2021-2022学年度下学期泉州市高中教学质量监测高一数学参考答案（定稿）

1、2021-2022 学年度下学期泉州市高中教学质量监测高一数学（B）参考答案及评分细则评分说明：1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题 5 分，满分 40 分。1B 2C 3D 4A 5C 6C 7D 8A

2、二、选择题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题 5 分，满分 20 分。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9ABC 10BD 11ABD 12BC三、填空题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题 5 分，满分 20 分。135 14 6 15323716 7 ； （第一空 2 分，第二空 3 分）4四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10 分）2021 年 4 月 23 日“世界读书日”来临时，某校为了解中学生课外阅读情况，随机抽取了 100 名学生，并获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，将其整

3、理后分为 5 组，画出频率分布直方图如图所示，但是第一、五两组数据丢失，只知道第五组的频率是第一组的 2 倍（1）求第一组、第五组的频率各是多少？并补齐频率分布直方图（用阴影涂黑）；（2）现从第四、五组中按分层抽样方法抽取 6 人参加校中华诗词比赛，经过比赛后，第四组得分的平均数 x 8，方差 s2 2，第五组得分的平均数 y 5 ，方差 t2 1，则这 6 人得分的平均数 a 和方差2 分别为多少（方差精确到 0.01）？数学参考答案及评分细则 第 1页（共 10页）17. 解：（1）设第一组的频率为 x ，则第五组的频率为 2x依题意 x 0.07 0.06 0.045 2x 1，解得 x

4、 0.012 分【若分开写，用频率乘以组距得第二、三、四组频率得 1 分，计算出第一组和第五组的频率和得 1 分】所以第一组的频率为 0.05，则第五组的频率为0.10 3 分频率直方图如下： 4 分【注：学生自行画图，适当降低要求，关键看补出的两个小矩形的高度是否分别为 0.01 和 0.02.】（2） 因为第 4 组和第 5 组的频数之比为 21，所以从第 4 组抽取 4 人，第 5 组抽取 2 人 5 分所以这 6 人得分的平均数a4 x 2 y 48 25 7 ，7 分6 6【有写公式，计算错误，则公式正确得 1 分】 2 2 方差 2 2 2 24 s x a 2 t y a 4 2

5、 8 7 2 1 5 7 2 6 63.67，4 2 2 和 ，则各得 1 分】2【若计算出 x 264 y 52i i t1 t1即这 6 人得分的平均数为 7，方差为 3.67 10 分数学参考答案及评分细则 第 2页（共 10页）18（12 分）在 asin 2B bsin A；2c acos B bcos A ；sin2 Asin AsinC sin2 C sin2 B这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答ABC 三个内角 A,B,C 的对应边分别为 a,b,c ，且满足_（1）求角 B 的大小；（2）若 D 为边 AC 的中点，且 a 3， c 4，求中线 BD 长注：

6、如果选择多个方案分别解答，按第一个解答计分18解：（1） 若选： asin 2B bsin A可化为 2asin Bcos B bsin A ， 2 分由正弦定理，可得 2sin Asin Bcos B sin Bsin A ，4 分因为 A,B(0,) ，sin A 0,sin B 0 ，所以 cos1B ，故2B 6 分3若选：由正弦定理，可得 2sinC cos B sin Acos B sin Bcos A， 2 分移项得 2sinCcos B sin Acos B sin Bcos A sin(A B) ， 3 分即 2sinC cos B sin( C) sinC ，4 分又因为C

7、 (0,) ，所以 cos1B ，故2B 6 分3若选：由正弦定理，可得 a2 ac c2 b2 ， 2 分由余弦定理，可得 cosBa2 c2 b2 ac 1 ， 4 分 2ac 2ac 2因为 B(0,) ，所以B 6 分3（3） 由余弦定理，可得b2 a2 c2 2accosB 13，即 b 13 ，7 分因为 D 为边 AC 的中点，所以 13AD CD ， 2在ABD 中，由余弦定理，可得 cosADB AD BD AB2 2 22AD BD， 9 分在BCD中，由余弦定理，可得 cosBDC CD BD BC2 2 22CD BD， 10 分因为 ADB BDC ，所以 cosAD

8、B cosBDC ，11 分即AD BD AB CD BD BC2 2 2 2 2 2 2AD BD 2CD BD，解得37BD 12 分2数学参考答案及评分细则 第 3页（共 10页）19（12 分）如图所示，在四棱锥 P ABCD 中，已知 PA 底面 ABCD，且底面 ABCD为梯形，BCAD ，AB AD ，PA AD BC ， AB 2 ，点 E 在线段 PD 上， PD 3PE 3 3（1）求证：CE平面 PAB ；（2）求证：平面 PAC 平面 PCD19解法一：（1）过 E 作 EFAD 交 PA 于点 F ，连接 BF 1 分因为 BCAD ，所以 EFBC 2 分又 PD

9、3PE ，所以 AD 3EF ， 3 分又 AD 3BC ，所以 EF BC ，4 分所以四边形 BCEF 为平行四边形，所以CEBF ， 5 分又CE 平面 PAB ， BF 平面 PAB ，所以CE平面 PAB .6 分（2） 在梯形 ABCD 中， BCAD ， AB AD ， AD 3BC 3， AB 2 ，所以 BC 1， AC 3 ，CD 6 ， 8 分所以 AC2 CD2 AD2 ，即 AC CD . 9 分因为 PA 平面 ABCD，CD 平面 ABCD，所以 PA CD ，10 分又 PA AC A ，所以CD 平面 PAC ， 11 分又 CD 平面 PCD，所以平面 PA

10、C 平面 PCD12 分解法二：（1）过 E 作 EGPA 交 AD 于点 G ，连接 CG .1 分因为 EG 平面 PAB ， PA 平面 PAB ，数学参考答案及评分细则 第 4页（共 10页）所以 EG平面 PAB .2 分因为 PD 3PE ，所以 AD 3AG ，又 AD 3BC ，所以 AG BC ，又 BCAD ，所以四边形 BCGA 为平行四边形，所以CGBA ， 3 分又CG 平面 PAB ， BA 平面 PAB ，所以CG平面 PAB .4 分又 EG CG G ，所以平面 ECG 平面 PAB . 5 分又CE 平面 ECG ，所以CE平面 PAB . 6 分（2）同解

11、法一 12 分20（12 分）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，甲先投且先投中者获胜，约定有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮之间互不影响（1）求甲获胜的概率；（2）求投篮结束时乙只投了 2个球的概率20解：（1） 记 Ai , Bi (i 1, 2,3) 分别为甲、乙第 i 次投篮投中，1 分则“甲获胜”可记为事件A A B A A B A B A 4 分1 1 1 2 1 1 2 2 3因为 A , B (i 1, 2,3) 之间相互独立，上述三种分类之间互斥，5 分i i所以P(A A B A A B A B A )1

12、 1 1 2 1 1 2 2 3 P(A ) P(A ) P(B ) P(A ) P(A ) P(B ) P(A ) P(B ) P(A )1 1 1 2 1 1 2 2 313 7 分27（3） “投篮结束时乙只投了 2个球”可记为事件A B A B A B A B A 9 分1 1 2 2 1 1 2 2 3因为 A , B (i 1, 2,3) 之间相互独立，上述两种分类之间互斥，i i所以P(A B A B A B A B A )1 1 2 2 1 1 2 2 3 P(A ) P(B ) P(A ) P(B ) P(A ) P(B ) P(A ) P(B ) P(A )1 1 2 2

13、1 1 2 2 34 12 分27数学参考答案及评分细则 第 5页（共 10页）21（12 分）在平面四边形 ABCD中， CBD 30， BC 4， BD 2 3 .（1）若ABD为等边三角形，求ACD 的面积；（2）若 BAD 60，求 AC 的最大值.21解：（1）在BCD 中，由余弦定理，得CD2 BC2 BD2 2BC BD cosCBD ，1 分3即CD2 16 12 2 4 2 3 4 ，所以 CD 2. 2 分2所以 BD2 CD2 BC2 ，因此 BDC 90 .3 分因为 ABD 为等边三角形，所以 ADB 60 ， AD BD 2 3 ，所以 ADC 150 . 4 分所

14、以1 1 1S AD CD ADC sin 2 3 2 3 .6 分ACD2 2 2（2） 设 ADB 0 120，则 ABD 120 . 7 分在ABD 中，由正弦定理，得AD BDsin ABD sin BAD，8 分即AD 2 3sin120 sin 60，所以 AD 4sin120 ，9 分在ACD 中，由余弦定理，得 AC2 AD2 CD2 2AD CD cosADC ，2即 AC 10 分2 4sin 120 4 2 4sin 120 2 cos 902 3 1 3 1 4 cos sin 16 cos sin sin 4 2 2 2 2 8 3 sin 2 16 .11 分所以当

15、 45 时， AC2 取到最大值8 3 16 ，即 AC 的最大值为 2 3 2 . 12 分数学参考答案及评分细则 第 6页（共 10页）22（12 分）在矩形 ABCD 中， AB 4 ， AD 2 点 E，F 分别在 AB，CD 上，且 AE 2 ， CF 1，沿 EF 将四边形 AEFD 翻折至四边形 AEFD ，点 A平面 BCFE（1）若平面 AEFD 平面 BCFE ，求三棱锥 B FCD 的体积；（2）在翻折的过程中，设二面角 A BC E 的平面角为 ，求 tan 的最大值22. 解法一：（1）在平面 AEFD 内做 DH EF 交 EF 于 H .平面 AEFD 平面 BC

16、FE ，平面 AEFD 平面 BCFE EF ， DH EF ， DH 平面 AEFD ， DH 平面 BCFE ， 2 分【面面垂直定理不完整扣 1 分】 DH 即点 D 到平面 BCFE 的距离.在梯形 AEFD 中，过点 E 做 EG DF 交 DF 于G ，则 EG 2 ，GF 1， 2 2 5 EF 5 ，sinEFG . 5 5在 RtDHF 中，6 5DH DF sinEFG ，3 分5三棱锥 B FCD 的体积 1 1 1 6 5 2 51V SBFCD VDFCB FCB DH 2 3 3 2 5 54 分【其它求法对照此标准相应给分】（3） 如图，在平面 ABCD 内作直线

17、 AO EF 交 FE 延长线于点 O ， 交 CB 延长线于点 K . AO EF ， KO EF ， AO KO O ， AO,KO 平面 AOK ， EF 平面 AOK ，又 EF 平面 BCFE ，平面 AOK 平面 BCFE ， 5 分数学参考答案及评分细则 第 7页（共 10页）作 AM OK 交OK 于点 M .平面 AOK 平面 BCFE ，平面 AOK 平面 BCFE OK ，AM OK ， AM 平面 AOK ， AM 平面 BCFE ， 6 分 AM BC .作 MN BC 交 BC 于点 N ，连接 AN . AM BC ， MN BC ， MN AM M ， BC 平

18、面 ANM ， 7 分 BC AN ，又 BC MN ， ANM 为二面角 A BC E 的平面角. 8 分在 RtAKB 中， AK 2 5 ，4 5AO AO ，56 5OK .52 5设 MK t( t 2 5) ，5MN 2 5 t ， 2 2 16 (6 5 )2 2 12 5 4则 AM AO OM t t t ， 9 分5 5 5 512 5t t 42AM 5 3 5 5 2 55 tan tan ANM ( t 2 5) . 10 分MN 2 5 t t 4 52t5令 5 (1 5)u u ，则t 2 22 5 3 2 1 5g(u) u 3u (u ) 1( u ) ，

19、11 分4 2 2 23u 时， g(u) 取到最大值 1，综合可知 tan 的最大值为 1. 12 分 当且仅当2解法二：（1）同解法一. 4 分（2）如图，在平面 ABCD 内作直线 AO EF 交 FE 延长线于点 O ， 交CB 延长线于点 K . AO EF ， KO EF ， AO KO O ， AO,KO 平面 AOK ， EF 平面 AOK ，又 EF 平面 BCFE ，数学参考答案及评分细则 第 8页（共 10页）平面 AOK 平面 BCFE .5 分作 AM OK 交OK 于点 M .平面 AOK 平面 BCFE ，平面 AOK 平面 BCFE OK ，AM OK ， AM 平面 AOK ， AM 平面 BCFE ， 6 分 AM BC .作 MN BC 交 BC 于点 N ，连接 AN . AM BC ， MN BC ， MN AM M ，