《等差数列》教学方案人教B版选择性必修第三册

1、第五章数列521等差数列教学目标能从实际问题中归纳出等差数列的定义；理解等差数列的公差及通项公式；会判断一个数列是否是等差数列，能求出指定的项或者项数.教学重难点教学重点：等差数列的概念与通项公式教学难点：等差数列通项公式的应用教学过程【新课导入】问题情境：观察下列现实生活中的数列，回答后面的问题.我国有用12生肖纪年的习惯，例如，2017年是鸡年，从2017年开始，鸡年的年份为2017,2029,2041,2053,2065,2077,；我国确定鞋号的脚长值以亳米为单位来表示，常用确定鞋号脚长值按从大到小的顺序可排列为275,270,265,260,255,250,；2019年1月中，每个星

2、期日的日期为6,13,20,27.问题、以上三个数列，观察他们前后项之间的关系，他们有什么共同点？师生活动：老师组织学生分组讨论，鼓励学生交流自己的意见，形成小组统一结果.预设的答案：不难看出，上述数列的共同点是：从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数.具体地说，数列从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于12；数列从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于一5；数列从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于7.设计意图：通过生活中的大家熟悉的情境中提取数学概念，使其更通俗易懂.这个情境的设置旨在启发学生用数学眼光去观察世界、用教学思维去思考世界、用教学语言去表达世界，并能从项与项之间

3、的关系来分析、观察数列.【探究新知】知识点1等差数列的定义问题1、如果给前面例子中的数列起一个名字，你会叫他什么？你能给这种数列下一个定义吗？师生活动：老师组织学生分组讨论，鼓励学生交流自己的意见，尝试归纳定义.预设的答案：因为这种数列从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数，核心要素是“等差”，所以能够叫“等差数列定义：一般地，如果数列亿”从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数d,即们+1为=恒成立，则称厶为等差数列，其中”称为等差数列的公差.三个数列都是等差数列，公差分别为12,-5,7.知识点2等差数列的通项公式问题1、你能分别总结出例子中数列的通项公式并得出一般这

4、种数列的通项公式吗？师生活动：老师引导学生写出数列的项，通过项与项的关系，依次表示出第”项，即通项公式.预设的答案：记数列为,能够看出，O2=s+12,43=。2+12,所以内=1+12+12,同样，04=01+12+12+12由此可知，an=ai+（”一1）XI2=2017+（”一1）X12=12n+2005；同样的，数列的通项公式为为=275+（”一1）X（-5）=一5”+280；数列的通项公式为a=6+31）X7=7”一l问题2：若等差数列”“的首项为。I,公差为4,你能尝试根据定义推导其通项公式吗？师生活动：教师引导学生注重定义，类比前面的问题1中等差数列通项公式的得出过程，来尝试推导

5、.活动以小组进行，教师巡回指导，随时点拨.预设的答案：因为。”是等差数列，根据定义，就有aa,.=d,即an.x=an+d,从而就有ai=a+d.a3=ai+d=（oi+d）+d=a+2d.a4=ay+d=(俄+d)+d=(a+2d)+d=a+3d.由此，可归纳出an=a+(n1)d.问题3：以上通项公式的得到是一个归纳的过程，你还有其他办法能够严格推导这个公式吗？师生活动：学生小组合作，观察讨论，教师引导学生注重等差数列的定义式，写出多项，尝试累加推导.预设的答案：另外，由等差数列的定义可得anan-=dan-ian-2=da3a2=da2a=d将这”一1个式子，两边分别相加，得到(。”一O

6、T)+(n-lt?n-2)+(一。2)+(忽一=(771)d整理得ana=(“一1)d.即an=a+1)d.等差数列的通项公式说明，只要确定了等差数列的首项与公差，就能够写出等差数列中的每一项.设计意图：培养学生观察，分析，归纳的能力.让学生经历由具体实例中的分析到抽象概括中的归纳，再到具体结论的数学证明，感觉教学结论的得出和一般化的过程.典例1：判断以下数列是否是等差数列？若是，指出公差；若不是，说明理由.7,13,19,25,31；2,4,7,11；-1,一3,-5,-7.师生活动：学生观察，回答，教师纠错，引导学生用定义进行判断.解答：（1）因为137=1913=2519=3125=6,

7、所以这个数列是等差数列，公差为6；（2）因为42=2,74=3,74夭4一2,所以这个数列不是等差数列；（3）因为一3（-1）=-5-（-3）=-7-（-5）=-2,所以这个数列是等差数列，公差为2.方法小结：（1）通过验证数列从第2项起，每一项减去它前一项所得的差是否是一个固定的常数，来判断是不是等差数列；（2）因为心F=d,等价于所以，也能够通过判断数列从第2项起，每一项是否都等于它的前一项加上一个固定的常数，来确定是否是等差数列.典例2：己知等差数列10,7,4,.（1）求这个数列的第10项；（2）一56是不是这个数列中的项？一40呢？如果是，求出是第儿项；如果不是，说明理由.师生活动：

8、学生观察，回答，教师纠错，引导学生回顾和使用数列的通项公式.解答：（1）记数列为。”,则由题意知们=10,店710=3,所以数列的通项公式为an=10+（ni）x（3）=3n+13.当”=10时，有so=3xlO+13=17,所以第10项为一17.（2）设一56是数列中的第”项，则一3”+13=56,解得”=23,所以一56是数列的第23项.设一40是数列中的第”项，则一3”+13=40,解得户里，由此可知一40不是数列中的项.3方法小结：（1）求数列的第”项，只需在通项公式中，将”的值代入计算即可；（2）问某数是否是指定数列中的项，能够先假设是第”项，通过通项公式反求“的值，若所解出的”值是

9、正整数，则该数是数列的第”项，否则不是.知识点3从函数的角度看等差数列问题1、观察等差数列的通项公式g+（”一1）d,你发现右与”的关系与以前所学过的什么函数有关？师生活动：老师引导学生分清通项公式中的变量与常量，确定自变量和函数值，必要的话能够将通项公式写成以必y表示的函数形式，然后观察其中函数关系.预设的答案：在通项公式an=ai+(n、)d中，。1、d均为常量，除此之外，第”项的值。随着”的变化而变化，每一个”的值对应一个为，所以是关于工的函数.将n=i+(“一1)，整理一下，可得a=a+(wI)d=d”+(aid).若记f(x)=dx+(aid),WOan=f(“).当公差d=0时，/

10、(x)是常数函数，此时数列。”是常数列(所以，公差为0的等差数列是常数列)；当公差dNO时，f(x)是一次函数，而且/(x)的增减性依赖于公差d的符号，所以，当小0时，是递增数列；当火0时，外是递减数列.耳.这也说明，当用直角坐标系中的点来表示等差数列时，所有的点一I定在一条直线上.M|问题2、若公差不为0的等差数列是关于”的一次函数，那你能J说一说它的图象是什么样吗？师生活动：给出一个具体的等差数列，引导学生画出其图象，观10察，并尝试说明其图象特征的形成原因.预设的答案：项；以数列为=2”一1为例，自变量”弓N*,该通项公式为关于”的一次函数，在坐标系中画出图象.观察图象，这个数列的图象是

11、一系列离散的点，所有的点都在一次函数尸厶一1的图象上.事实上，数列作为一种函数，有它的特殊性，即定义域为正整数集N,它的图象都是位于第一象限的一系列离散的点.典型例题典例3、己知数列的通项公式为为=3”一5,判断这个数列是否是等差数列.如果是，求出公差；如果不是，说明理由.师生活动：引导学生冋顾等差数列定义，根据定义，从通项公式入手进行判断.解答：因为如1一=3(“+1)-5-(3/7-5)=3,所以数列皿是等差数列，且公差为3典例4、己知等差数列。”的公差为4,求证：对于任意的正整数”7,”，有分析：根据通项公式，先得出劣，如，再通过度析二者的关系得到结果.解答：设等差数列的首项为们，则an

12、=ai+（”一1）d.如=41+31）（1.两式相减，整理可得虹a咛（”一，”）ci.即an=ain+（”一，”）d.教师点评：由%-如=质一”）d,也可整理得出，4=女伐，根据此式，知道等差数列的两ntn项，即可求出公差，比如在等差数列4J中，若。3=5,。8=40,则公差为=冬二冬=史兰=7.835典例5、己知等差数列时中，6/5=3,“7=9,求。10.分析：对于求等差数列的项来说，通项公式与公差是关键.解答：（方法一）设等差数列的首项为公差为，则（%=%+=,解得印=_9,d=3.所以=_9+9x3=18.%=。+6d（方法二）设等差数列的首项为，公差为d,则“=虹冬=W=37-52所

13、以，知=+3J=9+3x3=18.知识点4、等差数列的性质性质1、如果x,A,y是等差数列，那么称A为与y的等差中项.问题：如果A为x与y的等差中项，那么A能用与），表示出来吗？根据等差中项与等差数列的定义可知A一户yA,所以4=亨.例如，2与8的等差中项是写=5.容易看出，在一个等差数列中，中间的每一项（既不是首项也不是末项的项，下同）都是它的前一项与后一项的等差中项.典例6、己知数列时，=在”3时恒成立，求证：时是等差数列.解答：因为/翌牛丹/弓+心为一缸二如一白心所以U-1=_-2=-2-_3=/_所以，从第2项起，每一项与它的前一项的差都相等，所以为是等差数列.教师点评：如果一个数列中

14、，中间的每一项都是它的前一项与后一项的等差中项，那么这个数列一定是等差数列.性质2、尝试发现：设数列时的通项公式为n=3-l,求出怎+必+。6,并比较它们的大小.你能由此总结出一个一般的结论并给出证明吗？师生活动：教师引导学生用通项公式表示出，。7,。3,。6,然后相加进行计算.预设的答案：因为“2+07=3x21+3x71=25,。3+。6=331+3x61=25.所以a2+ai=。3+6.性质总结：一般地，如果(厶是等差数列，而且正整数s,bp,q满足s+50,则as+ai=aP+a(t.证明：因为“是等差数列，设公差为d,则an=nai+(1)d.所以a,+a,=sa+(s1)J+tai

15、+(/1)d=(s+f)(s+d)2dap+ag=pa+(p1)d+qa+(q1)(1=(p+q)(oi+d)2d因为s+t=p+q,所以as+at=aP+aq.教师点评：这个性质说，在等差数列中，下标和相等的相同数量的项，项的和也相等.特别地有，如果2s=p+qf则2a.v=aP+aq.典例7、已知某梯子共有5级，从上往下数，第1级的宽为35cm,第5级的宽为43cm,且各级的宽度从小到大构成等差数列为,求其余3级的宽度.解答：(方法一)由题意，內=35,g=43,设公差为d,则35+4d=43,解得d=2.从而“2=35+2=37,。3=37+2=39,叫=39+2=41.所以，其余3级的宽度分别为37cm,39cm,41cm.(方法二)根据等差数列的性质a.+a.35+43_a,+a,35+39_a,+a539+43.,fl3=-Ly=39，角=-=37，fl4=y-L=41所以，其余3级的宽度分别为37cm,39cm,41cm.【课堂练习】教材P21,练习A、B.【课堂小结】等差数列的定义一般地，如果数列厶从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数，即