信号与系统（第4版）：第3章 连续时间信号的变换域分析

1、1第3章 连续时间信号的变换域分析3.1 周期信号的频谱分析傅里叶级数3.2 典型周期信号的频谱3.3 非周期信号的频谱分析傅里叶变换3.4 典型非周期信号的频谱3.5 傅里叶变换的基本性质3.6 周期信号的傅里叶变换3.7 拉普拉斯变换3.8 拉普拉斯变换的基本性质3.9 拉普拉斯逆变换3.10 连续信号的频域与复频域的MATLAB分析2 从本章起，我们对信号的分析由时域分析进入变换域分析，即傅里叶变换（频域）分析和拉普拉斯变换（复频域）分析。 在频域分析中，首先讨论周期信号的傅里叶级数，然后讨论非周期信号的傅里叶变换及其性质，还要介绍周期信号的傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数的基础上发

2、展而产生的，这方面的问题统称为傅里叶分析。 在复频域分析中，首先介绍从傅里叶变换推广到拉普拉斯变换的概念，进而引出拉普拉斯变换的定义，然后介绍拉普拉斯变换的性质及拉普拉斯逆变换。第3章 连续时间信号的变换域分析3傅里叶的两个重要贡献“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和”“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”43.1 周期信号的频谱分析傅里叶级数 任何周期函数在满足狄里赫利的条件下，可以展开成正交函数线性组合的无穷级数。 如果正交函数集是三角函数集或复指数函数集，此时周期函数所展成的级数就是 “傅里叶级数”。前者称为三角形式的傅里叶级数，后者称为指数形式的傅里叶级数，它们是傅里叶级

3、数两种不同的表示形式。 53.1 周期信号的频谱分析傅里叶级数1. 信号正交： 定义在(t1，t2)区间的g1(t)和g2(t)满足 (两函数的内积为0)则称g1(t)和g2(t)在区间(t1，t2)内正交。 2. 正交函数集： 若n个函数g1(t)， g2(t)， gn(t)构成一个函数集，这些函数在区间(t1，t2)内满足 则称此函数集为在区间(t1，t2)的正交函数集。 63.1 周期信号的频谱分析傅里叶级数例如：三角函数集 1，cos(n1t)，sin(n1t)，n=1,2, 复指数函数集 ejn1t，n=0，1，2，是两组典型的在区间(t0，t0+T1) 上的完备正交函数集。如果在正

4、交函数集g1(t)， g 2(t)， g n(t)之外，不存在函数 (0) 满足 则称此函数集为完备正交函数集。( i =1，2，n)73.1 周期信号的频谱分析傅里叶级数设有n个函数g1(t)， g2(t)， gn(t)在区间(t1，t2)构成一个正交函数空间。将任一函数 f(t) 用这n个正交函数的线性组合来近似，可表示为 f(t)C1g1+ C2g2+ Cngn 通常使误差的方均值(称为均方误差)最小。均方误差为 83.1 周期信号的频谱分析傅里叶级数当正交函数集为复变函数集时：9 3.1.1 三角形式的傅里叶级数设周期信号为 , 其重复周期是T1,角频率直流分量：余弦分量的幅度：正弦分

5、量的幅度：以上各式中的积分限一般取： 或10 3.1.1 三角形式的傅里叶级数三角形式的傅里叶级数也可表示成：其中根据欧拉公式：其中11 3.1.2 指数形式的傅里叶级数其中- 复振幅12 3.1.3 周期信号的频谱及其特点1. 周期信号的频谱 为了能既方便又明确地表示一个信号中含有哪些频率分量，各频率分量所占的比重怎样，就可以画出频谱图来直观地表示。 如果以频率为横轴，以幅度或相位为纵轴，绘出 及 等的变化关系，便可直观地看出各频率分量的相对大小和相位情况，这样的图就称为三角形式表示的信号的幅度频谱和相位频谱。13 3.1.3 周期信号的频谱及其特点例3.1-1 求题图所示的周期矩形信号的三

6、角形式与指数形式的傅里叶级数，并画出各自的频谱图。解：一个周期内 的表达式为：14 3.1.3 周期信号的频谱及其特点因此或15 3.1.3 周期信号的频谱及其特点17 3.1.3 周期信号的频谱及其特点2. 周期信号频谱的特点（1）离散性 - 频谱是离散的而不是连续的，这种频谱 称为离散频谱。（2）谐波性 - 谱线出现在基波频率 的整数倍上。（3）收敛性 - 幅度谱的谱线幅度随着 而逐渐 衰减到零。18 3.1.4 波形的对称性与谐波特性的关系（1）偶函数所以，在偶函数的傅里叶级数中只含有（直流）和余弦分量。 已知信号 展为傅里叶级数的时候，如果 是实函数而且它的波形满足某种对称性，则在傅里

7、叶级数中有些项将不出现，留下的各项系数的表示式也将变得比较简单。波形的对称性有两类，一类是整周期对称；另一类是半周期对称。19 3.1.4 波形的对称性与谐波特性的关系（2）奇函数 所以，在奇函数的傅里叶级数中只包含正弦分量。20 3.1.4 波形的对称性与谐波特性的关系（3）奇谐函数例如P39 Fig 3.1-621 3.1.4 波形的对称性与谐波特性的关系 可见，在奇谐函数的傅里叶级数中，只会含有奇次谐波分量。22 3.1.4 波形的对称性与谐波特性的关系 在偶谐函数的傅里叶级数中，只会含有（直流）与偶次谐波分量。（4）偶谐函数例3.1-2： 为偶谐函数，且去掉直流分量1/2后为奇函数，所

8、以 的傅里叶级数中包含直流分量和偶次谐波的正弦分量。23 3.1.5 吉伯斯（Gibbs）现象8.95%En=1n=3n=5n=3:n=5:n=1:演示24 3.1.5 吉伯斯（Gibbs）现象8.95%En=1n=3n=5 从左图可以看出： 傅里叶级数所取项数越多，相加后的波形越逼近原信号。 当信号是脉冲信号时，其高频分量主要影响脉冲的跳变沿，而低频分量主要影响脉冲的幅度。 从上图还可以看出如下现象：选取傅里叶有限级数的项数越多，在所合成的波形中出现的峰值越靠近 的不连续点。但无论n取的多大（只要不是无限大），该峰值均趋于一个常数，它大约等于跳变值的 8.95， 并从不连续点开始以起伏振荡的

9、形式逐渐衰减下去。这种现象称为吉伯斯现象。253.2 典型周期信号的频谱3.2.1 周期矩形脉冲信号(1) 周期矩形脉冲信号的傅里叶级数26 3.2.1 周期矩形脉冲信号 所以，三角形式傅里叶级数为 所以，指数形式的傅里叶级数为 因为27 3.2.1 周期矩形脉冲信号（2）频谱图28 3.2.1 周期矩形脉冲信号若则因此，第一个零值点之内或两个相邻的零值点之间有3根谱线。一般情况：若则第一个零值点之内或两个相邻的零值点之间有N1根谱线。频带宽度：或结论：矩形脉冲的频带宽度与脉冲宽度成反比。29 3.2.1 周期矩形脉冲信号(3) 频谱结构与波形参数之间的关系 1. 若 不变， 扩大一倍，即 3

10、0 3.2.1 周期矩形脉冲信号2. 若 不变， 减小一半，即 谱线间隔 只与周期 有关，且与 成反比；零值点频率 只与 有关，且与 成反比；而谱线幅度与 和 都有关系，且与 成反比与 成正比。31对称周期矩形脉冲信号令 ，则有32对称周期矩形脉冲信号33 3.2.2 周期锯齿脉冲信号 周期锯齿脉冲信号的频谱只包含正弦分量，谐波的幅度以1/n的规律收敛。34 3.2.3 周期三角脉冲信号 周期三角脉冲的频谱只包含直流、奇次谐波的余弦分量，谐波的幅度以 的规律收敛。35 3.2.4 周期半波余弦信号 周期半波余弦信号的频谱只含有直流、基波和偶次谐波的余弦分量。谐波幅度以 的规律收敛。36 3.2

11、.5 周期全波余弦信号 周期全波余弦信号的频谱包含直流分量及 的各次谐波分量。谐波的幅度以 的规律收敛。37 3.3 非周期信号的频谱分析傅里叶变换周期信号的离散谱非周期信号的连续谱由于演示3.3.1 傅里叶变换及傅里叶逆变换38 3.3.1 傅里叶变换及傅里叶逆变换频谱密度函数则- 非周期信号f(t) 的傅里叶变换- 傅里叶逆变换记为 f(t) 393.3.2 傅里叶变换的物理意义频谱和频谱密度函数 从上式可以看出，具有单位频带复振幅的量纲，因此这个新的量称为原函数的频谱密度函数，简称频谱函数。 - 幅度谱(even function)- 相位谱(odd function)403.3.2 傅

12、里叶变换的物理意义频谱和频谱密度函数周期信号：傅里叶逆变换：傅里叶变换：- 连续谱、相对幅度- 离散谱、实际幅度与 的关系：41 3.4 典型非周期信号的频谱 1.对称矩形脉冲信号周期矩形脉冲信号：之间满足如下关系：3dB带宽42 1.对称矩形脉冲信号43 2.单边指数信号44 3.双边指数信号45 4.符号函数 46 4.符号函数47 5.冲激函数和冲激偶函数 单位冲激函数的频谱等于常数，也就是说，在整个频率范围内频谱是均匀的。这种频谱常常被叫做“均匀谱”或“白色频谱”(1）冲激函数的傅里叶变换演示48 5.冲激函数和冲激偶函数(2）冲激函数的傅里叶逆变换或49 5.冲激函数和冲激偶函数或：

13、演示50 5.冲激函数和冲激偶函数（3）冲激偶的傅里叶变换即：上式两边对t 求导得：同理：51 6.阶跃信号52 3.5 傅里叶变换的基本性质1. 线性2. 对称性设其中若则若则53 2.对称性如：又如：54 2.对称性两种特定关系：1. 若f(t)是实函数，或虚函数 f(t)= j g(t)，则 是偶函数,是奇函数。例如：（实偶）（实偶）（实奇）（虚奇）2. 若f(t)是 t 的 实偶函数，则 必为 的实偶函数,即 若f(t)是 t 的实奇函数，则 必为 的虚奇函数， 即55 3.对偶性若则若f(t)为实偶函数，则对偶性为：0(2)tR(t)=10101例如：0(1)t56 3.对偶性又如：

14、57 3.对偶性例：求因为解：所以这样58 3.对偶性 利用傅里叶变换的对偶性，可以将求傅里叶逆变换的问题转化为求傅里叶变换来进行。若则即59 3.对偶性解：例3.5-1：求60 3.对偶性例3.5-2 已知信号的傅里叶变换为试求其逆变换 。 解：观察法61 4.位移性 位移性包括时移性和频移性。 （1）时移特性若则同理 例3.5-3 求题图所示的单边矩形脉冲信号的频谱函数。解：因为对称矩形脉冲信号 的傅里叶变换为62 4.位移性 幅度谱保持不变，相位谱产生附加相移63 4.位移性 （2）频移特性（调制定理)若 ,则同理 因为 ，所以64 4.位移性 例3.5-4 求 , 及 的频谱。解：因为

15、 ，再根据频移性可得65 4.位移性 例3.5-5 求矩形脉冲调幅信号的频谱，已知 f(t)=G(t) cos0t ，其中G(t)为矩形脉冲，脉幅为E, 脉宽为。66 5.尺度变换 若 ,则 信号在时域中压缩等效在频域中扩展；反之，信号在时域中扩展等效在频域中压缩。67 5.尺度变换 特例：综合时移特性与尺度变换特性，还可以证明以下两式68 6.卷积定理 ( The convolution theorem) 卷积定理包括时域卷积定理和频域卷积定理。（1）时域卷积定理 若 ， ，则（2）频域卷积定理 若 ， ，则其中69 6.卷积定理例3.5-6 已知两矩形脉冲信号分别为求 的傅里叶变换 解：根

16、据时域卷积定理，可求出70 6.卷积定理 例3.5-7 利用频域卷积定理求余弦 脉冲信号f(t)的频谱函数。解：把f(t)看作是矩形脉冲G(t)与无穷长余弦函数的乘积。71 6.卷积定理 根据频域卷积定理，可以得到 的频谱函数为 72 6.卷积定理 时域相乘频域卷积73 6.卷积定理 例：利用时域卷积定理求三角脉冲的频谱f(t)t-/2/2E解：我们可以把三角脉冲看作是两个同样的矩形脉冲的卷积。而矩形脉冲的幅度、宽度可以由卷积的定义直接看出，分别为2E/ 及/2。t-/4/4G(t)74tf(t)-/2/2Et-/4/4G(t)75 7.微分与积分 微分与积分特性包括时域微分与积分特性和频域微

17、分与积分特性。（1）时域微分若 ,则例如：由于 , 所以76 7.微分与积分 （2）时域积分若 ,则式中， 如果 ，则77 7.微分与积分 当 f(t) 的导数 的频谱比较容易求出时，可以利用积分特性来求原函数的频谱，但需要对式（35）进行修正。式中， ，78 7.微分与积分 1. 当 时，有2. 当 时，有79 7.微分与积分 例：利用积分特性分别求 及 的傅里叶变换。解：由于即又因为所以，即80 7.微分与积分 例3.5-8 求下图所示的三角脉冲信号的傅里叶变换。解：首先求出f(t)的一阶导数和二阶导数对上式两边取傅里叶变换：81 7.微分与积分 由于 ，所以可以利用二阶导数的频谱来求其原

18、函数的频谱。于是 82 7.微分与积分 例3.5-9 求下列截平斜变信号f(t)的频谱tf(t)1t0tt0解 ：83 7.微分与积分 84 7.微分与积分 （3）频域微分 若 ,则例：85 7.微分与积分 （4）频域积分 若 ,则若 ，则 P68 表3.5-1能量守恒性质86 3.6 周期信号的傅里叶变换周期信号傅里叶级数非周期信号？傅里叶变换（离散谱）（连续谱）1正弦、余弦信号的傅里叶变换 在例3.5-4中，已经求出了指数信号、正弦和余弦信号的傅里叶变换。即 87 3.6 周期信号的傅里叶变换以上三种信号的频谱图如下所示2一般周期信号的傅里叶变换 设周期信号的周期为 ，则角频率 ，可以将

19、展开成指数形式的傅里叶级数其中 或 88 3.6 周期信号的傅里叶变换将上式两边取傅里叶变换 即： 周期信号 的傅里叶变换是由一系列冲激函数所组成，这些冲激位于信号的谐频 处，每个冲激的强度等于 的傅里叶级数相应系数Fn的 倍。89 3.6 周期信号的傅里叶变换例3.6-1 求周期单位冲激信号 的傅里叶级数与傅里叶 变换。解： 90 3.6 周期信号的傅里叶变换例3.6-2 求周期矩形脉冲信号的傅里叶级数和傅里叶变换。已知 的幅度为 ，脉宽为 ，周期为 ，角频率为 。解：已知矩形脉冲 的傅里叶变换为因为91 3.6 周期信号的傅里叶变换所以设：（ ）92 3.7 拉普拉斯变换拉氏变换的优点：1

20、）求解简化；2）把微分、积分方程转化为代数方程；3）将复杂函数转化为简单的初等函数；4）将卷积转化为乘法运算。933.7.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换引入衰减因子 ，则 的傅氏变换为令 ，则- f(t)的双边拉氏变换- 双边拉氏逆变换943.7.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换在信号与系统分析中，一般所遇到的总是因果信号，则 - f(t)的单边拉氏变换- 单边拉氏逆变换简记为953.7.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换拉普拉斯变换与傅里叶变换的区别：FT: 时域函数f(t)频域函数变量 t变量 LT: 时域函数f(t)复频域函数（变量 t、 都是实数）变量 t变量s (复频率） t（实数）(复数

21、） 即：傅里叶变换建立了时域与频域之间的联系；拉普拉斯变换建立了时域与复频域之间的联系。963.7.2 拉普拉斯变换的收敛域（1）（2） 在以 为实轴， 为虚轴的复平面中，凡能使式(1)或式(2)积分收敛，即满足下列绝对可积条件 的 的取值范围称为拉氏变换的收敛域，以ROC表示。973.7.2 拉普拉斯变换的收敛域例3.7-1 求因果信号 （ 为实数）的双边拉氏变 换及收敛域。解：当 时，有若 ，收敛轴将移到 轴的左侧。 983.7.2 拉普拉斯变换的收敛域例3.7-2 求左边信号 （ 为实数）的双边拉 氏变换及收敛域。解：当 时，有 若 ，收敛轴将移到 轴的右侧。 993.7.2 拉普拉斯变

22、换的收敛域例3.7-3 求双边信号 的双边拉氏变换及收敛域。解：当 ，上式第一项存在；当 ，上式第二项存在，这时 1003.7.2 拉普拉斯变换的收敛域1013.7.2 拉普拉斯变换的收敛域单边拉氏变换的ROC为平行于 轴的一条收敛轴的右边区域，可表示为若 ，则f(t)存在拉氏变换，收敛域为：例10例21023.7.2 拉普拉斯变换的收敛域例301033.7.3 典型信号的拉普拉斯变换1指数信号2单位阶跃信号3单位冲激信号同理1043.7.3 典型信号的拉普拉斯变换4t的正幂信号 （ 是正整数）所以当 时 当 时 以此类推，得 1053.8 拉普拉斯变换的基本性质1线性特性若 ， ，则例3.8

23、-1 求 的拉氏变换。解：由于，所以同理1062时域微分和积分 （1）时域微分 若 ，则1072时域微分和积分 例3.8-2 已知 ，求 的像函数。解：已知所以（2）时域积分 若 ，则式中：1082时域微分和积分 例3.8-3 试通过阶跃信号 的积分求 和 的拉氏 变换。解：因为而所以重复应用这个性质，可得 1092时域微分和积分 例3.8-4 时开关S闭合，起始无储能求输出信号 。解：1）列写微分方程 2）将微分方程两边取拉氏变换，得解此代数方程，求得 1102时域微分和积分 3）求 的拉氏逆变换1113位移性 （1）时域位移（延时特性）若 ，则式中， 。 在应用延时特性时，特别要注意它只适

24、用于 的情况。因为当 时，信号左移至原点以左部分，不能包含在从 到 的积分中去。（1） ；（2） ；（3） ；（4） 。例3.8-5 已知 的拉氏变换为 ，求 下列信号的拉氏变换（式中 ）。1123位移性 四种信号如下图所示。 1133位移性 对于（1）和（2）两种信号在 时的波形相同，所以 对于信号（3）：1143位移性 对于信号（4）： 可见，在以上四种信号中，只有信号（4），即 是信号 右移了 的结果，才能应用时移性，即 1153位移性 例3.8-6 求图示矩形脉冲信号的拉氏变换。 解： 因为由延时特性 可求得所以 1163位移性 （2）s 域位移若 ，则例3.8-7 求 和 的拉氏变换

25、。解：已知由s域位移定理，得 同理，因为 故有 1174尺度变换 若 ，则解法一：先延时：再尺度：解法二：先尺度：再延时：例3.8-8 己知 ，求1185s域微分与积分 （1）s域微分 若 ，则（2）s域积分 若 ，则1196初值与终值定理（1）初值定理若 ， 且 f(t) 连续可导，则证明：由时域微分特性可知 所以 1206初值定理与终值定理当时，上式右端第二项的极限为 从而应用条件 的初值 ，即如果是有理代数式，则必须是真分式；中出现真分式项，而初值等于真分式之逆变换式如果不是有理代数式，则应利用长除法，使1216初值定理与终值定理（2）终值定理若 ， 且 f(t) 连续可导，则证明：应用

26、条件 仅当在右半s平面及其s平面的虚轴上为解析时（原点除外），终值定理才可应用。 所以 即：当且仅当F(s)的全部极点在左半s平面，或在s=0处只有一阶极点时，终值定理才可应用。1226初值定理与终值定理例3.8-9 求下列函数逆变换的初值与终值。解：（1）不是真分式，利用长除法求得于是初值 1236初值定理与终值定理如果不用长除法，而直接用，则将得到的错误结论。终值（2）初值为由于在轴上有一对共轭极点，因此不存在终值。若不注意终值定理的条件，而直接用，则将得到的错误结论。1247卷积定理（1）时域卷积 若，则（2）s域卷积 若，则1257卷积定理例3.8-10 已知，求解：利用时域卷积定理可

27、以间接地求出两函数的卷积 因为而则在课本81页的表3.8-1中给出了拉氏变换的主要性质。1263.9 拉普拉斯逆变换 用拉普拉斯变换方法分析电路问题，一般来讲，包括三个步骤：（1）对微分方程进行拉氏变换成为代数方程，（2）解此代数方程得到所求未知函数的变换式F(s)，（3）求F(s)的逆变换。 如果F(s)是一个比较简单的函数，就可利用常用函数的拉氏变换表（见表3.7-1），查出对应的原函数。然而，在电路分析中经常遇到的F(s)并非那样简单，不能直接从表中找到。因此，必须研究求逆变换的一般方法。1273.9 拉普拉斯逆变换 求复杂拉普拉斯变换式的逆变换通常有两种方法：（1）部分分式展开法（2）

28、留数法 方法一是将复杂变换式分解为许多简单变换式之和，然后分别查表求取原时间信号； 方法二则是直接进行拉氏逆变换积分。 方法一适用于F(s)为有理函数的情况； 方法二适用范围较广。1283.9.1 部分分式展开法 式中，系数和都为实数， m和n是正整数。 用部分分式展开法求逆变换时，要求F(s)为有理真分式， 即mn 。当F(s)不是真分式时，可以用长除法把F(s)分解为有理多项式与真分式之和, 如真分式1293.9.1 部分分式展开法 为方便，记从而，当时，所以，的“极点”。称为而当时，所以，的“零点”。称为1301极点为实数，无重根假定的极点均为实数，且无重根，则可展开为如下的部分分式其中

29、从而1311极点为实数，无重根例3.9-1 求的拉氏逆变换。解：将F(s)展开成部分分式形式其中 1322.包含共轭复数极点 若其中是B(s)的不相等的实根。则F(s)可写为而的逆变换则可用配方法来求。 A, B 由待定系数法求出。1332.包含共轭复数极点 例3.9-2 求的拉氏逆变换。解：其中 于是从而由方程两端分子的对应项相等，求得1342.包含共轭复数极点 因为所以因此135例：求下列函数的逆变换解：136上两式的分子应相等，即解之得：1371381391403.包含多重极点则F(s)写成展开式表示展开式中与极点p1无关的其余部分。为了方便求出各待定系数，设则其中，F(s)在p1处有k

30、阶极点，1413.包含多重极点而1423.包含多重极点例3.9-3 求的拉氏逆变换。解：F(s)展开式为令于是有1433.9.2 留数法这是复变函数积分问题. 我们可以从到补足一条积分路径，构成一闭合围线积分，沿该圆弧的积分应为零。由留数定理：补足的这条路径CR是半径为的圆弧，1443.10 连续信号的频域与复频域的MATLAB分析 连续信号的频域和复频域表达式可以通过符号运算获得。其频谱的可视化可以用幅度谱和相位谱绘制。周期信号可以通过计算其傅里叶级数，画出它的幅度谱和相位谱；非周期性信号可以通过计算其傅里叶变换，画出它的幅度谱和相位谱。信号的复频域分析一般缺少可视化的直观表示，但可以用信号的拉普拉斯变换，绘制它的三维幅度曲面图和相位曲面图，来观察其复频域特征。Stem ()Plot()Ezplot()laplace()Ilaplace()145 周期性矩形脉冲信号如题图所示，画出它的幅度谱和相位谱，以及前5次谐波叠加波形和前10次谐波叠加波形。例3.10-13.10 连续信号的频域与复频域的MATLAB分析146解：n=-10:10; w1=0.4*pi;显示的谐波次数n1=