解线性方程组的直接方法ch07d向量和矩阵范数

1、第七章解线性方程组的直接方法数值分析及计算软件第七章解线性方程组的直接方法数值分析及计算软件 7.5 向量和矩阵的范数3 7.5.1 向量范数 7.5.2 矩阵范数 向量范数的定义 常见的向量范数 向量范数的性质 矩阵范数的定义 F-范数与算子范数 矩阵范数的性质、算子范数的性质7.5 向量和矩阵的范数4 7.5.1 向量范数 7.5.2 矩阵范数 向量范数的定义 常见的向量范数 向量范数的性质 矩阵范数的定义 F-范数与算子范数 矩阵范数的性质、算子范数的性质7.5 向量和矩阵的范数设x=(x1,x2, ,xn)T, y =(y1,y2, ,yn)T Rn (或Cn)， 定义7.1(数量积)

2、数量积: (x, y)= yTx= x1y1+x2y2+ +xnyn. (x, y)= yHx.欧氏范数: |x|2 = (x, x)1/2 .(1)正定性：等号当且仅当时成立；(2)齐次性：(3)三角不等式：则称N(x)为Rn(Cn)上的一个向量范数（或模）.（4）如果xRn(Cn)的某个非负实值函数N(x) =|x|满足 定义7.2(向量范数) 常见的向量范数无穷范数（最大范数） 2-范数 1-范数 p-范数可以验证它们都是范数. 易见前三种范数是p-范数的特殊情况例6 计算向量x的各种范数 向量范数的性质(1) 定理7.11 (连续性)设 N(x) =|x|是 Rn 上的任意一个向量范数

3、，则 N(x) 是 x 的分量x1 ,x2 ,xn 的连续函数(2) 定理7.12 (等价性)设 | |s 和 | |t 是 Rn 上的任意两个范数，则存在常数 c1 和 c2 ，使得对任意的 xRn 有证明：证明：(3) Cauchy-Schwarz 不等式(4) 定理7.13 (向量序列的收敛性)证明：12 7.5.1 向量范数 7.5.2 矩阵范数 向量范数的定义 常见的向量范数 向量范数的性质 矩阵范数的定义 F-范数与算子范数 矩阵范数的性质、算子范数的性质7.5 向量和矩阵的范数如果矩阵ARnn 的某个非负实值函数N(A)=|A| 满足： 正定条件：|A| 0， A Rnn , 且

4、 |A| = 0 A = 0 齐次条件： |cA| = |c| |A| ， ARn , cR 三角不等式：|A+B| |A|+ |B| 相容性：|AB| |A| |B|则称N(A)=|A|为 Rnn 上的一个矩阵范数(或模) 定义7.4(矩阵范数)定义7.5 (矩阵的算子范数) 设 xRn， ARnn，给出一种向量范数| x |v (如v=1,2或)，相应地定义一个矩阵的非负函数可验证|A|v满足定义7.4，称|A|v为A的算子范数，也称从属范数。定理7.14：设 | x |v 是 Rn 上的任一向量范数，则|A|v是Rnn上矩阵的范数，且满足相容条件证明： 常见的矩阵范数(1) F-范数 (

5、Frobenious 范数)(2) 算子范数 (从属范数、诱导范数)其中 | |v 是 Rn 上的任意一个范数 常见的算子范数2-范数（谱范数）1-范数（列范数）无穷范数（行范数）表示ATA的最大特征值证明：例7：设计算 矩阵范数的性质连续性：设 f=|A|是 Rnn 上的任一矩阵范数，则 f关于 A 的每个分量是连续的等价性：设 | |s 和 | |t 是 Rnn 上的任意两个矩阵范 数，则存在常数 c1 和 c2 ，使得对任意的 A Rnn 有定义7.6 设A Rnn 的特征值为i(i=1,2,.,n)，称 为A的谱半径。定理7.16（特征值上界） 设A Rnn , | | 是任一算子范数，则定理：对任意 0, 总存在一算子范数 | | ，使