aMaMEIee)(35EIaMe8-10 试求图示各刚架截面试求图示各刚架截面A的位移和截面的位移和截面B的转角，的转角，EI为已知。为已知。 )(323)43421(142EIqlqlllEI解：刚架由直杆组成，莫尔积分可用图乘法计算，且忽略轴解：刚架由直杆组成，莫尔积分可用图乘法计算，且忽略轴力对位移的影响。力对位移的影响。ql / 2qlql / 2ql 2M0Ay ：1/21l / 41/2EIMCAyFMAy00与与Ay 相应的单位力只在

33、水平杆上引起弯矩，且外力相应的单位力只在水平杆上引起弯矩，且外力在水平杆上引起的弯矩图为一段直线，故有在水平杆上引起的弯矩图为一段直线，故有MF ：ql 2 / 2ql 2 / 2ql 23ql 2/48-10 试求图示各刚架截面试求图示各刚架截面A的位移和截面的位移和截面B的转角，的转角，EI为已知。为已知。 )3221322131221(1222llqlllqlllqlEI解：刚架由直杆组成，莫尔积分可用图乘法计算，且忽略轴解：刚架由直杆组成，莫尔积分可用图乘法计算，且忽略轴力对位移的影响。力对位移的影响。ql / 2qlql / 2ql 2EIMCFAxMAx0M0Ax ：11l11lM

34、F ：ql 2 / 2ql 2 / 2ql 2)(434EIql8-10 试求图示各刚架截面试求图示各刚架截面A的位移和截面的位移和截面B的转角，的转角，EI为已知。为已知。 ) 131211322211231(1222lqllqllqlEI解：刚架由直杆组成，莫尔积分可用图乘法计算，且忽略轴解：刚架由直杆组成，莫尔积分可用图乘法计算，且忽略轴力对位移的影响。力对位移的影响。ql / 2qlql / 2ql 2MF ：ql 2 / 2ql 2 / 2ql 2M0B ：1/ l111/ l1)(23EIqlEIMCFBMB0)(434EIqlAx)(23EIqlB)(3234EIqlAy即：即：8-11 试求解图示各结构：（试求解图示各结构：（a）各杆的轴力。）各杆的轴力。解：一次超静定结构，将杆解：一次超静定结构，将杆1 截开取静定基截开取静定基222112)22()22(4111aaEA011111FXX1 1FFF00000011222222)21 (2EAaEAFaaFEAF22111FFXF)221 ()21 (221111FXFN)221 (11FFXFN2212FXFFFFNNNN2122216543（拉）（拉）（压）（压）（拉）（拉）8-11 试求解图示各结构（试求解图示各结构（b）B端的反力和截面端的反力和截面D的