第十七章多元函数微分学

1、第十七章 多元函数微分学1 可微性1求下列函数的偏导数（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10）解（1），；（2），；（3），；（4），；（5），；（6），；（7），；（8），；（9），；（10），；2设；求解 ，3设 考察函数在原点处的偏导数。解 因为，不存在，所以，在原点关于的偏导数为，关于的偏导数不存在。4证明函数在点连续但偏导数不存在。因为，所以在点连续，又，当时，极限不存在，因此不存在，同理不存在。5考察函数 在点处的可微性。解 由知，同理可得因此故 即在点处可微。6证明函数 在点连续且偏导数存在，但在此点不可微。证 因为，所以，即在连续，同理 当时，式

2、的值为；当时，其值为 所以式的极限不存在，故在点不可微。7证明函数 在点处连续且偏导数存在，但偏导数在不连续，而在原点可微。证 由于，所以在点连续。当时，当时，而，不存在（可考察情况）。因此，不存在，从而在点不连续。同理可证在点不连续，然而 所以在点可微。8求下列函数在给定点的全微分： （1）在点； （2）在点解 （1）因为在点连续，所以函数在可微。由得。 （2）因为在点连续，所以函数在 可微，由得。9求下列函数的全微分： （1）； （2）解 显然函数和的偏导数连续，于是和可微，且（1）（2）10求曲面在点处的切平面方程和法线方程。解 由于在处可微，从而切平面存在。因为，所以切平面方程为即法线

3、方程为即。11求曲面在点处的切平面与法线方程解 由得在点处有，所以切平面方程为，即。法线方程为，即。12在曲面上求一点，是这点的切平面平行于平面；并求出这切平面方程和法线方程。解 设所求点为，在处切平面法向量为。要使切平面与平面平行，有，于是得点为，且点处的切平面方，即。法线方程为即。13计算近似值： （1）； （2）解 （1）选函数。于是故即（2）设。则14设圆台上下底的半径分别为，高。若分别增加，求此圆台体积变化的近似值。解 圆台体积，于是。将，及代入上式得。2 复合函数微分法求下列复合函数的偏导数或导数：（1）设，求；（2）设，求；（3）设，求；（4）设，求；（5）设，求；（6）设，求；

4、解 （1）令由复合函数的求导法则有（2），（3）（4）， （5）用分别表示函数对第一个中间变量与第二个中间变量的偏导数（6）2设，其中为可微函数，验证证 设 于是3设，其中为可微函数，证明证 设，则4设可微，证明：在坐标旋转变换之下，是一个形式不变量。即若则必有（其中旋转角是常量）。证 故5设是可微函数，。试求：与解 因此3方向导数与梯度求函数在点处沿方向（其方向角分别为）的方向梯度。解 函数在点处可微，且，于是沿方向的方向导数为求函数在点处沿到点的方向上的方向导数。解 函数在点处可微，且，而的方向余弦为。故在点处沿的方向导数为求函数在点及点处的梯度以及它们的模。解 因为所以设函数，其中，求的

5、梯度；并指出在空间那些点上成立等式。解 因此，由，得，故使的点是满足方程的点，即在空间以为球心，以为半径的球面上都有设函数，求它在点的梯度。解 因为，所以证明（1） （c为常数）；（2） （为常数）；（3）；（4）证 设，则 （1） （2） （3） （4）7设，试求 （1）； （2）解 （1）由得 （2）设，则4 泰勒公式与极值问题求下列函数的高阶偏导数： （1），所有二阶偏导数； （2），所有二阶偏导数； （3）； （4）； （5），所有二阶偏导数； （6），所有二阶偏导数； （7）解 （1） （2） （3），于是 （4）由归纳法知 因此（5）（6）令则 （7） 设，证明：解 于是设，证明解

6、 因为所以设，c为常数，证明证 同理 于是5，证明定理17.8的推论 若函数在区域D上存在偏导数，且，则在区域D上为常量函数。证 设是D上任意两点，由于D是区域，可用一条完全在D内的折线 连接，在直线段上每一点存在邻域由中值定理得于是，即在内是常数，这就证明了在直线段上任一点都存在邻域，使常数 。由有限覆盖定理，存在有限个这样的邻域将覆盖，不妨设。既然在每个邻域上函数为常数，且在两邻域相交部分函数值相等，故在上为常数，特别，同理可证。故，由和的任意性知，在D内常数。6通过对施用中值定理，证明对某，有证 在上满足中值定理条件，于是令，则，即求下列函数在指定点处的泰勒公式： （1）在点（到二阶为止

7、）； （2）在点（到二阶为止）； （3）在点； （4）在点解 （1）函数在上存在任意阶连续偏导数，且，于是，其中（2）函数在点的某邻域内存在任意阶连续偏导数，且所以，其中（3）因为 是自然数，于是（4），所有三阶偏导数均为零，因此，于是8求下列函数的极值点： （1）； （2）； （3）解 （1）解方程组得稳定点由于所以不是极值点，为极大值点（2）为极小值点（3）解方程组的稳定点，由于所以为极小值。求下列函数在指定范围内的最大值与最小值： （1）； （2）； （3）解 （1）先求开区域内的可疑极值点，由得稳定点。在求边界 上的可疑极值点。由得，或由得这时 由得这时所以边界上的稳定点为又所以函数在

8、取最大值4，在点取最小值-4（2）解方程组得稳定点考察边界（边界上的最大（小）值在可疑极值点和端点之中），由得，这时得，这时得，这时得，这时所以函数在点取最大值1在点去最小值0（3）解方程组 得，因此稳定点在或上。在区域内部，将代入（1）得于是区域内部仅为稳定点，在边界上，函数值均为零，所以函数在点取得最大值，在边界上取得最小值零在已知周长为的一切三角形中，求出面积为最大的三角形。解 设三角形的三边分别为则面积所述问题就是求函数在上的最大值，因是开区域，把的边界添加进去得到有界闭区域于是在上一定取到最大值，又在的边界上的值为，而在内部的值皆大于，从而在内一定取到最大值。因与在内由相同的可疑极值

9、点，所以考虑函数解方程组得于是在处取得最大值故面积最大的三角形为边长为的等边三角形，面积在平面上求一点，使它到三直线及的距离平方和最小。解 设所求点为，则它到的距离为，到的距离为，到的距离为，于是到三直线的距离平方和为由得因此是的极小值点又，这就是说，存在一个圆，使得，当时，有，因在有界闭域内取到最小值，由是唯一的极致点知，点是在全平面上的最小值12已知平面上个点的坐标分别是，试求一点，使它与这个点距离的平方和最小解 设所求的点为，它与各点距离的平方和为由得因由题知为所求点。十七章总练习题1证 由2求函数在原点的偏导数与，并考察在的可微性解 由于所以，即在点不可微3设 证明：（1）；（2）证 （1）是的代数余子式。对一切的j=1，2，n-1都成立，所以（2）有，关于n次齐次函数的欧拉定理，有而u是次齐次函数，所以设函数具有连续的n阶导数，试证函数的n阶导数证 当n=1时,它仍然是以为中间变量，t是自变量的复合函数，于是 当n=2时，设成立，则所以对一切n有设，求解 6设，求解 设函数在上有，试求u关于x,y的函数式解 首先证明：若在上连续，则 在上任意两点，由中值定理，所以有x的任意性知与x无关，