参数估计基础

1、第五章第五章 总体均数的估计和总体均数的估计和假设检验假设检验 n第一节第一节 均数的抽样误差与标准误均数的抽样误差与标准误n第二节第二节 t t分布分布n第三节第三节 总体均数的估计总体均数的估计n第四节第四节 假设检验的一般步骤假设检验的一般步骤n第五节第五节 均数的均数的t t检验和检验和z z检验检验n第六节第六节 均数的区间估计与假设检验的关系均数的区间估计与假设检验的关系n第七节第七节 假设检验的两型错误和检验功效假设检验的两型错误和检验功效第五章第五章 总体均数的估计和假设检验总体均数的估计和假设检验n第一节第一节 均数的抽样误差与标准误均数的抽样误差与标准误n第二节第二节 t

2、t分布分布n第三节第三节 总体均数的估计总体均数的估计n第四节第四节 假设检验的一般步骤假设检验的一般步骤n第五节第五节 均数的均数的t t检验和检验和z z检验检验n第六节第六节 均数的区间估计与假设检验的关系均数的区间估计与假设检验的关系n第七节第七节 假设检验的两型错误和检验功效假设检验的两型错误和检验功效第一节第一节 均数的抽样误差与标准误均数的抽样误差与标准误 n常用的统计推断方法常用的统计推断方法: :参数估计和假设检验参数估计和假设检验 总体总体 样本样本 统计推断统计推断 X随机抽样随机抽样 N（155.4，5.32） 156.7158.1155.6155.24.985.206

3、.355.64156.66.35SiXi100个n n3030假定某年某地所有假定某年某地所有1313岁女学生身高服从正态分布岁女学生身高服从正态分布N N（155.4155.4，5.35.32 2）图图5-1 某年某地某年某地13岁女生身高岁女生身高N(155.4, 5.32)的抽样示意图的抽样示意图 第一节第一节 均数的抽样误差与标准误均数的抽样误差与标准误 第一节第一节 均数的抽样误差与标准误均数的抽样误差与标准误 抽样误差抽样误差 由于个体间存在差异及抽样由于个体间存在差异及抽样造成的样本统计量与总体参数之造成的样本统计量与总体参数之间的差异。间的差异。第一节第一节 抽样分布与抽样误差

4、抽样分布与抽样误差 表表5-2 5-2 从从N N (155.4, 5.3 (155.4, 5.32 2) )抽样得到抽样得到中中的的100100个个样本均数的频数分布（样本均数的频数分布（n ni i =30 =30）第一节第一节 均数的抽样误差与标准误均数的抽样误差与标准误 将此将此100100个样本均数看成个样本均数看成新变量值新变量值，则这，则这100100个样本均数构成一个样本均数构成一新分布新分布，绘制直方图。，绘制直方图。图图5-2 从正态分布总体从正态分布总体N(155.4, 5.32)随机抽样所得样本均数分布随机抽样所得样本均数分布151 152 153 154 155 15

5、6 157 158 159 160 根据正态分布原理，若随机变量根据正态分布原理，若随机变量X X服从正态分布，则样服从正态分布，则样本均数本均数 也服从也服从X1. 1. 各样本均数未必等于总体均数各样本均数未必等于总体均数; ;2. 2. 样本均数之间存在差异样本均数之间存在差异; ;3. 3. 样本均数的分布很有规律，围绕着总体均数样本均数的分布很有规律，围绕着总体均数（155.4cm155.4cm），中间多、两边少，左右基本对），中间多、两边少，左右基本对称，也服从正态分布。称，也服从正态分布。 4 4样本均数的变异较之原变量的变异大大缩小样本均数的变异较之原变量的变异大大缩小 u样本

6、均数的抽样分布具有以下特点：样本均数的抽样分布具有以下特点：第一节第一节 均数的抽样误差与标准误均数的抽样误差与标准误 用于表示均数抽样误差大小的指标，用于表示均数抽样误差大小的指标，也叫样本均数的标准差，通常称为也叫样本均数的标准差，通常称为样本样本均数的标准误均数的标准误。用于衡量抽样误差的大用于衡量抽样误差的大小。小。 标准误（标准误（SE） 第一节第一节 均数的抽样误差与标准误均数的抽样误差与标准误 XnXsnsn标准误的计算公式标准误的计算公式 因通常因通常未知，计算未知，计算标准误采用下式：标准误采用下式：p均数的标准误均数的标准误意义：意义：反映抽样误差的大小。反映抽样误差的大小

7、。标准误越小，抽样误差越小，标准误越小，抽样误差越小，用样本均数估计总体均数的可用样本均数估计总体均数的可靠性越大。靠性越大。与样本量的关系：与样本量的关系： S S 一定，一定，nn，标准误，标准误第一节第一节 均数的抽样误差与标准误均数的抽样误差与标准误 X1S1X2 S2 XiSiXnSnxN(2) X服从什么分布？服从什么分布？ 例例5-15-1 为了解某地为了解某地1313岁女生的身高，在该岁女生的身高，在该地随机抽取了地随机抽取了3030名名1313岁女生测量身高，结果算出岁女生测量身高，结果算出均数均数156.70cm156.70cm，标准差标准差4.98cm4.98cm。求其。

8、求其标准误标准误的大小。的大小。911. 03098. 4nSSX第一节第一节 均数的抽样误差与标准误均数的抽样误差与标准误 同理，在非正态分布总体中也可进行类似的抽样同理，在非正态分布总体中也可进行类似的抽样研究。研究。 若若iX服从正态分布服从正态分布 则则 jX服从正态分布服从正态分布 n大：大： 则则 jX近似服从正态分布近似服从正态分布 若若iX不服从正态分布不服从正态分布 n小：小： 则则 jX为非正态分布为非正态分布 中心极限定理：中心极限定理： 第一节第一节 均数的抽样误差与标准误均数的抽样误差与标准误 均数均数XZX随机变量随机变量X XN N（，2 2）标准正态分布标准正态

9、分布N N（0 0，1 12 2）Z Z变换变换标准正态分布标准正态分布N N（0 0，1 12 2）XZn),(2nN1,nvSXnSXtXStudent Student t t分布分布自由度：自由度：n n-1-1 第二节第二节 t分布分布n又称又称Student tStudent t分布。实际上，分布。实际上，t t分布十分有用，分布十分有用，它是总体均数的区间估计和假设检验的理论基础。它是总体均数的区间估计和假设检验的理论基础。/XXXtssnn英国统计学家英国统计学家W.S.GossetW.S.Gosset于于19081908年以年以“StudentStudent”笔名发表论文，证明

10、它服从自由度笔名发表论文，证明它服从自由度 = = n n 1 1 的的t t分布，即分布，即 t t分布，分布， = = n n 1 1 ( (5-75-7) ) 第二节第二节 t分布分布一、一、t t分布的概念分布的概念 从前述实验从前述实验4.14.1的的1313岁女学生身高这个正态岁女学生身高这个正态总体中分别作样本量为总体中分别作样本量为 3 3和和5050的随机抽样，各的随机抽样，各抽取抽取10001000份样本，并分别得到份样本，并分别得到10001000个样本均数个样本均数及其标准误。对它们分别作及其标准误。对它们分别作(5-6) (5-6) 式的式的t t转变换，转变换，并将

11、并将t t值绘制相应的直方图（见实验值绘制相应的直方图（见实验5-45-4）。）。二、二、t t分布的图形和分布的图形和t t界值表界值表 第二节第二节 t分布分布FREQUENCY0200t3 MIDPOINT-12.0-11.5-11.0-10.5-10.0-9.5-9.0-8.5-8.0-7.5-7.0-6.5-6.0-5.5-5.0-4.5-4.0-3.5-3.0-2.5-2.0-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.02.53.03.54.04.55.05.56.06.57.07.58.08.59.09.510.010.511.011.512.0 第二节第二节 t分布分布

12、FREQUENCY0200t50 MIDPOINT-5.0-4.5-4.0-3.5-3.0-2.5-2.0-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.02.53.03.54.04.55.0 第二节第二节 t分布分布=(标准正态分布)=5=1012345-1-2-3-4-5f(t)0.10.20.3图5-3 不同自由度下的t分布图 第二节第二节 t分布分布 t t值的分布值的分布与自由与自由度度 有关（实际是样本有关（实际是样本含量含量n n不同）。不同）。t t 分布分布的图形不是一条曲线，的图形不是一条曲线，而是一簇曲线。而是一簇曲线。二、二、t t分布的图形和分布的图形和t t界值

13、表界值表单峰分布，以单峰分布，以0 0为中心，左右对称，类似于标准正态为中心，左右对称，类似于标准正态分布。分布。自由度自由度 越小，越小，t t值越分散，曲线的峰部越矮，尾部值越分散，曲线的峰部越矮，尾部越高；越高；随着自由度随着自由度 逐渐增大，逐渐增大，t t分布逐渐逼近标准正态分分布逐渐逼近标准正态分布；当布；当 趋于趋于 时，时，t t分布就完全成为标准正态分布，分布就完全成为标准正态分布，故故标准正态分布是标准正态分布是t t分布的特例分布的特例。=(标准正态分布)=5=1012345-1-2-3-4-5f(t)0.10.20.3图5-3 不同自由度下的t分布图 第二节第二节 t分

14、布分布t t 分布的特征：分布的特征：二、二、t t分布的图形和分布的图形和t t界值表界值表 统计学家将统计学家将t t分布曲线下的尾部面积（即概分布曲线下的尾部面积（即概率率P P）与横轴）与横轴t t值间的关系编制了不同自由度值间的关系编制了不同自由度 下下的的t t界值表（附表界值表（附表2 2）。）。单侧概率单侧概率 ：用：用t t , ,表示表示双侧概率双侧概率 ：用：用t t /2/2, ,表示表示 第二节第二节 t分布分布二、二、t t分布的图形和分布的图形和t t界值表界值表-tt0 当当 =10=10，单侧概率，单侧概率P P =0.05 =0.05时，由表中查得单侧时，由

15、表中查得单侧t t0.050.05, ,1010= = 2.2282.228当当 =10 =10，双侧概率，双侧概率P P =0.05 =0.05时，由表中查得双侧时，由表中查得双侧t t0.05/20.05/2, ,1010= =1.8121.812二、二、t t分布的图形和分布的图形和t t界值表界值表单侧：单侧：P P（t t t t0.05,100.05,10）= =0.050.05 和和 P P（t t t t0.05,100.05,10）= =0.050.05双侧：双侧：P P（t t t t0.05/2,100.05/2,10）P P（t t t t0.05/2,100.05/2

16、,10）= =0.05 0.05 1.8122.228-2.228t=10=10的的t t分布图分布图二、二、t t分布的图形和分布的图形和t t界值表界值表单侧：单侧：P P（t t t t , , ）= = 和和 P P（t t t t , , ）= = 双侧：双侧：P P（t t t t /2/2, , ）P P（t t t t /2/2, , ）= = 二、二、t t分布的图形和分布的图形和t t界值表界值表从从t t界值表中或表的右上角图列亦可看出：界值表中或表的右上角图列亦可看出：在相同自由度时，在相同自由度时，t t值越大，概率值越大，概率P P越小；越小；而在相同而在相同t t

17、值时，双侧概率值时，双侧概率P P为单侧概率为单侧概率P P的两倍，的两倍， 即即t t0.10/20.10/2, ,1616 = = t t0.050.05, ,1616 =1.746 =1.746。 -tt0二、二、t t分布的图形和分布的图形和t t界值表界值表nt t分布又称分布又称Student tStudent t分布，实际上十分分布，实际上十分有用，有用，它是它是总体均数的区间估计总体均数的区间估计和和假设假设检验检验的理论基础。的理论基础。 第二节第二节 t分布分布第三节第三节 总体均数的估计总体均数的估计参数估计：参数估计：指用样本指标（统计量）估计总体指标（参数）。指用样本

18、指标（统计量）估计总体指标（参数）。pSX、参数估计参数估计点估计点估计 区间估计区间估计、缺点：缺点：没有考虑抽样误差没有考虑抽样误差 根据样本均数计算出有根据样本均数计算出有（1 1 ）把握的包含总体均数把握的包含总体均数的一个数值范围称为总体均数的置信区间的一个数值范围称为总体均数的置信区间（CICI） ，1 1 称为置信度称为置信度。第三节第三节 总体均数的估计总体均数的估计u总体均数的总体均数的95%95%（或（或99%99%）置信区间）置信区间置信度：置信度： 值一般取值一般取0.050.05或或0.010.01，故，故1 1 为为0.950.95或或0.990.99。区间估计：区

19、间估计：第三节第三节 总体均数的估计总体均数的估计 当我们据一份样本对总体均数只作一次区间估计时，当我们据一份样本对总体均数只作一次区间估计时，我们宣布我们宣布“总体均数总体均数在此可信区间范围内在此可信区间范围内”，这句，这句话可信的程度为话可信的程度为9595区间估计：区间估计：总体均数的总体均数的95%95%置信区间的确切含义为：置信区间的确切含义为：第三节第三节 总体均数的估计总体均数的估计 例例5-15-1 为了解某地为了解某地1313岁女生的身高，在该地随机抽取了岁女生的身高，在该地随机抽取了3030名名1313岁女生测量身高，结果算出均数岁女生测量身高，结果算出均数156.70c

20、m156.70cm，标准差，标准差4.98cm4.98cm。求该。求该地地1313岁女生平均身高的置信区间。岁女生平均身高的置信区间。 例例5-25-2 均数均数156.70cm156.70cm，总体标准差总体标准差5.3cm5.3cm。求该地。求该地1313岁女生岁女生平均身高的置信区间。平均身高的置信区间。 例例5-35-3 在某市成人中随机抽取在某市成人中随机抽取400400人人测脉搏，计算得到均数测脉搏，计算得到均数74.574.5次次/ /分，标准差分，标准差6 6次次/ /分。求该市成人平均脉搏的置信区间。分。求该市成人平均脉搏的置信区间。第三节第三节 总体均数的估计总体均数的估计p总体均数的置信区间的计算总体均数的置信区间的计算u 未知，且未知，且n