函数、不等式恒成立问题解题策略

1、PAGE PAGE 6函数、不等式恒成立问题解题策略教学目标:通过对不同问题的解题探讨归纳该类问题的一般解法培养学生的分析问题和灵活应用知识解决问题的能力培养学生的数形结合能力重难点:分析解决问题的能力,数形结合思想方法的应用教学方法:指导练习法教学过程:复习回顾引例：（9月月考）23、已知二次函数满足且（1）求的解析式；（2）求在区间上的最大值和最小值。 （3）当时，不等式：恒成立，求的范围。二、归纳：（恒成立问题的基本类型）类型1：设，（1）上恒成立；（2）上恒成立。类型2：设（1）当时，上恒成立，上恒成立（2）当时，上恒成立上恒成立类型3：。类型4： 三、例题讲评例1：若不等式对满足的所

2、有都成立，求x的范围。解析：我们可以用改变主元的办法，将m视为主变元，即将元不等式化为：，；令，则时，恒成立，所以只需即，所以x的范围是。例2：若不等式的解集是R，求m的范围。解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m，所以要讨论m-1是否是0。（1）当m-1=0时，元不等式化为20恒成立，满足题意；（2）时，只需，所以，。变式：若不等式在上恒成立，求m的范围。若不等式在上恒成立，求m的范围。若不等式在上恒成立，求x的范围。例3：已知，求实数a的取值范围。解析：由，在同一直角坐标系中做出两个函数的图象，如果两个函数分别在x=-1和x=1处相交，则由得到a分别

3、等于2和0.5，并作出函数的图象，所以，要想使函数在区间中恒成立，只须在区间对应的图象在在区间对应图象的上面即可。当才能保证，而才可以，所以。四：小结对不同的问题的采取的方法是不一样的，要根据具体的情境灵活选择。但一定要借助图像去分析才能选择好恰当的方法去解题。在分类讨论时要注意分类的完整性和合理性，在等号成立的情况下一定要仔细思考。五：同步练习1、设其中，如果时，恒有意义，求的取值范围。分析：如果时，恒有意义，则可转化为恒成立，即参数分离后，恒成立，接下来可转化为二次函数区间最值求解。解：如果时，恒有意义，对恒成立.恒成立。令，又则对恒成立，又在上为减函数，。2、设函数是定义在上的增函数，如

4、果不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围。分析：本题可利用函数的单调性把原不等式问题转化为对于任意恒成立，从而转化为二次函数区间最值求解。解：是增函数对于任意恒成立对于任意恒成立对于任意恒成立，令，所以原问题，又即 易求得。设f(x)=x2-2ax+2,当x-1,+)时，都有f(x)a恒成立，求a的取值范围。分析：在f(x)a不等式中，若把a移到等号的左边，则原问题可转化为二次函数区间恒成立问题。解：设F(x)= f(x)-a=x2-2ax+2-a.)当=（-2a）2-4(2-a)=4（a-1)(a+2)0时，即-2a1时，对一切x-1,+)，F(x) 0恒成立；）当=4（a-1)(a+2)

5、0时由图可得以下充要条件：-1oxy即得-3a-2;综上所述：a的取值范围为-3，1。4、当x(1,2)时，不等式(x-1)2logax恒成立，求a的取值范围。分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，右边为对数函数，故可以采用数形结合借助图象位置关系通过特指求解a的取值范围。xyo12y1=(x-1)2y2=logax解：设T1:=,T2:,则T1的图象为右图所示的抛物线，要使对一切x(1,2), 1,并且必须也只需故loga21,a1,10,若将等号两边分别构造函数即二次函数y= x2+20 x与一次函数y=8x-6a-3，则只需考虑这两个函数的图象在x轴上方恒有唯一交点即可

6、。xyl1l2l-20o解：令T1：y1= x2+20 x=（x+10）2-100, T2：y2=8x-6a-3,则如图所示，T1的图象为一抛物线，T2的图象是一条斜率为定值8，而截距不定的直线，要使T1和T2在x轴上有唯一交点，则直线必须位于l1和l2之间。（包括l1但不包括l2)当直线为l1时，直线过点（-20，0）此时纵截距为-6a-3=160,a=;当直线为l2时，直线过点（0，0），纵截距为-6a-3=0，a=a的范围为，）。6、对于满足|p|2的所有实数p,求使不等式x2+px+12p+x恒成立的x的取值范围。分析：在不等式中出现了两个变量：x、P,并且是给出了p的范围要求x的相应

7、范围，直接从x的不等式正面出发直接求解较难，若逆向思维把 p看作自变量，x看成参变量，则上述问题即可转化为在-2，2内关于p的一次函数函数值大于0恒成立求参变量x的范围的问题。解：原不等式可化为 (x-1)p+x2-2x+10,令 f(p)= (x-1)p+x2-2x+1,则原问题等价于f(p)0在p-2,2上恒成立，故有：oy2-2xy-22 x方法一：或x3.方法二：即解得： x3.7.若不等式在x1，2时恒成立，试求a的取值范围。解：由题设知，得a0，可知a+x1，所以。原不等式变形为。，即。又，可得恒成立。设，在x1，2上为减函数，可得，知。综上知。关键点拨：将参数a从不等式中分离出来是解决问题的关键。8.已知是定义在1，1上的奇函数且，若a、b1，1，a+b0，有。（1）判断函数在1，1上是增函数还是减函数。（2）解不等式。（3）若对所有、a1，1恒成立，求实数m的取值范围。解：（1）设，则，可知，所以在1，1上是增函数。（2）由在1，1上是增函数知解得，故不等式的解集（3）因为在1，1上是增函数，所以，即1是的最大值。依题意有，对a1，1恒成立，即恒成立。令，它的图象是一条线段，那么。关键点拨：对于（1），抽象函数单调性的证明往往借助定义，利用拼凑条件，判断差的符号。对于（2